CC BY
24
Том ХЬШ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2012
№ 2
УДК 533.6 + 535.211 + 533.9 + 536.46
ВЛИЯНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ ГАЗА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКАХ НА ТЕПЛОВОЙ КРИЗИС
А. Н. КУЧЕРОВ
Выполнен краткий обзор работ, направленных на оценку и определение доли поглощенной молекулами газа энергии, которая перешла в кинетическую энергию поступательного движения, с помощью измерения распределения давления на боковых стенках, параллельных потоку.
Исследовано влияние циркуляции в массовом источнике (стоке) на тепловой кризис, описаны новые эффекты, возможности управления потоком. Рассмотрены основные тенденции изменения параметров вихреисточника (вихрестока) при заданном теплоподводе в слое в зависимости от разновидности газа (показателя адиабаты), расположения и протяженности области энергоподвода, распределения интенсивности энерговыделения, величины циркуляции и краевых условий. Показана возможность управления переходом потока через значение числа Маха, равное единице.
Ключевые слова: источник, вихреисточник, теплоподвод, число Маха, кризис, параметры подобия.
В работах [1, 2] рассматривался трехмерный, стационарный слабый тепловой источник в сверхзвуковом потоке с целью определения сил, действующих на окружающие источник поверхности, границ области и количества выделенного тепла по измерению давления в окружающем пространстве. Показаны отличительные свойства трехмерного течения на примере сферического гауссова источника и других форм, вытянутых вдоль и поперек потока. Энерговыделение может создаваться электрическим разрядом, лазерным излучением, сгоранием топлива, другими химическими реакциями [3—10]. В аэрокосмических проблемах области тепловыделения играют важную роль в двигателях и при обтекании тел сверхзвуковым потоком для уменьшения сопротивления, нагревания или в целях управления ЛА [6—8].
Протекание и завершенность химических реакций контролировать непросто. Спектроскопические измерения при сложной конфигурации области выделения тепла не позволяют определить ее геометрию и распределение интенсивности. В большинстве случаев выделение энергии определяется путем измерения температуры потока, но и здесь возникают трудности. При измерении температуры потока термодатчиком он может измерять не только энергию, передаваемую ему нейтральными молекулами нагреваемого газа, но и энергию, выделяемую возбужденными радикалами на поверхности датчика. Необходима разработка альтернативных методов определения выделяемой энергии и областей ее выделения. В [7] рассматривается метод, связанный с измерением распределения давления газа. Распределение давления, оказываемое тепловым источником на стенку, параллельную потоку, определяется интегралами от источника, взятыми вдоль характеристик [11].
В [12, 13] исследовано силовое воздействие на горизонтально установленную в сверхзвуковом потоке пластину со стороны трехмерно-
КУЧЕРОВ Аркадий Николаевич
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
го слабого источника энерговыделения, сильно вытянутого вдоль потока. Нормальная к поверхности сила зависит от длины источника, расстояния до пластины, числа Маха потока, полной мощности источника, размера участка, по которому интегрируется давление. Учитывалось расширение кормовой части источника в направлении, перпендикулярном потоку и параллельном поверхности пластины. Установлено удовлетворительное соответствие с экспериментальными данными. Ранее в [7] силовое воздействие от источника слабого тепловыделения на пластину рассматривалось для бесконечного в поперечном направлении источника, т. е. для двумерного случая.
В [14] теоретически и экспериментально исследуется силовое воздействие со стороны вытянутого по потоку теплового источника на горизонтально установленную пластину, параллельную сверхзвуковому потоку. Источник создается электрическим разрядом в воздухе при пониженном давлении и может частично расширяться в кормовой части в сторону пластины. Рассмотрено влияние на силу, действующую на пластину за счет возмущения давления, длины источника, величины расширения источника в вертикальном направлении. Сопоставлены теоретические и экспериментальные результаты при различных расстояниях от оси источника до пластины, при различных длинах источника и различных величинах расширения в тыловой части разряда. В [15] обобщены материалы работ [12—14]. Отмечено, что источник тепла, как и источник массы, является источником звуковых волн [4, 16], распространение которых в сверхзвуковом потоке исследовалось уже в [16], хотя сверхзвуковой авиации тогда еще не было, но были объекты, распространяющиеся со сверхзвуковой скоростью — пули, снаряды. В стационарном пределе формируется картина возмущений, которые представляют собой сумму акустических возмущений. В дополнение к обзорам из [6—8] перечислены конкретные стационарные решения, полученные в рамках линейной теории [17—22, 10, 11] (см. также [23, 24]). В [17] решена плоская задача об обтекании слабого точечного источника тепла сверхзвуковым потоком. В [18, 10, 11] получено общее решение для возмущения давления в стационарном двумерном дозвуковом и сверхзвуковом потоке (см. также по поводу сверхзвукового случая [19]). В [20] получено решение об обтекании бесконечно тонкого факела — нити, конечной по потоку длины, сверхзвуковым потоком. В [21] это решение проинтегрировано и получено решение для цилиндрического источника конечной толщины. В [22] рассматривается решение для источника сферической формы. Особую область представляет трансзвуковой поток, в котором возможны ударные волны в случае слабого источника тепла [10, 25]. В [23] выполнен обзор численных решений нелинейных уравнений Эйлера и Навье — Стокса с распределенными источниками тепла.
