CC BY
8
УДК 539.2:532.6 Мат. I-oi кат. Т.В. Голубець - 1нститут прикладных
проблем мехатки та математики iM. Я.С. Шдстригача НАН Украти
ВИЗНАЧЕННЯ Р1ВНОВАЖНОГО ЗВОЛОЖЕННЯ ТА ВЛАСНО1 ПРОНИКНОСТ1 ПОРИСТОГО МАТЕР1АЛУ НА ОСНОВ1 1ЗОТЕРМ СОРБЦН АБО КРИВИХ ЗАТРИМКИ ВОЛОГИ
У рамках формалiзму об'емного усереднення переглянуто 0CH0BHi сшввщно-шення фiзики поверхш для пористого зволоженого матерiалу. Сформульовано умови piBroBara мiж рiдиною i газом у пористому матерiалi. Означено функщю розподiлу розмiру пор за радiусом. Вiдповiдно до експериментальних даних, розраховано за-лежнiсть вiдносних проникностей рщини та газу у пористому матерiалi вiд ступеня насичення пор рщиною. З допомогою порiвняльного аналiзу напiвемпiричних моделей зволоження запропоновано метод визначення власно! проникностi твердо! фази та рiвноважного зволоження у пористому матерiалi.
Ключовг слова: порист матерiали, адсорбцiя, капiлярнi явища, дифузiя рiдин та газiв.
Вступ. У зв'язку з математичним моделюванням тепломасообмшних процешв у пористих зволожених середовищах виникае необхщнють адекватного опису дифузшних явищ, природа яких залежить вщ структури матер1алу та властивостей його складових або компонент. У теорп осушування так! дифу-зшш явища описуються системою балансових р1внянь тепла i маси у частинних похвдних з вщповщними граничними умовами, яю визначають характер перебь гу процешв у внутршшх областях пористого зволоженого матер1алу. На цей час розвиваються два протилежш тдходи до опису процеав тепломасообм1ну у пористих матер1алах на основ1 моделей осушування - феноменолопчний Лико-ва [1] та теоретичний Вайтекера [2]. Зпдно з феноменолопчним пщходом [1], коефщенти дифузп у балансових р1вняннях тепла i маси приймаються пос-тшними величинами, тому виникае науковий штерес у розрахунку таких коефь щенлв залежно вщ структури пористого матер1алу та вагового вмюту складових (компонент). Приклад визначення таких коефщеилв наведено у робот [3] зпдно з ком1рковою моделлю для матер1алу деревини. Оскшьки вщгворення структурних властивостей пористого матер1алу е окремою науковою проблемою, яка розв'язуеться методами теорп перколяцп [4] детермшстично! або сто-хастично! геометри [5], для розрахунку тепломасообмшних процешв оптимальною з точки зору прикладного застосування е теор1я осушування Вайтекера [2], яка базуеться на методах теори просторового (об'емного) усереднення. Визна-чальш р1вняння теорп осушування Вайтекера [2] мютять пов'язаш м1ж собою зпдно з законами збереження маси, 1мпульсу та енергп просторово усереднеш величини та конститутивш р1вняння, як! описують властивосп пористого зволоженого матер1алу. До складу цих р1внянь входять ефективш або усереднеш характеристики пористого зволоженого середовища, за допомогою яких останне можна розглядати як неперервний матер1альний континуум.
У рамках теори просторового усереднення у робот [6] записано р1внян-ня електродинам1ки, за допомогою яких на основ1 пор1вняльного анал1зу р1зних моделей композитних матер1ал1в запропоновано методику розрахунку ефектив-но! комплексно! д1електрично! проникносп пористого зволоженого середови-ща. Показано, що така ефективна характеристика матер1алу е функщею об'емних часток фаз, як неперервно змшюються в об'ем1 пористого зволожено-
го тша та napaMeTpiB, як вiдображають вплив зовнiшнiх факторiв (у цьому ви-падку частоти зовнiшнього електромагнiтного поля). Для твердого недеформо-ваного скелету структура пористого матерiалу задаеться пористютю, а вмiст во-логи у ньому - насиченням пор рщиною. Зрозумiло, що пористiсть, як параметр структури, не описуе перемiщення фаз у матерiалi, спричинене riдродинамiч-ним рухом складових (рiдини або газу). Тому для означення дифузiйних власти-востей пористого матерiалу необхiдно вводити додатковi структурнi параметри, серед яких важливими е власна проникнiсть скелету та фактор звивистост [7].
