Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

ART 16250 УДК 378.147:514.122.2

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва [email protected]

Акимова Ирина Яковлевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва irina [email protected]

Чигирёва Ольга Юрьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва m kfn 12@yandex. ru

Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD

Аннотация. В работе рассмотрена методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. На примерах проиллюстрированы этапы практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Показана перспектива использования пакета прикладных программ в учебном процессе, а именно среды MathCAD. С помощью этого инструмента в примерах продемонстрирована процедура нахождения собственных значений и собственных векторов. Их нахождение, как правило, трудоемко, поэтому для быстроты подсчета целесообразно использование программы MathCAD. Статья будет полезна студентам и преподавателям при проведении семинарских занятий по дисциплине «Линейная алгебра». Ключевые слова: кривые и поверхности второго порядка, квадратичная форма, канонический вид, собственные значения, собственные векторы, среда MathCAD. Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Поставим следующую задачу. Найти такую декартовую систему координат, в которой уравнение кривой или поверхности второго порядка примет настолько простой вид, что геометрическая характеристика линии, определяемой этим уравнением, не будет представлять затруднений. Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой может быть осуществлен некоторым параллельным переносом системы координат и последующего поворота, то для решения поставленной задачи необходимо знать, как преобразуются коэффициенты уравнения при параллельном переносе и повороте. Упрощение уравнения начинают с преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Как показывает теория [1, 2], эта задача всегда разрешима.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Одна и та же

ниегп

15Б1\12зо4-12ох Ахметова Ф. Х, Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

научно-методический электронный журнал

квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств - это закон инерции квадратичных форм: число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду [3, 4].

1. Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка в Кп называется множество точек х е Я", координаты х = (хх, х2,..., хи )т которых в данной прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению

" *.....^ + ^

г=1 1<г< ]<п к=1

Е + 2 £ а^х1х] + 2£\хк + с = 0, (1)

где а, Ък, с - действительные коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов а, 1 < I < ] < п отличен от нуля.

Поверхность второго порядка в Кп при п = 3 представляет собой обычную поверхность в пространстве, а при п = 2 - кривую на плоскости.

Уравнение (1) удобно записать в матричной форме:

хтАх + 2Ътх + с = 0 , (2)

где А = (а^)- квадратная симметрическая матрица порядкап , аЪ = (Ъ,Ъ2,...,Ъи)т.

Слагаемое хтАх в левой части уравнения (2) представляет собой квадратичную форму от координат точки. Ее называют квадратичной формой поверхности (1) второго порядка. Второе слагаемое 2Ътх - линейная часть относительно координат точки, а третье слагаемое - число с - свободный член.

2. Преобразование уравнения второго порядка

Один из подходов к анализу поверхности второго порядка в Кп, заданной уравнением (2), состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимает наиболее простой вид. Упрощение уравнения (2) начинают с преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Квадратичная форма называется канонической, если она не имеет попарных произведений переменных.

Рассмотрим квадратичную форму хтАх поверхности второго порядка. Матрица А квадратичной формы является симметрической. Для любой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица и такого же порядка, что

итАи = Л , (3)

где Л = ё1а§ (Х1,Х2,...,Хп)- диагональная матрица, диагональными элементами которой

являются собственные значения матрицы А , повторяющиеся согласно их кратности. Преобразование (3) называют ортогональным преобразованием матрицы А. Как найти ортогональную матрицу и ? Необходимо:

1) Найти собственные значения матрицы А. Для этого составляем ее характеристическое уравнение ёй (А - ХЕ) = 0 , корнями которого являются собственные значения.

ниегп

issn 2304-120X Ахметова Ф. Х, Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

научно-методическии электронный журнал

2) Для каждого собственного значения найти набор линейно независимых собственных векторов, соответствующих этому собственному значению. Число таких векторов равно кратности собственного значения. Они являются фундаментальными решениями однородной системы линейных алгебраических уравнений

(А - ХЕ) х = 0.

3) Преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама - Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет базисом евклидова пространства.

4) Выписать матрицу и, столбцами которой являются координаты ортонорми-рованных собственных векторов построенной системы.

Таким образом, в результате ортогонального преобразования матрицы А квадратичная форма примет канонический вид: утЛу, где у = (у, у2,..., у„ )т - координаты

точки в ортонормированном базисе из собственных векторов. Старые и новые координаты связаны соотношением х = иу.

Уравнение (1) поверхности второго порядка преобразуется к следующему виду:

п п

X \Уг + 2Е йгУг + С = 0 , 1=1 1=1

где ё = (ё,ё2,...,ёи)т = иТЬ - коэффициенты при новых переменных в линейных слагаемых.

