CC BY
91
УДК 537.622.4
Вестник СибГАУ Т. 16, № 3. С. 770-775
МИКРОМАГНИТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОТОЧЕК С ОДНООСНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ
В. А. Фельк*, П. Е. Ерошенко
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Произведено численное моделирование основного состояния ферромагнитных наноточек с одноосной анизотропией. Расчет основного состояния проводился с использованием пакета трехмерного микромагнитного моделирования OOMMF для двух типов геометрии образца - кубической и эллипсоидальной с простыми кубическими решетками. Рассматривались случаи ферромагнетика типа «легкая ось» и типа «легкая плоскость». При моделировании были использованы материальные параметры пермаллоя и материалов типа SmCo. Последние допускают значения одноосной анизотропии, на несколько порядков превышающие технологически реализуемые значения у пермаллоя. Показано, что для эллипсоидальной наноточки с материальными параметрами пермаллоя существует переходная область по размеру образца, в которой основное состояние является сильно вырожденным. Установлено, что при превышении верхней границы переходной области имеется тенденция к стабилизации вихревого основного состояния. При любом размере образца пермаллоя эффектов зависимости топологии основного состояния системы от величины и знака константы одноосной магнитной анизотропии не выявлено. Для кубической геометрии образца пермаллоя существование стабильного вихря в основном состоянии оказывается возможным при размерах наноточки, в несколько раз превышающих эллипсоидальный случай. Для образцов с материальными параметрами SmCo большая одноосная анизотропия оказывает стабилизирующий эффект на вихревые структуры в основном состоянии наноточки. Вихревое состояние оказывается реализуемым для значительно меньших размеров наноточки по-сравнению с пермаллоем. При определенном размере наноточки SmCo основное состояние (в легкоосном случае) приобретает скирмионопо-добный характер.
Ключевые слова: наноточки, ферромагнитные вихри, основное состояние ферромагнетика.
Vestnik SibGAU Vol. 16, No. 3, P. 770-775
MICROMAGNETIC SIMULATIONS OF THE MAIN STATE OF FERROMAGNETIC NANODOTS WITH UNIAXIAL ANISOTROPY
V. A. Fel'k*, P. E. Eroshenko
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: [email protected]
The work performed numerical simulations of the ground state of the ferromagnetic nanodots with uniaxial anisot-ropy. The calculation of the ground state was performed using a three-dimensional micromagnetic simulation package OOMMF for two types of sample geometry - cubic and ellipsoidal with a simple cubic lattice. Cases were analyzed as a ferromagnet of the "easy axis " and "easy plane ". In the simulation permalloy material parameters and materials such as SmCo were used. The latter allowed values of the uniaxial anisotropy which is several orders higher than technologically realizable values from permalloy. It is shown that for an ellipsoidal nanodots with permalloy material parameters, there is a transition region, the size of the sample in which the ground state is highly degenerated. It is found that above the upper boundary of the transition region there is a tendency to vortex stabilization of the ground state. For any sample size permalloy effects depending on the topology of the ground state of the system on the magnitude and sign of the constant uniaxial magnetic anisotropy have been identified. For a cubic specimen geometry permalloy existence of a stable vortex in the ground state is possible if the size of nanodots is several times higher than that of the ellipsoidal case. For samples with material parameters SmCo large uniaxial anisotropy has a stabilizing effect on the vortex structure in the ground state nanodots. Vortex state is feasible for much smaller nanodots, in comparison with the permalloy. Under specific size of nanodots SmCo ground state (in the case of easy-axis) acquires skyrmion-like character.
Keywords: nanodots, ferromagnetic vortices, ferromagnetic ground state.
Введение. Нарастающий в последние годы интерес к наноматериалам с магнитным упорядочением обусловлен значительными перспективами их практических приложений [1]. Современные вычислительные возможности позволяют ставить численные эксперименты, учитывающие дискретность микромагнитной структуры исследуемой модели. Результаты подобных численных экспериментов представляют значительную ценность в ситуациях, не позволяющих в принципе получить аналитический результат. В связи с этим в последние годы появилось большое число работ по исследованию свойств наноматериалов, основываясь на их микромагнитных моделях [2-8]. Наряду с этим проводятся исследования по оптимизации численных алгоритмов и их адаптации к конкретным микромагнитным проблемам [9; 10].
