CC BY
12
ФОРМИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ ВИХРЕВЫХ ПРОЦЕССАХ В ЗВЕЗДНОЙ
ПЛАЗМЕ
Л.Г. Каплан
THE MAGNETIC FIELD FORMATION UNDER ROTATIONAL PROCESSES IN STAR PLASMA
Kaplan L.G.
tt is shown, that owing to the difference of inertia! and adherent features of proton and electron gases under rotational processes in star plasma, appear currents and magnetic field conditioned by the currents, which primordially missed. The magnetic nnduction value by a representative rotational process in the Sun upper layer is estimated. The calculated magnetic nnduction value (15 G) is close to the values observed on the Sun.
Помазано, что, вследствие различия инерционных и вязких свойств протонного и электронного газов, при вихревых процессах в звездной плазме возникают томи и обусловленное этими томами магнитное поле, дате, если изначально оно отсутствовало. Произведена оценка величины/ магнитной индукции при характерном вихревом процессе в верхнем слое Солнца. Рассчитанная величина магнитной индукции (15 Гс) близка реальны/м наблюдаемы/м значениям на Солнце.
УДК 52-337+533.95:537.84
1. Введение
В соответствии с современными представлениями считается, что магнитные поля в звездах взаимосвязаны с токами. Поэтому эффект трения в звездной плазме, вызванный сопротивлением, должен приводить к уменьшению токов и тем самым магнитной индукции. Теоретически обоснован ряд механизмов «динамо», приводящих к усилению магнитного поля. Наличие таких механизмов в звезде может компенсировать потери за счет трения [1]. Однако сложность этих механизмов вызывает сомнения в их реальном широком существовании и эффективности в звездах.
В настоящей работе предложен к рассмотрению механизм возникновения магнитного поля в звездной плазме из «нулевого» состояния. Показано, что в звездной плазме обусловленные вихревыми процессами токи сопровождаются возникновением сопутствующего магнитного поля.
2. Общие характеристики звездной плазмы
Считаем, что вещество в рассматриваемой области, где происходит вихревой процесс, составляет ионизированный водород. Водородная плазма - это сложный газ из двух компонентов: одноатомного газа протонов и одноатомного газа электронов. Обозначим концентрацию (удельное число на единицу объема) электронов - пе, а протонов - п . Удельный объемный заряд элек-
тронов равен
= -пее, а протонов
= п¡е (е = 1,602 • 10 Кл - элементарный заряд). Суммарный удельный заряд имеет плотность д = qi - де.
Потенциал р и напряженность Еп = -grad ф электрического поля в плазме зависят от плотности суммарного заряда (Еп = divq/£0, е0 = 8,85 • 10-12ф/м - электрическая постоянная) [2]. Возникнув, потенциальное электрическое поле препятствует дальнейшему разделению зарядов, поэтому \пг - << П [1].
Электрические силы, действующие на единичные объемы протонов и электронов, соответственно равны
!г = -пе grad ф, ?е = пе grad ф = -?г. (1) Массовая плотность электронного газа равна ре = теп, (те =9,1091*1031 кг -масса электрона), а протонного газа -рг = тгп (тг =1,67252* 10-27 кг - масса протона). Соотношение плотностей газов соответствует соотношению масс электрона и протона
ре = =
Рг тг 1836 Величины давлений газов протонов и электронов соответственно равняются
Рг = пгкТг, Ре = пекТе ( к = 1,3805 • 10-23 Дж/К - постоянная Больцмана, Т, Те - температуры указанных газов) [3]. Газы протонов и электронов находятся в тепловом равновесии между собой и их температуры, изменяясь по объему звезды, всюду равны друг другу Т = Те = Т . Следовательно, равные парциальные давления газов протонов и электронов (поскольку пi = пе), в соответствии с законом Дальтона, равны половине давления плазмы как целого pi = ре = р / 2 .
