Визуализация решений уравнений математической физики гиперболического типа с помощью MathCAD Текст научной статьи по специальности «Математика»

2) eсли к, l - разных знаков

к > И

а)|(к +1)• p| = \к +1\ \p\

к • р+1 • р\=к • p\ - |i • p=к-i P - иP=(к - и)-IP=\к+i-i p

б) (к +1) • p TT к • p к • p +1 • p TT к • p

Следовательно (к +1) • p TT к • p +1 • p Если |к| = |l|, то к -1 = 0 и (к +1) • p = 0 l = -к

к • p +1 • p = к • p + (-к • p) = 0

А8. "p eV a V и "к e R к(p + q) = к • p + к • q

1)При к = 0 или p = q = 0 равенство очевидно.

2) Рассмотрим, когда они нулю не равны, p = e a a , q = e a b

к(e a a + e a b) = к(e a (a + b)) = ке a (a + b) = ке a a + ке a b

Таким образом, операции сложения бивекторов и умножения на число удовлетворяют требованиям восьми аксиом линейного пространства. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия. Учеб. пособие для 7-го кл. сред. школы. Под.ред. А.Н. Колмогорова. Изд. 5-е.-М.:Просвещение, 1976.,-160с.

2. Ефимов Н.В. Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и геометрия, М., 1980. - 526с.

3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.пособие для педагогических институтов.-М.,1979. - 559с.

4. Фоменко Л.П. Лекции по аналитической геометрии, учебное пособие, Таганрог, 1997. - 117 с.

А.Л. Леонтьев, А.В. Кохановская, Н.В. Драимым

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПОМОЩЬЮ MATHCAD

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению способов визуализации задач курса «Уравнения математической физики». Для визуализации разработаны алгоритмы построения графических моделей гиперболических уравнений разной сложности, с использованием метода разделения переменных и сеточного метода. Средством визуализации и средой программирования выбрана программа MathCAD.

Ключевые слова: Уравнения математической физики, гиперболические уравнения, визуализация, MathCAD, графики функций.

A.L. Leontyev, A.V. Kohanovskaya, N.V. Dragnysh

VISUALIZATION OF SOLUTIONS OF EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS HYPERBOLIC TYPE WITH MATHCAD

Abstract. The article is devoted to the ways of visualizing the tasks of the course "Equations of Mathematical Physics". For visualization algorithms for constructing graphical models of hyperbolic equations of different complexity have been developed using the method of separation of variables and the grid method. The MathCAD program was chosen as the visualization tool and the programming environment.

Key words: Equations of mathematical physics, hyperbolic equations, visualization, MathCAD, function graphs.

Последние 100 лет мировой истории обозначены временем бурного роста технического и научного прогресса, что находит отражение в педагогическом процессе. В высших учебных заведениях вводятся новые предметы, расширяется содержание уже преподаваемых курсов. Для того чтобы получаемая в процессе обучения информация могла быть успешно применена она должна быть доступна, наглядна и понятна. Таким образом учебный курс должен быть построен так, чтобы соблюдались ФГОС. Однако в математической и физической теориях существуют разделы, которые при аналитическом рассмотрении не могут быть наглядно представлены графически, то есть нарушается принцип наглядности информации, что в свою очередь ведет к непониманию у учащихся. Одним из таких разделов является математическая физика.

Математическая физика - теория математических моделей физических явлений [2].

Физика трактует данную теорию как аппарат описания физических моделей, математика как самостоятельный раздел. Понятийный аппарат математической физики формируется из математических методов и физических понятий, используемых при построении и изучении математических моделей, описывающих множество физических явлений. Данная теория широко применяется в теоретической механике, гидродинамики и теории упругости. Начиная с 20-го века, математическая физика широко применяется в квантовой механике, квантовой теории поля, квантовой статической физике, теории относительности, гравитации и синергетики.

Основной задаче математической физики является математическое моделирование. Конечная модель должна описывать физическое явление и связанные с ним закономерности. Реализация данной задачи заключается в выводе уравнений, описывающих физический процесс. При математическом моделировании используются только основные законы отражающие фундаментальные характеристики или закономерности, изучаемые непосредственно в рамках рассматриваемой задачи. Такое рассмотрение показало, что при наличии схожих характеристик у разных физических процессов и явлений, к ним, с определенной долей погрешности, применимы одинаковые математические модели.

