CC BY
20
-□ □-
Розглядаеться можливкть застосуван-ня методу послидовного аналiзу навкацш-них реалiзацiй у навкацшному полi морськог поверхт для динамжо-стохастичног моде-лi оцтки стану навкацшного поля на осно-ei моделювання процеЫв, що вгдбуваються в керованому динамшо-стохастичному навi-гацшному полi в ттересах пидвищення точ-ностi супутникового навиацшного забезпе-чення безпеки мореплавства
Ключовi слова: навиацшт реалiзацiг, динамто-стохастичне навиацшне поле,
безпека мореплавства
□-□
Рассматривается возможность применения метода последовательного анализа навигационных реализаций в навигационном поле морской поверхности для динамико-стохастической модели оценки состояния навигационного поля на основе моделирования процессов, происходящих в управляемом динамико-стохастическом навигационном поле в интересах повышения точности спутникового навигационного обеспечения безопасности мореплавания
Ключевые слова: навигационные реализации, динамико-стохастическое навигационное поле, безопасность мореплавания □-□
The opportunity of application of a method of the consecutive analysis of navigating realizations in a navigating field of a sea surface for dynamics-stochastic model of an estimation of a condition of a navigating field on the basis of modeling processes that take place in an operated dynamics-stochastic navigating field in interests of increase of accuracy of a satellite navigating safety of navigation
Keywords: navigating realizations, a dynamics-stochastic navigating field, safety navigation
УДК 656.61.052
ВИКОРИСТАННЯ АЛГОРИТМУ ПОСЛ1ДОВНОГО АНАЛ1ЗУ НАВ1ГАЦ1ЙНИХ РЕАЛ1ЗАЦ1Й ДЛЯ СТВОРЕННЯ ТЕОРЕТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ З РОЗПОД1ЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ
С.Ю. 1нф^мовський
Кандидат техшчних наук, старший науковий ствроб^ник Начальник вщдту розслщування, обл^у та профтактики аваршних подт - старший державний шспектор Державна морська шспек^я з безпеки судноплавства ГоловноТ державноТ шспекцп УкраТни з безпеки
судноплавства
Державна морська шспек^я з безпеки судноплавства
Держфлотшспекцп УкраТни вул. Ланжерошвська 1, м. Одеса, УкраТна, 65026 Контактний тел.: (048)785-44-72, 050-360-82-41 Е-маН: SInfimovsky_GGMI@mail.ru
Рiвняння статично! мехашки являють собою фь зичш обмеження, яю накладаються на випадковi поля похибок обсервацш нав^ацшного поля морсько! по-верхш. Детермшоваш складовi цих полiв виступають як осереднеш до певних просторово-часових масшта-6iB iстиннi поля. Рiзнiсть мiж осередненими та штин-ними полями дають випадковi складовi.
Вибiр теоретично! частини динамжо-стохастично! моделi еквiвалентний розпод^енню реальних полiв похибок обсервацiй нав^ацшного поля морсько! по-верхнi на детермшоваш та випадковi складовi. 1нфор-мацiя, необхiдна для стеження за еволющею детермь
нованих складових, як1 знаходиться у початкових та крайових умовах теоретично! частини модель 1нфор-мащя про випадкову складову мктиться у нав1гацш-них реал1защях пол1в похибок обсервацш.
Реал1зацп випадкових складових обираються з ансамблю нав1гацшних вим1р1в поля похибок обсервацш, як1 надходять у процес1 його анал1зу. Тому сама випадкова складова кожного з пол1в похибок обсервацш розпод1ляеться на дв1 компоненти. Одна описуе осереднену частину складово! й по сут1 являе собою поле умовних середшх значень, по ввдношенню до системи нав1гацшних вим1рювань. 1нша - е чисто ви-
падковою й вмщуе в себе ту частину реального поля. Яка не пльки не може бути врахована теоретичною моделлю, але знаходиться за межами точноси на-вiгацiйних вимiрювальних приладiв. У цю, найбiльш високочастотну, компоненту повинш бути включенi валяю похибки моделювання iстинного навтцшно-го поля морсько! поверхнi.