В [24 — 26] вопросы о наличии, о пороге ударных волн и о возможности безударного перехода через скорость звука были использованы в качестве критерия сходства и отличия одно-, двух- и трехмерных течений с распределенными источниками тепла. Показано, что как в линейном, так и в общем нелинейном случае одномерный, двухмерный и трехмерный варианты существенно различны. В случае слабого трехмерного источника теплоподвода (линейный случай) ударных волн нет в главном приближении даже в трансзвуковом потоке, а в двухмерном и одномерном вариантах они могут быть [25]. В линейном и в общем нелинейном случае одномерный вариант принципиально физически отличается от двух- и трехмерных вариантов [24 — 26].
В одномерном потоке с теплоподводом в слое при превышении некоторого порога (количества) подведенной энергии, при котором число Маха внутри слоя достигает единицы, наступает тепловой кризис [27, 28] (не могут выполниться стационарные уравнения сохранения, в первую очередь, уравнение расхода газа). «Порог» появления ударных волн в одномерном случае связан с явлением теплового кризиса.
В цилиндрическом и сферическом массовом источнике [29—31] при теплоподводе в слое также возможно достижение числа Маха, равного единице, и запирание потока — тепловой кризис [32 — 34]. В отличие от строго одномерного случая возможна ситуация, когда внутри области тепловыделения число Маха, которое стремилось к единице, начнет удаляться от этого значения. Эта и другие отличительные особенности цилиндрического и сферического источника от одномерного потока рассмотрены в [33].
В цилиндрическом источнике с заданным тепловыделением в слое существенные изменения может внести наличие циркуляции потока [32, 35, 36].
Исследованию влияния циркуляции газа в вихреисточнике (стоке) на тепловой кризис посвящена настоящая работа. В одной работе невозможно описать все особенности и характерные черты влияния циркуляции на тепловой кризис, остановимся лишь на некоторых.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЕ
Уравнения сохранения массы, радиальной и азимутальной компонент импульса, энергии и уравнение состояния запишем в виде:
=0, (1)
р ёг и ёг г
ёи у-1 ёр V2 п ,,ёУ у-1 ёр п
и— + ^-----= 0 или V-+ ^--- = 0, (2)
ёг 2ур ёг г ёг 2ур ёг
^=-!, V2 = и2 + А (3)
ёг г
+ И)_ /(г)^[Е е = (у-1)^0р , у =(У-1)Р0Я0г0 (4)
ёг 7Ри 1ур(г) и0 Р0 и0 РЬ
Т = Р, с2 =Х-1г, М2 = -Д1-, М2 =. (5)
Р 2 (у-1) г (у-1) ^
Здесь все величины — безразмерные: г — координата; и, v, V — радиальная, азимутальная и полная скорости. Характерные величины: Р0 — давление на бесконечности в затопленном пространстве; р0 — плотность на бесконечности; и.0 = 2ур^ (7 -1) Р0) — максимальная скорость,
которая достигается при истечении в вакуум; Т0 = МА/^Р0 — температура, где И — универсальная газовая постоянная; ц — молярная масса газа; г — физический минимальный радиус.
Расход газа на один погонный метр есть ^0, кг/с/м, циркуляция — Г0, м2/с. Величины М, М г — полное и радиальное числа Маха; Е, У — параметры энергоподвода при погонной интенсивности тепловыделения в единицу объема go, Вт/м2 или на единицу погонной массы ^0, м• Вт/кг соответственно. Приняли go =р0Здесь /(г) — заданная функция (постоянная /= С в интервале [4, г2] или линейная /(г) = С1 (г2 - г)), нормированная к единице 2п|г/ёг = 1,
т. е.
С = 1 п(( - г12), ^ = 12п[(( - г3 )) + г2 х(( - г12)
. Введем безразмерные расход газа
т = т^/(2лр0и0г)) и циркуляцию Г = Г0/(2ли0г). Интегралы уравнений (1), (3), (4) запишем:
т Г Г0
гри = т =---, V= — =-0—, (6)
2пр0и0г0 г 2пи0г0г
1 [ ЕР (г) г г
Н(г) = Т + V2 = Ф(г) = 1 +—х\ , Р = Г /гёг, Р0 = Гр(г) /гёг. (7)
^ К (г) I I
Функции Р(г), Рр(г), Ф(г) характеризуют энергию, подведенную к текущему сечению г, величина Н(г) — полную энтальпию газа в долях энтальпии ^0 =7Р^(7-1)Р0. Начальная и замыкающая координаты равны гь = /¡, ге = г2 для вихреисточника и гь = г2, ге = г для вихрестока. Тепловой кризис наступает в сечении, в котором Мг = 1. Критическое сечение, совпадающее с замыкающим, обозначим гсг (гсг = г> — вихреисточник; гсг = г — вихресток), не совпадающее — г (г < г2 — вихреисточник; г > г — вихресток), критические параметры энерговыделе-
ния — Есг, Осг и £,, Ои> соответственно. Без энергоподвода f=0 из (2), (4) получим адиабату Пуассона р = р7, из (6), (7) — решения:
г2 =-£
т2 р2 + Г2 т2 р2 *
1 - 1 - Р(
+г2
т
Т 2/ (-1)
