CC BY
11
Normamatova Nodira -a teacher of the pulpit "Physics and methods of the teaching physicists", Karshi state university, Karshi, Uzbekistan, E-mail: nodiranm@mail.ru
УДК 519.45
СЛОЙНЫЕ ГРАФЫ ГРУПП
1Сенашов В.И., 2Ооржак О.М.
1 Инситут вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Сибирский федеральный университет, Красноярск 2Тувинский государственный университет, Кызыл
LAYERGRAPHSOFGROUPS
Senashov V.I., 2Oorzhak O.M.
11nsitut of Computational Modelling SB RAS, Krasnoyarsk Siberian Federal University,
Krasnoyarsk
2Tuvanstateuniversity, Kyzyl
В работе исследуется новое понятие слойного графа группы, строятся слойные графы циклических групп сначала порядков степеней простых чисел, затем циклических групп составных порядков. На основе слойных графов делаются выводы о распределении элементов по слоям в циклических группах. Построенные слойные графы сравниваются с обычными графами Кэли. В качестве приложений изученных слойных графов строится слойная картина квазициклической 3-группы.
Ключевые слова: группа, граф Кэли группы, слойный граф группы.
In this paper the new concept of layer graph of a group is studied. Graphs of cyclic groups of orders of powers of prime numbers and then the cyclic groups of composite orders were constructed. On the basis of layer graphs conclusions about the distribution of elements in layers in a cyclic group is done. Constructed graphs are compared with usual Cayley graphs. As applications studied layer graph is constructed layered picture of a quasi-cyclic 3-group.
Key words: group, Cayley graph of the group, layer graph of the group.
Графы групп появились впервые в XIX в. в работах Кэли, затем в XX в. их переоткрыл Дэн. С тех пор многие исследователи групп используют графы для иллюстрации своих рассуждений и даже для доказательства свойств бесконечных групп.
Определение:Граф Кэли группы-множество вершин (взаимно однозначно соответствующих элементам группы) и множество цветных ориентированных дуг (каждому порождающему соответствует ориентированная дуга, своего цвета). Каждая вершина, соответствующая элементу х, соединяется с вершиной, соответствующей элементу xa,посредством дуги, цвет которой соответствует умножению на порождающий а, [1].
Определение:Слойным графом называется граф Кэли группы, в котором элементы каждого слоя находится на отдельном уровне.
Определение:Слой - это множество элементов данного порядка [2].
В работе мы построим графы Кэли некоторых циклических групп и сравним их со слойными графами этих же групп.
Тувинский государственный университет
Слойные графы более информативны, чем обычные графы Кэли. Они позволяют увидеть каковы порядки элементов группы, как элементы одного порядка распределены в группе.
1. Слойные графы циклических групп порядков степеней простых чисел
В этом параграфе мы рассмотрим слойные графы циклических порядков степеней простых чисел.
Сначала построим графы Кэли циклических групп порядков 3, 9, 27.
Граф группы Сз - циклической группы порядка 3: <а|а3=е>
Элементы е, а, а2 изображаются точками, умножение на порождающий элемент а стрелкой.
Граф группы Сд- циклической группы порядка 9: <а|а9=е>
Граф группы С27-циклической готппы попялка ?Т. <а\а27=е>
Как мы видим, графы Кэли циклических групп имеют один и тот же вид для групп различных порядков.
Рассмотрим слойные графы этих же групп.
Граф группы Сз, изображенный выше, уже является слойным: все элементы порядка 3 находятся на одном уровне. Построим слойный граф группы С9:
9 а а2 а4 а5 а7 а8
е
Здесь на самом верхнем уровне собраны элементы порядка 9, ниже - элементы порядка 3, самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1.
Если для групп простого порядка отличие графа Кэли и слойного графа не просматривается, то для группы порядка 9 сразу видим разницу в графах. Именно эта разница позволяет нам увидеть дополнительную информацию на слойном графе про порядки элементов группы и цикличность распределения этих элементов по слоям.
Построим слойный граф группы С27:
На этом графе все те же слои, что и на С9, и добавился слой элементов порядка 27. Построим слойный граф группы С25:
Здесь на самом верхнем уровне собраны элементы порядка 25, ниже - элементы порядка 5, самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1. Каждый раз после 5-1 элементов появляется выпуклость на слой 5. Слойный граф группы С49:
На самом верхнем уровне собраны элементы порядка 49, ниже - элементы порядка 7, самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1. Каждый раз после 7-1 элементов появляется выпуклость на слой 7.
Также нами построены графы групп Сз, С5, С7, С9, С25, С27, С125 и на основании этого построения сделаны выводы о строении групп Ср, Ср2, Ср3.
Слойный граф группы Ср имеет два уровня, выглядит как треугольник и на уровне р будет р-1 элемент.
Слоев в графе Ср2 будет 3: 1, р, р2. На самом верхнем слое р2 будут собраны элементы порядка р2, количество таких элементов равно р*(р-1). Ниже элементы порядка р, таких элементов р-1. Самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1 е. Каждый раз после р-1 элементов появляется выпуклость на слойр.