Використовуючи погляди до динамжо-стохастич-ного пiдходу, як виказанi у роботах А. Балакриш-нана [1], Ж. Лiонсу [5], Р. Калману [8], I. Сакави [11], С. Цафестасу [13], на сучасну теорж систем, у цьо-му та наступних тдрозд^ах, Грунтуючись на теорп управлiння здiйснимо розробку оптимальних методiв використання текучо! навтцшно! iнформацii про поля похибок обсервацш щодо створення теоретичних моделей стохастичних систем з розпод^еними параметрами у динамжо-стохастичних моделях нав^ацш-ного поля морсько! поверхш.
Одним з перших додатюв теорii оптимально! ф^ь-трацii у системах з розпод^еними параметрами були роботи Д. Штерсена [9, 10]. Д. Пiтерсен використову-вав модель поля К. Гауса - А. Маркова, яка являе собою узагальнення оптимального ф^ьтру Р. Калману на випадковi поля.
Заснований на цьому пiдходi метод сшвставлення теоретичних оцiнок та нав^ацшних реалiзацiй можна вважати методом послщовного аналiзу иав'иацшиих реалiзацiй.
Метою дано! стати е розгляд застосування методу послщовного аналiзу навiгацiйних реалiзацiй для спiвставлення теоретичних оцiнок та виконаних навтцшних реалiзацiй у ходi точностних оцiнок на-вiгацiйного поля морсько! поверхш.
Осюльки реальнi поля похибок обсервацш у на-втцшному полi морсько! поверхнi описуються не-лiнiйними рiвняннями динамiки, то мова тде про спрощену, лiнеаризовану динамiчну модель поля похибок обсервацш. Основним мiркуванням, що полягае в основi методу послiдовного аналiзу нав^ацшних реалiзацiй е iснування лiнiйного закону, котрому тд-порядкована динамiка поля похибок обсервацш, яке дослщжуеться, або сукупшсть взаемопов'язаних мiж собою полiв похибок обсервацiй. Динамiчна модель поля похибок обсервацш може бути використана, на-приклад, для дослщжень ухилень вщ осереднених значень реальних полiв похибок обсервацiй та на про-тязi малих, у порiвняннi з часовими масштабами осе-реднення, iнтервалiв часу.
Отже, надамо рiвняння динамжи лiнеаризованоi динамiчноi моделi поля похибок обсервацш у видi
Эа^^)
Эt
-+ | G (^^у^а^^^ f (X,t),
(X)
хк=ф к,к-А-1+Wk-1,
4 = нк хк+ч.
воно описуе поведшку деяко1 лiHiйH0l динамiчноl системи з розподiленими параметрами [9, 12]. Дослщ-жуване поле похибок обсервацш а(Х^) е виходом ще! системи, що збуджуеться полем f(X,t) з боку входу. Функщя Г. Грину G () характеризуе реакцiю системи на збудження й по суп може розглядатися як еквiва-лент перехвдно! функцii ф^ьтру Р. Калману (2). Рiшення рiвняння (1) можна записати у видi
а(^)= | G (X,t;У,t0 )а(у,^) dy +
(X) t
+ Л G (X,t;У, т) f (у, т^т
(X) to
(3)
Як i при одномiрному випадку, для знаходжен-ня алгоритму оптимального фiльтру необхщно, щоб функцiя збудження системи f(X,t) мала властивостi бiлого шуму за часом та не була корельованою зi зна-ченнями поля похибок обсервацш Ер (X,t)a(y,t)} = 0;
Е {f (X,t)a(y ,t)} = F(X,y,t)S(t-т); E{f (X,t)} = 0.
