Научная статья на тему 'Вейвлет-анализ в обработке сигналов аналитических приборов'

Вейвлет-анализ в обработке сигналов аналитических приборов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
825
168
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЕЙВЛЕТ / ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ / ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ / WAVELET / WAVELET-TRANSFORMATION / SIGNALS PROCESSING

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Сайфуллин Раухат Талгатович, Наумов Александр Анатольевич

В статье рассмотрены свойства вейвлет-преобразования и его применение для обработки сигналов аналитических приборов (хроматографов, полярографов, масс-спектрометров и др.). Для конкретных сигналов и вейвлет-функций представлены результаты аналитического вычисления непрерывного вейвлет-преобразования, которые используются затем в алгоритмах вычисления информативных параметров пиков и разделения совмещенных сигналов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Сайфуллин Раухат Талгатович, Наумов Александр Анатольевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

WAVELET ANALYSIS FOR PROCESSING SIGNALS OF ANALYTICAL DEVICES

In the paper properties of wavelet-transformation and its application to signals processing of analytical devices (chromatographs, polarographs, mass spectrometers, etc.) are considered. For concrete signals and wavelet-functions results of analytical calculation of continuous wavelet-transformation which are used then in algorithms of calculation the informative parameters of peaks and separation of the superposed signals are presented.

Текст научной работы на тему «Вейвлет-анализ в обработке сигналов аналитических приборов»

УДК 681.391:543/545

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

© 2016 Р.Т. Сайфуллин, А.А. Наумов Самарский государственный технический университет

Статья поступила в редакцию 17.03.2016

В статье рассмотрены свойства вейвлет-преобразования и его применение для обработки сигналов аналитических приборов (хроматографов, полярографов, масс-спектрометров и др.). Для конкретных сигналов и вейвлет-функций представлены результаты аналитического вычисления непрерывного вейвлетпреобразования, которые используются затем в алгоритмах вычисления информативных параметров пиков и разделения совмещенных сигналов.

Ключевые слова: вейвлет, вейвлет-преобразование, обработка сигналов

Вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и гибких средств исследования и цифровой обработки сигналов: помимо задач их фильтрации и сжатия, анализ в базисе вейвлет-функций позволяет решать задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных и т.д. Вейвлет-преобразование привносит в обработку сигналов дополнительную степень свободы. Например, гармонический анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Таким образом, вейвлетфункции базиса позволяют сконцентрировать внимание на тех или иных локальных особенностях анализируемых сигналов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционного преобразования Фурье.

Непрерывное вейвлет-преобразование (ВП) сигнала f (t) имеет следующий вид [1]:

W (a, b) = a2 j f (t )T^ — jdt, (1)

где функция ^1

t - b

называется вейвлетом; a, b -

параметры соответственно масштаба и сдвига. Множи-

_i

тель a 2 обеспечивает единичную норму для любой

базисной функции ^ (t) = a 2Т( —).

’ a

Обратное вейвлет-преобразование записывается в виде:

a

... 1 ? ? , INlTf , , dadb

f (t) = -^ J J W (a, b)Vab (t)

у 0 — да , a

Здесь Су - нормирующий коэффициент:

да

o. = J

—да

(a)

lal

da < да, (2)

где ^(a) - Фурье-образ вейвлет-функции Y(t) . Из равенства (2) следует условие допустимости использования функции Y(t) в качестве вейвлет-функции: среднее (нулевой момент) Y(t) должен быть нулевым

Сайфуллин Раухат Талгатович, доктор технических наук, профессор. E-mail: ims@samgtu.ru

Наумов Александр Анатольевич, аспирант. E-mail: Naumoff. aleksandr@gmail. com

да

M0 = jV(t )dt = 0. (3)

—да

Другое требование - быстрое убывание Y(t) с ростом частоты. Для практических приложений часто бывает необходимым обеспечение нулевых значений первых m моментов вейвлета:

Mm = j tm 4(t )dt = 0, m = 0,1,2,... . (4)

—да

Разложим ВП (1) в ряд Тейлора при b = 0 :

_1 f n да + m j \

Wf [a,0] = a 2 У f(m) (0) j —Y(-)dt + O(n +1)

U=0 Lm! a ,

где f(m) (0) - производная порядка m ; O(n +1) -члены ряда Тейлора порядка выше n . Используя определение моментов (4), можно записать:

-1 f f (1)(0)

Wf [a,0]-a 2 f (0)M0a + f--—M1a 2 +

+ ^ M 2*3 +...+ Mn*n+1

(5)

да

В соответствии с (3) MQ = 0, тогда первый

член в разложении (5) является нулевым. Следовательно, ВП постоянного сигнала даст в результате нуль. Таким образом, число нулевых моментов вейвлета определяет порядок полинома, который будет проигнорирован вейвлет-преобра-зованием в анализируемом сигнале. Например, выходной сигнал аналитического прибора имеет составляющую дрейфа базовой линии, которая обычно представляется как полиномиальный сигнал вида d (t) = d0 + dxt + d2t2, где

d , d , d - некоторые коэффициенты. При этом ко-

эффициенты d , d определяют собственно дрейф, который может вызываться нестабильностью режимов аналитической системы прибора, дрейфом параметров электронного блока и другими причинами. Если для ВП использован вейвлет Y(t) с двумя нулевыми моментами, то эта дрейфовая составляющая не отразится на результате преобразования выходного сигнала прибора.

