Вторая краевая задача для системы гиперболического типа второго порядка при больших Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.917

ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ БОЛЬШИХ Т

С. В. Лексина

Самарский государственный университет, кафедра математики и бизнес-информатики E-mail: [email protected]

В работе рассматриваются вопросы, связанные с решением краевых задач для системы гиперболических уравнений второго порядка, в которых отсутствуют смешанные производные. Проведено построение продолжения функций, определяющих начальные и финальные условия.

Ключевые слова: волновое уравнение, система волновых уравнений, краевые задачи.

The Second Boundary Problem for the System Hyperbolic Type Second Order for Large T

S. V. Lexina

Samara State University,

Chair of Mathematics and Bisiness Computer Science E-mail: [email protected]

In the paper we consider the control problem for objects which vibration are described by the system of ware equations with boundary condition of the second kind.

Key words: wave equation, system of wave equations, boundary control.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Известно [1], что волновое уравнение служит математической моделью многих физических процессов (акустические и электромагнитные колебания [2,3], колебание струны [4], мембраны [5]), а также является основой для описания явлений, связанных с землетрясением [6].

Исследование систем дифференциальных уравнений с частными производными легко объясняется их заведомо более значительными по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений возможностями в построении математических моделей для описания самых разнообразных процессов и явлений. Например, в работе [7] рассматривается гиперболическая система первого порядка, описывающая процесс теплопереноса в однородной пластинке.

Объектом исследования в данной работе является система гиперболического типа второго порядка:

wtt - Awxx = 0,

(1.1)

где w(x, t) = colon (wi, w2,..., wm) — вектор-функция, A — постоянная квадратная матрица порядка m с положительными действительными собственными значениями.

Система (1.1) при m = 2 описывает продольно-крутильные колебания длинной, естественно закрученной нити [8,9]:

wltt - -EFwlxx = —EFw2xx\

q

g

q

gk

--О (Б + кЕР)ь)2хх = —т;ЕРи)1хх,

где ЕЕ и В — продольная и крутильная жесткость нити, д — вес единицы длины нити, к — коэффициент раскрутки, г — радиус инерции поперечного сечения нити, q — ускорение свободного падения.

Под естественно закрученной нитью подразумевается нить, обладающая продольной и крутильной жесткостью, а также способная раскручиваться при растяжении и удлиняться при раскручивании. Модель естественно закрученной нити более точно отражает основные свойства реального стального каната, в частности, описывает его свойства раскручивания при свободном натяжении и дает возможность оценить крутящие моменты, возникающие при продольных колебаниях. При составлении уравнений движения естественно закрученной нити были введены следующие обозначения [8]: т1 (х, £) — продольные деформации (полное удлинение части нити), (х, £) — поворот нити. В качестве примера естественно закрученной нити можно рассмотреть стальной канал [9].

Граничные условия для функций гш2 (х,£) на конце х = I образуют уравнения движения

концевого груза. Если гш2(/,£) = 0, то это означает, что груз прикрепленный на конце х = I нити не может совершать поворотов.

В работах [7, 10, 11] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности.

Отметим, что круг гиперболических уравнений и систем гиперболических уравнений ограничен теми объектами, для которых известна интегральная форма представления решения в точках области его определения [12]. Класс таких уравнений достаточно узок. Одним из известных методов построения решений краевых задач в явном виде является метод Римана и его различные обобщения. В связи с этим в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа функция Римана играет важную роль, с ее помощью удается записать в явном виде решение задач Коши и Гурса. Так, например, Вольтерра [13], Адамар [14] привели формулу представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух, Бургатти [15] и Реллих [16] привели формулу представления Римана для линейных уравнений высших порядков с числом независимых переменных, равным двум, имеются решения задачи Коши и Гурса для уравнения Бианки [17, 18], записываемые в [19] через функцию Римана, Хольмгрен [20, 21], Б. Н. Бурмистров [22] обобщили метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В монографии А. В. Бицадзе [23] приведено обощение метода Рима-на на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменными и кратными характеристиками. При этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго порядка, которая всегда имеет единственное решение.

В работах [24-26] приведены уравнения и системы уравнений, для которых функция Римана и ее аналоги построены и выражены через специальные функции.

Иногда удается решить краевые задачи для уравнений гиперболического типа и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана - Адамара). В работе [27] отмечено, что общие решения, если их возможно найти, являются чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то скорее всего возможно решить и краевую задачу. Число уравнений, для которых известны общие решения, очень мало. Это волновое уравнение, уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу [28], некоторые системы частного вида [23], а также ряд нелинейных уравнений [29].

