CC BY
138
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
ART 16168 УДК 378.147:004.9
Ахметова Фания Харисовна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва [email protected]
Чигирёва Ольга Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)», г. Москва m kfn 12@yandex. ru
Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD
Аннотация. В работе рассмотрена методика символьного и численного дифференцирования в среде MathCAD, показана перспектива использования пакета прикладных программ в учебном процессе. Все действия, производимые при дифференцировании в MathCAD, проиллюстрированы на конкретных примерах. Безусловно, первокурсники вначале должны обучиться технике дифференцирования без привлечения программных средств. Однако пакет MathCAD также можно использовать как средство для контроля и самоконтроля при решении задач на дифференцирование. Решив ту или иную задачу аналитическим путем, правильность ответа можно проверить с помощью MathCAD. Таким образом, MathCAD - прекрасный инструмент для помощи студентам в их самостоятельной работе. Ключевые слова: среда MathCAD, дифференцирование символьное и численное. Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
MathCAD - это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты, включающие как символьные вычисления (т. е. преобразования различных формул и получение ответа в виде формулы), так и численные, ориентированные на использование приближенных методов.
В отличие от других систем компьютерной алгебры, MathCAD - это не язык программирования, а средство работы с документами, позволяющее проводить вычисления непосредственно в документе. Поэтому взаимодействие со средой MathCAD является простым и наглядным, доступным для людей, далеких от программирования. Записав в привычной форме математическое выражение, можно выполнить с ним самые разнообразные символьные или численные математические операции: найти значение, произвести алгебраические преобразования, решить уравнение, продифференцировать, проинтегрировать и так далее.
1. Простейшие вычисления и операции в MathCAD
Подробное описание возможностей MathCAD и способов работы в этой среде можно найти в специализированной литературе [1-4]. Мы не предполагаем, что читатель знаком с MathCAD, однако рассчитываем на то, что у него есть навыки работы в среде Windows и он знает, как работать с меню, панелями кнопок и т. п.
Прежде чем перейдем к задачам дифференцирования в MathCAD, рассмотрим простейшие приемы работы в этой среде.
ниепт
научно-методический электронный журнал
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
Ввести формулу можно в любом месте документа MathCAD. Текущее положение обозначено курсором в виде крестика. При вводе первого символа формулы курсор меняет вид, превращаясь в угловую рамку, охватывающую формулу. Имена переменных могут содержать несколько символов, при этом прописные и строчные буквы различаются. Арифметическим операциям сложения, вычитания, умножения и деления соответствуют клавиши < + >, < - >, < * >, < / >. Для возведения в степень используется клавиша < Л >. При этом показатель степени привычным образом размещается как верхний индекс.
Более сложные математические конструкции (корни, знаки сумм, интегралы, производные) вводятся с помощью шаблонов. Шаблонам соответствуют специальные кнопки, собранные в несколько кнопочных панелей. Эти панели управляются с помощью специальной математической палитры инструментов. Многие шаблоны можно вводить с клавиатуры специальными комбинациями клавиш. Например, квадратный корень можно ввести, нажав < \ >. При вводе шаблона в документ MathCAD появляются специальные маркеры (черные квадратики), указывающие места ввода частей формулы.
Чтобы проиллюстрировать, как вводятся арифметические выражения с клавиатуры, рассмотрим пример - вычислим выражение (1/2 + 7/8) • (45 - 34) / 11.
Алгоритм вычисления
Выберите место ввода формулы, щелкнув мышью в соответствующем месте рабочего документа - место ввода будет отмечено курсором в форме крестика. Введите с клавиатуры символы «1», «/», «2». Вы увидите, что после нажатия клавиши < / > в документе появится шаблон дроби, числитель которой уже заполнен символом «1 », а знаменатель содержит черный квадратик, вместо которого можно ввести информацию. Курсор в этот момент будет иметь вид угловой рамки, охватывающей черный квадратик. Не стоит пытаться стереть квадратик, просто введите символ «2», который появится в знаменателе дроби.
Поскольку курсор охватывает только цифру знаменателя (цифру 2), вводимые с клавиатуры символы будут добавляться в знаменатель, так что при нажатии клавиши < + > знак суммы появится в знаменателе, а не справа от дроби, как требуется. Нажмите клавишу пробела (< Space >), тогда курсор будет охватывать всю дробь, которая и будет рассматриваться как первый аргумент арифметической операции.
Введите «+» и второе слагаемое 7/8.
Далее следует знак умножения, но для того, чтобы умножение относилось к сумме двух дробей, предварительно дважды нажмите клавишу пробела. Тогда курсор будет охватывать все выражение.
