Вихреисточник, источник и вихрь с распределенным теплоподводом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том, XIV 19 8 3

№ 4

УДК 533.6.011

ВИХРЕИСТОЧНИК, ИСТОЧНИК И ВИХРЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ТЕПЛОПОДВОДОМ

А. Н. Кучеров

Решения для источника, вихреисточника и вихря в сжимаемом газе известны давно и являются классическими примерами точных решений уравнений газодинамики (см., например, [1—3]). На практике такие течения встречаются как фрагменты более общих и сложных течений в струях, соплах и каналах, а также течений, имеющих место при обтекании летательных аппаратов (вихри в углах, углублениях, за препятствиями и т. д.). Наиболее близкий аналог рассматриваемых течений — такие природные явления, как тайфуны, ураганы и смерчи [4]. Известно, что в некоторых смерчах скорость воздуха превышала скорость звука. Распределение физических параметров течения во внешней части урагана (вне „глаза бури") очень близко к случаю классического вихреисточника с ненулевой осевой составляющей скорости движения воздуха [5]. Наличие „глаза бури“—центральной части урагана—обусловлено, по-видимому, существованием минимального радиуса для вихря, источника и вихреисточника.

В настоящей работе исследуется влияние распределенного тепловыделения на характеристики упомянутых течений.

1.1. Постановка задачи. Введем следующие обозначения: г—координата, расстояние от центра симметрии вихреисточника до рассматриваемой точки (рис. 1), р-—плотность, р— давление газа, и—радиальная компонента скорости, V — азимутальная компонента скорости. Уравнения сохранения массы, импульса и энергии газа запишем в следующем виде:

£ (г р и) = 0;

СІГ

— [г {р-т? «2)] =р + р г'2;

(ІГ

(1)

здесь

энергия единицы объема газа,

1

Рис. 1

е — внутренняя энергия единицы масса среды (для идеального газа , где х—показатель адиабаты), Е—энергия, подводимая

(у. — 1)р

в газ в единицу времени на единицу массы (если источником тепловыделения является световой пучок интенсивности /, то Е = 6/, где & — коэффициент поглощения излучения на единицу массы газа).

Пусть т0 — обильность (расход) вихреисточника, Г0 — циркуляция, роо, Роэ — плотность и давление газа на бесконечности, где обе компоненты скорости и и V стремятся к нулю. При обезразмери-вании уравнений (1) примем за характерные величины плотность

1/ 1 f 2v- р°° poo, давление р-с, скорость 1/шах = \/ -----------------,

у Vх— 1)?°°

минимальный радиус

течения г0.

Для вихря

для источника

2- V„

щ

и 2к р V

too шах

для вихреисточника

т0 Poo ^тах

где т — некоторый безразмерный параметр, характеризующий относительную обильность вихреисточника.

Обезразмеренные уравнения системы (1) можно записать, проинтегрировав первое и третье, в следующей форме (специальных

обозначений для безразмерных величин не вводим):

а

йг

гри = т\

% - і

Г (Р и2 + % р)

2 7-

Г»=ГЭ-!Г-

1

2х

/7 + рг)2;

[ги [о (и2 4- -и2) -Ь р\ } гь^д (г).

Г о Ер

^00 ^тзх

характеризует интенсивность

тепловыделения, безразмерная функция распределения источников

энергии равна д (г) = ——, где Е0 — характерная интенсивность теп-

Е0

-'-Ры

ловыделения, /г0

энтальпия газа на бесконечности.

(* — 1) Р„

В отсутствие теплоподвода относительная обильность т и циркуляция Г вихреисточника связаны соотношением

1 —

х-1

х 4- 1 ( 2от2 \*+1

г2.

(3)

Поэтому течение характеризуется лишь одним параметром подобия

Г р Г

0 = — = — [1]. Физический смысл параметра в заключается в

т то

том, что ему пропорционален угол поворота

0 жидкой частицы

вокруг центра симметрии 0 = — I— йг = — I р0 (г) йг, где р0 (г)—

Г J и г ]

1 1

функция распределения плотности в вихреисточнике. Формально параметр в равен полному углу поворота жидкой частицы в газе постоянной плотности: 6 (ос) = 6 при р0(г)=1 (см. также [6]). При наличии теплоподвода течение характеризуется рассмотренными выше двумя параметрами подобия.