У цш робот в рамках просторового усереднення зроблено спробу уза-гальнення та надання змiсту основним стввщношенням фiзики поверхнi та рiв-новажно! термодинамiки неоднорiдного багатофазного (багатокомпонентного) середовища з точки зору прикладного застосування до отриманих експеримен-тально сорбцiйних або дренажних характеристик пористого матерiалу. Значна увага придшяеться зв'язку наведених спiввiдношень з структурою пористого матерiалу. Для цього вводяться нормована функцiя розподiлу розмiру пор за ра-дiусом та власна проникшсть скелету пористого матерiалу. Динамка руху рщи-ни та газу у пористому матерiалi розглядаеться зпдно з узагальненим законом Дарсi (D'Arcy) [13], з якого безпосередньо випливае умова рiвноваги фаз у пористому зволоженому матерiалi.
Доцiльнiсть переглянутих та описаних у роботi теоретичних та експери-ментальних даних обгрунтовуеться необхiднiстю встановлення початкових умов за чисельного розв'язування балансових рiвнянь темпломасообмшу для зволоженого пористого матерiалу та значними розбiжностями у числових зна-ченнях власно! проникностi скелету зпдно експериментальних методiв досль джень [8]. Тому запропоновано ушфкований пiдхiд для визначення рiвноваж-ного зволоження та власно! проникностi скелету на основi типово! залежностi насичення пор рщиною вщ середнього радiуса кривизни мешску мiж рiдиною та газом для мезоскошчного пористого матерiалу.
Огляд проблеми. Зпдно з методом просторового усереднення [6], фь зичш властивостi зволоженого пористого середовища описують за допомогою ефективних або усереднених величин, яю е однозначними функщями неперер-вних фазових об'емних характеристик. Останнi вводяться при розглядi елемен-тарного об'ему усереднення AVrev (REV - Representative Elementary Volume) (рис. 1) ( AVrev = ^AVa, тут AVa - об'ем а-фази, a = {5, /, g} - iндекс, який вщ-
a
повiдае послiдовно твердiй (5), рдаш (/) i газоподiбнiй (g) фазам) на основi об'емних часток фаз ва = AVa / AVrev (= 1).
a
У такий cnoci6 визначаегься пористiсть ф
, AV/ + AV„ , AV, _ _ ,
Ф = -1 = 1 -—^ (ф = 0! + 0g = 1 -в,) (1)
avrev AV REV
га ступеш насичення пор рщиною S/ га газом Sg
Si =——— Sg = AVg (S/ + S„ = 1). (2)
AV/ +AVg g AV/ + AVg g
З виразiв (1) та (2) випливае, що лише величини ф та Sl е незалежними характеристиками, оскшьки
в, = 1 -ф в/ =фSl eg = ф(1 -S/). (3)
Вщповщно до теорп осушування Вайтекера (Whitaker) [2] та рiвняння Юнга-Лапласа (Young-Laplace) [9] в межах REV для усереднених величин вико-нуеться просте спiввiдношення
Ы=Ы-Ы=J7), (4)
де: (pc) - капiлярний тиск, якому на умовнiй поверхнi роздшу фаз рiдина та газ вщповщае радiус менiску (r), {pi) i (pg) - тиск у рщкш та газоподiбнiй фазi, ) - коефiцiент поверхневого натягу.
Використовуючи принцип локально1 термiчноl рiвноваги [2] ({Ta) = T, тут а = {s, /, g}, (Ta) - усереднена температура а-фази, а T - рiвноважна температура), опишемо термодинамiчний стан рщини та водяно! пари в межах REV з допомогою спiввiдношень Гiббса-Дюгемана (Gibbs - Duhem) [11]
1 RT
(sv)dT +-.—т- d(pg) +---.—r d (xv)- d {Mv) = 0
\Pv) Mv{ Xv) (5)
{s/)dT +-Pd(pl) - d (¿u/) = 0
де: {sa) = Sa/Ama, де a = {/,v} - питома ентропiя, pa) = Ama/AVa - густина, {Ua) = Ga/Ama - хiмiчний потенцiал а-фази (компоненти), Ga i Sa - енергiя Гiббса та ентротя, Ama - маса а-складово! (рщини (/) або водяно! пари (v)), {xV) = {pV/{pg) - молярна частка водяно! пари, (pv) та (pg) - парщаль-ний тиск ненасичено! водяно! пари та газово! сум^ вщповщно.