Рассмотрим систему волновых уравнений (1.1) в области QlJт = [0,1] х [0, Т]. Предположим, что характеристическое уравнение матрицы А имеет корень А кратности т, либо т различных собственных значений, тогда существует матрица Б такая, что

где Л— жорданова клетка, подобная матрице А (в случае кратных собственных значений), либо диагональная матрица, в которой на главной диагонали стоят различные собственные значения. Выполним в системе (1.1) замену — = Б-1 и, получим систему

Л = S-1 AS,

utt — Лихх = 0,

(1.2)

в области Qit, где u(x, t) = colon (ul5 u2,..., ит)—вектор-функция.

В случае, когда Л—жорданова клетка, матричное уравнение (1.2) эквивалентно системе:

Uitt — Л2 Uixx = 0,

U2tt — Л2 U2xx = Uixx,

(1.3)

<

^Um tt — Л2u

Общее решение ¿-го уравнения системы (1.3) для г ^ 2 определяется формулой [30]

1 д

где S = — —, (5° = 1, и® - общее решение соответствующего однородного волнового уравнения,

2A дЛ j

определяемое [1]:

u0(x,t) = fj (x + At) + gj (x - At). (1.4)

В случае, когда Л—диагональная матрица, матричное уравнение (1.2) эквивалентно системе однородных волновых уравнений, общее решение которых определяется формулой (1.4), с волновым числом А = Aj.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Краевой задачей называют задачу для матричного волнового уравнения в области Qi t с начальными (или финальными) условиями и граничными условиями при x = 0 и x = l одного рода. Для системы (1.1) в области Qi,t рассмотрим начальные условия:

w(x, 0) = <(x), wt (x, 0) = -(x), 0 < x < l; (2.1)

финальные условия:

w(x, T) = <(x), wt(x,T) = -0(x), 0 < x < l; (2.2) граничные условия второго рода:

wx(0, t) = ^(t), wx(l,t) = v(t), 0 < t < T, (2.3)

где <(x), —, —, д, v — вектор-функции, размерности m. Вторая краевая задача с начальными условиями.

Найти вектор-функцию w(x,t), удовлетворяющую системе (1.1) в прямоугольнике Qi,t, начальным условиям (2.1) и граничным условиям второго рода (2.3). Вторая краевая задача с финальными условиями.

Найти вектор-функцию w(x,t), удовлетворяющую системе (1.1) в прямоугольнике Qi,t, финальным условиям (2.2) и граничным условиям второго рода (2.3).

Рассмотрим вторую краевую задачу с начальными (финальными) условиями для системы (1.1) в

области Ql)T, при T > l/min{Aj}. Введем обозначение qi = [TAj/l], [x] - целая часть числа x.

' i

Выполним в системе (1.1) замену w = S-1u, приводящую систему (1.1) к системе m однородных волновых уравнений, начальные условия (2.1) примут вид

u(x, 0) = S ■ w(x, 0) = £(x), ut(x, 0) = S ■ wt(x, 0) = -0(x), 0 < x < l, (2.4)

финальные условия (2.2):

u(x, T) = S ■ w(x, T) = £(x), ut(x, T) = S ■ wt(x, T) = -(x), 0 < x < l, (2.5)

и гарничные условия (2.3):

ux(0,t) = S ■ wx(0,t) = jü(t), ux(l,t) = S ■ wx(l,t) = Í7(t), 0 < t < T. (2.6)

Представим решение второй краевой задачи с начальными условиями в области Qi,t в виде суммы решений двух задач для системы однородных волновых уравнений. Задача I:

u(x, 0) = <?(x), ut(x, 0) = —(x), 0 < x < l, ux(0,t)=0, ux (l, t) = 0, 0 < t < T;

Задача II:

u(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, 0 < x < l, ux(0,t) = ^(t), ux(l,t) = v(t), 0 < t < T.

С. В. Лексша. Вторая краевая задача дпя системы гиперболического типа второго порядна

Решение задачи I в области Qi,t, T > 1/Aj имеет вид

t) =

;Фг(x + Агt) + qiФг(х - Ajt) , 1

x+Xit

2

+ 5Г ^'W"«-

x — Xi t

где иг(ж, £) — решение задачи I для ¿-го уравнения системы т однородных волновых уравнений, ^Фг, ^Фг — некоторые продолжения функций срг(ж), (ж) на отрезки [—— (д — 1)1], [д 1, (д + 1)1].