1.2. Слабое тепловыделение. При слабом тепловыделении параметр С• Решение будем искать в виде рядов по малому параметру <3:

Р = Ро И + <3 .Рі (г) + ■ ■ • ; Р = Ра (г) + Я Р\ (г) + ■ ■

и — й„ (г) + О щ (г) + а> = [ Ро (г)]*;

г Ро(г)

(4)

В нулевом приближении имеем известное решение для вихреисточника [источника (Г = 0) вихря (т — 0)]. Необходимо отметить, что теплоподвод не влияет на азимутальную компоненту скорости V. Функция плотности р0 (г) определяется из трансцендентного уравнения [1]:

г2 Г2 + «2/Рр(г)

1 — [Ро (г)]* 1

(5)

4—«Ученые записки ЦАГИ» № 4

49

Решение для вихреисточника с теплоподводом, как увидим далее, включает в себя, как частный случай, решение для источника. Случай вихря требует отдельного рассмотрения.

2.1. Вихреисточник и источник. Подставляя разложения (4) в уравнения (2), получим для первого приближения следующую систему:

р1 «о “Ь ро И\ = О,

(1их V. — 1 (1р{ _ р! V2

11г 2к. Лг г

Рп ип

~{ги0 [2р0 и0 + рі (u20 + v2)] + г/г, [Ро(и* + г»'2) + р*]} = г Ро д(г).

После однократного интегрирования уравнения сохранения энергии и подстановки в него функции их из уравнения сохранения массы газа находим выражение для функции рх через главный член возмущения плотности р1:

р, т

------з рі;

Ро г Ро

/гіРо(г1)^(г])с?г1 + С1

(6)

Постоянная Сі равна нулю для вихреисточника, а для вихрестока

С, = - і

ц йгх . Далее, подставив функции й, и р, в уравне-

ние сохранения импульса, после небольших преобразований получим:

СІГ

Рі /х+ 1

■ Ро \ 2

п*~ і

ІІ

г=

-1

2р5 Л*

Интегрируя это уравнение, находим решение для функции р, и, согласно (6), для функций и, и р{.

2 Р°

1 - М,

и,

о

* — 1 Ро ’ 2 Ро

(7)

где С2 — постоянная интегрирования. Для вихреисточника следует положить С2 — 0, чтобы решение (7) не имело особенности при

00 1 df

г -»■ 1. Для вихрестока С2= [ ~Г ~Г йги так как возмущения отсут-

д Ро а' 1

ствуют на бесконечности. Анализ выражений (6) и (7) показывает, что как для вихреисточника (яг > 0), так и для вихрестока (т<0) возмущения плотности рх и давления рх меньше нуля, функция их — больше нуля.

При Г == 0 решения (6), (7) описывают возмущения плотности, скорости и давления в поле источника (либо стока) при слабом тепловыделении. Вихрь (/га = 0) при слабом теилоподводе будет исследован в следующем разделе.

Заметим, что здесь и далее рассматривается истечение в затопленное пространство. Однако решения (6), (7) годятся и для случая истечения в вакуум.

2.2. Вихрь. В отсутствие теплоподвода предполагается, что

р

минимальный радиус г0 — ~— , безразмерная циркуляция Г = 1,

расход щ = 0 и радиальная компонента скорости и = 0. Невозмущенное течение для вихря в сжимаемом газе описывается следующим решением согласно (5):

Г 2

1

х—1

Ро = Ро

(8)

При наличии тепловыделения даже малой интенсивности расход и радиальная компонента скорости не могут быть строго равны нулю, так как при этом не будет выполнено уравнение сохранения энергии. Масштаб расхода радиальной компоненты скорости и возмущений плотности и давления, как это следует из системы (2), равен О112. Возмущения азимутальной компоненты скорости равны нулю. Решение системы (2) будем искать в виде рядов

Р = Ро (г) + <31/2 Р1 |

Р = А> (г) + 0}>2 Рг (/*)+.. (9)

а = С21/2 «!+.... |

Подставив эти разложения в систему уравнений (2), получим для главных членов возмущений газодинамических величин следующие уравнения:

ту .