Оскiльки в станi термодинамiчноl рiвноваги хiмiчнi потенцiали рiвнi (uv) = (u) = U i температура T в межах REV е постшними величинами, то на основi стввщношень (4) та (5) з врахуванням рiвняння стану (p) = Mv{ pg) / RT отримуемо
^ pRTjxv)Л
d {pV —Гd {xV = 2)xVVd
f 1 ^
Mv(pV J (V {(r)
(6)
Для реальних ra3iB, зокрема для сумiшi сухого повггря i водяно! пари [12], молярна частка водяно! пари (xv) е вiдомою функщею пaрцiaльного тиску (pv) i температури T зпдно з рiвнянням стану (xv) = f ((pv), T). При спрощено-му розглядi у нaближеннi (xv) = 1 (pV- PV, де Pvs = pVs(T) - тиск насичено! водяно! пари), штегруючи рiвняння (6) з граничною умовою, яка враховуе, що тиску насичено!' водяно! пари pvs вiдповiдaе в середньому плоска ((г) ^да) по-верхня роздiлу мiж рщиною i водяною парою (( pc) = 0), отримуемо стввщно-шення Кельвiнa (Kelvin) [9]
2а
<->=fk-PtLn
(7)
де: (ф) = (pV/pvs - вiдноснa вологiсть водяно! пари, S = {pv)- pvs - малий
вiдносно першого доданку параметр.
Припустимо, що REV вiльно позицiонуе в межах макроскошчного об'ему V пористого мaтерiaлу. Згiдно 3i спiввiдношеннями (3), означивши се-редню для мaтерiaлу пористiсть ф, можна стверджувати
<»>< ^)=и
(8)
де i (У[) - усередненi за макрооб'емом V ступiнь насичення пор рiдиною i об'ем рiдкоi фази в межах REV, яким вщповщае середнш радiус менiску (г).
Типовий приклад залежноси = / (( г)} для мезоскопiчного пористого матерiалу (рис. 2) отримуемо на основi експериментально визначених кривих iзотерм сорбцii [9] Ж = /((ф)), де: Ж = (ф)(Р1 / р$ - вологовмiст (р3 i р\ - вщ-повiдно густини твердоi i рiдкоi фаз) або дренажних кривих затримки (вившь-нення) вологи [10] к = /((£)), де к = (р^ / р^ - гiдравлiчний напiр рiдини у пористому матерiалi (g - прискорення вiльного падiння), застосувавши стввщно-шення (4) та (7) при переходi до змiнних та (г).
Рис. 2. Залежшсть (S) = f ((r)) для мезоскотчного пористого Mamepiany Треба зауважити, що ^ lim (V/) ((r)) = Vir, де Vir - залишковий об'ем рщ-ко! фази, який вдаовщае абсорбованiй до поверхш твердого скелету водi (bo-
und water). Таку воду природшм способом неможливо видалити з пористого ма-Tepiany. Оскшьки ^im V)((r)VAVrev = Scr ф, то зпдно 3i спiввiдношенням
(8) отримуемо: Sir <(S) < Scr, де Sir =-1-Vir / AVrev та Scr - вiдповiдно залишко-
Ф
вий та критичний (Scr = 1) стyпeнi насичення пор рщиною. Враховуючи, що при (r) ^ rmin i Г ^ rmax маемо 3(S) (( r))/r) ^ 0, на основi лiтepaтypи [13] вводимо нормовану фyнкцiю pозподiлy pозмipy пор за paдiyсом
Ф«г» = J^^^Stf1 (ТФ(<Г^г> = 1)' (9)
а також ефективне насичення в пор рщиною
0 = S^-f = JO((r))d(r) (0 <0< 1). (10)
Scr Sir 'min
Зпдно з рис. 2 точка перетину дотично! до залежносп (S) = f((rf) при половинному насиченш пор piдиною (^S^ = 1/2) з вiссю абсцис у гpaницi S ^ 1 дае змогу отримати наближене значения так званого бульбашкового тиску (bubble pressure): (pt) = 2<г/(r,), де (r,) - середнш paдiyс мeнiскy вщок-ремлених бульбашок газу при неперервному зaповнeннi пор рщиною. Даний тиск обгрунтовуе означення критичного насичення Scr i дае тдставу стверджу-вати, що зпдно з (7) маемо: lim (pc} = (p= S. Тим не менше, у бшьшосп прик-
ладних дослщжень приймають S = 0. У такому випадку у спiввiдношeннях (9) i (10) встановлюють Scr = 1, а дшянки 0 < (r) < rmin та (r) >(r,,) на гpaфiчнiй залеж-ностi (S) = f ((rf) aнaлiтично продовжують (див. рис. 2, штpиховaнi лiнii) з метою виконання граничних умов lim pc = <х та lim pc = 0.
