CC BY
59
А.Л. Леонтьев, Н.В. Драгныш
МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПАКЕТА MATHCAD ПРИ РАССМОТРЕНИИ
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
Аннотация. Статья посвящена важным аспектам внедрения пакета MathCAD в процесс обучения бакалавров педагогического образования, при изучении темы «Уравнение колебания», входящей в курс «Уравнения математической физики». Описываются правила работы в среде моделирования MathCAD и рассматриваются различные варианты применения данной технологии при проведении лекционных и практических занятий.
Ключевые слова: Уравнения математической физики, уравнение колебания, визуализация, MathCAD, графики функций.
A.L. Leontyev, N.V. Dragnysh
METHOD OF MATHCAD PACKAGE USAGE FOR CONSIDERING THE EQUATION
OF OSCILLATIONS
Abstract. The article is devoted to the important aspects of the implementation of MathCAD package in the process of teaching bachelors of pedagogical education, in the study of the theme "equation of oscillation", included in the course "Equations of mathematical physics". The rules of work in the environment of modeling MathCAD are described and various options of application of this technology at carrying out lecture and practical classes are considered.
Key words: Equations of mathematical physics, the equation of oscillations, visualization, MathCAD, function graphs.
Уравнения математической физики занимают важное место в подготовке учителей математики, информатики, физики. Дисциплина вызывает серьезные затруднения у студентов. Это связанно в первую очередь с сложностью самой дисциплины и применяемого математического аппарата. Кроме того, при достаточно простой физической постановке задачи, ответ получается в виде громоздких формул, причем решение зачастую, не аналитическое, а приближенное. Студент обычно не способен интерпретировать результат, представить, как связан ответ с исходной физической задачей. Осваивается только навык использования математических методов, теряется практическая значимость, как самой задачи, так и итогового решения. Конечно педагог может на доске попытаться графически представить наглядные образы, но, во-первых, это занимает много времени, а во-вторых, сложно многомерные задачи представить графически на двумерной доске еще и в какие-то временные срезы. Возникает потребность в использовании технических, компьютерных средств для улучшения наглядности представления и интерпретации результатов решения задач математической физики.
Математическая физика - теория математических моделей физических явлений [1]. Данное определение говорит нам о том, что одним из важнейших понятий данной теории является модель. При этом существует ряд задач, которые невозможно рассчитать аналитически. В таких случаях о построении модели речь не идет, но даже при сравнительно простом аналитическом решении, задача может быть крайне трудно пред-ставима графически.
Таким образом, для максимально эффективного использования учебного времени и повышения доступности знаний, за счет наглядности необходимо иметь возможность наглядного изложения информации по курсу «Уравнения математической физики», и в особенности темы «Уравнение колебаний», так как она является основополагающей при изучении курса в целом. А также студенту легко представить, например, колебания струны. Графические образы ему понятны и наглядны.
В качестве инструмента визуализации может использоваться большое количество программных пакетов. Но математические пакеты помимо графических средств, позволяют, собственно и решать сами исходные задачи, с помощью численных методов. Очевидными преимуществами [2,6] обладает пакет Mathcad. Данный пакет используется для расчетов в различных областях, в том числе при математическом моделировании. Mathcad - универсальный программный пакет, позволяющий реализовывать математические задачи любой сложности. Для решения задач и уравнений в Mathcad необходима определенная подготовка, которая присутствует у студентов педагогического направления. Решение задач в Mathcad приближенно к аналитической записи, при этом довольно развитые средства визуализации - инструменты построения графиков и видело. Mathcad обладает широкими возможностями, и включая сотни операторов и функций, используемых для решения сложных задач в области математической физики как в численном, так и в символьном видах [2].
Пакет Mathcad является оптимизированным полноценным визуализатором, который можно использовать для описания и создания методов и алгоритмов решения задач математической физики. Mathcad может быть применен как в процессе обучения студентов педагогом на занятиях, так и в качестве расчётного комплекса, в процессе самостоятельной работы студентов над индивидуальной работой.
В справочной системе Mathcad встроены примеры решения некоторых задач математической физики, с примерами работающих алгоритмов, которые могут быть использованы студентами.
Встроенные в пакет блоки вычислителей могут обеспечить потребность всего математического аппарата, необходимого для решения классических задач уравнений математической физики: обширный набор встроенных математических выражений и функций, рядов, сумм, произведений, интегралов, производных, работать с комплексными данными, реализовывать решения линейных и нелинейных выражений, а также дифференциальных уравнений и систем, в том числе с частными производными, проводить минимизирование и максимизирование функций, работа с векторами и матрицами и многое другое.