+г2
2В (г)
Г2 + т2 В ^
1 - Т
Т-./ \ 1 У-К,г2 Н 1 В (г) = 1 + ^— М2 = — _ —,
и 2 Т Т
(у-1)М2
р = /т = т1 ^ =
(8)
т го'
V = -
Г
В вихреисточнике (стоке) в минимальном сечении г =1 радиальное число Маха Мг = 1. Из условия минимума ёг/ёр| = 0 находим плотность р(1) и связь между расходом т и циркуляцией Г:
Р(1) =
—(1 -Г2 )
у + 1\ /
7-1 (
2
2т
7-7
у+1
2 у-1 т = -—
у+1
(пЛ ^
2 (1 -Г2) у + 1
(9)
Один из параметров подобия т или Г является независимым. Максимальная циркуляция составляет Гтах = 1 (при т =0, физическая Готах = 2пОо го), максимальный расход
ттах =(((у+ 1))^1)(Т+ (при Г = 0, физический то,тах = 2пР0О0г0ттах). Минимальный радиус вихреисточника на котором Мг = 1, в физических переменных в общем случае равен:
Г0 _ т0
г0 =
2по0Г 2пр0о0 т
(10)
Следовательно, физические величины Г0 и т0 также связаны между собой однопарамет-рической связью (10), зависящей от т либо от Г. В источнике (стоке) при заданном расходе т однозначно задается размерный минимальный радиус г0, так как безразмерный расход фиксирован т = ттах. В вихреисточнике (стоке) при заданном т в зависимости от безразмерного расхода т (или циркуляции Г) получим различный минимальный радиус П). Слабый теплоподвод (О, Е ■ 1) в вихре (точнее, в вихреисточнике при т ^ 0) описан в [36]. Связь между т и Г представлена на рис. 7 в [32] и на рис. 1 в [35] для 7 =1.1 (многоатомный газ), 7 =1.4 (воздух, двухатомный газ), 7 =5/3 (одноатомный газ).
Система уравнений (1) — (5) приводится к одному уравнению для р, о, р, Т или числа М, например:
ёМ_ М ёг
1 + М2
М 2 -1
м 2 = М2--—-2Г
1 1 ёФ
г 2Ф ёг
2
1 - М2 ( у + — 1 Мг|Т+ М2
(у-1)г 2Ф(г )
1 +
I-1 М2
2
Уравнения для р, и, р, Ттакже имеют особенности при Мг = 1. Решив уравнение (11) для М (г) с начальным условием М (г, ) = М6, найдем остальные величины:
T
_ ф(г)
1 +
V2 _
Ф(г M2
v ' 2
1 + 1M2
u2 _ V2-Lr.
r2
m
p_-, p _pT. (12)
ru
2. ВАРИАНТЫ, ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ
Существуют следующие Q- и Е-варианты: I — истечение в вакуум, p, p, T, v^ 0, и, V^ const при rII — истечение в затопленное пространство, p, p, T^ const, v, и, V^ 0 при r ^ III — течение из затопленного пространства; IV — истечение из области разреженного газа (из вакуума).
Параметры подобия: параметры энергоподвода Е и Q, показатель адиабаты у, начальная координата Г) зоны теплоподвода, протяженность зоны d и число Маха на входе M6, безразмерный
расход mили безразмерная циркуляция Г. Решения зависят от функции распределения f(r).
На рис. 1, a приведены радиальные числа Маха Mr (r) для Е-вариантов I (кривая l), II (2), III (3), IV (4) при циркуляции Г = 0.608, расходе m =0.0647, однородном тепловыделении f(r)_ C _ 0.06366 в слое ( _ 2, r2 _ 3), у =1.4. Кривые la, 2a, 3a, 4a соответствуют вариантам без теплоподвода f=0 (Е = 0). Отметим существенные увеличения энергии Фст, необходимой для достижения ситуации теплового запирания по сравнению с вариантами без циркуляции: Фсг _ 1.85, 40.67, 33.889, 1.405 (варианты I, II, III, IV, Есг _ 0.49, 22.75, 18.73, 0.231) против Фсг _ 1.582, 4.793, 3.144, 1.235 (Ecr _ 1.33, 9.30, 4.9, 0.536) при Г = 0. Наибольшее возрастание энергии Фсг наблюдается в варианте II истечения в затопленное пространство. В случае линей-
Рис. 1. Режимы теплового кризиса вихреисточника:
а — радиальные числа Мг(г) (у = 1.4, г1 = 2, г2 = 3, /(г) = С): 1 — вихре-источник в вакуум I, Г = 0.608 (т = т^А! = 0.0647), Ест = 0.490, Фсг = Ф2 = 1.85; 1а — без теплоподвода, Е =0; 2 — в затопленное пространство II, Г = 0.608, Ест = 22.75, Фсг = Ф2 = 40.67; 2а — Е =0; 3 — вихресток из затопленного пространства III, Г = 0.608, Ест = 18.73, Фст = Ф1 = 33.889; 3а — Е =0; 4 — из вакуума IV, Г = 0.608, Ест = 0.231, Фст = Ф! = 1.405; 4а — Е =0; б — полное давление р(г)
ного закона f(г) = С^ (г2 — г), С^ = 0.1364 для варианта II получили близкие значения
Ф* = 35.27 (Е* = 19.86), но кризис наступил ранее замыкающего сечения области тепловыделения при г* = 2.88 < г = 3. Эта особенность теплового кризиса в цилиндрическом и сферическом источнике, а также в вихреисточнике и стоке подробнее описана в [33, 35]. При Г = 0.302 (т = 3ттах/4 = 0.194) и 0.707 (т = т^/8 = 0.03235) для /=С и / = Сь (г2 — г) получили
Фсг = 6.856 (( = 11.5), Ф* = 6.721 (Е* = 10.01, г* = 2.859), Г = 0.302 и Фсг = 123.0 (Есг = 35.0), Ф* = 109.2 (Е* = 30.79, г* = 2.883), Г = 0.707 соответственно.