Для каждого значения индекса ,, , = 1, п возможен один из четырех случаев:

1) X, * 0, 4 * 0;

2) X, * 0, = 0;

3) х, = 0, 4 * 0;

4) х, = 0, а, = 0.

Если реализуется случай 4), то переменная у в уравнении поверхности второго порядка отсутствует. При п = 3 такая поверхность будет цилиндрической.

В случае 1) по переменной у, нужно выделить полный квадрат. После такого преобразования координат случай 1) сводится к случаю 2). Выполнив все указанные преобразования и, если необходимо, изменив порядок переменных (это равносильно перестановке векторов в базисе), получим уравнение второго порядка в новых координатах г :

X хггг2 + 2 X ^ + И = 0, (4)

2=1 !=Т+1

где г - число переменных, для которых реализуется вариант 2). Для переменных с индексами от г +1 до я реализуется случай 3), а для переменных с индексами от 5 +1 до п - вариант 4).

3. Классификация кривых второго порядка

Кривая второго порядка на плоскости Оху описывается уравнением

2 2 а х + 2а12ху + а22у + 2Ьхх + 2Ь2у + с = 0 ,

в котором по крайней мере один из коэффициентовап,а22,а33 отличен от нуля.

ниеггг

issn 2304-120X Ахметова Ф. Х, Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-

научно-методический ceptru/20W16250htm. электронный журнал

Так как n = 2, то при r = 2 уравнение (4) задает два варианта: aX2 + ßY2 = 1 и аХ2 + ßY2 = 0, (а ф 0, ß ф 0) , где X, Y - канонические переменные кривой второго порядка. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов a,ß и перестановки переменных получаем следующие канонические виды кривых: X2 Y2

2 и 2 a b

X2 Y2

— = 1- эллипс,

— = -1 - мнимыи эллипс,

2 l2

a b

X 2 y 2

—---- = 1 - гипербола,

a b

—2 y 2

—- + = 0 - точка,

2 /2 a b

—2 y 2

—---- = 0 - пара пересекающихся прямых.

a b

При r = 1 квадратичная форма имеет одно слагаемое. В этом случае возможны варианты:

X = 0 - прямая,

X2 = a2, a ф 0- пара параллельных прямых, X2 = -a2, a ф 0- пара мнимых прямых,

X2 = 2pY, p ф 0 - парабола.

4. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве

Поверхность второго порядка в R3 описывается уравнением

2 2 2

anx + a22y + a33z + 2auxy + 2a13xz + 2a23yz + 2bxx + 2b2y + 2b3z + c = 0 , в котором по крайней мере один из коэффициентов an,a22,a33 отличен от нуля. Если r = 3, то возможны два варианта уравнения (4):

aX2 + PY2 + yZ2 = 1 и aX2 + PY2 + yZ2 = 0, (a ф 0, P ф 0, y ф 0) , где X, Y, Z - канонические переменные поверхности второго порядка. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов a,p,y и перестановки переменных получаем следующие канонические виды поверхностей:

X2 Y2 Z2 , —Г + —Т + —Г = 1 - эллипсоид, abc

X2 Y2 Z2

+ — + — = -1 - мнимый эллипсоид,

a2 b2 c2 X2 Y2 Z2

—r + —:---=- = 1 - однополостный гиперболоид,

2 .2 2 abc

X2 Y2 Z2

—T- + —г---^- = -1 - двуполостный гиперболоид,

2 l2 2

abc

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

X2 Y2 Z2 л

— + — - — = 0 - га^

abc

X2 Y2 Z2

— + "72 + — = 0 - тОчка. a b c

Если ранг квадратичной формы равен двум ( r = 2), то получаем два варианта уравнения (4):

aX2 + PY2 = у и аХ2 + PY2 =Z, (а ф 0, в ф 0) .

В первом варианте переменная Z отсутствует, и мы получаем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ и направляющей в плоскости XOY, которая является кривой второго порядка. Направляющая определяет тип поверхности:

X 2 y 2

х- + — = 1 - эллиптический цилиндр,

a b

X2 Y2

-^- + — = -1 - мнимый цилиндр,

a b

X 2 y 2

—----- = 1 - гиперболический цилиндр,

a b

X 2 y 2

—— + — = 0 - прямая,

a b

X 2 y 2

—----- = 0 - пара пересекающихся плоскостей.

a b

X2 y!

2 + ~û2 a b

x2 Y!

2 TT a b

Во втором варианте получаем параболоиды: = Z - эллиптический параболоид,

= Z - гиперболический цилиндр.