В наиболее общем случае основное состояние маг-нитоупорядоченной системы получается в результате численного интегрирования дифференциального уравнения Ландау-Лифшица с диссипативным членом, начиная со случайно заданной начальной конфигурации магнитных моментов. Этот подход реализован в пакетах по микромагнитному моделированию ООММБ [11] и Ма^аг [12] и допускает исследование как статических, так и динамических микромагнитных проблем. Несмотря на общность подхода, он обладает тем недостатком, что для получения конечного распределения магнитных моментов происходит вычисление всей эволюции магнитной системы во времени. Данное обстоятельство существенно влияет на скорость сходимости алгоритма к равновесной конфигурации. Альтернативный подход для вычисления равновесной конфигурации магнитных моментов в конденсированной среде из ее дискретной модели, минуя вычисление промежуточных стадий эволюции магнитной системы, был предложен в работе [13].
Интерес к магнитным вихрям возник в 70-х гг. XX столетия, когда стало понятно, что в двумерных легкоплоскостных магнетиках вихри (или связанные вихревые пары) играют роль нелинейных (солитон-ных) элементарных возбуждений, а разрыв вихревых пар приводит к фазовому переходу Березинского-Костерлица-Таулесса [14]. В то же время вихри как топологически нетривиальные распределения намагниченности представляют интерес для фундаментальной физики магнетизма. Для малых магнитных частиц вихревое распределение намагниченности минимизирует энергию размагничивающего поля, т. е. вихри являются альтернативой обычной доменной структуры и реализуют основное состояние малых магнитных частиц различной формы [15; 16]. Интерес к магнитным вихрям значительно вырос в последние годы, когда они были обнаружены для случая субмикронных частиц магнитомягких материалов в форме плоского цилиндра [17]. Для таких систем обнаружены уникальные динамические свойства [18], в частности, неньютоновский характер динамики ядра вихря [19; 20]. Ожидается, что использование таких частиц позволит создать новое поколение устройств записи и обработки информации [21]. В работе [22] показана возможность существования вихревых состояний со сложной структурой вихревого ядра наряду со слабонеодно-
родными и стандартными вихревыми состояниями, известных при слабом дипольном взаимодействии.
Целью настоящей работы является численное исследование основного состояния ферромагнитных наноточек в зависимости от их геометрии и материальных параметров.
Постановка проблемы. Уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта, описывающее динамику намагниченности М ферромагнитной системы, имеет вид
сСМ __ | у |
С (1+ Х2)
2Ч М Х Н# _
м х
Ы, (1+ А2)
М х(м Х Н#), (1)
где у - гиромагнитное отношение; X - параметр затухания; Ы, - намагниченность насыщения; Н^ - эффективное магнитное поле, которое задается соотношением
Н
дК д - + -
дК
(2)
дМ дг д(дМ / дг)
Микромагнитная модель дает феноменологическое описание системы магнитных моментов как континуальной среды. При этом намагниченность является непрерывной функцией координат
М _ Ы, ■ т(х,у, 2), (3)
где т - единичный вектор, указывающий направление намагниченности в данной точке. В рамках микромагнитной модели предполагается, что магнетик является однородным и намагниченность насыщения -постоянная величина. Тогда полная энергия магнитной системы будет функционалом намагниченности. В ферромагнитных материалах полная энергия системы может быть представлена в виде суммы следующих слагаемых:
_ Е + Еа + Ег + Ес , (4)
где Ее - обменная энергия; Еа - энергия магнитной анизотропии; Е2 - энергия Зеемана; Ес - энергия размагничивающего поля. Каждое магнитное состояние системы является локальным минимумом функционала (4). Последний энергетический вклад Ес является ответственным за формирование ферромагнитных вихрей.