На рис. 1, б представлены распределения полного давления р( = р(1 + (у-1)2хМ ) .
Как и положено, во всех вариантах I — IV при теплоподводе полное давление уменьшается (кривые 1, 2, 3, 4).
Сравнение величин Фсг для вихреисточника (вихрестока) и источника (стока) при фиксированном расположении (г = 2), протяженности области ( = гг -г = 1), законе теплоподвода
(/= С) и циркуляции (Г ~ 0.608) свидетельствует о том, что энергия, при которой наступает тепловой кризис, больше в вихреисточнике. В случае затопленного пространства величина Фсг почти на порядок больше, чем при Г = 0. В случае разреженного пространства отличия Фсг не превышают 17%. Отметим, что параметр энергоподвода Есг не определяет полностью величину энергозатрат для достижения теплового запирания, так как Фсг = 1 + Есг/2яут (с учетом Е(ге) = 1/2п). Интеграл энергии Ф зависит от параметра энергоподвода Е, расхода т (или Г), разновидности газа (показателя адиабаты у). В (-варианте в подынтегральное выражение для Ер (г) входит плотность газа р(г).
На рис. 2 представлены распределения радиальной компоненты скорости и (г), полного числа Маха М(г), интеграла энергии Ф(г) (равного полной энтальпии Н(г)) для вихреисточника, истекающего в затопленное пространство (вариант II), при циркуляции Г = 0.608, расходе т = ттах/4 = 0.0647, у =1.4, г1 = 2, г2 = 3, однородном распределении f(г) = С = 0.06366, при
значениях Еи (, близких к критическим. Распределения температуры Т(г) близки к Ф(г), скорости звука с (г) — к Т (г). Значительно различаются параметры энерговыделения Есг = 22.7 и (сг = 768.25. Менее существенно — критические значения полного интеграла энергии Фсг = 40.7 и 35.2. Результаты показывают различия (- и Е-вариантов для Ф(г).
Рис. 2. Вихреисточник в затопленное пространство т = ттах/4 = 0.0647, Г = 0.608 (у =1.4, г1 = 2,
г2 = 3, f(г) = С):
а — радиальная скорость и(г); б — полное число М (г); в — интеграл энергии Ф(г)= Н(г) (полная энтальпия); 1 — Е-вариант, Еа = 22.7, Фст = 40.7; 2 — (-вариант, (а = 768.25, Фст = 35.24; 1а — без теплоподвода, f =0
Рис. 3. Вихреисточник в затопленное пространство II. Зависимости критических значений энергии Ф*, Фст от циркуляции (а), от расхода (б) и зависимости энергетического параметра Е* от начальной координаты г (в) при ё =1, у =1.4, распределении / = С1 (г2 - г):
а, б — 1 — Ф*, г = 1.1 (г2 = 2.1), 2 — 1.3 (2.3), 3 — 1.5 (2.5), 4 — 2.0 (3.0), 5 — 3.0 (4.0); кривые 6и 7 — Фст, л = 2 и 3, однородное тепловыделение / = С; в — 1 — Г = 0 (т = т^,, = 0.2588), 2 — 0.454 (0.1294), 3 — 0.608 (0.0647), 4 — 0.7766 (0.01617), 5 — 0.8953 (0.00202); /= С (г2 - г)
Результаты рис. 3, а, б показывают слабые отличия интеграла энергии Фст при постоянном и линейном законах тепловыделения /(г) (см. кривые 4 и 6, 5 и 7). Отметим существенную зависимость критических значений энергетических параметров от циркуляции. Координата критического сечения г в случае линейного закона / изменяется слабо, причем наибольшие отличия от координаты замыкающего сечения г> наблюдаются при Г ^ 0. Таким образом, циркуляция Г — предмет исследования в настоящей работе, существенно влияет на Фст.
3. ЗАВИСИМОСТЬ ЭФФЕКТА ОТ МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ гь И ДЛИНЫ ЗОНЫ ё
На рис. 3, а, б приведены зависимости параметров Фст, Ф * от циркуляции Г, от расхода т при различном удалении области энергоподвода гь = г = 1.1 — 3, от сечения минимального радиуса г =1 (при длине ё =1, г> = 2.1 — 4, у =1.4, /= С и / = С1 (г> - г)), на рис. 3, в — зависимости Е* от г при / = С1 (г> - г), и различной циркуляции Г = 0—0.895 (и, соответственно, различном расходе т =0.002 — 0.2588, при у =1.4). Положение области тепловыделения существенно влияет на тепловой кризис, на критические значения энергетических параметров Ест, Е*, на полную подведенную энергию Фсг, Ф:. С увеличением расстояния г1 величины Е и Ф растут, причем наиболее сильно при больших циркуляциях (см. рис. 3, в). Если зафиксировать положение зоны тепловыделения (расстояние г) и увеличивать циркуляцию Г (уменьшать расход т), величины Ест, Е и Фст, Ф сильно возрастают, особенно на больших расстояниях г1 (см. рис. 3, а, б).