S ^S,r S
Закон Дарс1 (Darcy). Насичений рух р1дини у пористому матер1аль Власна проникн1сть скелету. Р1вняння Кармана-Козен1 (Carman - Kozeny).
Дослщжуючи потiк piдини вздовж вертикально! труби, яка заповнена сферич-ними частинками тску пiд впливом гpaвiтaцiйноi сили, Дара (Darcy) [14] вста-новив: Qi = -KlAAh /L, де: Ql - об'емний потж рщини, Ah - piзниця гiдpaвлiч-ного напору piдини у манометрах, вщстань мiж якими становить L, A - площа поперечного пepepiзy труби, Kl - коефщент пpопоpцiйностi, який вiдповiдaе гiдpaвлiчнiй провщносп piдини у пiскy.
В одновимipномy плоскому випадку при повному насичеш пор piдиною ((Pg) = 0 та S = 1) закон Дарш [14] можна узагальнити. Для цього означимо вiдноснy по вщношенню до скелету пористого мaтepiaлy швидюсть piдини (superficial velocity) [13] (и) = (v^ -(vs) (тут (v^ i (vs) - yсepeднeнi швидкостi рщ-ко! та твердо! фази) згiдно з сшввщношенням Ul = Q /A = ф(и), де: Ul - абсолютна швидюсть рщини (specific discharge), а ф - усереднена поpистiсть мате-
рiалу. Оскшьки h = (pc) / pg, де (pc) - усереднений капшярний тиск, то у ви-падку нерухомо! (( vs) = 0) твердо! фази для несюнченно малих приростiв дов-жини L отримуемо:
Vl=ф {vi) == -II ^ЕА=- к дЛиА, (11)
Pg дх u дх
К ¿1
де: к, =——— власна проникнiсть (intrinsic permeability) скелету пористого pg
матерiалу, u - динамiчна в'язкiсть рщини. Власна проникнiсть е абсолютною характеристикою скелету пористого матерiалу, на що вказуе вiдоме у ль тературi рiвняння Кармана-Козенi (Carman-Kozeny) [16]
Ah (1 -ф)2 . .2 гт (12)
pg — = -0 и ty) TU/U/, (12)
L w
де: (v) = A,/V, - питома поверхня твердо! фази (A, i V, - сумарш площа по-верхнi та об'ем твердо! фази), т = Le / L - кривизна (звивистють) кашляв у порах (Le - середня довжина траекторп, яку реально долае частинка рщини у пористому матерiалi мiж двома паралельними площинами перпендикулярни-ми прямолiнiйному вiдрiзку L), а а0 - константа, яка залежить вiд форми i властивостей скелету пористого матерiалу.
При моделюванш скелету пористого матерiалу з допомогою сферичних частинок еквiвалентного дiаметра (d) [16] маемоV) = 6/(d). Порiвнюючи ств-вщношення (12) з законом Дарсi (Darcy) [14], отримуемо
k (13)
, 3б«0 (1 -ф)2 т
де ф - усереднена пористiсть.
Ненасичений рух р1дини у пористому матер1аль Наближення Leve-rett. Умови статично'1 р1вноваги. В умовах ненасиченого плоского потоку рь дини у пористому матерiалi згiдно з лггературою [13] введемо абсолютнi швид-кост рiдини U/ =W(S){u/) та газу Ug =ф(1 -(S))(ug), де (и/) = (v/)-(v,) та (ug) = {vg) -(v,) - усереднеш швидкостi рiдини та газу вщносно скелету. У ви-падку нерухомого скелету ((v,) = 0), по аналоги до сшввщношення (11) узагаль-нений закон Дарсi (Darcy) [10] матиме вигляд
Vl=u\mvi) == - КШ дШ=- к,к4S » д_Ш
Pig дх и дх
(14)
Ug = ф (1 -IS »М == - ^^ ^ЕА = - kkrg ((S}) ^ЕА '
pgg дх ug дх
тут kra((S)) = ka((S)), де а = {{, g}--вiдноснi проникностi а -фази, яю згiдно з
[10], задовольняють умову 0 < kra((S)} < 1, ka({S)} = S- вщповщш аб-
pag
солютнi проникностi та Ka({ S)} - гiдравлiчнi провiдностi MaTepiany.