(4)
(1)
де а(^) - скалярна або векторна функщя, що описуе просторово-часове поле похибок обсервацш навтцшного поля морсько! поверхш; G(^^у^), t)s, - функцiя Г. Грину; f (X,t) - функцiя збудження, яка моделюе зовшш-нiй енергетичний вплив на поле.
Рiвняння (1) е аналогом рiвняння стану одномiрно-го фшьтру Р. Калману
(2)
Оптимальною, вщносно середньоквадратично! похибки, оцiнкою поля похибок обсервацш у майбутнш момент часу t е поле умовних середшх значень а(X,t) , яке шдуцшовано всiм а доступними навтцшним ви-мiрам значеннями а(х^0) при t)t0. Знаходячи умовне середне значення виразу (3) з врахуванням (4) маемо
а0(^) = Е0{а(^)}= |G(X,t;У,to)Е0{а(y,to)}dy, (5)
(X)
де через Е0 {а(y,t0)} позначено умовне математич-не очiкування поля похибок обсервацш по вщношен-ню до ушх навiгацiйних спостережень, яю надiйшли на момент часу ^ включно.
У межах корельованостi моделi поля похибок об-сервацiй рiвнянням (5) можна прогнозувати його значення. Для цього, як слщуе з (5), необхщно вирши-ти рiвняння динамiки (1) з початковими умовами Е0 {а(y,t0)}, яю являють собою мапу просторових розпод^ень поля похибок обсервацiй у початковий момент часу ^ .
У [2, 3] було показано, що мапи просторових полiв похибок обсервацш дощльно будувати на основi методу об'ективного аналiзу. Таким чином, оптимальний прогноз поля похибок обсервацш знаходиться шляхом застосування рiвняння (5) до мапи поля похибок обсервацш, розраховано! за допомогою оптимально! штерполяцп вимiряних значень навтцшного параметру у вузлах сггки. Оптимальна iнтерполяцiя за простором та оптимальний прогноз за часом послщовно виконуються для кожного штервалу часу .
Слiдуе врахувати, що як i при штерполяцп, так i при прогнозуваннi поля похибок обсервацш немину-чi похибки, яю виникають за рахунок недостатнього об'ему нав^ацшних спостережень та спрощено! ди-намiчноi моделi поля похибок обсервацш (за часом). Тому на кожному крощ екстраполяцп поля похибок обсервацш необхщна послiдовна корекцiя оцшок його значень. Виправлення похибок обсервацш у методi фiльтрацii Р. Калману - Д. Петерсена вщбуваеться
завдяки використанню нав1гацшно1 шформацп, яка мктиться у текучих значеннях нав1гацшних вим1р1в поля похибок обсервацш. Процедура виправлення по-хибок обсервацш складае основу методу послщовного аналiзу иав'иацшиих спостережень.
Уявимо нав1гацшш спостереження поля похибок обсервацш а(^) у вид1 лшшно! операцп, застосова-но'! до миттевого просторового розпод1лення значень поля похибок обсервацш [9]:
вкМ=/а(у,^gk(у+ пк(^ .
(X)
в к (t)=/а (y,t) ак (y,t)dy.
(X)
в к М = Рк (to )-в к-1 (t) .
£0 (X,to )= Е {Ц^ )-а 0 (ХЛ )| } .
Е{[(ах^)-а о (X,to )]вк (tm )} = 0,
к = 1, 2, ..., т = 0, -1, - 2, ... .
Шдставляючи (9) у (11), отримаемо
Е
а(х^)-СС-1 (х^ )-£ А1 ^Л )Р 1 (^)
вк (tm )[ = 0,
к = 1, 2, ..., т = 0, -1, - 2, ... . Для моменту часу р1вняння (12) мае вид
Е
а(х^)-а-1 (хЛ )-£ А, (х^0 )в 1 (to) 1=1
вк(tm)
, (13)
(6)
Функщю пк (t), яка враховуе похибки нав1гацшних вим1рювань, будемо вважати б1лим шумом. Функщя gk (У,t) враховуе одночасно просторове осереднення та шерцшш властивост1 нав1гацшного пристрою або методу нав1гацшного вим1ру поля похибок обсервацш.