Коэффициенты W(a, b) содержат комбинированную информацию как об используемом вейвлете, так и об анализируемом сигнале. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию

требуется извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве, поэтому с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить или подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.

Спектр W (a, b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации этой информации могут быть различными. Вместо изображения поверхностей часто представляют их проекции на плоскость (a, b) с изо-

линиями или изоуровнями, позволяющими проследить изменение амплитуд вейвлет-преобразования на разных масштабах и во времени. Несмотря на то, что коэффициенты вейвлет-преобразования содержат комбинированную информацию, вейвлет-анализ позволяет получить и объективную информацию об исследуемом сигнале, так как некоторые важные свойства вейвлет-преобразо-вания не зависят от выбора вейвлета.

В качестве вейвлетов будем использовать производные функции Гаусса:

¥ (t )=(- Г

dn

---e

dtn

р_

2

n = 0,1,2,... .

Наибольшее применение находят гауссовы вейвлеты небольших порядков:

Wi(t ) = -te

2 •

t2

¥2 (t ) = (l -12 )e 2;

¥3 (t) = (t3 - 3t)e 2 ;

t2

¥4 (t)=(-14 + 6t2 - 3)2 2 ;

t2

¥5(t) = (-15 + 10t3 - 15t)e 2;

t2

¥ (t) = (- 6t6 + 15t4 - 45t2 + 15)e 2;

t2

Wl(t) = (-17 + 21t5 - 105t3 + 105t)T2;

t2

¥8(t) = (-18 + 28t6 - 210t4 + 420t2 - 105)22.

Присутствие экспоненциального множителя в вейвлетах обеспечивает их локальность. Гауссов вейвлет ¥„(t) имеет n нулей. Из определения гауссовых

вейвлетов следует, что производная от вейвлета ¥п ()

совпадает (с точностью до знака) с вейвлетом

¥n+1 (*):

¥Г = -¥n+1(t) •

Вейвлетом может быть и разность функций Гаусса. Обобщенная формула для этого вейвлета имеет вид:

iy(t) = e At2 - Ce

-Bt2

; a =

B .

---;

C2

¥ (d)

Например, при A = C = ^ , B 8 получим:

d

2

4B .

¥(t)

Л

= e 2

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—e 2

8

На выходе аналитических приборов регистрируются сигналы в виде локализованных пиков (см. табл. 1).

Таблица 1. Некоторые типовые модели аналитических пиков

Аппроксимирующая функция Математическое выражение (р - площадь пика; р - положение пика на оси развертки; Р - среднеквадратичная ширина пика) Область применения

Гаусса (t-р)2 Р с Р л{2жР Хроматография, масс-спектрометрия, рентгенодифракционный анализ

Лоренца Р_ лР 1 (t-р +1 Спектроскопия, рентгенодифракционный анализ

Гиперболическая вида I 2Pch p л( - р) 2Р Полярография

Гиперболическая вида II 2pch2 лр л( - р) 2Р Полярография

Для некоторых конкретных сигналов и вейвлетфункций возможно аналитическое вычисление непрерывного вейвлет-преобразования. Это позволяет по значениям вейвлет-коэффициентов определять информативные параметры пиков, входящих в состав исследуемого сигнала. Поскольку даже в случае зашумленных сигналов их вейвлет-образы имеют вид гладких кривых, возможно восстановление информативных параметров выходного сигнала прибора с достаточно высокой точностью.

Оценка параметров сигнала. Полезная составляющая выходного сигнала аналитического прибора в большинстве случаев может быть представлена в виде суперпозиции пиков, каждый их которых описывается гауссовой функцией [2, 3]:

* -<*=#

s(t) = 1 Ae 20 ,

i—1

где i - номер пика, i = 1, 2,..., N; Д - амплитуда i-го

При z — 0 четные вейвлет-коэффициенты Wg2 (a, b)s и Wg4 (a, b)s имеют абсолютный максимум, что может служит фактом обнаружения вершины пика в анализируемом сигнале. Обозначим максимальные значения вейвлет-коэффициентов W (a,b)s

и W (a, b)s в максимуме через Q и Q . Решение соответствующей системы уравнений дает оценки параметров 0 и A одиночного пика анализируемого сигнала:

= a

"3А -1"

V Q4 у

3

2\2

(

A —

2

1 +

V a у . я

(6)

(7)

пика; д. - положение вершины i-го пика на оси развертки t; 0 - среднеквадратичная ширина i-го пика. Первичная обработка сигнала заключается в определении информативных параметров пиков: Д, Д , 0, i = 1, 2,.., N.