Анaлiзyючи узагальнеш закони руху piдини (11) та (14) для насиченого чи ненасиченого пористого мaтepiaлy, приходимо до висновку, що згiдно з вщо-мим piвнянням стану (xv) = f((pv),T) ((pg} = (pv)/(xv)) та спiввiдношeнням (4) знання базово! зaлeжностi (pc) = f ({S)) у довшьнш мaкpоскопiчнiй чaстинi зво-ложеного пористого мaтepiaлy е нeобхiдним i достaтнiм при описi iзотepмiчних процешв дифyзiй рщко! (wetting - змочувано!) та газождабно! (non-wetting - не змочувано!) фази. На це вказуе вщоме з лiтepaтypи наближення Леверетт (Leve-rett) [15], яке отримуемо з наступних мipкyвaнь. Припустимо, що пористий ма-тepiaл розглядаеться, як сукуптстъ кaпiляpiв з сepeднiм дiaмeтpом d. Тодi, у стввщношенш (12) (у) = 4/(d) [16], де (d) = 4а(cose)/(pc), тут в - кут змочу-вання мiж piдиною i газом у капшярг Звiдси, подiбно до стввщношення (13), отримуемо
^iJT 1 (15)
а уф -JOT 1 -(ФУ
Оскiльки (cos^ = f ((S)), то на основi (15) отримуемо бeзpозмipнy J -функщю Леверетт (Leverett) [15], яка однозначно характеризуе процес затримки (вившьнення) вологи для заданого пористого мaтepiaлy
J(S) (16)
а Ш
тут ks - власна пpоникнiсть мaтepiaлy, ф - середня поpистiсть, а а - коефь цiент поверхневого натягу.
Варто зауважити, що статичний (^вноважний) стан рщини у пористому мaтepiaлi отримуемо, коли у стввщношеннях (14) покладемо Ul = Ug = 0 . Такий стан peaлiзyеться при piвновaжномy знaчeннi зволоження мaтepiaлy (Seqv}, яке зпдно з (4) визначаемо з умови (pi)((SeqV)) = 0. ^i маемо (p^((SeqV)) = Pamb, де Pamb - тиск пароповггряно! газово! сyмiшi у зовшшньому сepeдовищi.
Вмноим проникност1 pi.iMMM та газу. Пор1вняльний анал1з моделей вившьнення або затримки вологи. Зпдно зi статистичною моделлю [13], зап-ропоновано таю вирази для розрахунку вiдносних проникностей змочувано! (рщко!) kri та не змочувано! (гaзоподiбноl) krg фази у стввщношеннях (14) для узагальненого закону Дapсi (Darcy) [8]:
{r) w
J (r) Ф((r))d(r) J <r) ф«r))d(r)
kri((S)) = 0K- krg((S)) = (1 -, (17)
J (r) Ф((r))d(r) J (r) Ф((r))d(r)
де: Ф((r)) - функцiя розподшу po3Mipy пор за ефективним радiусом (r) (9), в - ефективне насичення пор рщиною (10), а к i Z - експериментальш па-раметри [13], якi вщображають вiдповiдно взаемозв'язок мiж po3MipoM пор i звивистiстю (кривизною) траекторп руху для частинок рiдини та газу у пористому ненасиченому зволоженому середовищi.
Спiввiдношення (17) можна легко узагальнити на випадок довшьно1 за-лежностi pc) = (pc)(в) = f((S)), де в = 0((S)) - ефективне насичення, яке вщпо-вiдаe реальнiй моделi вивiльнення або затримки вологи у пористому матерiалi. Для цього врахуемо, що зпдно з формулами (10) та (4) Ф((r))d(r) = dв, а (r) = pc). Тода, при замiнi змiнних (r)->0((S)) (rmin->0(Sir) = 0 та rmax - > e(Scr) = 1) отримуемо:
0 1
J[1/< Pc) (x)] dx J[1^p^(x))] dx
krm=в1/2^- krg(®)=(1 -в)1/3^-, (18)
J[1/(pc) (x)] dx J[1/( P^(x)] dx
0 0 де зпдно з дослщженнями Мюалем (Mualem) [17] та Лакнер (Luckner) [18] у виразах (17) прийнято к = 1/2 та Z = 1/3.