За аналопею з р1внянням (5) запишемо вираз для прогнозовано'! на момент часу t величини вим1ру поля похибок обсервацш у точщ хк:
(7)
Позначимо ^ - момент часу, у який надшшли найб1льш тзт нав1гацшш вим1ри перед текучим моментом часу Якщо ус1 щ нав1гацшш вим1ри були використаш для створення мапи поля похибок обсервацш на момент часу то значення мапи позначимо а-1 (X,t-1). Прогностична мапа, яка створена на момент часу ^ при використанш тих самих нав1гацшних спостережень, буде позначена як а-1 (х^0).
Введемо до розгляду похибки у передржанш навь гацшних вим1рювань на момент часу ^
(8)
Осюльки величини вк (t0), за допомогою геоме-трично'! штерпретацп методу найменших квадрат1в [4, 6, 7], ортогональш множит даних нав1гацшних спостережень, як1 отримано на момент часу ^ та, отже, м1стять усю нову нав1гацшну шформащю про поле похибок обсервацш на момент часу ^ . Це озна-чае, що оптимальна оцшка поля похибок обсервацш у момент часу ^ повинна складатися з прогностично! мапи а-1 (х^0), до яко! оптимальним способом додаш значення поля нев'язок прогнозу
а 0 (X,to )=а-1 (X,to )+ЁАк (хЛ )в к (to) . (9)
к=1
Вагов1 коефщ1енти Ак (х^0) повинш вибиратися з умови мш1муму похибки
|21
(10)
Для знаходження вагових коефщ1ент1в надамо умову ортогональност лшшно! середньоквадратич-но! оцшки
к = 1, 2, ..., N0.
Визначимо кореляцшну функщю похибок прогнозу
Р0 (Х,У )= Е{[а(хЛ )-а-1 (^)] [а(у,^ )-а-1 (y,to )]}.(14)
Будемо вважати, що похибки проведених нав1га-цшних реал1зацш пк (t) некорельоваш з1 значеннями поля похибок обсервацш. Тод1, тдставляючи (6) - (8) у (13) отримаемо
N0
/ gk (у Л )Р (х,у )dy=ЕА, (X,to )х
(X)
/ /gk(^Л)gl (y,to)Р0 (з^)^2 + Яи (to)
(X) (х)
Кк. (to ) = Е {Пк (to) П, (to)}.
(15)
(16)
Позначимо у р1внянш (15) вираз у квадратних дужках Кк1. Тод1 маемо
Кк.(^)= / /8к(¿Л)8.(юЛ)р0(y,ю)№ + Кк.(to) =
(х)(х)
/ 8к С2, ^) [а (2Л)- а-1 (2Л)] ^ + Пк (^)
.(X)
/ 8. (ю,to) [а (ю,to) - а-1 (ю,to)] dю + п. (to)
й
= Е {[вк (^ )-в к,-1 (to )][в. (to )-в 1,-1 (^ )]} = = Е {в к (to )в 1 (^)}
(17)
Аналопчним чином знаходимо
/ 8к (у ,to )Р )dy =
(X)
(18)
/ 8к (y,t0 )E{[a(X,to )-а-1 (^0 )]х
^)
х[a(У Л )-а-1 (у ,to)]} dy = = Е {в к (to )[a(X,to )]-[а (^0 )-а-1 (X,to )} =
= е {в к (^ )а-1 (x,to)}
Вираз (16) являе собою коефщ1ент кореляцп у пол1 похибок прогнозу м1ж двома точками Xk та X1, у яких були зд1йснен1 нав1гац1йн1 вим1ри. Формула (18) дае вираз для взаемно! кореляц1йно! функц1! поля похибок прогнозу м1ж точкою Xk та дов1льною точкою.