Рг

■Г Ро

X— 1 2х V

■_ йрі

2 СІГ

_л_

йг

гщ

х — 1 сір, ,

--------- Г — + р і

2% йг

Г Ро

(10)

)

где т{ — некоторая постоянная, физический смысл которой заключи т,

чается в том, что она пропорциональна расходу, тх =—Ин-

тегрируя последнее уравнение, находим окончательно

<2

Р і =

2-л

2х

"х-1

*+1

/(г) = --

тх

Рі = г-

5 >Г-1/(г1)с'г1 + С2 1

Ї

\ Г\р(,ясіг1 Сі .1

/(01. «і

(11)

/- (і

Постоянные и С2 принимают различные значения для вихреис-точника и вихрестока, как уже было отмечено ранее.

Таким образом получено решение для стационарного возмущенного течения при слабом тепловыделении в поле вихреисточ-ника с малой обильностью. Относительно безразмерной функции

тепловыделения (г) пока достаточно знать, что она быстро убывает на бесконечности, так что функция /(г) при г -*ооограничена. Полученное решение (11) несправедливо в некоторой г-окрестности минимального радиуса, так как Ро {г) -»- 0 при г -*■ 1 и, следовательно, функция их (г) неограниченно возрастает.

Определим для этой малой внутренней области масштаб г, на котором внешнее решение (11) несправедливо, и построим решение для этой области. Введем внутреннюю переменную х: г—\-\-гх, е-^0. Согласно (8), (11) внешнее решение при г -*• 0 имеет асимптотику

1 * р = (2глр + . . . , р = (2е Х)'~1 + . • . :

и = 0'*~—'1-г +• • ■ ■ I (12)

(2е х)'-1

Пусть е = <За, где а — некоторая постоянная, больше нуля. Решение во внутренней области ищем в виде

1а а а х

и = $и\ (X)+ (?“/?, (X) + . . . , р = <2'-1 Я, {х).

Из уравнения сохранения массы системы (2) следует, что С/1 —

= пч , а из уравнения сохранения энергии следует, что Р! = [/?, (л:)] R1 (•*)

для любых а. Уравнение сохранения энергии в этом случае удобно использовать в следующем виде:

— ~ [1п (р р-х)] = Ярд(г).

% аг

Анализ уравнения сохранения радиальной компоненты импульса показывает, что непротиворечивый результат возможен только

у __ \

при единственном значении а, равном а —--------- . Для главных чле-

х + 1

нов возмущенных газодинамических величин это уравнение имеет вид

я £/, —1 +^- ■ "-!--#,= 0.

йх 2 х (1х

Подставляя в него функции Чх и Ри выраженные через функции Ри получим искомое решение для внутренней области:

1 1

т\ , х 4- 1 ( 2/и? \*-Н

—2х-\-С, С--------[/?! (О)]—1, (0) = —Ч .

/?, 2 \*-1/ (13)

и1=1ГТ\> Рг = [^(х)}\

/?! (*)

Постоянную интегрирования С определим из условия существования экстремума (минимума) функции х (Р.^) при л = 0(г=1). Функция х (/?,) неоднозначная, физический смысл имеет лишь та ветвь—из двух существующих, на которой плотность Рг возрастает с ростом координаты х. На этой ветви будет выполнено, как нетрудно видеть, условие сращивания внутреннего решения (13) с внешним (12).

Интересно отметить, что плотность /?! на расстоянии минимального - радиуса г— 1 не равна нулю. Это связано с тем, что фактически имеет место не вихрь, а вихреисточник, хотя и с малым расходом т = (31/2/?г1. На минимальном радиусе число М, построенное по радиальной компоненте скорости и местной скорости звука, обращается в единицу

м “я/V V т = №

Напомним, что для вихреисточника с относительным расходом 1 именно это условие (М, = 1) определяет минимальный радиус течения [1].