Уравнения математической физики описывают множество однотипных явлений и процессов, вследствие того, что дифференциальные выражения на которых строится математическая физика, имеют множество решений. Частное решение рассматриваемого физического явления отбирается из множества решений при помощи системы начальных и граничных условий [1].

Подавляющее число физических явлений и процессов реализуется в форме дифференциалов второго порядка с частными производными. Фундаментальные законы физики записываются как вторые производные. Методика исследования уравнений в математической физике зависит от принадлежности решаемого уравнения к тому или иному типу. Исторически выделено три основополагающих типа дифференциалов в частных производных второго порядка, решение которых качественно отличаются:

Уравнение с частными производными второго порядка, с независимыми переменными, имеет вид:

где а, Ь, с - функции от х, у, имеющие непрерывные производные первого и второго порядка включительно.

Уравнение (1) в точке (х, у), является уравнением:

• параболического типа, при Ь2 - ас = 0 ; В каноническом виде это уравнение выглядит следующим образом:

где Х = ф( х, у), с = г/( х, у)- независимые переменные. Помимо того, г/( х, у)- рассматриваемая в данной области функция, дифференцируемая дважды. Это уравнение имеет один член высшей производной, как и уравнение теплопроводности. • гиперболического типа, при Ь2 - ас > 0; В каноническом виде это уравнение выглядит следующим образом:

о первая каноническая форма:

• параболического;

• гиперболического;

• эллиптического.

(1)

(2)

Э2ю „( - Эю Эю\

= Р2\%,Л,Ю,—,— I, (3)

= I, (4)

Э/ЭХ г ЭХ'Э/

где Х = Р(х, у), / = х, у) - независимые переменные. о вторая каноническая форма:

Э2ю Э2ю ^ ( Эю Эю

-;---Г = Р3 I /, 2,Ю,-,-

Эг2 Э22 3 ^ Эг Эг

где Х = г + /= г —2, = 4^2. Левая часть данного уравнения представляет собой часть волнового уравнения.

• эллиптического типа, при Ь2 — ас < 0 ; В каноническом виде это уравнение выглядит следующим образом:

Э2ю Э2ю Эю Эю^|

_____ = ^ [Х,л,ю-Х-Л], (5)

где Х = Р(х, у), /! = *¥(х, у) - независимые переменные. Левая часть данного уравнения представляет собой левую часть уравнения Лапласа.

Способы решения перечисленных типов уравнений математической физики делятся на две группы:

1. аналитическое решение, основанное на преобразовании уравнений в частных производных к системе уравнений или к одному простому уравнению;

2. численное решение с использованием вычислительных машин.

Аналитические методы решения включают в себя:

• метод характеристик;

• метод разделения переменных;

• метод Фурье;

• метод Даламбера;

• метод интегральных преобразований;

• преобразования Лапласа;

• использование функции Грина.

Методы реализации уравнений математической физики с применением вычислительной техники включают в себя:

• метод сеток;

• метод конечных разностей;

• метод переменных направлений;

• метод дробных шагов;

• метод Эйлера;

• методы Рунге-Кутты;

• методы Адамса;

• символьно-численные методы.

Для того чтобы доступность знаний была реализована необходимо иметь возможность наглядного изложения информации по курсу «Уравнения математической физики».

Одним из средств визуализации является программа МаШСАБ. Это универсальный программный комплекс, позволяющий реализовывать математические операции любой сложности, данное программное обеспечение используется для расчетов в различных областях, в том числе при математическом моделировании. Важным отличием программы является пошаговая визуализация процесса внесения данных в программу. Решение задач и уравнений в МаШСАБ является элементарным процессом даже для незнакомого с программой пользователя. Визуализация процессов максимальна, в виду чего процесс работы в МаШСАБ максимально приближен к работе в обычном редакторе формул или же к аналитическим записям. Программный комплекс МаШСАБ обладает широкими возможностями и включает свыше двух сотен операторов и функций, используемых для решения задач в физико-математической области высокой сложности как в численном, так и в символьном видах [3].

МаШСАБ - это математически ориентированная система. Кроме операции вычисления, система позволяет решать задачи, нерешаемые, или же решаемые нерационально в текстовых редакторах, электронных таблицах. Высокое удобство и работоспособность данной системы подтверждается ее использованием при подготовке множества научных статей, монографий, квалификационных работ, разного рода проектов, книг и даже диссертационных работ, в добавок к этому сложнейшие математические записи реализуются максимально просто и при желании пользователя представляются графически.