Продолжения функций ^(ж), ^г(ж) в условиях задачи I на отрезки вида [—— (д — 1)1], [?г1, (д + 1)1] определяются следующими формулами: при ж е [—<зг1; — (д — 1)1]:

qi Ф j (x) = (-1)qi jj (-1)qi x +

Qil--о-НФ - 1)

qi Фj (x)= j ((-1)qi x + при x e [qjl; (qj + 1)1]:

22

1 + (-1)q> 1 - (-1)qi

2

-qj 1 -

2

1 (qj -1)

Ф j (x) = (-1)qi jj (-1)qi x +

1 - (_1)9i 1 + (-1)qi

qi j j (x)= j (-1)qi x +

1 - (-1)qi 1 + (-1)qi

(2.7)

(2.8)

(2.9) (2.10)

2 7 2 Доказательство формул (2.7)-(2.10) проводится методом математической индукции. Решение задачи II для ¿-го уравнения системы т однородных волновых уравнений в области при Т < 1/Лг :

А,-

Ui(x,t) = — Xi J /jb.(s)ds + Xi J Vi(s)ds, 0 0

при 1/Aj < T < 21/Aj :

Л,-

Пг(х,Ь) = —Хг у fii(s)ds-Xi у /X. + Лг J К^) + X г у l¿i(s)ds. 0 0 0 0 Продолжая процесс далее, получим решение иг(ж, £) в виде следующей суммы:

А^ + ж —(тп + 1)!

Ait — ж — ml

qi — 1 — (-1)? Ui(x,t) = Xi- V ;

m=0

2

w.(s)ds -

Ait + x-(m + l)i

Ait — x — ml

+ £ A.

m=0

-l + (-l)T 2

J /¿.(s)ds- J Ki(s)ds\.

00

Выполнение граничных условий (2.6) проверяется непосредственной подстановкой. Решение u(x,t) = colon (ui, ...,um) второй краевой задачи с начальными условиями для системы m однородных волновых уравнений в области Qi,t, T > 1/min{Aj} примет вид

~ — x+Xi t Ui(x,t) =----h— /

+ £ A.

m=0

-1 - (-1)

ж -fmi

x—Xit

x — (m + 1) l

t+-—x-

J ^i(s)ds- J Hi{s)ds 1 + 00

q

q

__£

1 A,

+ A.-t — 2l

f__±

1 A

" -1 + (-1)

t+

х — (m+ 1)¿ ,_ x-\-ml

Xa 1 Л,-

+ 2 1 I Us)ds~ I Us)ds\, (2.11)

m=0

где иг(ж, £) — решение второй краевой задачи с начальными условиями для ¿-го уравнения системы в области , Т > ¿/Лг-

Аналогично, устанавливается, что решение второй краевой задачи с финальными условиями для системы т однородных волновых уравнений в области , Т > 1/шт{Лг} примет вид

г

~ х+Л; (£-Г)

Ж-Л^-Г )

д. т Г Т Т ^

2

m=0

+Ел> 1+91)'"<! / / эд^ (2л2)

m=0

A¿ ^---

T T

^ , I (?ri. +1) í — ж

tH X-

где иг(х, t) — решение второй краевой задачи с финальными условиями для ¿-го уравнения системы в области , T > 1/Аг.

Таким образом, справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Если функции qiФг(x) е C2[—q^;^ + 1)1], qiФг(х) е C1 [—q^^ + 1)1], qiФг, qiФг — четные продолжения функций $г, грг на отрезки [—дг1, — (q — 1)1], [дг1, (q + 1)1], определяемые формулами (2.7)—(2.10), Д (t), ^(t) е С1[—Т;Т], выполнены условия согласования для вектор-функций $ (0) = Д(0), $ (1) = Р(0), тогда решение u(x,t) = colon (u1, ...,um) второй краевой задачи для системы m однородных волновых уравнений в области при T > 1/тах{Аг} имеет

г

вид (2.11).

Теорема 2. Если функции qiФг(х) е C2[—дг1;(дг + 1)1], qiФг(x) е C1 [—q 1;(q, + 1)1], qiФг,

qi Фг — четные продолжения функций $г, на отрезки [—qj1, — (qj — 1)1], [q*1, + 1)1], функции (t) = pj(t), при t е [0, T], Д(Т) = 0, (t) = 0 при t > T, аналогичным условиям удовлетворяет и функция г/г (t), (t), г/г (t) е C1 [0; 2T] и выполнены условия согласования для вектор-функций $?(0) = p(T), $?(1) = p(T), тогда решение u(x,t) = colon (u15..., um) второй краевой задачи с финальными условиями для системы m однородных волновых уравнений в области Q1>T T > 1/тах{Аг} имеет вид (2.12).

