CC BY
26
ВИХРЕВОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОН
Хусаинова Галина Владимировна
канд. физ.-мат. наук, доцент Уральской государственной архитектурно-
художественной академии, РФ, г. Екатеринбург
E-mail: aldisa@mail. ru Хусаинов Дамир Зиннурович.
канд. физ.-мат. наук, доцент Уральской государственной архитектурно-
художественной академии, РФ, г. Екатеринбург
E-mail: damiran@mail.ru
THE VORTEX SOLUTION OF TWO-DIMENSION SINE-GORDON
EQUATION
Khusainova Galina
candidate of Science, associate professor of the Ural State Architecture and Art
Academy, Russia, Ekaterinburg Khusainov Damir
candidate of Science, associate professor of the Ural State Architecture and Art
Academy, Russia, Ekaterinburg
АННОТАЦИЯ
Рассмотрено вихревое решение (вырожденное солитонное решение) для двумерного уравнения синус-Гордон. Показано, что для ферромагнетика с анизотропией в «легкой плоскости» XY данное решение описывает статическое распределение намагниченности с меньшей энергией, чем в невырожденном случае.
ABSTRACT
The vortex solution (degenerate soliton solution) of two-dimensional sine-Gordon equation was considered. It has been shown that the solution obtained describes for the ferromagnetic with XY "easy plane" anisotropy static magnetization distribution with lower energy then in nondegenerate case.
Ключевые слова: вихрь; солитон; ферромагнетик.
Keywords: vortex; soliton; ferromagnetic.
Энергия ферромагнетика E с любым неоднородным распределением намагниченности записывается как функционал вектора M :
Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |
E =f Jm , ^ 1 d3 x (1) д xt 1
индексы i,k принимают значения: i,k=1,2,3, w — плотность электромагнитной энергии, явная запись которой зависит от рассматриваемой модели ферромагнетика [2, с. 9].
Рассмотрим модель ферромагнетика с большой анизотропией по оси Z: д < 0, д > 0 и |д|>>д ( д, д — постоянные анизотропии). Тогда в основном
состоянии вектор намагниченности M лежит в "легкой плоскости" XY: M = (м0 • cos Ф, M0 • sin Ф, о), = ^. В этом случае плотность свободной энергии
имеет вид:
1
w = —а 2
{ д МЛ
2
Vd X У
-1 Д№1 = 1 а(УФ)2 -1Д cos2 Ф (i=1,2), (2)
а — константа обменного взаимодействия.
С учетом (2) уравнение Эйлера-Лагранжа приводит к нелинейному двумерному статическому уравнению синус-Гордон:
ЛФ = гк^п2Ф, Ф = Ф(х,у) (3)
где: I — характерная магнитная длина, связанная с обменным взаимодействием и постоянной анизотропии: I =
Л
а
Д
Запишем уравнение (3) в безразмерных единицах (за единицу длины выбрана длина I) и сделаем замену и = 2Ф, тогда получим двумерное эллиптическое уравнение синус-Гордон:
AU = sin U, Д = (д 2 + д 2 ) (4)
Простейшее вихревое (вырожденное солитонное) решение уравнения (4) имеет вид [4, с. 3; 5, с. 36]:
ф<X.У) = ^ = , (5)
2 / <х. у)
g<х.У) = Ов" (6)
I < х. У) = 1 - е— (7)
где: О = дх- ру + с . " = (к ■ . к = (ео8ф. 8тф)= (р.д),
д. р."0.с — произвольные постоянные. Для удобства вычислений введена параметризация: к = (ео8ф. 8Шф), где ф — это угол, который образует вектор к с выбранной полярной осью в плоскости XY.
Решение (5) является вырожденным по параметру к, так как двум магнитным солитонам (180° -градусным доменным границам) соответствуют два равных по модулю и параллельных вектора к и к2 [4, с. 3]. Такое взаимодействие доменных границ приводит к образованию нового магнитного возбуждения — магнитного вихря в плоскости магнетика. Решения, описывающие топологические дефекты или вихри характеризуются следующим условием:
| (уФ)М = 2т. д = <дх. ду) , (8)
где: ^ — произвольный контур в XY плоскости, окружающий некоторую точку ^ 0,у0) — центр вихря, и с обходом, заданным против часовой стрелки,
п — любое целое число (топологический заряд вихря) [1, а 144]. Решения для п>0 называют вихрями, а с п<0 — антивихрями. Статическое распределение намагниченности, соответствующее вихревой конфигурации (9) приведено на Рис. 1. Оно показывает поле направлений вектора м в плоскости XY. Видно, что поле имеет типичную антивихревую структуру.