Пусть анализируемый сигнал содержит одиночный пик с параметрами A , Д, 0 . Вейвлет-образ

этого пика при использовании гауссового вейвлета может быть вычислен аналитически и представлен в виде:

ж ( A^0a(n+1) ( \

Wg„ (a, b)s = -ф+Г----gn (z),

где z —

gn

д-b т

и т — л a +0 .

Формулы вейвлет-коэффициентов второго и четвертого порядков имеют вид:

1гг у д. -JxA0a3

Wgz (a, b)s —-f—

Г-{Д-Ь0

(д-ь?

e

61 Д-ь )2-(Д^- 3

_(M-b?

„г Г U\ 4nA0a

W (a, b)s —---

g т I V т у V т

На рис. 1 и рис. 2 представлены графики соответствующих вейвлет-коэффициентов модельного сигнала с параметрами пика А=10 и 0 =8.

Рис. 1. Вейвлет-коэффициент четвертого порядка

т

Следовательно, интегральная интенсивность (площадь) гауссова пика может быть найдена из соображения:

3

Рис. 2. Вейвлет-коэффициент второго порядка

Рассмотрим результат восстановления аналитического пика гауссовой формы на основе метода вычисления его вейвлет-коэффициентов. На рис. 3 сплошной линией показан исходный пик; точками -восстановленный пик с использованием соотношений (6, 7). В случае одиночного пика имеем полное их совпадение.

Разделение совмещенных сигналов. Рассмотрим применение метода для разделения совмещенных пиков. На рис.1 представлен сигнал с двумя совмещенными пиками, а на рис. 2 его вейвлеткоэффициенты соответственно второго и четвертого порядка.

Для оценки параметров пиков необходимо использовать следующую процедуру. На основе анализа вейвлет-коэффициентов по формулам (6), (7) восстанавливается первый пик, который затем вычитается из исходного сигнала. К разностному сигналу применяется вейвлет-преобразо-вание второго и четвертого порядка, по максимальным значениям которых восстанавливается второй пик. Находим сигнал разности

между исходным сигналом и вторым пиком. Применяем к этому разностному сигналу вейвлет-преобразования и находим уточненные оценки параметров первого пика. Описанные действия производятся до тех пор, пока разностный сигнал между исходным сигналом и восстановленными пиками не перестанет уменьшаться. Данная процедура позволяет полностью восстановить неразделенные пики за 6-7 итераций.

Рис. 3. Исходный и восстановленный пики: сплошная линия - исходный сигнал; • • • - восстановленный сигнал

Рис. 4. Сигнал с двумя совмещенными пиками:

сплошная линия - пик 1; • • • - пик 2;-

суммарный пик

Рис. 5. Вейвлет-коэффициенты исходного сигнала: а - второго порядка; б - четвертого порядка

Выводы: Проанализирован метод первичной обработки сигналов аналитических приборов на основе их вейвлет-преобразования. Благодаря использованию заранее полученных формул расчета вейвлет-коэффициентов удается построить быстрые вычислительные алгоритмы обработки, что в сочетании с высокой их эффективностью является значительным достоинством метода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Малашкевич, И.А. Вейвлет-анализ сигналов. Теория и практика. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. 224 с.

2. Русинов, Л.А. Автоматизация аналитических систем определения состава и качества веществ. - Л.: Химия, 1984. 160 с.

3. Манойлов, В.В. Получение и обработка информации аналитических приборов / В.В. Манойлов, Л.В. Новиков. -СПБ: Университет ИтМо, 2014. 176 с.

WAVELET ANALYSIS FOR PROCESSING SIGNALS OF ANALYTICAL DEVICES

© 2016 R.T. Saifullin, A.A. Naumov Samara State Technical University

In the paper properties of wavelet-transformation and its application to signals processing of analytical devices (chromatographs, polarographs, mass spectrometers, etc.) are considered. For concrete signals and wavelet-functions results of analytical calculation of continuous wavelet-transformation which are used then in algorithms of calculation the informative parameters of peaks and separation of the superposed signals are presented.

Key words: wavelet, wavelet-transformation, signals processing

Raukhat Saifullin, Doctor of Technical Sciences, Professor. E-mail: ims@samgtu.ru Alexander Naumov, Post-graduate Student. E-mail: Naumoff.aleksandr@gmail. com

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.