Программа MathCAD является оптимизированным полноценным визуализатором, используемым для описания и создания алгоритмов и методов решения задач физики и математики. Благодаря дружелюбному русифицированному интерфейсу MathCAD может быть применен как в процессе обучения школьников, в качестве расчётного комплекса, так и в процессе работы научных сотрудников, в качестве среды разработки новых физико-математических моделей.

Создатели MathCAD реализовали систему так, что она может быть расширена пользователем в зависимости от его потребностей. Расширения программы происходит по средствам приобретения специализированных библиотек и расширений. Каждая библиотека или пакет расширений имеют специальные возможности, встраиваемые в систему после установки. Также в программный комплекс встроено множество электронных книг с описаниями различных методов решения специализированных задач, с примерами работающих алгоритмов, которые могут быть использованы в расчетах.

В системе также реализован текстовый редактор. Текстовые поля создаются как комментарии, и математические выражения в них не выполняются. Тексты комментариев могут содержать словесные формулировки, численные значения и математические символы.

Процессор обработки формул имеет вертикальное строение, что схоже с привычной формой записи математических выражений. Последние версии программы поддерживают русскоязычные комментарии и подписи графиков.

Встроенные в программу блоки вычислителей обеспечивают расчеты по заданным математическим формулам, имеют обширный набор встроенных математических выражений и функций, позволяют рассчитывать значения рядов, сумм, произведений, интегралов, производных, работать с комплексными данными, реализовывать решения линейных и нелинейных выражений, а также дифференциальных выражений и систем, проводить минимизирование и максимизирование функций, реализовывать операции над векторами и матрицами и многое другое.

Рассматриваемый программный комплекс является средством автоматизации математических расчетов. Программ схожих с MathCAD по принципам построения и направленности существует довольного много. Наиболее похожими системами компьютерного моделирования являются Maple, Mathematica и MATLAB. По факту эти программы создавались для разных целей и в них закладывалась отличная друг от друга идеология, что делает невозможным объективное сравнение.

При рассмотрении отличий программы от аналогов необходимо указать на графический режим ввода выражений, что не поддерживается в прочих программных комплексах. Ввод функций, команд и формул может быть осуществлен как с клавиатуры, так и с помощью кнопок на специальных панелях инструментов, расположенных на многочисленных вкладках. В обои вариантах расчетные формулы будут отображаться, аналогично книжному виду. Это свидетельствует о том, что программой может пользоваться абсолютно неподготовленный человек. Вычислительный процесс по вводимым формулам осуществляется по вызову пользователя, одновременно с вводом информации или по команде. Вычисления по формулам происходят вертикально вниз и горизонтально направо. Переменные, параметры, формулы изменяются моментально, что позволяет наглядно отображать происходящие изменения. Это позволяет организовать интерактивные вычислительные документы.

Рассмотрим ряд наиболее затруднительных с точки зрения визуализации и понимания студентами задач рассматриваемого курса, а именно задачи, основанные на волновом уравнении.

Одним из самых простых методов решения уравнений в системе MathCAD является решение при помощи блока Given-Find. Примером использования данного блока послужит задача об одномерном волновом уравнении. Однородная струна колеблется по следующему закону:

utt = а2ихх. (6)

При заданном размере струны, времени колебаний, начальных и граничных условиях задача описывается при помощи команд представленных в листинге на рис. 1.

а =2

L := Ю Т := 10

Given

vt(M) = a" ■ и„(М) f« - ^

:=if(i< 3rf(i) ,-x+ 10)

u(i,0) = g(s) v(s, 0) = 0

40,1) = о 41=t) = о

Рис. 1. Листинг решения уравнения (1) Изменение положения струны в моменты времени / = 0...5 представлены на рисунке 2.

и(х,0) о

и(к:1) О

и(к,3) о

О 2 4 б 3 10

О 2 4 6 3 10

О 2 4 б 3 10

uCkJ) О

us,4) О

О 2 4 6 S 10

Рис. 2. Изменение положения струны

и(к,5) О

Для создания анимации движения струны необходимо использовать встроенную функцию FRAME (рис. 3).

и

V.

FRAME

Рис. 3. Листинг применения функции FRAME, для создания анимации

Вторым рассматриваемым типом задач будут задачи гиперболического типа. В данном примере используем метод сеток для решения задачи. В конечно-разностном виде гиперболическое уравнение принимает вид:

U+i, j - 2u<, j + U-i, j _ 1 U j+i - 2ui, j + U j

Н V2 т2

Уравнение (8) дает возможность определить значение функции и в ] +1 момент времени

1+1=v2 (Н I(и'+1-у—2иу+и—■■ ^)+2и^—и''-^—1.

