CC BY
163
УДК 681.391:543/545
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
© 2016 Р.Т. Сайфуллин, А.А. Наумов Самарский государственный технический университет
Статья поступила в редакцию 17.03.2016
В статье рассмотрены свойства вейвлет-преобразования и его применение для обработки сигналов аналитических приборов (хроматографов, полярографов, масс-спектрометров и др.). Для конкретных сигналов и вейвлет-функций представлены результаты аналитического вычисления непрерывного вейвлетпреобразования, которые используются затем в алгоритмах вычисления информативных параметров пиков и разделения совмещенных сигналов.
Ключевые слова: вейвлет, вейвлет-преобразование, обработка сигналов
Вейвлет-анализ является одним из наиболее мощных и гибких средств исследования и цифровой обработки сигналов: помимо задач их фильтрации и сжатия, анализ в базисе вейвлет-функций позволяет решать задачи идентификации, моделирования, аппроксимации стационарных и нестационарных процессов, исследовать вопросы наличия разрывов в производных и т.д. Вейвлет-преобразование привносит в обработку сигналов дополнительную степень свободы. Например, гармонический анализ Фурье способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Таким образом, вейвлетфункции базиса позволяют сконцентрировать внимание на тех или иных локальных особенностях анализируемых сигналов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционного преобразования Фурье.
Непрерывное вейвлет-преобразование (ВП) сигнала f (t) имеет следующий вид [1]:
W (a, b) = a2 j f (t )T^ — jdt, (1)
где функция ^1
t - b
называется вейвлетом; a, b -
параметры соответственно масштаба и сдвига. Множи-
_i
тель a 2 обеспечивает единичную норму для любой
базисной функции ^ (t) = a 2Т( —).
’ a
Обратное вейвлет-преобразование записывается в виде:
a
... 1 ? ? , INlTf , , dadb
f (t) = -^ J J W (a, b)Vab (t)
у 0 — да , a
Здесь Су - нормирующий коэффициент:
да
o. = J
—да
(a)
lal
da < да, (2)
где ^(a) - Фурье-образ вейвлет-функции Y(t) . Из равенства (2) следует условие допустимости использования функции Y(t) в качестве вейвлет-функции: среднее (нулевой момент) Y(t) должен быть нулевым
Сайфуллин Раухат Талгатович, доктор технических наук, профессор. E-mail: [email protected]
Наумов Александр Анатольевич, аспирант. E-mail: Naumoff. aleksandr@gmail. com
да
M0 = jV(t )dt = 0. (3)
—да
Другое требование - быстрое убывание Y(t) с ростом частоты. Для практических приложений часто бывает необходимым обеспечение нулевых значений первых m моментов вейвлета:
Mm = j tm 4(t )dt = 0, m = 0,1,2,... . (4)
—да
Разложим ВП (1) в ряд Тейлора при b = 0 :
_1 f n да + m j \
Wf [a,0] = a 2 У f(m) (0) j —Y(-)dt + O(n +1)
U=0 Lm! a ,
где f(m) (0) - производная порядка m ; O(n +1) -члены ряда Тейлора порядка выше n . Используя определение моментов (4), можно записать:
-1 f f (1)(0)
Wf [a,0]-a 2 f (0)M0a + f--—M1a 2 +
+ ^ M 2*3 +...+ Mn*n+1
(5)
да
В соответствии с (3) MQ = 0, тогда первый
член в разложении (5) является нулевым. Следовательно, ВП постоянного сигнала даст в результате нуль. Таким образом, число нулевых моментов вейвлета определяет порядок полинома, который будет проигнорирован вейвлет-преобра-зованием в анализируемом сигнале. Например, выходной сигнал аналитического прибора имеет составляющую дрейфа базовой линии, которая обычно представляется как полиномиальный сигнал вида d (t) = d0 + dxt + d2t2, где
d , d , d - некоторые коэффициенты. При этом ко-
эффициенты d , d определяют собственно дрейф, который может вызываться нестабильностью режимов аналитической системы прибора, дрейфом параметров электронного блока и другими причинами. Если для ВП использован вейвлет Y(t) с двумя нулевыми моментами, то эта дрейфовая составляющая не отразится на результате преобразования выходного сигнала прибора.
Коэффициенты W(a, b) содержат комбинированную информацию как об используемом вейвлете, так и об анализируемом сигнале. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию
требуется извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве, поэтому с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить или подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.