На цей час найпоширенiшими для опису експериментальних залежнос-тей вившьнення чи затримки вологи (p^ = f (IS)) у пористих тiлах е натвемт-ричш модельнi наближення Брукс-Корей (Brooks - Corey) [19] та Генутчен (van Genuchten) [20]. Такi наближення добре узгоджуються з даними по розподшу середшх значень ступеня насичення пор рщиною (S) за радiyсом (r) для сюн-ченого об'ему мезоскопiчного пористого матерiалy (рис. 2).
Зпдно з моделлю Брукс-Корей [19], маемо
-л
0 =
1
, a(pc) > 1), (19)
t(Pc) \
де: X - безрозмiрний параметр, який вщповщае нахилу криво! на залежносп S = f((rf) при половинному насиченнi пор рiдиною (S^ = 1/2, вщомий у ль
тературi [13] тд назвою iндексу розподiлу пор за розмiром (pore size distribution index); a - параметр, який шдлягае визначенню. Згiдно моделi Генутчен [20] маемо
0 =
1 + И pc) )m
(20)
тут m i n - емпiричнi параметри.
Ддставляючи залежностi (pc) = (pc) (0), визначеш з виразiв (19) та (20) у стввщношення (18), внаслщок iнтегрyвання отримуемо для моделi Брукс-Корей (Brooks - Corey) [19]:
krf(0) = 05/2+2/л krg(0) = (1 -0)1/3[1 -02(1+1/л)] , (21)
та моделi Генутчен (van Genuchten) [20]
krl(©) = ©1/2 [1-(1-©1/m)m ]2 krg(®) = (1 -©)1/3 [l-©1/m]2, (22)
де m = 1 -1/ n - сшввщношення, яке задовшьняе необхiдну умову юнування штегралу.
При а( pc) << 1 моделi Брукс-Корей (19) та Генутчен (20) ствпадають, звщки випливае Л = mn = n -1. Емпiричний параметр m для моделi (20) знаходи-мо на осжга спiввiдношення (pc) / pc) = -(r) 3(S) / r) згiдно з розподь лом (S) = f((rf) (рис. 2), звщки вiдповiдно до формул (20) та (9) отримуемо
Ф(( r)) = 1
-©(1 -©1/m),
(23)
де © = ©((Я)} = /((г)) - вщома функцiя середнього радiусу (г).
Параметр а у стввщношеннях (19) та (20) доцшьно ввести при половинному насиченш пор рщиною, коли ^^ = 1/2. Тодi на основi моделi Генутчен [20] отримуемо
i-v (
1
■щ
-1
Я
2а
S - S
^ cr ^ir
щ
Sir
1/m ^ -1
(24)
де: l^p^j = 2а/^r^ - кaпiлярний тиск, а (r^ - середнiй рaдiyс менiскa при половинному насиченш (s^j пор рiдиною.
Згiдно 3i спiввiдношеннями (19) та (24) в рамках моделi Брукс-Корей [19] неважко на приклaдi реально! зaлежностi (S) = f((rf) (рис. 2) переконатися
в тому, що a Pc) = J({S)), де J({S)) = [1/©] m)/m - J -Leveret функщя (16). Ос-кiльки 1/a = (pb), де (pb) - бульбашковий тиск, то власна проникнють ks пористого мaтерiaлy
,Л а2
ks ={ф)с
(pb)2
(25)
тут ф - середня пористють, а а - коефщент поверхневого натягу.
Результати досл1джень. На рис. 3 зображено експериментально визна-ченi [21] зaлежностi (S) = f((rf) для керaмiчно! цегли з мiсцевостi San Marco (Venetian) (ф = 0,46) у двох модифiкaцiях вiдносно середньо! пористосл ф: modA - ф = 0,4 та modB - ф = 0,52.
На основi даних кривих та спiввiдношень (23) i (24), згiдно з модельним описом Генутчен (20), встановлено, що для основного мaтерiaлy при S1r = 0.015 (рис. 3) маемо m = 0.67 та (pb) = 102.9 kPa, а для двох модифжацш: modA (Si, = 0.01) - m = 0.72 i (pb) = 136.7 kPa та modB (S1r = 0.02) - m = 0.61 i (pb) = 77.5 kPa. Зпдно спiввiдношень (16) i (25) та розрахованих модельних па-
a
paметpiв m та а, де а = 1/(рь) для функцп розподщу Ф((r)) (23) та J - Leverett
фyнкцiï (16) - J (( S )) = ([l/©(( S )) J17 m -1) отримано зaлежностi зобpaженi на рис. 4 та рис. 5 вщповщно
Рис. 3. Залежтсть (S) = f ((r)) для KepaMÎ4Hoï цегли з MÎ^eeocmi San Marco (Venetian)
Гpaфiчнi залежност вщносних проникностей piдкоï kr/ та гaзоподiбноï krg фаз вiд середнього насичення (S) пор piдиною, pозpaховaнi за стввщно-шенням (22), зображено на рис. 6.