На рис. 4 показаны распределения радиального и полного чисел Маха при постепенном росте координаты г от 1.1 до 3 при постоянной ширине ё =1 (у =1.4, / = С1 ( - г),
Г = 0.608, т = 0.0647). Критические значения энергетического параметра возрастают от 1, 2 Е* ~ 1.941 до 55.68, подведенная энергия в критических сечениях составила Ф* ~ 4.14—97.8.
Рис. 4. Распределения радиального Мг(г) кривые 1, 3, 5, 7, 9) и полного М (г) (кривые 2, 4, 6, 8, 10) при удалении зоны тепловыделения от минимального сечения г =1 (ё =1, у =1.4, /= Сь (г2 - г), Г = 0.608, т =0.0647):
г = 1.1 (г2 = 2.1, Е. = 1.9415, г* ~ 1.861, Ф* = 4.14); 3, 4 — А =1.5 (г2 = 2.5, Е* = 7.7108, г* = 2.351, Ф* = 14.1); 5, 6 — г = 2 (г2 = 3, Е* = 19.86, г* = 2.88, Ф* = 35.2); 7, 8 — г = 3 ^> = 4, Е* = 55.688, г* = 3.91, Ф* = 97.8); 9, 10 — Е =0
Критический радиус изменялся от г* ~ 1.86 — 3.91. Отличие от координаты замыкающего сечения г> небольшое и незначительно отличие разности г> — г* в начале и в конце рассмотренного диапазона величин г = 1.1 + 3. С увеличением длины области тепловыделения 6 (при этом
г) 6г = 1 в силу нормировки постоянной С) значение параметра энерговыделения Есг растет, подведенная к критическому сечению энергия Ф (гтах) также увеличивается (гтах = г? или г*).
4. ВАРИАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ у
Отметим значительное увеличение температуры для результатов, представленных на рис. 3, при больших энерговложениях Ф* (см. рис. 3, а, б). Например, Т* = Тр^(г*)/Т0 составило 7.04 (при Г = 0, 1 = 3, Ф*= Ф*,рЬу5/4 = 8.43), 16.2 (0.454; 2.5; 19.5), 29.3 (0.608; 2.0; 35.2), 25.9
(0.7766; 1.3; 31.3), 21.5 (0.895; 1.1; 26.0). Следовательно, необходим учет реальных свойств газа, если под параметрами р0, Р0, Т0, А в затопленном пространстве понимать, например, параметры земной атмосферы в нормальных условиях [37, 38] р0 = 1.225 кг/м3, р = 101325 Па, Т0 = 288.15 К, 4 = 289 500 Дж/кг, у =1.4.
На рис. 5 при различных значениях показателя адиабаты у = 1.1, 1.4, 1.6667 представлены результаты для вихреисточника, истекающего в затопленное пространство с теплоподводом в полосе шириной 6 =0.1, начальной координатой г = 1.1, с линейной функцией распределения
f = Сь (г> — г). Показаны распределения скорости и (г), числа М (г) и полной энтальпия газа Н (г), которая равна подведенной энергии Ф (г).
Рис. 5. Вихреисточник в затопленное пространство II (6 =1, Т\ = 1.1, f= С1 (г2 — г)): а — скорость и(г): 1 — у =1.1, Г = 0.608, Е< = 0.04171, г. = 1.192, Ф< = 6.729; 2 — у =1.4, Г = 0.895, Е. = 0.14278, г. = 1.195, Ф. = 9; 3 — у = 1.667, Г = 0.954, Е. = 0.3510, г. = 1.196, Ф. = 14.1; б — число М(г) (Е незначительно меньше Е.); в — полная энтальпия газа Н(г) = Ф(г), 1а, 2а, 3а — Е =0
а) °Т-0 1.5 У о) % Ы Кб 1 л) 1,0 1.2 1.4 }.б Т
Рис. 6. Вихреисточник в затопленное пространство II. Зависимости критических значений параметра энергоподвода Е., интеграла энергии Ф., локального пика числа Мтах,
температуры газа Т. от показателя адиабаты у: а — 1 — Е.(у), Г = 0, ттах = 0.1339 —0.2588 —0.3247 (у = 1.1 — 1.4—1.667, ц=3, 6=1, f = Сь г — г)), г. =3.882 — 3.904; 2 — Е.(у), Г = 0.2527—0.454—0.54120, т = тт» /2 = 0.06698 — 0.1294 — 0.1623, г. = 3.89078 — 3.910; б — 1 — Е<(у), 2 — Мтах — 1 при п = 1.1, 6 =0.1, f = Сь г — г), т = ттах/128 = 0.00104 — 0.002 — 0.00253, Г = 0.608 — 0.895 — 0.954; в — 1 —
Ф.(у), 2 — Т.(у)
На рис. 6 показаны зависимости величин Е*, Ф *, Мтах и Т* от у. Отметим рост критических значений энергетического параметра Е*, полной энергии Ф*, температуры Т* и уменьшение локального пика числа Мтах = М (.^ж )> где гтах — замыкающее сечение зоны тепловыделения, с увеличением показателя адиабаты у, т. е. при переходе от многоатомного газа к одноатомному.