В поле силы тяжести на газ электронов действует удельная сила /е = реg , а на
газ протонов - = pig , где g = -gr / г -
ускорение силы тяжести, направленное к центру. Как известно [4], ускорение силы тяжести имеет потенциальную функцию
(2)
g = -grad С. В частном случае, когда ускорение постоянно, С = gr .
3. Вязкость водородной плазмы и ее компонентов
Вязкость компонентов водородной плазмы характеризует динамическая вязкость газа протонов и це - газа электронов, а также коэффициент взаимного трения газов п . Взаимное движение газов протонов и электронов происходит под действием равных по величине, но противоположно направленных сил. Считаем, что на единичный объем газа протонов действует сила тг = dF / dV, а на газ электронов - Те = .
Внешняя сила, действующая на газ протонов, компенсируется силой трения, действующей на этот газ со стороны газа электронов тг = -т[. Аналогично для газа электронов Тге = Те .
Разность vi - vе средних скоростей протонов vi и электронов vе зависит от указанных удельных сил и коэффициента взаимного трения
Тг = Те == П (V - V ) . (4)
Движение протонов и электронов приводит к появлению соответствующих токов с плотностью ]г = пеvi и /е = -пеvе. Общая
плотность тока в звездной плазме зависит от суммы этих плотностей
] = Л + Л = пе(Уг - Vе ) . С учетом этого равенства, формулу (4) можно переписать следующим образом
-Т е
пе
J •
(5)
Величина коэффициента взаимной вязкости п и проводимость плазмы взаимосвязаны. Для доказательства этого заметим, что при некоторой произвольной напряженности Е электрическое поле действует на объемный электрический заряд газа протонов с удельной силой Ti = Епе К газу электронов приложена сила противоположного направления те = -Е пе . Под действием этих сил происходит взаимное движение
электронов и протонов, причем, в соответствии с (4),
Ene = п{v, - ve) . Умножим обе части этого равенства на множитель ne
En2e2 = nne(v, -ve) . Выделяя здесь сомножители, соответствующие плотности тока, получаем
J
2 2 n e
П
E .
(6)
Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид ] = уЕ (у - проводимость). Следовательно, коэффициент при напряженности в (6) - это проводимость плазмы и
у = п2е2/ п , П = п2е2/ у . (7) Вязкости протонного и электронного газов с температурой увеличиваются как Т5/2 [3]. Однако соотношение вязкостей при этом остается неизменным и определяется квадратным корнем из соотношения масс протона и электрона [3]
¡те 1
Лг
(8)
тг 42,8
Коэффициент взаимного трения п в диапазоне температур 105 -107 К, по сравнению с коэффициентами вязкости протонного и электронного газов, очень велик. Поэтому величина разности скоростей газов протонов и электронов меньше скорости плазмы как целого, определяемой скоростью протонного газа V « Нг
|н- < Н. (5)
В [1] приведена зависимость проводимости плазмы от температуры
3/
2 Т/2
у = 1,53 @10-2-,
7 Ь
(10)
при этом в диапазонах изменений температур 104 - 107К и концентраций частиц 1012 - 1027 м-3 рассчитан кулоновский множитель 5,54 < Ь„ < 25,1.
4. Гидродинамика плазмы при слабом магнитном поле
В рамках первоначального рассмотрения проводимость плазмы считаем малой, а возникающее магнитное поле - слабым. Тогда силы, возникающие при взаимодействии токов в плазме и магнитного поля, сравнительно малы, а индуктивные токи практически отсутствуют. Если силы, возникающие при взаимодействии магнитного поля с токами, не учитывать, то ламинарное течение несжимаемой плазмы можно описать модифицированными уравнениями Навье-Стокса
[4]:
dv
pi —'-- -grad (р / 2) - ne grad ф -dt
- p, grad G + n, Av, + fe,. dv
pe —- = -grad (р / 2) + ne grad ф -
(11)
(12)
- Ре&ГайС + Пе ^Не + Тге .