Плотность гамильтониана, соответствующая полной энергии (4), в общем случае выбирается в виде
К_1 аГ—1 _1 В(М1)2 _ МН +1МН т, (5) 2 ^ дг ) 2 2 т
где а = 2Л/Ы2 - параметр обмена (Л - параметр обмена, егя/еш); в = 2КХ/Ы2 - величина анизотропии (К1 - константа одноосной магнитной анизотропии, е^/сш3); 1 - направление оси анизотропии; Н - внешнее магнитное поле; Нт - размагничивающее поле формы образца. При численном моделировании внешнее магнитное поле на систему не налагалось, что соответствует отсутствию в (5) зеемановской энергии.
Численное моделирование основного состояния системы проводилось с использованием пакета трехмерного микромагнитного моделирования ООММБ для двух типов геометрии образца - кубической и эллипсоидальной с простыми кубическими решетка-
ми. При моделировании были использованы материальные параметры пермаллоя и материалов типа SmCo, допускающие значения одноосной анизотропии до 108 erg/cm3. Для пермаллоя Ni80Fe2o параметр обмена A = 2,6-10-6 erg/cm (в системе СИ ASI = 2,6-10-11 J/m), намагниченность насыщения Ms = 8,6-102 G (MsSI = = 8,6-105 A/m). Для SmCo A = 1,7-Ю"6 erg/cm, Ms = 9-102 G. Константа одноосной магнитной анизотропии K1 изменялась в диапазоне: для пемаллоя K = ±(10-2-104) erg/cm3 (KjSI = ±(10-3-103) J/m3) и для SmCo К = ±(105-108) erg/cm3. Здесь K1 > 0 соответствует анизотропии типа «легкая ось», а K1 < 0 - анизотропии типа «легкая плоскость». Кубическая магнито-кристаллическая анизотропия пермаллоя близка к нулю. Можно оценить изменение толщины доменной стенки L0 = (A/Ki)12, соответствующее выбранному диапазону K1. Для пермаллоя и SmCo оно составляет L0 = 10-2-10-5 m и L0 = 10-6-10-7 m соответственно. В обоих случаях размер образца меньше этой величины на несколько порядков.
Для реализации численного алгоритма образец разбивается на трехмерные ячейки. Локальные магнитные моменты задаются в узлах сетки, и полная энергия системы может быть вычислена как сумма по ячейкам. Размеры ячеек должны быть достаточно малы для корректного описания всех взаимодействий, входящих в (5). В частности, наиболее чувствительна к размеру сетки величина магнитостатической энергии. Плотность обменной энергии представляется в виде
Eal = 2 A
j^Ni
m К- - m j) Д2
(6)
Ean = K1^ (1 - т Я> ).
(7)
постоянна в каждой ячейке. Вклад магнитостатиче-ской энергии определяется формулой
Е = "£ Ма^*РМ'Р V. (8)
а, р
Усредненные размагничивающие факторы Жар вычисляются с использованием соотношений из работ [23; 24].
Результаты численного моделирования (пермаллой). При проведении численного моделирования наноточек использовался фиксированный шаг сетки разбиения Д = 5 пт. Однако для улучшения читаемости результатов на приведенных далее рисунках отображалась лишь часть магнитных моментов из общего массива. При этом область, приведенная на всех рисунках, соответствует всему образцу.
Эллипсоидная геометрия. Толщина наноточек фиксировалась и составляла 10 пт. Численное моделирование показало, что до размеров 50*50 пт (сфероидные наноточки) в основном состоянии реализуется однородная намагниченность образца (рис. 1).