02 OA 0.6 0.8 1.0
Рис. б. Вiднoснi прoнuкнoстi рiдкoï kr/ та газoпoдiбнoï krg фаз
36О
36ipMMk' нaукoвo-тexнiчниx пpaць
Визначет за стввщношенням (25) власнi проникностi для основного MaTepiany ks = 2,29 х10-13 m2 i двох модифiкацiй ks = 1,13 х 10-13 m2 (modA) та ks = 4,57 х10-13 m2 (modB) дають пiдстaвy стверджувати, що piвновaжнi зволо-ження мaтepiaлy, як знаходимо згiдно з формулою (20) та за умови статично! piвновaги (див. роздш "Ненасичений рух рщини у пористому мaтepiaлi. Набли-ження Леверетт. Умови статично! piвновaги") спiвпaдaють з максимумами фун-кцп pозподiлy Ф((r)) (рис. 4) i приймають значения (Seqv) = 0,64 - основний ма-тepiaл (ф = 0,46) та (Seqv) = 0,82 - modA (ф = 0,4) i (Seqv) = 0,51 - modB (ф = 0,52) вiдповiдно.
Висновки. Отpимaнi на основi поpiвияльного анатзу моделей Брукс-Корей [19] та Генутчен [20] iз застосуванням наближення Леверетт [15] резуль-тати дають тдставу стверджувати, що при зростант поpистостi piвновaжнe зволоження мaтepiaлy зменшуеться в той час, як його абсолютна проникшсть зростае. Умова piвновaги рщини у пористому мaтepiaлi знаходить належне обгрунтування. Також характерним е зменшення бульбашкового тиску по мipi збiльшeния поpистостi мaтepiaлy.
Л1тература
1. Лыков А.В. Теория сушки / А.В. Лыков. - М. : Изд-во "Энергия". - 1968. - 472 с.
2. Whitaker S. Simultaneous Heat, Mass and Momentum Transfer in Porous Media: a Theory of Drying / S. Whitaker // Adv. In Heat Transfer. - 1997. - Vol. 13. - P. 119-203.
3. Голубець Т.В. Анашз дифузшних волопсних i теплових характеристик деревини у пгроскошчнш област / Т.В. Голубець // Науковий вюник НЛТУ Укра1ни : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Украни. - 2005. - Вип. 15.3. - С. 106-115.
4. Hunt A.G. Percolation Theory for Flow in Porous Media. Lecture notes in physics / A.G. Hunt. - Berlin-Heidelberg-New York : Springer, 2005. - 203 p.
5. Hilfer R. Transport and relaxation phenomena in porous media / R. Hilfer // Advances in Chemical Physics. - 1996. - Vol. 92. - P. 299-424.
6. Гачкевич О.Р. Розрахунок ефективних eлeктpофiзичних характеристик пористих ма-тepiaлiв / О.Р. Гачкевич, Р.Ф. Терлецький, Т.В. Голубець // Математичт методи та фiзико-мe-хашчт поля : наук. журнал. - Львiв : Вид-во 1ППММ. - 2009. - Vol. 52, № 1. - С. 159-171.
7. Lal R. Principles of Soil Physics / R. Lal, M.K. Shukla. - New York-Basel : Marcel Dekker, 2004, - 682 p.
8. Honarpour М. Relative Permeability of Petroleum Reservoirs / М. Honarpour, L. Koederitz, A.H. Harvey. - USA, Boca Raton, Florida : CRC Press, 1986. - 152 p.
9. Gregg S.J. Adsorption, Surface Area and Porosity / S.J. Gregg, K.S.W. Sing. - London-Toronto: Academic Press, 1982. - 313 p.
10. Bear J. Modelling Groundwater Flow and Contaminant Transport / J. Bear, A.H.-D. Cheng. - Dordrecht -New York : Springer, 2010. - 834 p.