Первое уравнение написано для газа протонов, второе - для газа электронов. Уравнения связаны между собой, поскольку слагаемое тг определяет удельную силу трения, действующую со стороны газа электронов на газ протонов, а те = -те{ - соответствующую обратную силу для этих газов. Эти удельные силы зависят от разности средних скоростей протонов и электронов и коэффициента взаимного трения газов п (4).
Сделанные оценки и соотношения для скоростей газов протонов и электронов, давления, силы потенциального электрического поля и силы взаимного трения используем при подстановке в исходные уравнения (11, 12):
dv ...
р, — = -grad (р / 2) - ne dt
— ne —
- р ,gradG + n Av--j.
(13)
Y
dv
pe — = - grad (р /2) + ne
ne
(14)
- pe grad G + ne Av + — j.
Y
Суммируем уравнения (13, 14) и с учетом предыдущих оценок получаем практически точную зависимость
Р^ = -grad Р + Рё + (Пг + Пе , (15) dt
где V = VI « Vе, р ~ р1 - соответственно скорость и плотность плазмы.
При отсутствии магнитного поля в полностью ионизированной водородной плазме электрические свойства протонов и электронов взаимно компенсируются и оказываются несущественными по отношению к гидродинамическим параметрам, а влияние электронного газа приводит, по сравнению с газом протонов, к увеличению давления (pi ^ р = 2pi) и некоторому увеличению коэффициента трения.
Для исключения лапласиана скорости обе части уравнения (13) умножим на мно-
П е 1
житель — =- и затем из получившегося
Пг 42,8 '
равенства вычтем уравнение (14). Получаем следующую зависимость
Р~Ре ^ = (1 - —) grad(Р/2)-
Л Пг
- (1 + —)пеgradф-Л1 ргре gradG - (16)
Пг
- (1 + ^)-у,
П У
где учтено, что соотношение плотностей электронного и протонного газов (2), равное 1/1836, существенно меньше величины указанного множителя.
ТГ Пе [Р7 1
Поскольку величина — = — =-
Пг Ч Рг 42,8
мала, ей, по сравнению с единицей, можно пренебречь в множителях при слагаемых справа. Тогда получаем
л/аА ^ = grad {р/ 2) - пе gradp -dt
,[p~pegradG - —j.
Y
(17)
Выполняем операцию rot от обеих частей этого равенства:
-dQ пе -
Р i Р =--rotJ'
dt у
(18)
где О = го(V - завихренность плазмы.
Подставляя в (18) равенства рг = птг, ре = пте, приводим эту формулу к следующему виду
rot j - -ay -
dQ
(19)
где a =
= 2,436 • 10 кг/Кл.
Первое уравнение Максвелла для статики имеет вид rotB = ^0 j, (В - магнитная индукция, = 4п • 10-7Гн/м -магнитная постоянная) [2]. Подставляя из этого равенства плотность тока в (19),
получаем dQ
rot rot В - -a^0y-. (20)
dt
Используя известную формулу
grad divB = rot rot В + А В , и учитывая, что div В = 0, получаем
АВ = a^y^ . (21)
dt
Система уравнений Навье-Стокса (11, 12) приведена к двум отдельным уравнениям: известному [1, 5] уравнению Навье-Стокса для плазмы как целого (15) и полученному нами впервые уравнению (21), характеризующему связь завихренности и индукции магнитного поля, инициированного вихревым процессом. Магнитная индукция прямо пропорционально связана с проводимостью плазмы, поэтому исходное условие о малой величине индукции формирующегося магнитного поля выполняется при малой проводимости плазмы.
Базой для вывода (21) послужило отличие вязких (8) и инерционных (2) свойств протонного и электронного газов. Турбулентные вязкости протонного и электронного газов могут превышать молярные на несколько порядков. Однако, как следует из теории пути смешения Прандтля [4], соотношение турбулентных вязкостей такое же, как молекулярных. Поэтому заключительная зависимость (21) характеризует связь завихренности плазмы и индукции формирующе-
гося магнитного поля не только при ламинарном, но и турбулентном движении.