г

Выполним преобразование w = S-1 u, приводящее систему (1.1) к виду (1.3). Начальные условия примут вид (2.4) (финальные условия вид (2.5)), граничные условия первого рода — вид (2.6).

Теорема 3. Если функции qФk е C2+j-k [0,1], qФk е C1+j-k [0,1], функции qФk, qФk — продолжения функций , p на отрезки [q1, (q + 1)1], [—q1, — (q — 1)1], q = [TA/1], /pk, Pk е C1+j-k [—T, T], ([0,2T]) тогда решение второй краевой задачи с начальными (финальными) условиями для системы (1.3) в области Q1>T при T > 1/А представимо:

г1

иЛхЛ) =

к=1

где — решение второй краевой задачи с начальными (финальными) условиями для соответствующего однородного уравнения системы (1.3) при Т > 1/Л, определяемое формулой (2.18) и (2.12) соответственно.

Выполняя замену и = Б • получим решение второй краевой задачи с начальными (финальными) условиями для исходной системы (1.1).

m

t+£ + rní

Библиографический список

1. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

2. Шашков А. Г., Бубнов А. Г., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход. М.: Едиториал УРСС, 2004. 296 с.

3. Глэдвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 608 с.

4. Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС, 1999. 180 с.

5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

6. Буллен К. Е. Введение в теоретическую сейсмологию. М.: Мир, 1966. 460 с.

7. Романовский Р. К., Жукова О. Г. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теп-лопереноса в одномерном твердом материале //Докл. АН ВШ РФ. 2006. № 1(6). С. 69-77.

8. Горошко О. А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наук. думка, 1971.

9. Горошко О. А., Чиж А. А. К вопросу о продольно-крутильных колебаниях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной длины с концевым грузом, движущимся по жестким направляющим. Киев: Техника, 1964. С. 56-64.

10. Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопроводности в одномерном материале. Гиперболическая модель // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 5. С. 650-654.

11. Жукова О. Г., Романовский Р. К. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Сибирский журн. индустриальной математики. 2007. Т. 10, № 4. С. 32-40.

12. Терлецкий В. А. К оптимизации гиперболических систем // Методы оптимизации и их приложения: тр. XII Байкальской междунар. конф. Иркутск, 2001. Т. 2. С. 167-171.

13. Volterra V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes // Acta Math. 1894. № 18. P. 161-232.

14. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Физматлит, 1994. 544 с.

15. Burgatti P. Sull' estensione del metodo d'integrazione di Riemann all' equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti // Rend. reale accad. lincei. Ser 5a 1906. Vol. 15, № 2. P. 602-609.

16. Rellich F. Verallgemeinerung der Riemannschen Integrtions-methode auf Differentialgleichungen n-ter

Ordung in zwei Veränderlichen // Math. Ann. 1930. № 103. P. 249-278.

17. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. 1895. Vol. 4, 1 sem. P. 133-142.

18. Bateman H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation // Proc. USA Acad. 1933. Vol. 19. P. 852-854.

19. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. мат. о-во, 2001. 226 c.

20. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du preimier ordre a daux variables independents a characteristiques reeles et distinotes // Arkiv for Math., Astr. och Fysik. 1906. Bd. 5, № 1.

21. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du preimier ordre a characteristiques reeles et distinctes // Arkiv for Math., Astr. och Fysik. 1909. Bd.6, № 2. P. 1-10.

22. Бурмистров Б.Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1971. Вып. 8. С. 41-54.

23. Бицадзе А. В. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических систем второго порядка // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, № 1. С. 31-34.

24. Андреев А. А., Волкодавов В. Ф., Шевченко Г.Н. О функции Римана // Дифференциальные уравнения: тр. пединститутов РСФСР. 1974. Вып. 4. С. 25-31.

25. Андреев А. А. О построении функции Римана // Дифференциальные уравнения: тр. пединститутов РСФСР. 1975. Вып. 6. С. 3-9.

26. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения: тр. пединститутов РСФСР. 1980. Вып. 16.

27. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954.

28. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 712 с.

29. Ames W.F. Nonlinear Partial differential equations in engineering. N.Y.; L.: Academic Press, 1965.

30. Лексина С. В. Задача граничного управления в условиях второй краевой задачи для матричного волнового уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2009. № 4(70). С. 20-29.