З врахуванням цих двох р1внянь р1вняння (15) може бути розв'язане вщносно вагових коефщ1ент1в
N0
(11) Ак(^) = £[К-1 (to)] /81 (2Л)Р0(X,2)dz =
к1 (X)
N0
= ![К-1 (to)] Е{в1 (to)а-1 (x,to)}.
х
х
Як слщуе з останнього рiвняння, BaroBi коефвден-ти iнтерпoляцiï у пoлi похибок прогнозу прoпoрцiйнi величинi кореляцп мiж aнoмaлiями нaвiгaцiйних ви-MipiB ßl (t0) та нев'язками прогнозу а(X,t0). Якiснi змiни, викoнaнi поблизу точки X , у якш уточнюеться прогноз по фoрмулi (9), будуть врaхoвaнi з б^ьшою вагою, нiж нaвiгaцiйнi вимiри, слабо кoрельoвaнi з полем похибок обсервацш a(X,t).
На практищ для обрахування величин Ak (X,t0) неoбхiднo знати функцiю кореляцп P0 (X,z) на момент часу ^.Покажемо, що ця функцiя пов'язана рекурсш-ним спiввiднoшенням з функщею P_4 (X,z) та, таким чином може бути знайдена з аналiзу статистики поля похибок прогнозу на попередньому етат розрахунюв, тобто у момент часу t_4.
Введемо кореляцшну функцiю похибок прогнозу, яку буде мати поле тсля виконання корегування прогнозу по фoрмулi (9)
P0(X,y ) = E {[« (X,t0 ) _ « 0 (X,t0 )] [a (y ,t0 ) _ a 0 (y ,t0 )]} =
= E {[«(X,t0 )_a 0 (X,t0 )]a(y,t0 )}= (20)
= E {[a (X,t0 ) _ oc (X,t0 )] [a (y,t0 ) _ â _i (y, t^ )]}
Пiдставляючи (6) - (9) у (20) й враховуючи визна-чення P0 (X,y), знаходимо
N0
a(X,t0 )_« 0 (X,t0 )]_ËAk (X,t0 )x
k=1
x{ gk (z,t0 )[«(z,t0 )_« _1 (z,t0 )] dz [«(y,t0 )-« _1 (y,t0 )]} = (21)
(X)
N0
P0 (X,y )_EA k (X,t0 )J gk (Z,t0 )p0 (z,y )dz
k=1 (X)
Виведеш спiввiднoшення дозволяють написати ре-курсшне спiввiднoшення, яке пов'язуе кoреляцiйнi функцп (мaтрицi) P0(X,y), P_1 (X,y) та P1 (X,y) для двох послщовних мoментiв часу t0 та t1 [9]
pi (X,y ) = e{[«(x,ti )_a 0 (X,ti)][a(y,ti )_a 0 (y,ti)]} = = J J G(X,ti;z,t0)G(y,ti;s,t0)p0'(z,(5)d:zdü +
(x)(x) (22)
t] t
+ J J JJg (X,t1;z, t)G (y,t1; й, a)E {f (z, t)î (cô ,0)} dz.
(x) (x) tl tl
Це спiввiднoшення е аналогом рiвняння (3.86) од-нoмiрнoгo фiльтру Р. Калману. За його допомогою проводиться прогнозування статистики похибок методу пoслiдoвнoгo аналiзу навтцшних вимiрiв на момент часу t].
Таким чином, у кореляцшний алгоритм посль довного aнaлiзу для просторово-часових пoлiв похибок обсервацш нав^ацшного поля морсько! пoверхнi включаються у якoстi основних рiвнянь формули (15), (20) та (22).
Як i у oднoмiрнoму фiльтрi Р. Калману, процедура aнaлiзу полягае у послщовност iтерaцiй, у хoдi яких алгоритм приходить до стшкого стану й дае на кожний момент часу картину прогностичних значень, а та-кож ввдкориговану за рахунок останшх навтцшних спостережень картину текучих значень поля похибок oбсервaцiй.