где N - набор состоящий из 6-ти ячеек, ближайших к ячейке с номером /; т = М/М - единичный вектор, совпадающий с направлением намагниченности в данной точке; Ау - параметр обмена между ячейками с номерами / и у; Ду - шаг дискретизации между 1-й и у-й ячейками. Энергия анизотропии имеет вид
Л -
Л Ч Ч Ni
* Ч N Ч Ч Ч ч ч ч ч
\ \ Ч Ч Ч S s ч \ \
4 \ \ \ Ч Ч \ \ \ \
\ \ \ Ч \ \ \ \ \
\ \ \ Ч \ \ \ \ \ \
\ \ \ Ч \ \ \ \ \ \
1 \ \ \ Ч \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ Ч Ч N N ^ \ \ \
Ч N Ч Ч ч ч ч 1
N Ч Ч •s. ч ч
Направление легкой оси одноосной анизотропии выбирается перпендикулярно плоскости наноточки. Расчет размагничивающего энергетического члена основывается на допущении, что намагниченность
Рис. 1. Однородная намагниченность в основном состоянии для критического размера наноточки 50x50 nm; K1 = 102 erg/cm3
Интервал от 50 до 100 nm является переходной областью размеров, в которой происходит вырождение основного состояния, и наряду с однородной намагниченностью становится возможным формирование вихрей и антивихрей. От 100 до 500 nm вихревой состояние равновесной конфигурации становится доминирующим (рис. 2).
у у - * -
t / / 4 4 / ✓ / ✓ / S 1-J 4 4 tкг—' i f J 4 / U M / /■" 4 4 4 4 4 It m ; м w-u \ v \ \ i
\ \ \ \ Ч-.-*
1, \ "Ч ----
UV 'V .. -- -
» - - ».. ».
• • V N4*.
^ V V \ \
■ ■^»-ч V \
VV \ \ \ \
vVW \ АМН UHI ■ftfi t f f i t f f t
— » f ftft
■ -* ? f f
* / / 4 -» S S ■
\ "V V -- -, — • t' s
\ \ V V 4 *- *- s r-
• ^VVVM. — r- t- i- / J
\ v V ^ s s / / S 4
\ \ T— r s s 4 / 4 4
ч \ - s s 4 4 4 i i
1 1 -- / 4 i i i l i
1 1 t t M t M * i f 4 4 4 4 4
f 1 t t t t t t f HHUI
t f t f t f f S-* ч v \ V, \ ^
t t t t f f t*-* \ \ \ i,
t t f t f f *J>~r
* • f J s s ^ — 4 -4 \ 4 \
t f fjjrjr-* \ 4 4
S S S S * -f - » \ ч 4 4
Г r « * » ■ » "l ■
Рис. 2. Вихревое и антивихревое (справа) состояние при размере наноточки 300x300 nm; K = 103 erg/cm3
Начиная с размера 600 пш наблюдается стабилизация вихря в основном состоянии наряду с исчезновением вырождения. При любом размере образца эффектов зависимости топологии основного состояния системы от величины и знака константы одноосной магнитной анизотропии К не выявлено.
Кубическая геометрия. Вихревое состояние в кубической геометрии наноточки из пермаллоя оказывается возможным только при переходе через критический размер около 250 пш. При меньших размерах, как и в случае эллипсоида, имеет место состояние с однородной намагниченностью. В данной геометрии величина и знак одноосной анизотропии по-прежнему не оказывает влияния на топологию равновесной конфигурации.
Результаты численного моделирования (8тСо).
Эллипсоидная геометрия. Размер наноточки 50 пш: при переходе через К = 3-106 е^/сш3 происходит скачок направления намагниченности на п/2 с сохранением ее однородности. Вихревых состояний в этом случае не возникает. В легкоплоскостном случае в районе К = -1,5-107 е^/сш3 возникает стабильный вихрь при практически полном отсутствии вырождения (рис. 3).
Рис. 4. Многовихревое состояние при размере наноточки БшСо 200x200 пш; К = -2-106 е^/сш3
100 пш: в легкоосном случае стабильные вихри возникают при К = 105 е^/сш3. При больших К наблюдается скачкообразный переход в состояние с однородной намагниченностью. В легкоплоскостном случае при К = -(104-108) е^/сш3 основное состояние вырождается с возможностью возникновения как вихревого, так и безвихревого состояния. При размере наноточки 200 пш в районе К = 4,5-106 е^/сш3 основное состояние приобретает скирмионоподобный характер (рис. 5).