(7)

(8)

Полученная разностная схема является явной и устойчивой при т < Н¡V . Начальный и последний моменты времени описываются синусоидальной функцией. Начальные условия, граничные условия, а также количество измерений в МаШСАБ задаются согласно листингом на рис. 4.

п := 20] := 0..п { := 0__100

U1;0 := sinbr.-j U0J := 0

а := 1 к := 0.02

j := 1..П- 1

?

и:л := Ui,о

Uiooj := 0 i := 1 ..99 1 := 0.. 100

\Ji0i := a-k(Ui+i j -2Uij + U1_l!j) + 2U1j-Uij_1

Рис. 4. Листинг и графическая интерпретация решения уравнения (8)

Представленный график может быть реализован как в качестве множества функций, накладываемых на один график, так и в виде анимации. Визуализация по средствам МаШСАБ позволяет посмотреть процесс изменения амплитуды колебания струны с течением времени, наглядно определять узловые точки струны, основные параметры (амплитуда, частота, период) колебательного процесса.

Следующим примером послужит задача о волновом уравнении на прямоугольнике. Плоская однородная мембрана колеблется по следующему закону:

и,, = + иуу ). (9)

Для аналитического решения данного уравнения необходимо задать начальные условия:

Ги(х, у,0) = р(х, у)

ГК , (Ш)

[и, (х, у,0) = у( х, у)

и граничные условия: и(0, у,,) = 0, и(Ь1, у,,) = 0, и( х,0,,) = 0, и( х, Ь2,,) = 0. Данная задача решается методом разделения переменных:

v( х, у) = X (х)¥ (у), (11)

где X" + уХ = 0, X (0) = 0,Х(Ь1) = 0,У'+ тУ = 0,У(0) = 0,У(Ь2) = 0. Последние уравнения имеют следующие решения:

(прЛ . пр (шп\ . шр

уп = — , Хп = х, т = 1 1—1, ¥ш = 51п—у . (12)

I Ь1 ) Ь1 У Ь2 ) Ь2

Собственным значениям Япш =(пр/Ь1 )2 +(тпр/Ь2) соответствуют собственные функции

. 4 . пр . шр

уп,ш (х у) ^ЬГ 5т~х' 81П~у . (13)

Уравнение (13) образует ортонормированную систему собственных функций прямоугольной мембраны. Как известно, любая непрерывная функция, дифференцируемая дважды Е(х,у), которая удовлетворяет граничному условию Е (0, у) = Е (Ь1, у) = Е (х,0) = Е (х,Ь2) = 0, разлагаема в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по упт (х, у).

Решение данной задачи записывается рядом по собственным функциям упт (х, у):

и(х,у,,) = ££(Ап,т С05(ДЩ«0 + Впт 51п(ДЩа,)К,ш (х,у), (14)

ш=1 п=1

где

Гу Ь Ьг

Ап.т =. Н-Т-11 Р(ху)51пЬх'51пydxdy , (15)

V Ь1Ь2 0 0 Ь1 Ь2

Ьг

1 4 ее . пр шр

Впш = Г-.-Ч тН I y(x,у)51п~х'у^у . (16)

4аКт*Ь1Ь2°° Ь1 Ь2

В частном случае уравнение колебаний запишем как: и, = ихх, при 0 < х < 2,0 < у < 3, и

р(х, у) = ху(2 - х)(3 - у)/64 , у(х, у) = 0 ,, > 0. Рассмотрим реализацию данного случая в МаШСАБ

(рис. 5).

Рис. 5. Листинг визуализации волнового уравнения на прямоугольнике Изменение положения мембраны для моментов времени г = 0,0.5,...,5.5 представлена на

рис. 6.

Z9 t=4.5 Z10 i=5 Z11 i=J.i

Рис. 6. Визуализация волнового уравнения на прямоугольнике в моменты времени t _ 0,0.5,...,5.5 Также, как и для уравнения на круге реализация динамического представления колебаний мембраны происходит по средствам встроенной функцией FRAME. Применение функции показано на рисунке 7.

| := ОЛ ПЗАМЕ

г. . := uiX-.Y-.ti 1.1 ™ 1 1

1=0

Рис. 7. Листинг создания анимации волнового уравнения на прямоугольнике в МаШСАБ

Стоит отметить что в то же время аналитическое решение данной, и предыдущих, задач потребовала огромного количество времени так как для каждого момента времени необходимо рассчитать 61 значение функции, а для отслеживания динамики необходима таблица значений размером 61 на 61, то есть необходимо произвести 3721 вычисление. Пакет МаШСАБ позволяет визуализировать этот массив данных (рис. 8) и при этом затратить на это считаные секунды.