2.3. Произвольный по интенсивности теплоподвод. Пусть параметр С? является величиной порядка единицы, а безразмерную

функцию тепловыделения примем равной <7 (г) = ~ г' . Нор-

те

со

мировка функции ^ (г) выбрана таким образом, что у^2тсгйг=1,

1

при этом параметр (3 равен суммарному относительному потоку энергии в газ постоянной плотности р=1. С помощью численных расчетов построим точные решения при различных параметрах подобия Сир. После несложных преобразований уравнения (2)

| (И)

;

Граничные условия для системы (14) в случае источника (вихреисточника ) имеют вид

Р1г=1 = Ро(1), Р\г=1=Ро (1). (15)

где р0 (1) и ро (1) есть значения плотности и давления на минимальном радиусе в отсутствие теплоподвода.

Для стока (вихрестока) отсутствуют возмущения газодинамических величин на бесконечности, так как, во-первых, там нет источников тепла и, во-вторых, в отсутствие вязкости и теплопроводности тепло переносится только за счет движения газа. Следо-

вательно, имеем

Р|г=:00=1, />|г=ео=1. (16)

Граничные условия (15) и (16) соответствуют случаю истечения (либо стоку) в затопленное пространство. Случай истечения в вакуум в настоящей работе не рассматривается.

перепишем в виде

Ш Г .,2 •>//*■ — 1 р \

и = —, у = Мг == и} /(—-— ;

Г Р г I V 2 р I

хр о (г)

-— (Г2 р2 т2) — х ш С) р2--------------

йр _ г3 г

йг х — 1 ,

~^?р (1-м2)

. (Г2 Р2 + т2) — — г p*q (г)

а р г3 2 т

(1г х —

р р (1 — М

2\

3.1. Источник (вихреисточник). Уравнения (14) имеют особенность: при г 1 знаменатель обращается в нуль. Для устранения этой особенности введем новую независимую переменную х=У г—1. Тогда из системы (14) получим

2х

йр ________ 1(1+ -с2)3

Лх

р о(1 + хА

(Г- р2 + т") — х т <3 р2

— м;

гір

2х

—1— (Г*ра + и8)_1_!^-(1 + ^)р4д( 1+*2)

іІХ

?Р\

М;

мг2 =

-{тЪЖ-тУ-

(17)

Система (17) с граничными условиями (15) решалась численно с помощью схемы Рунге — Кутта. Результаты расчетов представлены на рис. 2—4. Рассмотрим сначала источник без циркуляции 6 = 0

Г = 0, т, — ^1 "^/ - ~ 11 при различных значениях параметров теплоподвода С}■ На рис. 2, а показаны распределения давления, на рис. 2, б—распреде-

И=0, Ц =1,0667

ления плотности, на рис. 3 распределения для скорости газа и местного числа М.

р,р

0,5

О

1 2 J

Рис. 4

Отметим, что давление, скорость и число М изменяются монотонно во всем поле течения, а плотность при некоторых значениях параметра Q начинает изменяться в поле течения немонотонным образом (см. сплошные кривые на рис. 2, а, б и рис. 3).

В малой окрестности минимального радиуса функции р и р имеют асимптотические представления р = р0 (1) + ахх + а2х2 + . . . , Р — Ро (1) + Ьхх + Ь^х2 -j- • • •, где коэффициенты ах и Ьь как показывает анализ, могут принимать одинаковые по модулю, но разные по знаку значения Представленные на рис. 2 и 3 результаты соответствуют положительным значениям ах и Ьи при отрицательных значениях ах и Ьх (но таких же по модулю) получим интегральные кривые с монотонно убывающими плотностью и давлением (см. штрихпунтирные кривые на рис. 2). Однако и в этом случае возможно истечение газа в затопленное пространство (с ненулевыми значениями плотности и давления на бесконечности), если где-то в поле течения возникает скачок уплотнения, как показано схематично на рис. 2 [7]. За скачком уплотнения число Мг станет меньше

dp d а

единицы, производные — и — изменят знак на положительный,

dx dx

так как знаменатель в уравнениях системы (17) изменит знак на противоположный. В дальнейшем давление и плотность будут монотонно возрастать с ростом координаты г и на бесконечности примут некоторые ненулевые значения.

Как нетрудно установить, исходя из системы (17), существует некоторое значение параметра

Q = Q* = [Po(l)]*-1 [р2 Ро2 (1)+ m2]j[m-q (1)], при котором постоянные ах и Ьх обращаются одновременно в нуль. Анализ показывает, что при Q = Q* постоянные а2 и Ь2 принимают действительные значения, если выполнено условие

Ч' (0 < [(*+ 1) Л-4]»

9(1) ^ 4 (x-f 1) А

При Q>Q* решение вообще не существует, таким образом, значение Q* является максимальным.