5. Реалистичность предложенной модели
Заранее считая формирующееся магнитное поле слабым, оценим максимальную величину индукции по гидродинамической модели (21). Рассчитываем величину магнитной индукции возникающего магнитного поля при осесимметричном плоском стационарном вихревом процессе типа вихрестока (рис. 1) или вихреисточника (рис. 2). Для этого процесса составляющие В, П в плоскости х, у тождественно равны нулю, поэтому уравнение (21) остается актуальным только для г - составляющих
<яЮ,
(22)
ву = Bz = О,
Q х = Q „ = О,
Учитывая, что
представляя лапласиан индукции Вг и полную производную завихренности □ г в сферической системе координат [5] и опуская индекс г , приходим к следующему выражению дВ'
д
дг
дг
= аМ oY
дд
— +-vr
v dt дг
(23)
Здесь г - радиус, уг - радиальная составляющая скорости газа. Вследствие стационарности / = 0. Для осесимметрично-го течения г-составляющая завихренности П равняется [4]
Н
дг
+ —, г
где vt - тангенциальная (окружная) составляющая скорости газа. При твердотельном вращении завихренность неизменна всюду □(г) = dvt / дг = vt / г = const, а тангенциальная скорость прямо пропорциональна удалению от центра. При безвихревом вращении завихренность всюду, кроме центра, равна нулю dvt / дг = -vt / г, Q z (г) = О, а тангенциальная скорость газа обратно пропорциональна удалению. Эти два крайних случая соответствуют очень большой вяз-
кости газа (тогда vt. = О) или отсутствию вязкости.
В реальном звездном газе они не выполняются. Для получения оценок будем полагать, что в некотором промежуточном случае тангенциальная скорость от радиуса
не зависит vt (г) = const. Тогда Q = — .
г
В соответствии с законом неразрывности [4], мощность источника Q = 2wvr (г) = const неизменна (при вихре-стоке Q < О) и, следовательно, радиальная скорость обратно пропорциональна радиусу. С учетом приведенных соотношений равенство (23) переходит в следующее
' двЛ
д
v дг дг
f ЧЛЛ
= а№
2п
д
дг
(24)
V У
Исключая дифференцирование слева и справа по г, получаем зависимость производной индукции от радиуса
дВ " 1
■ = а^ОГ — V 2 дг 2п г
(25)
Считая индукцию на бесконечном удалении равной нулю, возьмем интеграл от (25) до некоторого значения радиуса #
Рис. 1. Магнитное поле при вихрестоке.
в(я)=
ИМ 0?^
" глг 2п ' г 2
= -<*М o7Vt
2п# (26)
= oYVtVr(Ф
Как следует из (26), при вихрестоке (vr < 0) направление магнитного поля определяется по правилу правого винта (буравчика), исходя из направления окружной скорости плазмы (рис.1). Для вихреисточни-ка (vr > 0) направление магнитного поля определяется по правилу левого винта (рис. 2).
Рис. 2. Магнитное поле при вихреисточнике.
Индукция измеряется в Тесла
„I ||| | | | |2 кгГнм2
В = N 1^01И V = тг—2-=
Клмс омм кг ом с кг Н $ Кл с2 ом Ас2 Ам Для получения оценки значения магнитной индукции в центральной области вихревого процесса фиксируем значение радиуса #0, при котором окружная и радиальная скорости звездного газа становятся равными друг другу по модулю
к (#0) = Ы =
2п#0
. Тогда
В(#0) = a^o?v^ (27)
Превышение радиальной скоростью тангенциальной vr > vt в реальных условиях, видимо, маловероятно. Скорее, при приближении к этому порогу, поток газа уходит в осевом направлении и, следовательно, модель плоского процесса становится неприменимой.
Исходным параметром считаем температуру в верхнем слое Солнца, равную Т =100000 К. Полагая значение кулоновско-го множителя равным 10, получим значение проводимости плазмы (10)
^ с 3/
у = 1,53*10 "3(105/2 =
= 4,84 *104 ом-
м
Для оценки скорости движения плазмы в вихревом процессе используем формулу Бернулли
р + рv 2/2 = Рo, где Р0 - величина так называемого полного давления [4] на линии тока. Газ можно считать несжимаемым, если величина динамического давления составляет небольшую часть полного. Будем полагать, что при максимальной скорости это соотношение того же порядка как при мощных циклонических процессах на Земле
pv2/2 = 0,1 Р0.