ъ =

Рис. 8. Массив данных, используемый для визуализации задачи о колебании прямоугольной

мембраны

В данной статье показан и реализован один из важнейших принципов обучения и подачи информации - наглядность. Рассмотрена малая часть всевозможных задач о колебаниях. Таким образом, построены графические интерпретации задач, основанные на уравнениях гиперболического типа.

В работе рассмотрены задачи о колебании струны, о свободных колебаниях на круге и о свободных колебаниях на прямоугольнике. Предложены и реализованы алгоритмы визуализации

вышеупомянутых задач в системе компьютерного моделирования MathCAD. Помимо покадровой визуализации предложен алгоритм создания анимации, который может быть применен в процессе обучения бакалавров в рамках курса «Уравнения математической физики».

Исследование волновых уравнений в пакете MathCAD ускоряет процесс обучения, повышая скорость вычислений. Также увеличивается заинтересованность в процессе обучения, так как визуализация преподаваемого материала, делает его значительно понятнее и доступнее.

Необходимо также указать на существование межпредметной связи при использовании ви-зуализатора MathCAD. Так как MathCAD это язык программирования, то обучаясь на педагогических направлениях, далеких от программирования, у студентов появляется возможность изучить азы ввода, обработки и хранения данных, что в большей степени присуще инженерно-техническим специальностям. Таким образом применение данного пакета расширяет жизненный опыт студентов [4,5], при этом не усложняя процесс обучения, в виду того, что интерфейс программы интуитивно понятен и приспособлен для людей незнакомых с программированием вообще.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики: учебник для вузов / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

2. Математическая физика. -URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_физика (дата обращения: 16.12.2017).

3. Очков, В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В.Ф. Очков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 368 с.

4. Драгныш Н.В. Использование инновационных технологий для преподавания курса "Теория вероятностей и математическая статистика" // Дискуссия. 2010. № 8.- С. 80-83.

5. Драгныш Н.В. Использование методов имитационного моделирования для преподавания курса «теория вероятностей и математическая статистика» // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2011. № 12.- С. 26-29.

И.А. Пивина

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

Аннотация. Рассмотрена линия модуля в учебниках Муравина Г.К., Муравиной О. В. Изложены общие методы решения уравнений и неравенств. Приведены примеры решения уравнений и неравенств с модулем с помощью данных методов.

Ключевые слова: уравнения, неравенства, аналитические методы, модуль числа в школе.

ЬА. Pivina

METHODS OF SOLVING EQUATIONS AND INEQUALITIES CONTAINING

THE MODULE MARK

Abstract. Considered line module in textbooks Muravin G. K., Muravina O. V. the most General methods of solving equations and inequalities. Examples of solving equations and inequalities with the module using these methods.

Key words: equations, inequalities, analytical methods, the module numbers in the school.

В курсе математики одним из центральных понятий, которому отведено достаточно большое внимание, является понятие «модуля действительного числа». Оно находит очень широкое применение в самых разных разделах математики, физики, технических науках, архитектуре, программировании, машиностроении. Абсолютная и относительная погрешность, модуль вектора, предел функции - вот далеко не полный перечень применения понятия «модуль действительного числа». Данная тема широко востребована в различных заданиях, встречающихся в ЕГЭ и итоговой аттестации.

С понятием «модуль» учащиеся знакомятся в 6 класса и продолжают работу вплоть до 11. В школьном курсе математики содержится много материала, связанного с уравнениями и неравенствами. Но, к сожалению, уравнениям и неравенствам с переменной под знаком модуля отведено мало времени на изучение. Что в свою очередь ведет к тому, что у учащихся возникают трудности при решении подобных заданий. Например, на изучение темы «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» выделено при базовом уровне 1 час в неделю, при профильном уровне 2 часа в неделю, а на «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля» отводится 4 часа, на «Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» 6 часов [3, 54]. Стоит отметить, что решение данных уравнений - эффективный способ повторения и закрепления навыков решения других видов уравнений: линейных, квадратных, дробно-рациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических. В ходе решения уравнений и неравенств с