5. ПЕРЕХОД ЧИСЛА МАХА ЧЕРЕЗ ЕДИНИЦУ ЗА СЧЕТ ТЕПЛОПОДВОДА
В вихреисточнике с циркуляцией потока можно управлять переходом через скорость звука в сечениях, близких к критическим. В конкретных приложениях вихреисточник может дать на выходе сверхзвуковой поток или дозвуковой поток, переходящий в сверхзвуковой на входе в прямолинейный участок или искривленный, ограниченный стенками трубы или канала, созданными вдоль линий тока.
Параметры при тепловом кризисе
Параметры Значения
т 0.0647 0.0647 0.0647 0.0647 0.01617 0.00202
Г 0.608 0.608 0.608 0.608 0.7766 0.89531
ё 0.5 1 1.5 2 0.5 0.5
гг = 1 + ё 1.55 2.05 2.55 3.05 1.55 1.55
Е* 0.7824 1.464 2.2182 3.05381 0.3687 0.1036
М -^тах 1.245 1.103 1.048 1.021 1.244 1.163
г ~ г -'тах -'* 1.399 1.771 2.154 2.534 1.321 1.463
Ф(г ) Ф* ^у-'тах/ ^ * 2.227 3.303 4.498 5.815 3. 418 6.612
Т(гтах ) ~ Т* 1.701 2.656 3.687 4.813 2.61 5.204
м 0.968 1.755 2.462 3.101 1.097 1.192
В таблице приведены параметры газа в сечениях теплового кризиса в различных условиях: начальная координата зоны теплоподвода равна г = 1.05, длина зоны ё =0.5 — 1 —1.5 — 2, показатель адиабаты у =1.4 (воздух, азот), закон тепловыделения f = С^ (.2 — г). Приведены критические значения энергетического параметра Е* и координата г*, максимальное значение числа Мтах (в критическом сечении), температура Т* = Т(г*), полная энергия Ф *, время пролета жидкой частицы через область тепловыделения At = ^ ёг/ы (г) от г до гтах = г*. Для представленных
в таблице данных циркуляция вихреисточника составляла Г = 0.608—0.8953 при у = 1.4, расходе т = штак/4 = 0.0647, т^/16 = 0.01617, т^/128 = 2.02 10—3.
Были также выполнены расчеты при г = 1.1, ё = 0.1 — 0.5—1, у = 1.1, 1.4, 5/3 (многоатомный газ, двухатомный (воздух), одноатомный), f= С и f = С^ ( — г). Расход составил
т = т^/128 = 2.02 10—3 (у = 1.4), 1.0466 10—3 (у = 1.1), 2.537 10—3 (у = 1.6667), циркуляция вихреисточника Г = 0.8953 (у = 1.4), 0.6083 (у = 1.1), 0.9548 (у = 1.6667).
С уменьшением длины области тепловыделения ё от 0.5 до 0.1 значение М тах растет, значение параметра энерговыделения Есг убывает, подведенная энергия Ф (гтах) уменьшается. При переходе от однородного тепловыделения f= С к линейному f = С^ (г> — г) изменения параметров незначительные, наблюдается слабое уменьшение Е*, Ф * (по сравнению с Есг, Ф2) и слабое увеличение М тах.
Уменьшение показателя адиабаты у от 1.4 в сторону многоатомного газа приводит к значительному снижению Е* и менее существенному уменьшению величины Ф* при заметном росте локального пика числа Маха в замыкающем сечении области теплоподвода Мтах. При переходе
Рис. 7. Зависимости локального пика числа Мтах в критическом сечении от начальной координаты Т\ (а) и циркуляции (б), у =1.4:
а — 1 — Г = 0.454, (ё =1), 2 — Г = 0.608, (ё =1), / = Сь (г2 - г); б — 1 — Л = 1.05 (ё =0.5), 2 — п = 1.1 (ё =1), 3 — п = 1.3 (ё =1), 4 — п = 1.5 (ё =1), 5 — п =2 (ё =1)
к одноатомному газу (у =5/3) величины Е*, Ф* существенно возрастают, а величина Мтах слабо уменьшается. Время пролета контрольной частицы через область тепловыделения, естественно, растет с увеличением длины ё и уменьшением у и уменьшается с увеличением у.
В источнике без циркуляции (Г = 0) возможно сколько угодно близкое приближение к значению числа М =1 и невозможен переход через сечение, в котором скорость потока равна скорости звука. Наступает тепловой кризис. В вихреисточнике полное значение числа М за счет тепловыделения может перейти значение М =1. Дозвуковой поток переходит в сверхзвуковой в некоторых сечениях и остается сверхзвуковым в окрестности критического сечения при значении радиальной составляющей числа М, достаточно близкой к единице. Теплоподвод в вихреисточнике (стоке) позволяет управлять переходом числа М через единицу.
Отметим острый пик зависимостей М(г), Мг(г) в сверхзвуковой области вблизи критической точки гсг = г> при однородном (постоянном) тепловыделении f= С. При линейном законе теплоподвода f = С^ ( — г) пик сглажен, значение радиальной компоненты числа М близко к единице в более широкой окрестности критического сечения г*, область локальных значений М>1 шире.