Кроме Mathcad есть и другие средства автоматизации математических расчетов, такие как Maple, Mathematica и MATLAB. Но в силу многих причин, именно Mathcad чаще используют в педагогическом процессе в ВУЗах.
При рассмотрении особенностей пакета Mathcad можно отметить графический режим ввода выражений. Ввод формул может быть осуществлен с клавиатуры и с помощью кнопок на специальных панелях инструментов, расположенных на вкладках. Формулы и параметры изменяются сразу, что позволяет наглядно отслеживать изменения и. соответственно, организовать интерактивные визуальные модели.
Заметим, что Mathcad является доступным программным обеспечением в сравнении с аналогами. Установка программы не требует лицензионных ключей и обновляется автоматически. Единственным платным функционалом программы является покупка специализированных библиотек и расширений, однако стоит отметить, что необходимость в них возникает крайне редко и в очень узких областях знаний.
Важно помнить, что основная область применения Mathcad - это решение задач естественнонаучного характера и реализация учебных документов в интерактивном формате, для этих целей возможности визуализации организованны на высоком уровне [3 - 5].
Наглядным примером необходимости применения пакетов математического моделирования является задача о волновом уравнении на прямоугольнике. Плоская однородная мембрана колеблется по следующему закону:
и„=а i^+Uyy) ■ (!)
(2)
Для решения данного уравнения необходимо задать начальные условия:
\и(х,у, 0) = (р(х,у) {и,{х,у,0) = ц/{х,уУ и граничные условия: и(0, у. /) = (). и(Ъх,у,{) = 0 , и(х, 0./) = 0 . и(х,Ь2,= 0 . Данная задача решается методом разделения переменных:
у(х,у)=Х(х)Г(у), (3)
где X" +уХ = 0,Х(0) = О^ф^ = 0,У"+^иУ = 0, У(0) = 0,У(Ь2) = 0.
Последние уравнения имеют следующие решения:
(
. пл
К J bi
тл v ■ тл
— —у. (4)
V Ь2 J Ь2
Собственным значениям Япт= nnjbx 2+ тпл/Ъ2 соответствуют собственные функции
, , | 4 . пл . тл
ЦЬА К К
Уравнение (5) образует ортонормированную систему собственных функций прямоугольной мембраны. Как известно, любая непрерывная функция, дифференцируемая дважды Р(х, у), которая удовлетворяет граничному условию Р(0,у) - / (Ъ,.у) - /<'(х.0) - /<'(х. Ь2) = 0, разлагаема в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по ,т (х, у).
Решение данной задачи записывается рядом по собственным функциям уп т (х, у):
и(х,у, о = Х£<4.,„ + , (6)
где
А"т = J/ГГ ^sin Т~х'sin Т~ ydxdy' ^
у 1 2 0 0 1 2
Vn =
д,,„ =
1
а-Я
"4,4,
О О
| jV(x, v) sin ^-х ■ sin ydxdy.
тп
К
(8)
В частном случае уравнение колебаний запишем как: и„ = »„ .при 0<x<2,0<v<3,h ср(х,у) - xv(2-x)(3- v)/64 . ш(х.у) = 0, / > 0 . Рассмотрим реализацию данного случая в MathCAD (рис. 1-2).
Рис. 1.Листинг визуализации волнового уравнения на прямоугольнике
Рис. 2.Листинг визуализации волнового уравнения на прямоугольнике Изменение положения мембраны для моментов времени 1=0, 0.5, ..., 2.5 представлена на рис.3.
Zj *=iS ТА Z5
Рис. З.Визуализация волнового уравнения на прямоугольнике в моменты времени t = 0,0.5.....5.5 Также, как и для уравнения на круге реализация динамического представления колебаний мембраны происходит по средствам встроенной функцией FRAME. Применение функции показано на рисунке 4.
Рис. 4.Листинг создания анимации волнового уравнения на прямоугольнике в MathCAD
Естественно, помимо визуализации решенной самостоятельно задачи в Mathcad можно ввести и численно решить исходную задачу (инструментами Mathcad). А затем приступить к визуализации. Кроме того, численное решение может быть полезно для сравнения и проверки результатов решения. Например, рассмотрим одномерное волновое уравнение (колебания струны):
Ut
-
о, и,
(6)
Решение получается с помощью блока Given-Find. При заданном размере струны, времени колебаний, начальных и граничных условиях задача описывается при помощи команд, представленных в листинге на рис. 5.