Спектр W (a, b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации этой информации могут быть различными. Вместо изображения поверхностей часто представляют их проекции на плоскость (a, b) с изо-
линиями или изоуровнями, позволяющими проследить изменение амплитуд вейвлет-преобразования на разных масштабах и во времени. Несмотря на то, что коэффициенты вейвлет-преобразования содержат комбинированную информацию, вейвлет-анализ позволяет получить и объективную информацию об исследуемом сигнале, так как некоторые важные свойства вейвлет-преобразо-вания не зависят от выбора вейвлета.
В качестве вейвлетов будем использовать производные функции Гаусса:
¥ (t )=(- Г
dn
---e
dtn
р_
2
n = 0,1,2,... .
Наибольшее применение находят гауссовы вейвлеты небольших порядков:
Wi(t ) = -te
2 •
t2
¥2 (t ) = (l -12 )e 2;
¥3 (t) = (t3 - 3t)e 2 ;
t2
¥4 (t)=(-14 + 6t2 - 3)2 2 ;
t2
¥5(t) = (-15 + 10t3 - 15t)e 2;
t2
¥ (t) = (- 6t6 + 15t4 - 45t2 + 15)e 2;
t2
Wl(t) = (-17 + 21t5 - 105t3 + 105t)T2;
t2
¥8(t) = (-18 + 28t6 - 210t4 + 420t2 - 105)22.
Присутствие экспоненциального множителя в вейвлетах обеспечивает их локальность. Гауссов вейвлет ¥„(t) имеет n нулей. Из определения гауссовых
вейвлетов следует, что производная от вейвлета ¥п ()
совпадает (с точностью до знака) с вейвлетом
¥n+1 (*):
¥Г = -¥n+1(t) •
Вейвлетом может быть и разность функций Гаусса. Обобщенная формула для этого вейвлета имеет вид:
iy(t) = e At2 - Ce
-Bt2
; a =
B .
---;
C2
¥ (d)
Например, при A = C = ^ , B 8 получим:
d
2
4B .
¥(t)
Л
= e 2
1
—e 2
8
На выходе аналитических приборов регистрируются сигналы в виде локализованных пиков (см. табл. 1).
Таблица 1. Некоторые типовые модели аналитических пиков
Аппроксимирующая функция Математическое выражение (р - площадь пика; р - положение пика на оси развертки; Р - среднеквадратичная ширина пика) Область применения
Гаусса (t-р)2 Р с Р л{2жР Хроматография, масс-спектрометрия, рентгенодифракционный анализ
Лоренца Р_ лР 1 (t-р +1 Спектроскопия, рентгенодифракционный анализ
Гиперболическая вида I 2Pch p л( - р) 2Р Полярография
Гиперболическая вида II 2pch2 лр л( - р) 2Р Полярография
Для некоторых конкретных сигналов и вейвлетфункций возможно аналитическое вычисление непрерывного вейвлет-преобразования. Это позволяет по значениям вейвлет-коэффициентов определять информативные параметры пиков, входящих в состав исследуемого сигнала. Поскольку даже в случае зашумленных сигналов их вейвлет-образы имеют вид гладких кривых, возможно восстановление информативных параметров выходного сигнала прибора с достаточно высокой точностью.
Оценка параметров сигнала. Полезная составляющая выходного сигнала аналитического прибора в большинстве случаев может быть представлена в виде суперпозиции пиков, каждый их которых описывается гауссовой функцией [2, 3]:
* -<*=#
s(t) = 1 Ae 20 ,
i—1
где i - номер пика, i = 1, 2,..., N; Д - амплитуда i-го
При z — 0 четные вейвлет-коэффициенты Wg2 (a, b)s и Wg4 (a, b)s имеют абсолютный максимум, что может служит фактом обнаружения вершины пика в анализируемом сигнале. Обозначим максимальные значения вейвлет-коэффициентов W (a,b)s
и W (a, b)s в максимуме через Q и Q . Решение соответствующей системы уравнений дает оценки параметров 0 и A одиночного пика анализируемого сигнала:
= a
"3А -1"
V Q4 у
3
2\2
(
A —
0г
2
1 +
V a у . я
(6)
(7)
пика; д. - положение вершины i-го пика на оси развертки t; 0 - среднеквадратичная ширина i-го пика. Первичная обработка сигнала заключается в определении информативных параметров пиков: Д, Д , 0, i = 1, 2,.., N.