Слойный граф группы Ср3 имеет 4 уровня: 1, р, р2, р3. На самом верхнем слое р3 будут собраны элементы порядка р3, количество таких элементов равно р2*(р-1). Ниже элементы порядка р2, таких элементов р*(р-1). Потом элементы порядка р, таких элементов р-1. Самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1 е. Каждый раз после р-1 элементов появляется выпуклость на слойр2, а после р2-1 выпуклость на слой р.
Из построения слойных графов групп Ср, Ср2, Ср3можно сделать вывод о том, как будет устроен граф группы Срп. Этот граф будет иметь п+1 уровней. Самым верхним слоем будет слой элементов порядка рп+1, самым нижним слоем будет один элемент порядка 1 - это е=ап+1. Количество элементов на каждом слое можно вычислить по формуле: рп-рп-1.
Сравнивая графы Кэли и слойные графы построенных групп видим, что слойные графы несут больше информации о группе. Именно, мы видим кроме самих элементов и связи их через порождающие элементы, порядки элементов и распределение элементов каждого порядка по слоям.
2. Слойные графы циклических групп составных порядков
В этом параграфе мы рассмотрим слойные графы циклических групп составных порядков вида pq, где р, q - различные простые числа.
Слойный граф группы С15:
Здесь на самом верхнем уровне собраны элементы порядка 15, ниже - элементы порядка 5, потом элементы порядка 3, самый нижний слой состоит из одного элемента порядка 1. Каждый раз после 3-1 элементов появляется выпуклость на слой 5, а после 5-1 элементов на слой 3.
Также построены слойные графы групп С21, С35.
Проанализировав построенные слойные графы групп С15, С21, С35 делаем вывод о том, как будет выглядеть слойный граф группы Cpq. В этом графе будет 4 слоя: 1,р,ц ирц.В слойном графе со слоя рц на слой цпоявляется выпуклость после р-1 элементов, а в слой р после ц-1 элементов. Самый верхний слой группы Срц будет состоять из элементов порядка рц, и количество таких элементов равно рц-(р+ц-1). В слое р будет р-1 элементов порядка р. А в слое цбудет ц-1 элементов порядка ц. Самый нижний слой состоит из одного элемента е.
3. Слойная картина квазициклической 3-группы
В данном параграфе на основании построения слойных графов групп С3, Сд, С27, С81 строится слойная картина квазициклической 3-группы.
Слойные графы групп С3, Сд, С27 имеются в параграфе 1. Построим слойный граф группы Свь
На этом графе все те же слои, что и на графе группы С27, и еще добавился слой элементов порядка 81.
Из построения этих слойных графов видно как будет устроен граф произвольной
группы Cf для я £ N .
Графы Кэли не дают достаточную информацию о строении квазициклической группы С3М, которая является объединением групп С?, п е N.
Построены графы Кэли групп С3, Сд, С27, С81, которые входят в квазициклическую 3-
группу.
Из построения слойных графов групп С3, Сд, С27, С81 видно как будет устроен граф произвольной группы С3п для произвольного натурального числа п.
Сравнивая построенные слойные графы можно заключить, что слой элементов порядка 3 появляется у слойного графа С3 и в дальнейшем в группах С3П при п > 1 не пополняется. Слой элементов порядка 9 появляется при построении слойного графа Сд и также не пополняется в группах С3П при п>2. Элементы порядка 27 возникают при построении С33, порядка 81 — при построении С34.
На основании информации, полученной при построении слойных графов групп С3, Сд, С27, С81, изобразим слойную картину группы С3:
Тувинский государственный университет
Исходя из рисунка сделан вывод сколько элементов находятся на каждом слое.
3-слой 2 элемента
32-слой 6 элементов
33-слой 18 элементов
34-слой 54 элемента
3-1=2 для группы Сз°° и для групп Сз" для п> 1
32-3=6 для группы Сз°° и для групп Сз" для п>2
33-32=18 для группы Сз°°и для групп Сз"дляп>3
34-33=54 для группы Сзми для групп Сзп для
п > 4
3п-слой
3п-3п-1
Таким образом,Зп-слой содержит 3п-3п-^элементов для группы Сзми для групп Сзп начиная с номера п.
Библиографический список:
1. Гроссман, И., Магнус, В. Группы и их графы. - М.: Мир, 1971. 246 с.
2. Сенашов, В.И. Слойно конечные группы. - Новосибирск: Наука, 1993. 159 с. Bibliograficheskiy spisok:
1. Grossman, I., Magnus, V. Gruppy i ikh grafy. - M.: Mir, 1971. 246 s.
2. Senashov, V.I. Sloyno konechnyye gruppy. - Novosibirsk: Nauka, 1993. 159 s.
Сенашов Владимир Иванович- доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, профессор кафедры алгебры и математической логики Сибирского федерального университета, Красноярск, профессор каф. алгебры и геометрии Тувинского государственного университета, Кызыл, E-mail: sen1112home@mail.ru
Ооржак Онзагай Май-ооловна- студентка Тувинского государственного университета, Кызыл, E-mail: oorzhak_onzagay@mail.ru
Senashov Vladimir - doctor of physic and mathematic sciences, professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk, professor of algebra and logic department of Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Professor of the Department of Algebra and Geometry Tuvan State University, Kyzyl, E-mail: sen1112home@mail.ru
Oorzhak Onzagay- Tuvan state university student, Kyzyl, E-mail: oorzhak_onzagay@mail.ru