Если ранг квадратичной формы равен единице (г = 1), то возможны следующие два варианта уравнения (4):

аХ2 =у и аХ2 = У , ( а * 0) .

В этих случаях также отсутствует переменная 2 . Следовательно, это цилиндрические поверхности:

X = 0 - плоскость,

X2 = а2, а * 0 - пара параллельных плоскостей, X2 = -а2, а * 0 - пара мнимых плоскостей, X2 = 2рУ, р * 0 - параболический цилиндр.

Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

5. Примеры решения задач Пример 1. Приведем к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

о о ( 16 -12 ^

16х - 24ху + 9у + 19х - 8у + 4 = 0. Квадратичная форма имеет матрицу А =

v-12 9 у

issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-

научно-методический ceptru/20W16250htm. электронный журнал

ниеггг

Характеристическое уравнение имеет вид

= 0 или X(X - 25) = 0, откуда

16 - X -12 -12 9 - А

находим собственные значения Хх = 0, Х2 = 25. Этим собственным значениям соответствуют два линейно независимых собственных вектора:

1

е = 5

з 1

V 4 у

1 Г-4 1

, е2 = 5

V 3 у

Матрица ортогонального преобразования примет вид

U = ■

3 -4 1

,4 3

V4 3 У

причем ёе! U = 1, поэтому данное преобразование задает поворот системы координат. Старые и новые координаты связаны соотношением

( x 1 1 (3 -41 (

V У у = 5 4 3 V4 3 у 1 у)

Тогда уравнение кривой в новых координатах примет вид

25 у2 + 5%- 20 4 = 0. Отметим, что это уравнение можно легко получить, используя матричную форму записи. Действительно, в результате ортогонального преобразования матрица А

квадратичной формы примет диагональный вид Л = U AU =

(X 0 1

V 0 X2 у

, поэтому квад-

ратичная форма 16.x2 - 24ху + 9y2 в новых переменных запишется в виде

XХ% + X2y% = 25y%. А линейные слагаемые 19x - 8y = (19 -8)

V У У

преобразуются в ре-

зультате следующей замены переменных:

v У у

= U

( %

. Таким образом, получаем

19 x - 8 y = (19 -8) 1

поворота не изменится.

(3 -41 (%

V4 3 у V У%

= 5 F- 20 У%. Свободный член в процессе преобразования

Далее выделим полный квадрат по переменной У%: 5 - I + Х%= 0 и введем обо-

V 5 у

значения: X = %оУ = (такой замене переменных соответствует параллельный перенос системы координат). В результате получим каноническое уравнение кривой 572 + X = 0 или У2 = -1X, которое задает параболу.

Для построения полученной кривой в исходной системе координат Оху выполним следующую последовательность действий. В системе координат Оху строим век-

торы е =

31

V 4 у

1

и е =-2 5

(-41

V 3 у

с началом в точке O каждый. Эти векторы задают направ-

ления координатных осей новой системы координат

, в которой отмечаем точку

2

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

( 2 ^

О 0,- I, являющуюся началом канонической системы координат О\ХУ. Затем прово-

ч 5)

дим оси ОХ и 01У параллельно осям 0%и О% и строим параболу в канонической системе координат ОХ, которая показана на рисунке.

Y нь. У1^ у' jf X

1

/ X

У

Парабола в канонической системе координат 01ХУ

Если детально рассмотреть решение задачи, то заметим, что опущена методика нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Авторы не ставили перед собой такую задачу. Цель была показать методику приведения квадратичной формы к каноническому виду. Сама по себе задача нахождения собственных значений и собственных векторов описана в [5, 6] и представляет собой отдельную самостоятельную задачу. В силу трудоемкости вычислений и для быстроты подсчета авторы предлагают использовать пакет прикладных программ в учебном процессе, а именно среду МаШСДй.

МаШСДй - это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты, включающие как символьные вычисления (т. е. преобразования различных формул и получение ответа в виде формулы), так и численные, ориентированные на использование приближенных методов [7-10]. В отличие от других систем компьютерной алгебры, МаШСДй - это не язык программирования, а средство работы с документами, позволяющее проводить вычисления непосредственно в документе. Поэтому взаимодействие со средой МаШСДй является простым и наглядным, доступным для людей, далеких от программирования.

Безусловно, студенты вначале должны обучиться технике нахождения собственных значений и собственных векторов без привлечения программных средств. Однако пакет МаШСДй также можно использовать как средство для контроля и самоконтроля при решении задач такого рода. Решив задачу аналитическим путем, правильность ответа можно проверить с помощью МаШСДй. Таким образом, МаШСДй - прекрасный инструмент для помощи студентам в их самостоятельной работе.

