CC BY
19
4. Kadyg-ool H. K. Matrichnye i kvazimatrichnye sistemy aleticheskoj modal'noj logiki. Kyzyl. 2017. 100
5.
5. Kadyg-ool H. K., Hudojdodov F. Istorija razvitija semantiki vozmozhnyh mirov dlja modal'noj logiki // Izvestija Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan, Serija «Filosofija i pravo», №2, 2011. S. 8-11.
6. Solovova N. V. Metodicheskaja kompetentnost' prepodavatelja vuza // Vestnik Rossijskogo gosudarstvennogo universiteta im. I. Kanta. 2010. Vyp. 5. S. 52-59.
7. Chen G., Pham T. T. Fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control systems. Boca Raton. 2001. 317 P.
8. Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution // Handbook of the History of Logic. Vol. 7: Logic and modalities in XX century. Amsterdam, 2006. PP. 1-98.
9. Mukaidono M. Fuzzy logic for beginners. Singapore. 2001. 110 P.
10. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (Fourth Edition). New-York. 2001. 514 P.
Кадыг-оол Хулербен Кок-оолович - к.филос.н., зам. директора по науке Национального музея им. Алдан-Маадыр Республики Тыва, магистрант физико-математического факультета Тувинского государственного университета, г. Кызыл, email - [email protected].
Khulerben Kadyg-ool - Candidate of Philosophy, Deputy Director of Aldan-Maadyr National Museum of the Republic of Tuva, graduate student of Physics and Math Faculty, Tuvan State University, Kyzyl, email - [email protected].
УДК 512.54
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МОЩНОСТЕЙ СЛОЕВ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП
Сенашов В.И.,1 Белов Д.К.2 1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск 2Сибирский федеральный университет, Красноярск
VISUALIZATION OF POWERS OF LAYERS OF INFINITE GROUPS
Senashov V.I.,1 Belov D.K.2 institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk 2Siberian Federal University, Krasnoyarsk
В данной статье исследованы функции мощности слоев для полных слойно конечных групп и конечных расширений этих групп, продемонстрированы их графические представления.
Ключевые слова: группа, слой, мощность слоя, порядок, конечное расширение.
In this article we study the power functions of layers for complete layer-finite groups and for finite extensions of these groups, demonstrated their graphical representations.
Keywords: group, layer, power of layer, order, finite extension.
Введение. Ранее С.Н. Черниковым исследовались бесконечные слойно конечные группы, которые впервые появились в его работах сначала без названия, а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно
конечных групп. Мы будем исследовать мощности слоев в некоторых слойно конечных группах. Слоем называется множество всех элементов группы одного порядка.
Наиболее интенсивные исследования свойств слойно конечных групп проводили в 40-х, 50-х годах С. Н. Черников, Р. Бэр, X. X. Мухаммеджан. К концу 50-х годов основные свойства были уже получены и опубликованы в различных журналах. В таком виде они оставались до 1980 г., когда появилась монография С. Н. Черникова [1]. Свойства слойно конечных и почти слойно конечных групп рассматриваются в работах [2-9].
Основной результат. В качестве примера рассмотрим некоторые слойно конечные р -группы и их конечные расширения.
Найдем мощности слоев группы С „, где р - простое число. В группе С „ один элемент порядка 1, р -1 элемент порядка р, р2 - р элементов порядка
2 п п—1 п
р р -р элементов порядка р ,...
График функции мощности слоев группы С „ представляет собой точки,
лежащие на прямой с уравнением:
Изобразим это на графике:
р -1
У = х-, х > р.
р
Порядок элементов Рис. 1
Найдем мощности слоев группы Сх • • • х С . В этой группе один элемент
. m 1 2m m
порядка 1, p -1 элемент порядка p, p - p элементов порядка
2 m n m (n—1) n
p p -p ( ) элементов порядка p ,...