Нажмите клавишу < * >. Заметьте, что сумма двух дробей автоматически заключается в скобки, справа появляется точка - знак операции умножения, а за ним маркер поля ввода (черный квадратик), в который следует вставить второй аргумент операции умножения.
Вторые скобки в выражении придется вставлять вручную, так как MathCAD не может однозначно определить, нужны они или нет. Введите символы «(4*5-3*4)». Заметьте, что курсор охватывает только второй сомножитель. При нажатии клавиши < / > в числитель дроби будет перемещен только второй сомножитель, а не все выражение.
Чтобы в числитель попало все выражение, нажмите клавишу пробела. Курсор будет охватывать все введенное выражение. Затем наберите символы «/11 ».
Требуемое выражение введено полностью. Однако MathCAD не будет выполнять каких-либо действий, пока не будет указано, что именно надо сделать. Две простейшие операции: символьное вычисление и численное вычисление. Нажмите комбинацию клавиш < Ctrl > + < . > или нажмите кнопку <^> в кнопочной панели Evaluation
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
(она открывается с помощью математической палитры). Затем щелкните мышью на свободном месте документа. Вслед за выражением появится стрелка, а за нею - символьное значение выражения 1.
Щелкните мышью на полученном результате и нажмите клавишу пробела, чтобы рамка охватила дробь. Нажмите клавишу < Backspace >. Исчезнет и результат, и стрелка - знак символьного вычисления. Курсор будет охватывать все выражение. Нажмите клавишу < = >. Появится численный (приближенный) результат, в данном случае также равный 1.
Данный пример показывает, как работает среда MathCAD: нужное выражение вводится в соответствующем месте документа, а затем вводится знак действия, которое надо выполнить с выражением. На рис. 1 показана последовательность действий при численном вычислении выражения.
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Шаг 5
Шаг 6 Шаг 7
Рис. 1. Ввод арифметических выражений в МаМСАй
2. Символьное и численное дифференцирование
Как и другие математические операции, дифференцирование в МаШСДй может проводиться как численно, так и символьно. Рассмотрим вначале символьное дифференцирование. Проиллюстрируем наши действия на конкретном примере.
| <<х
Пример 1. Вычислить Vх2 + 2х + 8 , результат вычисления проверить с помощью дифференцирования.
Решение. Вычислим неопределенный интеграл:
Проверим результат дифференцированием. Для этого щелкнем по свободному месту в документе и введем шаблон производной (кнопка < т* > в панели Calculus). Шаблон производной содержит два поля ввода: первое (в знаменателе) для ввода имени переменной, по которой выполняется дифференцирование, второе - для ввода дифференцируемой функции. Заполнив шаблон, вставив знак символьного вычисления (комбинация клавиш < Ctrl > + < . >), щелкнем в свободном месте документа. Готовое выражение необходимо выделить рамкой и ввести знак символьных вычислений щелчком по стрелке вправо в панели Symbolic. Далее надо щелкнуть по рабочему документу вне рамки. Для того чтобы упростить полученное выражение,
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
необходимо ввести ключевое слово "simplify" (щелчком по нему в панели Symbolic). Результат каждого шага показан на рис. 2.
d i
i*
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
Шаг 4
Рис. 2. Процесс символьного дифференцирования
Таким образом, символьное дифференцирование дало следующий результат:
— asinh dx
1
1 2
-•7 -(1 + x) 7
(7-x2 + 14-x + 5б)
Этот результат эквивалентен исходной функции, но внешне отличается от нее. Более точного результата можно добиться, если использовать оператор символьного вычисления с модификатором, который вводится комбинацией клавиш < Ctrl > + < Shift > + < . >. Слева от стрелки появится поле ввода, в которое вводится ключевое слово. Заполнив шаблон производной, введем символьный оператор с модификатором, в поле ввода наберем ключевое слово "simplify". Получим
— asinh dx
1
1 2
-• 7 -(1 + x) 7
simplify ^
(8 + 2 • x + x2)
Это совпадает с исходной функцией.
Перейдем к рассмотрению численного дифференцирования. Оператор производной МаШСДй предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке.
Пример 2. Найти производную ^х) = х3 в точке х = 2.
Решение. Рассмотрим этапы решения задачи.
1. Сначала определим точку, в которой необходимо найти производную.
2. Щёлкнем ниже этой записи, затем нажмем клавишу <?>. Появится оператор производной с двумя полями:
3. Щёлкнем на поле в знаменателе и наберем «х». Это имя переменной по которой проводится дифференцирование.