Проиллюстрируем последовательность выполнения команд и шаги вычислений в среде МаШСДР. Результаты представим в виде табл. 1.

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

Таблица 1

Последовательность выполнения команд в среде MathCAD

Результаты вычислений в среде MathCAD

Шаг 1. Задаем матрицу А квадратичной формы и вектор Ь коэффициентов линейной части:

Г19 ^

A: =

( 16 -12 ^ -12 9

b: =

2

-4

J

Шаг 2. Вычисляем собственные значения матрицы А : X : = eigenvals (А)

Комментарий. Данная функция находит собственные значения матрицы, но не упорядочивает их по возрастанию!_

X =

( 25 ^

V 0 J

Шаг 3. Находим собственные векторы матрицы А :

1) собственный вектор, отвечающий наименьшему собственному

значению X = 0 V: = е1§епуее (А, Х1)

2) собственный вектор, отвечающий наибольшему собственному значению Хп = 25

w

:= eigenvec (A, X0)

Комментарий. По умолчанию нумерация индексов элементов вектора (матрицы) начинается с нулевого значения

v =

w =

(3 ^

5

4

5 J

( 4 ^

5

3

5 J

Шаг 4. Составляем матрицу U ортогонального преобразования из найденных собственных векторов матрицы A : U: = augment (v, w)

Вычисляем определитель матрицы U :

detU: = \U\

U =

4 ^

5

(3

5

4 3 V 5 5 J

det U = 1

Шаг 5. Вычисляем матрицу квадратичной формы и вектора коэффициентов линейной части в новой системе координат:

Л: = diag (sort (X))

d := UTb

Л =

(0 0 ^

V 0 25 J

( 5 ^

d =

2 -10

J

Описанный выше процесс упрощения уравнения кривой второго порядка реализуется и для поверхности второго порядка в пространстве. Рассмотрим этот процесс на следующем примере.

Пример 2. Приведем к каноническому виду уравнение поверхности второго по-

рядка 6 х2 + 5 у2 + 7 z2 - 4ху - 4xz - 24х + 18у - 6z - 72 = 0

Г 6 -2 -2 >

рицу A= -2 5 0 . Характеристическое

V-2 0 7 J

уравнение примет

вид

ISSN 2304-120X

ниегтг

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

6 - X -2 -2 -2 - 2

5 - X 0 0 7 - X

= 0. Находим собственные значения X = 3, X2 = 6, X3 = 9 и соответ-

ствующие им собственные векторы:

Г 2 ^

1

1 3

V1У

1

2 3

Г 1 ^ -2

V 2 У

1

3 3

Г 2 ^ -1

V-2 У

Составим матрицу ортогонального преобразования:

U = 1

3

г2 1 2 ^

2 -2 -1

1 2 -2

V 12 2 у

Старые и новые координаты связаны соотношением

Г 2 1 2 Y %

1

У

V z у

3

2 -2 -1

12 -2

V12 2 У

V %У

В новых координатах уравнение поверхности примет вид

3% + 6% + 9%0 - 6%- 24%- 18%- 72 = 0 . Выделим полный квадрат по каждой из переменных %,

ч2 /„, „ч2 /„, ,ч2

У и %:

(1)2 (2 Г (1)"

--—+ --—+ --— = 1. Обозначив X = Y = у- 2, Z = %-1, получим канониче-

36

18

12

X2 У2 72 ,

ское уравнение эллипсоида: — + — + — = 1.

36 18 12

Вновь проиллюстрируем использование среды МаШСДй для быстрого подсчета собственных значений матрицы и собственных векторов. Результаты вычислений представим в виде табл. 2.

Таблица 2

Последовательность выполнения команд в среде MathCAD

Результаты вычислений в среде MathCAD

Шаг 1. Задаем матрицу А квадратичной формы и вектор Ь коэффициентов линейной части:

( 6 - 2 -2 > Г-12 ^

A: = -2 5 0 b: = 9

I-2 0 7 У I-3 У

Шаг 2. Вычисляем собственные значения матрицы A : X : = eigenvals (A)

X =

А3 ^ 9

V 6 У

Шаг 3. Находим все собственные векторы матрицы A :

Е := eigenvecs ( A)

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

Комментарий. В матрице E по столбцам записаны собственные векторы, отвечающие собственным значениям X0 =3, Хх=9 и X2 = 6 соответственно E = ' 2 2 1 1 3 3 3 2 1 2 3 3 3 1 2 2 v 3 3 3 j