График функции мощности слоев группы С „ х • • • х Спредставляет собой
V
т
точки, лежащие на кривой с уравнением:
mpm -1 y = xmp-—-.x ^p,
pm
где m - число квазициклических групп в прямом разложении группы
С „, х • • • х С
р р
Изобразим это на графике:
_ рШ(п- 1]
са О
Ё
й
tL> И П
О m и и tu Е Ы К О
и
р2т_рШ
рт -1
...•г"
р
р"
Порядок элементов Рис. 2
Найдем мощности слоев группы С х Срк. У этой группы на 1-слое один элемент, на р -слое р2 -1 элемент, на р2 -слое р4 - р2 элементов, на р3 -слое
p6 - p4 элементов,
k 2k 2k-2 k+1 , на p -слое p - p элементов, на p -слое
2k+1 2k k+m 2k+n
p - p элементов, ... , на p -слое p
-p2k+(m-1) элементов, ...
Мы будем иметь дело с двумя функциями, содержащие значения, соответствующие мощностям слоев, которые имеют вид:
m
m
У = X2 Р 9 ^ , при р < X < рк, Р
У = х(рк - рк-1), при X > рк.
Изобразим это на графике:
; элементов
Рис. 3
График функции мощности слоев группы С „ х С^ до порядка рк
представляет собой точки, лежащие на параболе и далее на прямой.
Рассмотрим группу С „ х...хС „ хС *. У неё на 1-слое 1 элемент, на р-
т+1 1 2 /т+2 т+1 3
слое р -1 элемент, на р -слое р - р элементов, на р -слое р3т+3 -р2т+2 элементов, ... , на рк -слое ркт+к -р(к-1)т+(к-1) элементов, на рк+1
-слое р(к+1)т+к -ркт+к, на рк+2-слое р(к+2)т+к -р(к+1)т+к, ... , на рк+"-слое
р(к+п)т+к (к+(п-1))т+к
Окончательно можем представить в виде формул, по которым вычисляются мощности слоев, следующим образом:
При р < х < рк, к > 1 формула, по которой вычисляются мощности слоев,
имеет вид:
У = х
рт+1 -1 т+1 р 1
р
При х > рк, к > 1 формула, по которой вычисляются мощности слоев, имеет
вид:
т
у = х" (рк - рк-т ). График функции, содержащей точки, соответствующие мощностям слоев группы СХ...ХС хС , представляет собой кривую, у которой рост выше, чем у
V
т
группы С „, X • • • X С „, .
р- р-
Найдем мощности слоев группы С „х С „, где р < ц. У этой группы на 1-
р ц
слое один элемент, на pq -слое pq - р - q -1 элемент, на p2q -слое
p2q - р2 -pq + р элементов, так как весь p2q -слой из группы С „х С „
р q
содержится в циклической группе порядка р2ц, чтобы посчитать его мощность, надо
убрать из этой группы элементы остальных порядков, то есть р2, pq, р , q, 1, на
2 22, 22 222 2, рц -слое pq - q - pq + q элементов, на р q -слое р q -р q - pq + pq
п п п п-1 п-1 п
элементов,..., на р ц -слое р ц-р -р ц + р элементов, на рц -слое
п п-1 п п-1 п п-1
рц -рц -ц + ц элементов,..., на р ц -слое
рпцп-1 - рпцп-2 - рп-1цп-1 + рп-1цп-2 элементов, на рп-1цп -слое
рп-1цп - рп-1цп-1 - рп-2цп + рп-2цп-1 элементов, на рпцп -слое рпцп -рпцп-1 -рп-1цп + рп-У-1 элементов,...
График функции мощности слоев группы С „х С „ представляет собой
р ц
точки, лежащие на сегменте поверхности второго порядка с уравнением:
р -1 ц -1
2 = х-у-, х > р, у > ц.
р ц
Изобразим это на графике:
т
„■¡„я
р q -р q -р q -I
pq-p-q + 1 q-1 р-1
и 2
Р ч ч
Порядок элементов
Заключение. В статье представлены функции, по которым вычисляются мощности слоев, для произвольных полных слойно конечных групп и их конечных расширений, продемонстрированы их графические представления.