Рис. 5. Листинг решения уравнения (9)
Изменение положения струны в моменты времени t — 0...5 представлены на рисунке 6. Для создания анимации движения струны используем FRAME (рис. 7).
Рис. 6. Изменение положения струны
О 2 4 6 3 10
s
Рис. 7. Листинг применения функции FRAME, для создания анимации
Рассмотренные примеры являются крайне сложными с точки зрения не только визуализации, но и понимая задачи в целом. Проведение анализа данных задач при различных краевых значениях может потребовать огромного количества времени, если проводить все расчеты аналитически, и даже после проведения расчетов представить данные в наглядном виде не представляется возможным.
Если обратиться к более простому случаю, например, уравнению колебания струны, то окажется что и в этом случае крайне сложно дать наглядное представление множества всевозможных краевых значений и фиксированных узлов струны [6 -7]. При этом колебания струны является базовой задачей, крайне важной для понимания курса «Уравнения математической физики» в целом.
В статье показан и один из принципов обучения и подачи информации - наглядность. Рассмотрена возможности и методика визуализации задач о колебаниях струны в Mathcad. Построены графические интерпретации задач, основанных на уравнениях колебания мембраны и струны. Предложены и реализованы алгоритмы визуализации этих задач в пакете Mathcad. Процесс покадровой визуализации может быть применен в процессе обучения студентов в рамках курса «Уравнения математической физики».
Исследование волновых уравнений в пакете MathCAD ускоряет процесс обучения, повышая скорость вычислений. Также увеличивается заинтересованность в процессе обучения, так как визуализация преподаваемого материала, делает его значительно понятнее и доступнее. Обучаясь на педагогических направлениях, студенты могут освоить не только математические компетенции, но и дополнительно, связанные с обработкой информации, получить навыки анализа и поиска оптимальных решений, что больше присуще техническим специальностям. Таким образом, применение Mathcad, не усложняя процесс обучения, расширяет жизненный опыт студентов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Математическая физика. -URL:https://m.wikipedia.org/wiki/Математическая_физика (дата обращения: 16.12.2017).
2. Очков, В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В.Ф. Очков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 368 с.
3. Евсюкова, Е.А. Решение задач нечеткой логики в среде Mathcad // ОТО. 2011. №2. URL: https://cyberieninka.m/article/n/reshenie-zadach-nechetkoy-logiki-v-srede-mathcad (дата обращения: 29.04.2019).
4. Фаерман В.А., Яковлева Е.М. Получение импульсной передаточной функции с помощью Mathcad // Вестник науки Сибири. 2011. N°1 (1). URL: https://cyberleninka.rU/article/n/poluchenie-impulsnoy-peredatochnoy-funktsii-s-pomoschyu-mathcad (дата обращения: 29.04.2019).
5. Федченко А. А., Федченко В. Ю., Маскайкина С. Е., Бурьянов И. В. Использование программных комплексов при изучении студентами специальных дисциплин // Вестник МГУ. 2015. №»1. URL: https://cyberleninka.m/artide/n/ispolzovanie-programmnyh-kompleksov-pri-izuchenii-studentami-spetsialnyh-distsiplin (дата обращения: 29.04.2019).
6. Леонтьев А.Л., Кохановская А.В., Драгныш Н.В. Визуализация решений уравнений математической физики гиперболического типа с помощью MathCAD // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2018. - №»1. - С. 212 - 222.
7. Леонтьев А.Л. MathCAD как средство визуализации уравнений математической физики// Ежегодная Международная научно-техническая конференция «ГГ-Технологии: развитие и приложения XV», - 2018. - С. 147-160.
Е.П. Сальная, А.В. Забеглов
ПОСТРОЕНИЕ СТРИКЦИОННОЙ ЛИНИИ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА
ОБЩЕГО ВИДА В MATHCAD
Аннотация. При изложении курса линейчатых и развертывающихся поверхностей одним из объектов исследования являются стрикционные точки и их множество, называемое стрикционной линией. В статье изучается стрикционная линия однополостного гиперболоида общего типа.
Ключевые слова :Однополостный гиперболоид, стрикционная линия, Mathcad