Рис. 3. Вихревое состояние наноточки БшСо с размером 50x50 пш; К = -1,5-107 е^/сш3
Размер наноточки 100 пш: при переходе через К = 5-106 е^/сш3 ситуация аналогична предыдущему случаю. При К = -(105-108) е^/сш3 основное состояние стабильное, безвихревое и невырожденое. При размере 200 пш, начиная со значений константы анизотропии К = 106 е^/сш3, основное состояние становится стабильно вихревым без вырождения. В районе К = 106 е^/сш3 происходит скачкообразный поворот намагниченности на п/2. В легкоплоскостном случае при К = -106 е^/сш3 происходит стабилизация вихря. При анизотропии более К = -106 е^/сш3 наиболее вероятным оказывается многовихревое состояние (рис. 4).
Кубическая геометрия. 50 пш: в районе К = = 106 ег^сш3 происходит скачок направления намагниченности на п/2 с сохранением ее однородности. Вихревые состояния в такой ситуации отсутствуют. Основное состояние остается однородным при любых значениях константы анизотропии в диапазоне К1 = = -(105-108) е^/сш3.
Рис. 5. Скирмионоподобное состояние в легкоосной наноточке БшСо 200x200 пш; К = 4,5-106 eгg/cш3
Заключение. В работе проведено микромагнитное моделирование основного состояния наноточек с материальными параметрами пермаллоя и 8шСо. Моделирование производилось для двух геометрий системы - эллипсоидной и кубической с одноосной константой анизотропии, которая изменялась в диапазоне К = ±(10-2-104) е^/сш3 для пермаллоя и К = = ±(105-108) е^/сш3 для 8шСо. Верхняя граница диапазона К = 104 е^/сш3 соответствует технологически реализуемой одноосной анизотропии у пермаллоя. Установлено наличие переходной области размеров наноточек, при которой становится возможна релаксация системы магнитных моментов к вихревому
состоянию. Показана зависимость переходной области от геометрии системы, которая для кубической геометрии в несколько раз превосходит эллипсоидный случай. Влияние величины константы одноосной анизотропии в случае пермаллоя не оказывает заметного влияния на характер основного состояния, в то время как у SmCo одноосная анизотропия в определенной области значений приводит к возникновению стабильных вихревых конфигураций в основном состоянии.
Библиографические ссылки
1. Синтез и исследование магнитных характеристик нанокристаллических пленок кобальта / Б. А. Беляев [и др.] // ФТТ. 2008. Т. 50. С. 650-656.
2. Micromagnetic simulation of magnetization reversal in small particles with surface anisotropy / W. Scholz [et al.] // J. Appl. Phys. 2004. Vol. 95, no. 11. P. 6807-6809.
3. Micromagnetic modelling of ferromagnetic cones / R. P. Boardman [et al.] // J. Magn. Magn. Mater. 2007. Vol. 312, no. 1. P. 234-238.
4. Micromagnetic simulations and analytical description of magnetic configurations in nanosized magnets / M. Kisielewski [et al.] // Physica B. 2006. Vol. 372. P. 316-319.
5. Магнитные свойства массивов эпитаксиальных нанодисков Co, упакованных на атомарно-гладких и вицинальных подложках Si / Л. А. Чеботкевич [и др.] // ФТТ. 2011. Т. 53. C. 2152-2156.
6. Влияние числа нанодисков в двумерных массивах на процессы перемагничивания / М. Е. Стеблий [и др.] // ФТТ. 2013. Т. 55. C. 705-708.
7. Перемагничивание эллиптических нанодисков Co/Si/Co полем зонда магнитно-силового микроскопа / В. Л. Миронов [и др.] // ФТТ. 2010. Т. 52. C. 21532158.
8. Single-domain circular nanomagnets / R. P. Cowburn [et al.] // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 1042-1045.
9. Magnetic normal modes in ferromagnetic nanoparticles: A dynamical matrix approach / M. Grimsditch [et al.] // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 054409-054415.
10. K. Rivkin, L. E. DeLong, J. B. Ketterson. Microscopic study of magnetostatic spin waves // J. Appl. Phys. 2005. Vol. 97. P. 10E309-10E312.