Оценим энергию ферромагнетика с таким распределением намагниченности. Пусть р = 0, q = 1, ц0 = -1п4, тогда из (5) получаем:
X
Ф = 2arctg- . (9)
shy
В этом случае магнитная энергия ферромагнетика:
E =1 |((УФ)2 - cos^)dxdy (10)
(выражения (10) записано в безразмерных единицах). Подставляя (9) в (10) и преобразуя полученное выражение, имеем:
E-E = fl-r;V + ^dd , (11)
J [ x + sh y (x2 + sh2y)
где: £0 =-11 сХйу — энергия основного состояния ферромагнетика.
X
Рисунок 1. Векторное поле для Ф = 2arctg—, мх = cos Ф, м = sin Ф А —
вИу
антивихрь
Выберем область интегрирования, как показано на Рис.2. Проинтегрируем по области I.
я я
1=¡ф рх]
х •2sh у .
10 ^¡0 ^ х2 + хЬ2у + ' = 71 + '2 .
Рисунок 2. Область интегрирования при вычислении энергии Е-Ео по
формуле (9)
После интегрирования по х, имеем:
71 = | dy
сЬ2 у
аг^ -
я
shy shy
, /2 = Лу
Rsh у Я2 + Ь у
Поскольку точно проинтегрировать по у выражения не удается, оценим поведение подинтегральных функций в интегралах II и 12 при больших К В этом случае, получаем:
70 = 7 + 72 ~ | Лу
1
2Я Яе
2 у
— вуаШр--
2 у
ву 4 Я2 + в2 у
1 I я 2Я 2Я — <в аго12-г- - в • аШр —
2 1 вя в
я +... (12)
Проинтегрируем по области II:
1 я | ^
1 = I а IН
2вЬ2 у ■ х2
I ахл - +----
1 [ х2 + 8Ъ2у (х2 + вЬ2 у )2
После интегрирования по х
сЬ2 у Я сЬ2 у 1 Rsh2 у вк2 у
г | сь у я сь у 1 = I ау<-аг^---аг^
с/71? с/71? с/71?
+ -
вЬу вЬу вЬу вЬу Я2 + вЬ 2у 1 + вЬ 2у
При больших Я:
1«1 - 1пл/2 . (13)
Таким образом, с учетом формул (12) и (13), находим:
Е-Е0 « 4■(я +1 - 1п42) . (14)
Результат оценки показывает, что при больших Я энергия линейно зависит от размера образца. Сравним наш результат с энергией ферромагнетика, соответствующего вихревому решению Худака, Такено и Ходенкова [6, с. 247; 7, с. 994; 3, с. 647].
Ф = 2 аШе—^ . (15)
42
Аналогичными вычислениями можно показать, что в невырожденном случае энергия ферромагнетика:
Е - Е0 = 4
7211+ -Л- Я -е-яГ2 я - 1п2-42
2еГ2 J 42
. (16)
о
о
Отметим, что рассмотренный невырожденный случай с распределением намагниченности, задаваемым формулой (15) соответствует случаю, когда доменные границы характеризуются перпендикулярными векторами к и к .
Из вышеприведенных результатов (14) и (16) следует, что в вырожденном случае, когда вектора к и к , характеризующие доменные границы, параллельны, энергия ферромагнетика, хотя и большая (линейная по R), но меньше, чем в невырожденном случае. Таким образом, вихревая конфигурация (9) соответствует меньшему значению энергии по сравнению с вихрем (15).
Список литературы:
1. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Новые типы вихреподобных состояний в магнетиках //ФТТ, — 1989 — Т. 31 — С. 140—147.
2. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук. Думка, 1983 — 192 с.
3. Ходенков Г.Е. Некоторые точные многомерные решения уравнений Ландау-Лифшица в одноосном ферромагнетике // ФММ, — 1982 — Т. 54,
— № 4 — С. 644—649.
4. Хусаинова Г.В. (Безматерных Г.В.), Хусаинов Д.З. Вырожденное солитонное решение двумерного уравнения синус-Гордон //Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире: материалы VII Междунар. научно-практической конф. СПб., — 2014 — Т. 1
— С. 32—38.
5. Bezmaternih G.V. (Khusainova G.V.), Borisov A.B. Rational - Exponential Solutions ofNonlinear Equations// Lett.Math.Physics, — 1989 — V. 18 — P. 1— 8.
6. Hudak O. On vortex configurations in two — dimensional Sine — Gordon systems with applications to the phase transitions of the Kosterlits — Thoules type and to Josephson junctions // Phys.Lett., — 1982 — V. 89A, — № 5 — P. 245—248.
7. Takeno S. Multi — (Resonant — Soliton) — Solitons and Vortex — like Solutions to Two — and Three — Dimensional Sine — Gordon Equations // Progr.Theor. Phys. — 1982 — V. 68, — № 3 — P. 992—995.