Детальное исследование влияния ё и г на величину Мтах показало, что с убыванием г значения Мтах возрастают при всех Г (рис. 7, а). При фиксированных г и увеличении Г обнаружены значения, при которых величина Мтах начинает убывать (рис. 7, б). При щ, близких к минимальному радиусу г =1, абсолютный максимум значений Мтах (по ё и 1 расположен в области высоких Г (кривая 1, рис. 7, б). С ростом г значения Г, при которых Мтах максимально, сдвигается в область умеренных Г ~ 0.5, а максимальное значение Мтах приближается к 1. Наличие экстремума объясняется отмеченным выше ростом энергозатрат для достижения теплового кризиса при увеличении циркуляции Г. Газ нагревается, причем, тем сильнее, чем выше Г, возрастает скорость звука, уменьшается число Маха и его максимальное значение Мтах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В случае вихреисточника (вихрестока) с тепловыделением в слое по заданному закону существуют следующие 0- и ^-варианты течения: I — в вакуум, II — в затопленное пространство; III — из затопленного пространства; IV — из области разреженного газа (из вакуума).
Рост циркуляции приводит к существенному увеличению полного интеграла энергии (и полной энтальпии газа), причем к наиболее сильному для варианта II (вихреисточник в затопленное пространство).
С увеличением расстояния зоны (полосы) тепловыделения от сечения минимального радиуса критические значения энергетических параметров и полная подведенная энергия значительно возрастают. С увеличением циркуляции этот эффект выражен более ярко.
С увеличением длины области тепловыделения критическое значение параметра энерговыделения растет, подведенная к критическому сечению энергия увеличивается, температура в критическом сечении возрастает, число М слабо убывает.
Критические значения энергетического параметра, полной энергии, температуры газа растут, а значения числа М уменьшаются с увеличением показателя адиабаты, т. е. при переходе от многоатомного газа к одноатомному.
В вихреисточнике и вихрестоке возможно управление локальным переходом числа Маха через единицу за счет теплоподвода, в первую очередь вблизи критических сечений при достаточно близком расположении области энерговыделения к минимальному радиусу.
Максимальное значение Мmax числа Маха сверхзвукового потока растет с уменьшением длины области тепловыделения, расстояния г от минимального сечения и показателя адиабаты у (от одноатомного к многоатомному газу).
При изменении циркуляции величина Мтах имеет абсолютный максимум при некотором значении Г, которое близко к единице (максимуму Г), если область тепловыделения расположена вблизи минимального сечения ( ^ 1), и сдвигается в область умеренных значений Г ~ 0.5 с ростом ij (с удалением зоны тепловыделения от минимального сечения).
Работа выполнена при поддержке Государственной программы № П-09 Президиума РАН.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kogan M. N., Kucherov A. N. Three-dimensional heat source in supersonic flow / Proceedings of «East-West High Speed Flow Field Conference». — November 19 — 22, 2007, Moscow, Russia / Труды конференции «Запад-Восток. Поля высокоскоростных течений». — 19 — 22 ноября 2007, Москва, Россия, с. 85 — 86.
2. Коган М. Н., Кучеров А. Н. Определение параметров трехмерной области выделения тепла в сверхзвуковом потоке по измерениям давления // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 4, с. 151 — 159.
3. B r o a d b e n t E. G. Flows with heat addition // Progress in Aerospace Science. 1976. V. 17, N 2, p. 93—108.
4. Kemp ton A. J. Heat diffusion as a source of aerodynamic sound // J. Fluid Mech. 1976. V. 76. Part 1, p. 1 — 31.
5. Третьяков П. К., Гаранин Г. Ф., Грачев Г. Н., Крайнев В. Л., Поно-маренко А. Г., Тищенко В. Н., Яковлев В. И. Управление сверхзвуковым обтеканием тел с использованием мощного оптического пульсирующего разряда // Доклады АН. 1996. Т. 351, № 3, с. 339 — 340.
6. C h e r n y G. G. The impact of the electromagnetic energy addition to air near the flying body on its aerodynamic characteristics // Proceedings of 2-nd Weakly Ionized Gases Workshop. — Norfolk, VA, AIAA Publication. 1999. V. I, p. 1 — 31.
7. K o g a n M. N. Thermal phenomena and plasma aerodynamics // Proceedings of 2-nd Weakly Ionized Gases Workshop. — Norfolk, VA, AIAA Publication. 1999. V. I, p. 47—52.
8. Levin V. A., Afonina N. E., Gromov V. G., Georgievsky P. Yu., Tere n t j e v a L. V. Influence of energy input by electric discharge on supersonic flows around bodies // Proceedings of 2-nd Weakly Ionized Gases Workshop. — Norfolk, VA, AIAA Publication. 1999. V. I, p. 201—231.
9. Суржиков С. Т. Бифуркация дозвукового газового потока при обтекании локализованного объема низкотемпературной плазмы // ТВТ. 2002. Т. 40, № 4, с. 591 —602.
10. Коган М. Н., Кучеров А. Н., Михайлов В. В., Фонарев А. С. Плоские течения газа при слабом подводе энергии // Изв. АН. МЖГ. 1978. № 5, с. 95—102.
11. Кучеров А. Н. Двумерные стационарные течения газа при слабом подводе энергии // Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. VIII, № 4, с. 18—28.
12. Иванов В. В., Скворцов В. В., Кузнецов Ю. Е., Волощенко О. В., Ефимов Б. Г., Ларин Б. В., Николаев А. А., Веселов Н. В. Некоторые результаты исследований изменения статического давления на плоскости и каналах в сверхзвуковом потоке воздуха, содержащем пропан, при создании в нем продольного разряда / Препринт ЦАГИ № 134. — М.: Изд. ЦАГИ, 2003. 36 с.