11. Defay R. Surface Tension and Adsorption / R. Defay, I. Prigogine. - New York : Wiley & Sons, 1966. - 432 p.
12. Harrison L.P. Fundamental Concepts and Definitions relating to Humidity and Moisture -Measurement and Control in Science and Industry / L.P. Harrison // Proc. Int. Symp. On Humidity and Moisture. - Vol. 3. - Fundamentals and Standarts, Reinhold. - New York, 1965. - P. 3-256.
13. Gray W.G. Essentials of multiphase flow and transport in porous media / W.G. Gray, G.F. Pinder. - Hoboken, New Jersey : Wiley & Sons, Inc., 2008, - 258 p.
14. D'Arcy H.P.G. Les fontanes publiques la ville de Dijon / H.P.G. D'Arcy. - Paris : Victor Dalmont, 1856.
15. Leverett M.C. Steady Flow of Gas-Oil Mixtures through Unconsolidated Sands / M.C. Le-verett, W.B. Lewis // Trans. AIME. - 1941. - Vol. 142. - P. 107-116.
16. Rhodes M. Introduction to Particle Technology / M. Rhodes. - New York : Wiley & Sons, 2008. - 320 p.
17. Mualem Y. A New Model for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Porous Media / Y. Mualem // Water resources Research. - 1976. - Vol. 12, No. 4. - P. 513-522.
18. Luckner L. A Consistent Set of Parametric Models for the Two-Phase Flow of Immiscible Fluids in the Subsurface / L. Luckner van M.T. Genuchten, D.R. Nielsen // Water Resources Research. - 1989. - 25, No. 10. - P. 2187-2193.
19. Brooks R.H. Properties of Porous Media Affecting Fluid Flow / R.H. Brooks, A.T. Corey // Journal of the Irrigation and Drainage Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers (ASCE). - 1966. - Vol. 92, No. IR2. - P. 61-88.
20. van Genuchten M.T. A Closed-Form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils / M.T. van Genuchten // Soil Science Society of America Journal. - 1980. -Vol. 44, No. 5. - P. 892-898.
21. Baggio P. Determinazione delle caratteristiche termoigrometriche dei materiali da costruzi-one porozi / P. Baggio, C. Bonacina, E. Grinzato, P. Bison, C. Bressan // Proc. 47th Congresso Nazi-onale ATI, Parma. - 1992. - P. 355-365.
Голубець Т.В. Определение равновесного увлажнения и собственной проницаемости пористого материала на основе изотерм сорбции или кривых задержки влаги
В рамках формализма объемного усреднения пересмотрены основные соотношения физики поверхности для пористого увлажненного материала. Сформулированы условия равновесия между жидкостью и газом в пористом материале. Отмечено функцию распределения размера пор за радиусом. В соответствии с экспериментальными данными, рассчитана зависимость относительных проникностей жидкости и газа в пористом материале от степени насыщения пор жидкостью. С помощью сравнительного анализа полуэмпирических моделей увлажнения предложен метод определения собственной проницаемости твердой фазы и равновесного увлажнения в пористом материале.
Ключевые слова: пористые материалы, адсорбция, капиллярные явления, диффузия жидкостей и газов.
Holubets' T.V. Specify of equilibrium damping and intrinsic permeability of porous media on the ground of sorption isoterms or water retention curves
In the range of volume averaging formalism the basic relations of surface physic for porous media have been revised. The equilibrium conditions between liquid and gas in the porous media have been formulated. The pore size distribution function has been defined. The relative permeability for liquid and gas in porous media as a function of the water saturation according to experimental data has been calculated. On the ground of comparative analysis for semi empirical models of humidification the method of definition for intrinsic permeability and equilibrium damping in the porous media has been introduced.
Keywords: porous media, adsorption, capillary phenomena, liquid and gas diffusion.
УДК 674.09:51-74:519.87:004.942 Доц. В.О. Маевський1, канд. техн. наук; доц. А.Я. Вус2, канд. фьз.-мат. наук; проф. Р.1. Мацюк1, канд. техн. наук
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РОЗПИЛЮВАННЯ КОЛОДИ РОЗВАЛЬНО-СЕГМЕНТНИМ СПОСОБОМ НА ПИЛОМАТЕР1АЛИ З УРАХУВАННЯМ Н РЕАЛЬНО* ФОРМИ
Розроблено математичну модель процесу розпилювання колоди паралельно до лшшно! регресшно! ос розвально-сегментним способом на пиломатер1али. Матема-тична модель ураховуе форму поверхш реально! колоди, отримано! за результатами
1 НЛТУ Украши, м. Льв1в;
2 Льв1вський НУ ¡м. 1вана Франка