При aнaлiзi на ПЕОМ реальних пoлiв похибок oбсервaцiй навтцшного поля морсько! пoверхнi
формули послщовного аналiзу навiгацiйних вимiрiв замiняються еквiвалентними !м кiнцево-рiзнiсними спiввiдношеннями. Тому на практищ заметь функцп Грину може бути застосована деяка тдпрограма, яка дае ршення рiвняння динамiки нав^ацшного поля морсько! поверхнi.
Важливою властивктю лiнiйноi динамiчноi моделi е рекурсшний зв'язок просторово-часово! кореляцш-но! матриц поля похибок обсервацiй К з функцi-ею Г. Грину
К (X - y,t — т)= | G (X - -р)К (г - у, р-т^г (23)
(X)
де
K (X _ y,t _т) =
E {[a(X,t)_ E {a(X,t)}][a(y, т)_ Ea(y, т)]Т }.
(24)
Введемо просторово-часовий та просторовий спек-три поля похибок обсервацш
ф(у, cc )=JJ K (X,t)eXp [_iX TV _ irat] dXdt . (25)
(X) -
Ф1 (V, cô)= J K (X,t)eXp [_iXTV] dX
(x)
(26)
Використовуючи умову некoрельoвaнoстi за часом функцп збудження f (X,t), яка входить до рiвняння (1), можна показати, що просторово-часовий спектр поля похибок обсервацш Ф^, ш) вказуеться через функщю Г. Грину й часто просторовий спектр Ф1 (V, ш). Для цьо-го тдставимо у рiвняння (24) вираз (3) й виконаемо операцп осереднення. Тад отримаемо
K (X _ y,t _т) =
м (27)
= J J J G(X_z;t_g)F(z_ûc)Gt(y _Ш;t_g)dzdcodo. ( )
(X) _»
Застосовуючи до цього виразу теорему Парсеваля й виконуючи перетворення Ж. Фур'е у прoстoрi й чaсi, знаходимо [10]
Ф(ч ш) = H(v, c)^(v )HT И _ш)= (28)
= H(V, <b)^(v )Ht*(v, ш) . ( )
де H(V,ш) - перетворення Ж. Фур'е вщ функцп Г. Грину;
Y(V) - перетворення Ж. Фур'е вщ F(X).
У той же час чисто просторове перетворення Ж. Фур'е вщ K () дае
Ф1 (V,t)= J Ht(V,t _p)^(V)HtT(_V,_p)dp .
(29)
Використаемо тепер влaстивiсть функцiй Г. Грину G (X _ z,t _p)= J G (X _ y;t _o)G (y _ z, o_p) dy
(X)
(30)
t >C>p
Для цього спочатку застосуемо до нього перетво рення Ж. Фур'е
Ht (V,t _p) = Ht (V,t _o)Ht (V, o_p) t >o>p
(31)
Покладаючи т = 0 в останнш фoрмулi й тдставля-ючи ïï у вираз (29), знаходимо
Ф (V,t)= Ht (v,t)фt (V,o), t)0, (32)
Фt (V,t)= Фt (V,0)HtT (_V, _t), t<0. ( )
Таким чином, для лшшно! динам1чно! модел1 поля похибок обсервацш можна виказати просторово-часо-вий спектр поля похибок обсервацш Ф(у,ю) у термшах чисто просторового спектру поля похибок обсервацш
(^,0) й функцп Г. Грину
Ф(у,ю)= Н(у,ю)Ф, (у,0) + Ф, ^,0)НТ (-V, -ю). (33)
Наведений результат, який належить Д. Петер-сену [10], виказуе основну притаманшсть алгоритму послщовного анал1зу нав1гацшних вим1рювань: взаемозв'язок просторового та просторово-часового спектр1в поля похибок обсервацш з1 спектром функцп збудження. Ця властив1сть означае, що за умови вщомо! динамжи поля похибок обсервацш немае не-обх1дност1 дослщження його статично! структури у р1зш моменти часу. Под1бш нав1гацшш вим1ри поля похибок обсервацш у початковий момент часу дають можлив1сть оцшити його кореляцшш та спектральш характеристики у вс1 наступш моменти часу. Вим1ри поля похибок обсервацш фактично використовуються лише для текучо! корекцп прогнозу або для компенса-цИ похибок щеал1зовано! динам1чно! модел1 нав1гацш-ного поля морсько! поверхш.