13. Ефимов Б. Г., Кучеров А. Н., Скворцов В. В. Воздействие продольного источника тепла на пластину в сверхзвуковом потоке газа. / Препринт ЦАГИ № 153. — М.: Изд. ЦАГИ, 2007, 16 с.
14. Ефимов Б. Г., Кучеров А. Н., Скворцов В. В. Продольно-вертикальный источник тепла вблизи пластины, параллельной сверхзвуковому потоку / Препринт ЦАГИ № 154. — М.: Изд. ЦАГИ, 2007. 24 с.
15. Ефимов Б. Г., Коган М. Н., Кучеров А. Н., Скворцов В. В. Соотношения мощности теплового источника с возмущениями давления в сверхзвуковом потоке / Третья школа-семинар по магнито-плазменной аэродинамике. — Москва. 8—10 апреля 2008. Аннотации, с. 49 — 52 / Доклады, с. 146 —149.
16. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. — М.: Наука, 1946, 208 с.
17. T s i e n H. S., B e i l o c k M. Heat source in a uniform flow // J. Aeronaut. Sci. 1949. V. 16, N 12, p. 756.
18. Ellinwood J. W., Mirels H. Density perturbations in transonic sluing laser beams // Applied Optics. 1975. V. 14, N 9, p. 2238 — 2241.
19. Белоконь В. А., Руденко О. В., Хохлов Р. В. Аэродинамические явления при сверхзвуковом обтекании лазерного луча // Акустический журнал. 1977. Т. 23, вып. 4, с. 632 — 634.
20. Фоллэ М. И. Простейшие точные решения в линейном приближении для задач с тепловыделением в сверхзвуковом потоке // Аэромеханика и газовая динамика. 2001. № 1, с. 82 — 85 // Влияние малого теплоподвода у кормовой поверхности тонкого осесимметрич-ного тела на его аэродинамические характеристики / Неравновесные течения газа с физико-химическими превращениями. — М.: Изд. МГУ, 1985, с. 68—77.
21. Терентьева Л. В. Сверхзвуковое обтекание областей энерговыделения // Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 5, с. 179—182.
22. Краснобаев К. В. Сверхзвуковое обтекание слабых источников излучения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4, с. 133—136.
23. Кучеров А. Н. Некоторые вопросы течений газа с заданными распределенными источниками тепла // Ученые записки ЦАГИ. 2009. ^XL, N 4, c. 3—14.
24. Kogan M. N., Kucher ov A. N. A stationary heat source in the supersonic flow / 8th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics. — Moscow, Russia, March 31 — April 2, 2009. Abstracts, p. 68 — 70. Proceedings, p. 168 — 179.
25. Кучеров А. Н. Ударные волны в трехмерном трансзвуковом потоке при пространственном слабом тепловыделении // ЖТФ. 2009. Т. 79, № 12, с. 32 — 39.
26. Коган М. Н., Кучеров А. Н. Стационарный источник тепла в сверхзвуковом потоке // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48, № 1 (дополнительный), с. 85 — 92.
27. Абрамович Г. Н. О тепловом кризисе в газовом течении // ДАН СССР. 1946. Т. 54, № 7, с. 579 — 581.
28. Вулис Л. А. О переходе через скорость звука в газовом течении // ДАН СССР. 1946. Т. 54, № 8, с. 669 — 672.
29. Чаплыгин С. А. О газовых струях. — М.: Университетская типография, 1902; — М.: Гос. изд. техн.-теор. лит. (ГИТТЛ), 1949; Избранные труды по механике и математике. — М.: ГИТТЛ, 1954.
30. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: Иностранная литература (ИЛ), 1961. 588 с. / Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow. — New York: Academic Press INC Publishers, 1958.
31. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. Ч. I. — М., 1949; Аэродинамика. Общий курс. — М.: Наука, 1964, 814 с.
32. Kogan M. N., Kucher ov A. N. Thermal choking of a cylindrical or spherical mass source / The 9th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics. —Moscow, April 13—15 2010. Abstracts, p. 18—19. Proceedings, p. 59 — 69.
33. Кучеров А. Н. Особенности в поле течения цилиндрического и сферического источника внутри области энерговыделения / Препринт ЦАГИ № 157. — М.: Изд. ЦАГИ, 2009, 36 с.
34. Кучеров А. Н. Тепловой кризис в поле течения цилиндрического или сферического источника // ИФЖ. 2010. Т. 83, № 5, с. 873 — 877.
35. Кучеров А. Н. Основные закономерности теплового запирания цилиндрического массового вихреисточника (вихрестока) / Препринт ЦАГИ № 158. — М.: Изд. ЦАГИ, 2010, 40 с.
36. Кучеров А. Н. Вихреисточник, источник и вихрь с распределенным теплопод-водом // Ученые записки ЦАГИ. 1983. Т. XIV, № 4, с. 47—57.
37. Глаголев Ю. А. Справочник по физическим параметрам атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1970, 212 с.
38. Таблицы физических величин / Под ред. И. К. Кикоина. — М.: Атомиздат, 1976,
1006 c.
Рукопись поступила 11/1112011 г.