Пример расчета для вихреисточника представлен на рис. 4. Сплошные кривые соответствуют функции плотности р, штриховые—функции давления р. Параметр подобия G принят равным (7 = 5,21 {т — 0,1, Г = 0,521); параметр Q, характеризующий интенсивность тепловыделения, изменяется от 0 до Q*. Максимальное

значение параметра тепловыделения (3* = 2,151. Случай вихреис-точника с теплоподводом не имеет качественных отличий от случая источника, проанализированного выше.

3.2. Сток (вихресток). Область определения искомых функций

1 <; г <^оо преобразуем в конечный отрезок [0, 1] путем введения новой независимой переменной у = г~2. Такую замену подсказывает нам характер поведения функции р0 (г) при больших г, как это

/г- . сопэ! г,

видно из (5): р0—1-------------при г-» оо. В новых переменных произ-

водные

(1р (1 р

и — на бесконечности, где заданы граничные условия

Лу с1у

(16), принимают ненулевые значения. Уравнения (14) запишем

Ц = д{у)= ; М? = й*/

ту у

Р

йр

<1у

Лу

х т

— С? 2

Р2 Я (у)

р ( Г2 р2 -т- т2)

рр (1 — М2)

(18)

'Л —

4

1 <3 р4 д (у)

(Г2 р2 + /и*)

,рр(1 — М2)

Уравнения (18) с граничными условиями (16) решались численно также с помощью схемы Рунге—Кутта четвертого порядка точности. Расчеты прекращались на некотором радиусе г*, на котором радиальная компонента числа М с погрешностью в = 0,01 обращалась в единицу. Результаты расчетов представлены на рис. 5 и 6.

На рис. 5 показаны распределения плотности и радиальной компоненты скорости при значениях параметра С? = 0; 1; 5. Сплош-

те——0,1). Давление и плотность монотонно убывают вдоль линий тока, модуль радиальной компоненты скорости возрастает, причем тем быстрее, чем больше значение параметра теплоподвода С?. Радиальная компонента числа М монотонно возрастает от нуля до единицы. Следует отметить относительно слабое влияние вариаций параметра (2 на распределение давления в случае вихрестока по сравнению с другими газодинамическими параметрами и по сравнению с изменениями функции распределения давления в случае стока.

Как показывает анализ, теплоподвод изменяет область существования решения для стока и вихрестока. На рис. 6 представлены зависимости величины г., равной отношению минимального радиуса при наличии теплоподвода к минимальному радиусу поля течения при отсутствии теплоподвода, от интенсивности тепловыделения <3. Для стока (6 = 0) и вихрестока в некотором диапазоне значений параметра б теплоподвода уменьшается область существования решения, величина г* больше единицы, причем возрастает с ростом параметра С?. При достаточно большой завихренности величина г* меньше единицы.

Таким образом, исследовано влияние распределенного теплоподвода на газодинамические характеристики вихреисточника (вихрестока), источника (стока) и вихря. Для всех рассмотренных случаев существует минимальный радиус, на котором радиальная компонента числа М, равна единице. Существует некоторое критическое значение интенсивности тепловыделения (3* (при фиксированном параметре подобия О), разделяющее два семейства интегральных кривых, при котором решение в рассматриваемой постановке существует только при определенных условиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М., Изд. иностр. лит., 1961.

2. Зауэр Р. Течения сжимаемой жидкости. М., Изд. иностр. лит.,

1954.

3. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. Общий курс. М., „Наука", 1964.

4. Н а л и в к и н Д. В. Ураганы, бури и смерчи. Л., „Наука", 1969.

5. Шулейкин В. В. Расчет развития, движения и затухания тропических ураганов и главных волн, создаваемых ураганами. Л., Гидрометеоиздат, 1978.

6. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. М., Физматгиз, 1963.

7. П р о с н а к В. Ударная волна в двумерном радиальном газовом потоке. В сб. пер. „Механика". М., Изд. иностр. лит., 1957, № 6.

Рукопись поступила 30/ХП 1981 г.