11. Donahue M. J., Porter D. G. Interagency Report NISTIR 6376. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD. 1999.
12. Scalable parallel micromagnetic solvers for magnetic nanostructures / W. Scholz [et al.] // Comp. Mater. Sci. 2003. Vol. 28. P. 366-383.
13. Беляев Б. А., Изотов А. В., Лексиков А. А. Микромагнитный расчет равновесного распределения магнитных моментов тонких пленок // ФТТ. 2010. Т. 52. C. 1549-1556.
14. Коршунов С. Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. № 176. C. 233-274.
15. Usov N. A., Peschany S. E. Magnetization curling in a fine cylindrical particle // J. Magn. Magn. Mater. 1993. Vol. 118. L 290-294.
16. Usov N. A., Peschany S. E. Vortex magnetization distribution in a thin ferromagnetic cylinder // Fiz. Met. Metalloved. 1994. Vol. 12. P. 1-13.
17. Тонкий ферромагнитный нанодиск в поперечном магнитном поле / В. П. Кравчук, Д. Д. Шека // ФТТ. 2007. Т. 49. C. 1834-1841.
18. R. Skomski. Advanced Magnetic Nanostructures / ed. by D. J. Sellmyer and R. Skomski // J. Phys.: Condens. Matter 15. R841. Springer, Berlin, 2006.
19. Неньютоновская динамика быстрого движения магнитного вихря / Б. А. Иванов [и др.] // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. С. 190-195.
20. О низкочастотном резонансе магнитных вихрей в микро- и нанопятнах / П. Д. Ким [и др.] // ФТТ. 2015. Т. 57. С. 29-36.
21. Kruglyak V. V., Demokritov S. O., Grundler D. Magnonics // J. of Phys D-Applied Physics. 2010. Vol. 43. Р.264001-264007.
22. Магнитные вихри в малых частицах ферромагнетиков с сильным дипольным взаимодействием / В. Е. Киреев, Б. А. Иванов // Письма в ЖЭТФ. 2011. № 94. С. 330-334.
23. Aharoni A. Demagnetizing factors for rectangular ferromagnetic prisms // J. App. Phys. 1998. Vol. 83. Р. 3432-3434.
24. Newell A. J., Williams W., Dunlop D. J. A Generalization of the Demagnetizing Tensor for Nonuniform Magnetization // J. Geophysical Research -Solid Earth. 1993. Vol. 98. Р. 9551-9555.
References
1. Belyaev B. A., Izotov A. V., Kiparisov S. Y., Skomorohov G. V. [Synthesis and studying of magnetic properties of nanocrystalline cobalt films]. FTT. 2008, Vol. 50, P. 650-656 (In Russ.).
2. Scholz W., Suess D., Schrefl T., Fidler J. Micromagnetic simulation of magnetization reversal in small particles with surface anisotropy. J. Appl. Phys. 2004, Vol. 95, No. 11, P. 6807-6809.
3. Boardman R. P., Fangohr H., Fairman M. J., Zimmermann J., Cox S. J., Zhukov A. A., P. A. J. de Groot. Micromagnetic modelling of ferromagnetic cones. J. Magn. Magn. Mater. 2007, Vol. 312, No. 1, P. 234238.
4. Kisielewski M., Maziewski A., Zablotskii V., Stefanowicz W. Micromagnetic simulations and analytical description of magnetic configurations in nanosized magnets. Physica B. 2006, Vol. 372, P. 316319.
5. Chebotkevich L. A., Yermakov К. S., Ognev А. V., Pustovalov Y. V. [The magnetic properties of epitaxial arrays nanodisks Co, packed on atomically smooth and vicinal Si substrates]. FTT. 2011, Vol. 53, P. 2152-2156 (In Russ.).
6. Steblyi М. Y., Kolesnikov А. G., Ognev А. V., Samardak А. S., Chebotkevich L. А. [Influence of nanodisks in two-dimensional array on the magnetization reversal processes]. FTT. 2013, Vol. 55, P. 705-708 (In Russ.).