Библиографический список
1. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 384 с.
2. Сенашов В.И. Слойно конечные группы. Новосибирск: Наука, 1993. 158 с.
3. Черников С.Н. Бесконечные слойно конечные группы // Мат. сб. 1948. Т. 22, № 64. С. 101— 133.
4. Сенашов В.И., Шунков В.П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций // Дискретная математика. 2003. T. 15, № 3. C. 91-104.
5. Сенашов В.И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп // Украинский мат. журн. 1991. Т. 43, № 7-8. С. 1002-1008.
6. Сенашов В.И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 4. С. 472-485.
7. Сенашов В.И. О группах с сильно вложенной подгруппой, обладающей почти слойно конечной периодической частью // Укр. мат. журн. Т. 64, № 3. 2012. С. 384-391.
8. Сенашов В.И. Почти слойно конечные группы. LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 106 с.
9. Сенашов В.И. Почти слойная конечность периодической группы без инволюций // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 11. C. 1529-1533.
Bibliograficheskiy spisok
1. Chernikov S.N. Gruppy s zadannymi svoystvami systemy podgrupp. M.: Nauka, 1980. 384 s.
2. Senashov V.I. Sloyno konechnyye gruppy. Novosibirsk: Nauka, 1993. 158 s.
3. Chernikov S.N. Beskonechnyye sloyno konechnyye gruppy // Mat. sb. 1948. T. 22, № 64. S. 101133.
4. Senashov V.I., Shunkov V.P. Pochti sloynaya konechnost' periodicheskoy chasti gruppy bez involyutsiy // Diskretnaya matematika. 2003. T. 15, № 3. S. 91-104.
5. Senashov V.I. Gruppy s usloviyem minimal'nosti dlya ne pochti sloyno konechnykh podgrupp // Ukrainskiy mat. zhurn. 1991. T. 43, № 7-8. S. 1002-1008.
6. Senashov V.I. Dostatochnyye usloviya pochti sloynoy konechnosti gruppy // Ukr. mat. zhurn. 1999. T. 51, № 4. S. 472-485.
7. Senashov V.I. O gruppakh s sil'no vlozhennoy podgruppoy, obladayushchey pochti sloyno konechnoy periodicheskoy chast'yu // Ukr. mat. zhurn. T. 64, № 3. 2012. S. 384-391.
8. Senashov V.I. Pochti sloyno konechnyye gruppy. LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 106 s.
9. Senashov V.I. Pochti sloynaya konechnost' periodicheskoy gruppy bez involyutsiy // Ukr. mat. zhurn. 1999. T. 51, № 11. S. 1529-1533.
Юенашов Владимир Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, E-mail: [email protected]
2Белов Дмитрий Константинович - студент Института математики и фундаментальной информатики Сибирского Федерального Университета, Красноярск, E-mail: [email protected]
1Senashov Vladimir Ivanovich - doctor of physic and mathematic sciences, professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, E-mail: [email protected]
2Belov Dmitriy Konstantinovich - student of Institute of mathematics and computer sciences of Siberian Federal University, E-mail: [email protected]
УДК 512.54
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРУППЫ ПО НИЖНЕМУ СЛОЮ
Сенашов В.И.,1 Паращук И.А.2 1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Сибирский Федеральный университет, Красноярск
RESTORING THE GROUP BY THE BOTTOM LAYER
Senashov V.I.,1 Parashchuk I.A.2 11nstitute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk 2 Siberian Federal University, Krasnoyarsk
В данной статье исследуется возможность восстановления группы по её нижнему слою.
Ключевые слова: группа, слой, нижний слой, порядок элемента, слойно конечная группа.
In this article we investigate the possibility of restoring a group by its bottom layer.
Key words: group, layer, bottom layer, order of element, layer-finite group.
Введение. Поставим задачу изучения группы с заданным нижним слоем и некоторыми дополнительными ограничениями. Например, если нижний слой состоит