Шаг 4. Составляем матрицу U ортогонального преобразования из найденных собственных векторов матрицы A . Для этого располагаем собственные векторы так, чтобы они соответствовали упорядоченным по возрастанию собственным значениям: U: = augment ( E0, E2, E ^ ) Комментарий. представляет собой k -й столбец матрицы E U = ( 2 1 2 > 3 3 3 2 2 1 3 3 3 1 2 2 v 3 3 3 j

Шаг 5. Вычисляем матрицу квадратичной формы и вектора коэффициентов линейной части в новой системе координат: Л: = diag (sort (X)) d: = UTb ( 3 Л= 0 10 d = 0 6 0 (-3 > -12 v-9 j о 1 0 9 j

Предложенный алгоритм приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду демонстрирует, что после ортогональных преобразований геометрические характеристики линий, определяемых этими уравнениями, не представляют затруднений и легко классифицируются. Проиллюстрированы некоторые возможности среды MathCAD, позволяющие ускорить процесс вычислений. Заметим, что активное использование пакетов прикладных программ в обучении повышает эффективность учебного процесса и помогает в формировании необходимых профессиональных компетенций.

Ссылки на источники

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1984. - 304 с.

2. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. -336 с.

3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Указ. соч.

4. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Указ. соч.

5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Указ. соч.

6. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Указ. соч.

7. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad: математический практикум для инженеров и экономистов: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 656 с.

8. Бидасюк Ю. М. Mathsoft MathCAD 11: Самоучитель. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. - 224 с.

9. Ахметова Ф. Х., Буякевич А. Е. Методологические аспекты применения среды Mathcad в учебном процессе. Графики функций // Инженерный вестник (МГТУ им. Н. Э. Баумана). Электронный журнал. - 2015. - № 8. - URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/789549.html.

10. Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8. - С. 86-91. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16168.htm.

Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю. Методика приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с применением среды MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16250.htm.

Faniya Akhmetova,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected] Irina Akimova,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow irina [email protected] Olga Chigireva,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]

Bringing equations of curves and surfaces of the second order to the canonical form using MathCAD environment

Abstract. The paper considers the method of bringing the equations of curves and surfaces of the second order to the canonical form. The stages of practical calculating the orthogonal transformation resulting in a quadratic form to canonical form are illustrated on the examples. The prospects of using the application package in the educational process (namely, MathCAD environment) are shown. The procedure of finding the eigenvalues and eigenvectors with this tool is demonstrated on the examples. Their finding is usually time-consuming, so for the speed of counting, it is advisable to use MathCAD program. The paper will be useful to students and lecturers during seminars on the subject "Linear Algebra".

Key words: curves and surfaces of the second order, quadratic form, canonical form, eigenvalues, eigenvectors, MathCAD environment. References

1. Il'in, V. A. & Poznjak, Je. G. (1984). Linejnaja algebra, Nauka, Moscow, 304 p. (in Russian).

2. Kanatnikov, A. N. & Krishhenko, A. P. (2002). Linejnaja algebra, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 336 p. (in Russian).

3. Il'in, V. A. & Poznjak, Je. G. (1984). Op. cit.

4. Kanatnikov, A. N. & Krishhenko, A. P. (2002). Op. cit.

5. Il'in, V. A. & Poznjak, Je. G. (1984). Op. cit.

6. Kanatnikov, A. N. & Krishhenko, A. P. (2002). Op. cit.

7. Plis, A. I. & Slivina, N. A. (2003). Mathcad: matematicheskij praktikum dlja inzhenerov i jekonomistov: ucheb. posobie, 2-e izd., pererab. i dop., Finansy i statistika, Moscow, 656 p. (in Russian).

8. Bidasjuk, Ju. M. (2004). Mathsoft MathCAD 11: Samouchitel', Izd. dom "Vil'jams", Moscow, 224 p. (in Russian)

9. Ahmetova, F. H. & Bujakevich, A. E. (2015). "Metodologicheskie aspekty primenenija sredy Mathcad v uchebnom processe. Grafiki funkcij", Inzhenernyj vestnik (MGTU im. N. Je. Baumana). Jelektronnyj zhur-nal, № 8. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/789549.html (in Russian).

10. Ahmetova, F. H. & Chigirjova, O. Ju. (2016). "Obuchenie studentov differencirovaniju v srede MathCAD", Nauchno-metodicheskij jelektronnyj zhurnal "Koncept", № 8, pp. 86-91. Available at: http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm (in Russian).

ISSN 2304-120X

ко ниегтг

научно-методический электронный журнал

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 16.11.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 17.11.16

Принята к публикации Accepted for publication 17.11.16 Опубликована Published 19.11.16

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Ахметова Ф. Х., Акимова И. Я., Чигирёва О. Ю., 2016

www.e-koncept.ru