7. Mironov V. L., Fraerman А. А., Gribkov B. А., Yermolaeva О. L., Gusev S. А., Vdovichev S. N.
[Reversal elliptic nanodisks Co / Si / Co magnetic field probe force microscope]. FTT. 2010, Vol. 52, P. 21532158 (In Russ.).
8. Cowburn R. P., Koltsov D. K., Adeyeye A. O., Welland M. E., Tricker D. M. Single-domain circular nanomagnets. Phys. Rev. Lett.1999, Vol. 83, P. 10421045.
9. Grimsditch M., Giovannini L., Monotcello F., Nizzoli F., Leaf G. K., Kaper H. G. Magnetic normal modes in ferromagnetic nanoparticles: A dynamical matrix approach. Phys. Rev. B. 2004, Vol. 70, P. 054409054415.
10. Rivkin K., DeLong L. E., Ketterson J. B. Microscopic study of magnetostatic spin waves. J. Appl. Phys. 2005, Vol. 97, P. 10E309-10E312.
11. Donahue M. J., Porter D. G. Interagency Report NISTIR 6376. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD, 1999.
12. Scholz W., Fidler J., Schrefl T., Suess D., Dittrich R., Forster H., Tsiantos V. Scalable parallel micromagnetic solvers for magnetic nanostructures. Comp. Mater. Sci. 2003, Vol. 28, P. 366-383.
13. Belyaev B. А., Izotov А. V., Leksikov An. А. [Micromagnetic calculation of the equilibrium distribution of the magnetic moments of thin films]. FTT. 2009, Vol. 52, P. 1549-1556 (In Russ.).
14. Korshunov S. Y. [Phase transitions in two-dimensional systems with continuous degeneracy]. UFN. 2006, Vol. 176, P. 233-274 (In Russ.).
15. Usov N. A., Peschany S. E. Magnetization curling in a fine cylindrical particle. J. Magn. Magn. Mater. 1993, Vol. 118, L290-294.
16. Usov N. A., Peschany S. E. Vortex magnetization distribution in a thin ferromagnetic cylinder. Fiz. Met. Metalloved. 1994, Vol. 12, P. 1-13.
17. Kravchuk V. P., Sheka D. D. [Thin ferromagnetic nanodisks in the transverse magnetic field]. FTT. 2007, Vol. 49, P. 1834-1841 (In Russ.).
18. Skomski R., Phys J. Condens. Matter 15, R841 (2006); Advanced Magnetic Nanostructures, Ed. by D. J. Sellmyer and R. Skomski, Springer, Berlin, 2006.
19. Ivanov B. А., Avanesyan G. G., Hvalkovski А. V. [Non-Newtonian dynamics of the fast motion of a magnetic vortex]. Pis'ma v ZhETF. 2010, Vol. 91, P. 190-195 (In Russ.).
20. Kim P. D., Orlov V. A., Prokopenko V. S., Zamay S. S., Prinz V. Ya., Rudenko R. Yu., Rudenko T. V. [About the low-frequency resonance of magnetic vortices in micro- and nanospot]. FTT. 2015, Vol. 57, P. 29-36 (In Russ.).
21. Kruglyak V. V., Demokritov S. O., Grundler D. Magnonics. J. of Phys D-Applied Physics. 2010, Vol. 43, P.264001-264007.
22. Kireyev V. Y., Ivanov B. А. [Magnetic vortices in small ferromagnetic particles with a strong dipole interaction]. Pis'ma v ZhETF. 2011, Vol. 94, P. 330-334 (In Russ.).
23. Aharoni A. Demagnetizing factors for rectangular ferromagnetic prisms. J. App. Phys. 1998, Vol. 83, P. 3432-3434.
24. Newell A. J., Williams W., Dunlop D. J. A Generalization of the Demagnetizing Tensor for Nonuniform Magnetization. J. Geophysical Research -Solid Earth. 1993, Vol. 98, P. 9551-9555.
© Фельк В. А., Ерошенко П. Е., 2015