Поскольку р « тгп , Р0 = 2пкТ0, то V2 = 0,4кТ0 /тг . Указанной температуре соответствует скорость плазмы, равная 10,4*1,38*10-23 *105
V = л 0,4кТп/т,. =,
„ 1,67*10-27 = 18 км/с.
Скорости такого и более высокого порядка на поверхности Солнца фиксируются при реальных наблюдениях [1].
Поскольку нами принято vr = vt, то
V;2 = V2 /2 = 1,62* 108 м2/с2.
Подставляя численные значения в (32), получаем
В = 2,436* 10-10 * 4 * 3,14159 *10-7 * 4,84 * *104 * 1,62 * 108 = 0,0015$л = 15Гс.
Величина 15 Гс весьма реалистична и магнитная индукция такого порядка фиксируется на поверхности Солнца прямыми наблюдениями [1].
Заметим, что направление индуктивного тока (плотность этого тока ]т) совпадает с направлением тангенциальной составляющей напряженности электрического поля Етг, обусловленного движением потока плазмы в магнитном поле. При этом радиальная составляющая Етг напряженности Ет , вызванной движением плазмы, компенсируется потенциальным электрическим полем. Направление индуктивного тока ]т согласуется с направлением первичного
тока уг, определяемого, исходя из инерционных свойств плазмы (рис. 1,2). Таким образом, индукция приводит к усилению первичного тока (а не к его компенсации) и, тем самым, к усилению возникающего магнитного поля. Это позволяет заключить, что рассчитанное выше значение величины магнитной индукции является нижним порогом максимума при выбранных начальных условиях.
Конкретный расчет индуктивных токов и сил взаимодействия магнитного поля и токов в соответствии с полной магнитогид-родинамической моделью (30) является задачей, выходящей за рамки настоящей работы.
7. Заключение
Показано, что при вихревых процессах в звездной плазме магнитное поле возникает, даже если изначально оно отсутствовало. При проверке реалистичности предложенной модели произведена оценка величины магнитной индукции при характерном вихревом процессе в верхнем слое Солнца. За исходный параметр принята температура плазмы 100000 К. Рассчитанная величина магнитной индукции (15 Гс) близка реальным наблюдаемым значениям на Солнце.
В настоящей работе содержится постановка задачи. Ряд проблем, вытекающих
из этой постановки, требует подробного рассмотрения, в частности:
- сбор и обработка данных наблюдений и измерений по вихревым процессам и ассоциированным с ними магнитным полям в звездах;
- подробное рассмотрение роли турбулентности при вихревых процессах;
- построение модели для частично ионизированной плазмы сложного состава (не полностью водородной);
- расчет магнитных полей с учетом индуктивных токов при заданной структуре вихревых потоков;
- построение модели и полный расчет структуры, динамики и магнитных полей, возникающих при вихревых процессах, обусловленных заданными термодинамическими условиями, при нулевых, а, в дальнейшем, - и ненулевых начальных и краевых условиях с учетом обратного силового воздействия магнитных полей на вихревые потоки (завершающая и наиболее сложная теоретическая задача);
- сопоставление натурных и расчетных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. -М: Мир, 1985. - 582 с.
2. Матвеев А.Н. Электродинамика. -М.: Высшая школа, 1980. - 384 с.
3. Лифшиц Е.М., Питаевский А.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. - 528 с.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1987. - 840 с.
5. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. - М.: Гос. изд-во. физ. -мат. литературы, 1962. - 248 с.
Об авторе
Каплан Лев Григорьевич, заведующий кафедрой теоретической физики, доктор физико-математических наук. Области научных интересов - механика жидкости и газа, магнитогидродинамика, астрофизика, физика атмосферы Земли.