Комбiнуючи вираз (28) та (33), неважко отримати формулу для визначення спектру функцп збудження f(X,t) у рiвняннi динамiки поля похибок обсервацш
(V) =
= [H-1 (V, ra)H(v, ю)Ф, (V,0) + Ф t (V,0)HT (-V,-ю)] x (34) xHT1 (-V,-ю) = H"1 (V, ю^ (V,0)+Фt (V,0)Ht*"1 (V, ю).
Висновки та перспектива подальшо! роботи з даного напряму
Таким чином, формула (34) дуже важлива з наступ-них аспект1в. Перш за все - вона дае практичний спос1б оцшки спектру функцп збудження через просторовий спектр поля похибок обсервацш, який може бути от-римано з безпосередшх нав1гацшних спостережень. По друге, експериментальна перев1рка р1вняння (34), як 1 р1вняння (33), дозволяе судити про адекватшсть використано! лшшно! динам1чно! модел1 реальному полю похибок обсервацш нав1гацшного поля морсько! поверхш.
Лиература
1. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве./ Балакришнан А. - М.: Мир, 1974.- 258 с.
2. 1нф1мовський С.Ю. Моделювання просторово-часових пол1в похибок обсервацш методом оптимально! фшьтрацп // 1нфь мовський С.Ю. Матер1али науково-методично! конференцй "Сучасш проблеми тдвищення безпеки судноводшня" 7 - 8 жовтня 2009 р. в ОНМА.- Одеса.- С. 60 - 62.
3. 1нф1мовський С.Ю. Моделювання процеав у просторових випадкових полях похибок обсервацш методом оптимально! фшь-трацп // 1нф1мовський С.Ю. Схщно-бвропейський журнал передових технологш.- 2010.- № 1/5 (43).- С. 55 - 57.
4. Коломийчук Н.Д. Гидрография. / Коломийчук Н.Д. Л.: ГУНиО МО, 1975. - 485 с.
5. Лионс Ж. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных./ Лионс Ж. М., Мир, 1974.- 287 с.
6. Яглом А.А. Введение в теорию стационарных случайных функций. / Яглом А.А. - Успехи мат. наук, 1952, 7, № 5, С. 3 - 168.
7. Яглом А.А. Экстраполирование, интерполирование и фильтрация стационарных случайных функций. / Яглом А.А. - Тр. Моск. общ-ва, 1955, 4, С. 24 - 79.
8. KALMAN R.E. On partial realization of linear input/output map./ KALMAN R.E. - Guillemin Anniv. Vol., Holt, 1970, p. 211
- 234.
9. PETERSEN D.P. On the concept and implementation of sequential analysis for linear random fields. / PETERSEN D.P. - Tellus, 1968, 20, p. 78 - 93.
10. PETERSEN D.P. Static and dynamic constraints on the estimations of space-time covariance and wave-number-frequency spectral fields. / PETERSEN D.P. - J. Atmos. Sci., 1973, 30, p. 141 - 152.
11. SAKAWA Y. Optimal filtering in linear distributed-parameter systems./ SAKAWA Y. - Int. J. Control, 1972, 16, № 1, p. 115 - 127.
12. TZAFESTAS S.G. On the distributed parameter least-squares state estimation theory. / TZAFESTAS S.G. - Int. J. Systems Sci., 1973, 4, № 6, P. 883 - 858.
13. TZAFESTAS S.G. State-observer design for linear sequential machines./ TZAFESTAS S.G. - Int. J. Systems Sci., 1973, 4, № 1, P. 33
- 41.