Пусть анализируемый сигнал содержит одиночный пик с параметрами A , Д, 0 . Вейвлет-образ
этого пика при использовании гауссового вейвлета может быть вычислен аналитически и представлен в виде:
ж ( A^0a(n+1) ( \
Wg„ (a, b)s = -ф+Г----gn (z),
где z —
gn
д-b т
и т — л a +0 .
Формулы вейвлет-коэффициентов второго и четвертого порядков имеют вид:
1гг у д. -JxA0a3
Wgz (a, b)s —-f—
Г-{Д-Ь0
(д-ь?
e
61 Д-ь )2-(Д^- 3
_(M-b?
„г Г U\ 4nA0a
W (a, b)s —---
g т I V т у V т
На рис. 1 и рис. 2 представлены графики соответствующих вейвлет-коэффициентов модельного сигнала с параметрами пика А=10 и 0 =8.
Рис. 1. Вейвлет-коэффициент четвертого порядка
2т
т
Следовательно, интегральная интенсивность (площадь) гауссова пика может быть найдена из соображения:
3
Рис. 2. Вейвлет-коэффициент второго порядка
Рассмотрим результат восстановления аналитического пика гауссовой формы на основе метода вычисления его вейвлет-коэффициентов. На рис. 3 сплошной линией показан исходный пик; точками -восстановленный пик с использованием соотношений (6, 7). В случае одиночного пика имеем полное их совпадение.
Разделение совмещенных сигналов. Рассмотрим применение метода для разделения совмещенных пиков. На рис.1 представлен сигнал с двумя совмещенными пиками, а на рис. 2 его вейвлеткоэффициенты соответственно второго и четвертого порядка.
Для оценки параметров пиков необходимо использовать следующую процедуру. На основе анализа вейвлет-коэффициентов по формулам (6), (7) восстанавливается первый пик, который затем вычитается из исходного сигнала. К разностному сигналу применяется вейвлет-преобразо-вание второго и четвертого порядка, по максимальным значениям которых восстанавливается второй пик. Находим сигнал разности
между исходным сигналом и вторым пиком. Применяем к этому разностному сигналу вейвлет-преобразования и находим уточненные оценки параметров первого пика. Описанные действия производятся до тех пор, пока разностный сигнал между исходным сигналом и восстановленными пиками не перестанет уменьшаться. Данная процедура позволяет полностью восстановить неразделенные пики за 6-7 итераций.
Рис. 3. Исходный и восстановленный пики: сплошная линия - исходный сигнал; • • • - восстановленный сигнал
Рис. 4. Сигнал с двумя совмещенными пиками:
сплошная линия - пик 1; • • • - пик 2;-
суммарный пик
Рис. 5. Вейвлет-коэффициенты исходного сигнала: а - второго порядка; б - четвертого порядка
Выводы: Проанализирован метод первичной обработки сигналов аналитических приборов на основе их вейвлет-преобразования. Благодаря использованию заранее полученных формул расчета вейвлет-коэффициентов удается построить быстрые вычислительные алгоритмы обработки, что в сочетании с высокой их эффективностью является значительным достоинством метода.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Малашкевич, И.А. Вейвлет-анализ сигналов. Теория и практика. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. 224 с.
2. Русинов, Л.А. Автоматизация аналитических систем определения состава и качества веществ. - Л.: Химия, 1984. 160 с.
3. Манойлов, В.В. Получение и обработка информации аналитических приборов / В.В. Манойлов, Л.В. Новиков. -СПБ: Университет ИтМо, 2014. 176 с.
WAVELET ANALYSIS FOR PROCESSING SIGNALS OF ANALYTICAL DEVICES
© 2016 R.T. Saifullin, A.A. Naumov Samara State Technical University
In the paper properties of wavelet-transformation and its application to signals processing of analytical devices (chromatographs, polarographs, mass spectrometers, etc.) are considered. For concrete signals and wavelet-functions results of analytical calculation of continuous wavelet-transformation which are used then in algorithms of calculation the informative parameters of peaks and separation of the superposed signals are presented.
Key words: wavelet, wavelet-transformation, signals processing
Raukhat Saifullin, Doctor of Technical Sciences, Professor. E-mail: [email protected] Alexander Naumov, Post-graduate Student. E-mail: Naumoff.aleksandr@gmail. com