с!
dxj
4. Щёлкнем на поле справа от d/dx и наберем «хЛ3». Получим выражение, которое нужно дифференцировать.
7
1
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
5. Нажмем клавишу <=>, чтобы увидеть результат.
Необходимо помнить, что результат дифференцирования есть не функция, а число - значение производной в указанной точке переменной дифференцирования. В рассмотренном примере производная от x3 не есть выражение 3x2, а значение производной 3x2, вычисленное в точке x = 2. В этом заключается отличие численного дифференцирования от символьного.
Чрезвычайная простота интерфейса MathCAD сделала эту систему одной из самых популярных среди систем поддержки математики и, безусловно, самой распространенной в студенческой среде. В работах [5-10] наглядно показано использование пакета MathCAD при интегрировании, при построении графиков в различных системах координат и так далее. Таким образом, активное использование пакетов прикладных программ в обучении позволяет повысить эффективность учебного процесса и сформировать необходимые профессиональные компетенции.
Ссылки на источники
1. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad: математический практикум для инженеров и экономистов: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 656 с.
2. Бидасюк Ю. М. Mathsoft MathCAD 11: самоучитель. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. - 224 с.
3. Кирьянов Д. В. Mathcad 13. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 598 с.
4. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 13. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 528 с.
5. Плис А. И., Сливина Н. А. Указ. соч.
6. Бидасюк Ю.М. Указ. соч.
7. Кирьянов Д. В. Mathcad 13.
8. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 13.
9. Ахметова Ф. Х., Власов П. А. MathCAD. Решение задач математического анализа: интегрирование: метод. указ. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. - 36 с.
10. Методологические аспекты применения среды Mathcad в учебном процессе. Графики функций // Инженерный вестник (МГТУ им. Н. Э. Баумана). Электронный журнал. - 2015. - № 8. - URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/789549.html.
Faniya Akhmetova,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected] Olga Chigireva,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]
Training students to differentiation in MathCAD
Abstract. The paper considers the technique of symbolic and numerical differentiation in the MathCAD; shows the perspective of the use of the application package in the learning process. All actions performed under differentiation in MathCAD are illustrated with specific examples. Of course, first-year students first have to learn the technique of differentiation without the software. However, MathCAD package can be used as a mean of control and self-control in solving the tasks on differentiation. After solving a particular problem analytically, correctness of the answer can be checked by using MathCAD. Thus, MathCAD is a perfect tool to help students in their independent work. Key words: MathCAD, symbolic and numerical differentiation.
ко ниегтг
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Обучение студентов дифференцированию в среде MathCAD // Научно-методический электронный журнал «Концепт.». - 2016. - № 8 (август). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16168.htm.
References
1. Plis, A. I. & Slivina, N. A. (2003). Mathcad: matematicheskij praktikum dlja inzhenerov i jekonomistov: ucheb. posobie, 2-e izd., pererab. i dop., Finansy i statistika, Moscow, 656 p. (in Russian).
2. Bidasjuk, Ju. M. (2004). Mathsoft MathCAD 11: samouchitel', Izd. dom "Vil'jams", Moscow, 224 p. (in Russian).
3. Kir'janov, D. V. (2006). Mathcad 13, BHV-Peterburg, St. Petersburg, 598 p. (in Russian).
4. Kir'janov, D. V. (2006). Samouchitel' Mathcad 13, BHV-Peterburg, St. Petersburg, 528 p. (in Russian).
5. Plis, A. I. & Slivina, N. A. (2003). Op. cit.
6. Bidasjuk, Ju. M. (2004). Op. cit.
7. Kir'janov, D. V. (2006). Mathcad 13.
8. Kir'janov, D. V. (2006). Samouchitel' Mathcad 13.
9. Ahmetova, F. H. & Vlasov, P. A. (2008). MathCAD. Reshenie zadach matematicheskogo analiza: integri-rovanie: metod. ukaz., Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 36 p. (in Russian).
10. (2015). "Metodologicheskie aspekty primenenija sredy Mathcad v uchebnom processe. Grafiki funkcij", Inzhenernyj vestnik (MGTU im. N. Je. Baumana). Jelektronnyj zhurnal, № 8. Available at: http://eng-bul.bmstu.ru/doc/789549.html (in Russian).
ко ниеггг
научно-методический электронный журнал
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 11.07.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 13.07.16
Принята к публикации Accepted for publication 13.07.16 Опубликована Published 18.08.16
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю., 2016
www.e-koncept.ru
