Непрерывное вейвлет-преобразование Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

| РАДИОФИЗИКА

УДК 519.6

С. В. Божокин, С.И. Лыков НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Многие сигналы, изучаемые в физике, существенно нестационарны. Это означает, что их статистические свойства и спектральные характеристики, вычисленные для достаточно большого интервала времени Г, изменяются, если взять любой другой интервал времени Т, смещенный на произвольный момент времени относительно первого. Явление нестационарности приводит к тому, что многие традиционные методы исследования сигналов (оконное преобразование Фурье, корреляционный анализ) оказываются малоэффективными. В таких случаях для анализа нестационарных процессов используется теория вейвлетов [1—6].

Термин вейвлет происходит от английского слова wavelet, что в дословном переводе означает «маленькая волна»; иногда этот термин переводится как «всплеск». Возникновение теории вейвлетов считается одним из важнейших достижений в математике за последние десятилетия. Теория вейвлетов стала мощным инструментом прикладных исследований практически во всех естественных науках и многих отраслях техники. В настоящее время вейвлеты широко используются при решении задач анализа и синтеза различных сигналов, для обработки изображений, сжатия больших объемов информации и цифровой фильтрации, распознавания образов, количественного описания турбулентности, решения некоторых д ифференциальных уравнений. Вейвлеты применяются в радиофизике, нелинейной динамике, акустике, оптике, физике твердого тела, сейсмологии, динамике жидкостей, биологии и медицине, а также экономике [7—13].

Целью работы является нахождение аналитического выражения непрерывного вейвлет-преобразования для простейшего нестационарного сигнала (зависящего от времени г), который представляет собой произведение огибающей гауссовой формы на осциллирующую функцию. Сложный нестационарный сигнал Z(í) представляется в виде суперпозиции простейших нестационарных сигналов. В качестве материнского используется вейвлет Морле \|/(х), для которого вычисляется протяженность Ах по оси х, а также параметр Ап, определяющий протяженность частотного спектра. Приведена формула для восстановления сигнала Z(/) по известному результату непрерывного вейвлет-преобразования. Даются выражения для локальной плотности е(у, /) спектра энергии сигнала, зависящей от частоты V и времени I, а также спектральных интегралов

Вейвлет Морле

Интеграл Фурье комплексной функции \|/(х), зависящей от вещественного аргумента х, определяется следующим образом:

¥(Х) = [ Ф(^) ехр(-г'Од:) (1)

—00

Фурье-компонента ф(О), характеризующая спектральный состав функции ц/(х), имеет вид

оо

ф(0)= | ехр(г'Пх)<^с. (2)

Предположим, что функция \[/(х) достаточно быстро убывает при х -» +оо и, следовательно, имеет конечный квадрат нормы, удовлетворяющий равенству Парсеваля:

00 00 ¿/О

| |у(х)| (1х= Л —.

(3)

Определим центр локализации хс функции \|/(х) по оси х и центр частотной локализации Пс Фурье-компоненты \]>(0):

00

|х|\|/(х)| (Ьс

| |\|/(х)|2 (Ьс

]■ П |у(П)

О.

2 сЮ 2л

2 С/П 2 к

(4)

Квадраты параметра Ах, позволяющего оценить протяженность функции \|/(х) по оси х, а также параметра Дп, характеризующего протяженность частотного спектра функции ф (О), имеют вид

(А,)2

^2 I |2

(х-хс) |\|/(х)| (Ьс

-00_ ,

00 :

| |х|/(х)| (Ьс

(Лп)2= —

2 (10. 2п

Л^(О)

2 СЮ. 2п

(5)

функциям, полученным из материнского вейв-лета путем сжатий, растяжений и сдвигов.

Материнский вейвлет \|/(х) должен быть хорошо локализован вблизи точки х = 0, иметь нулевое среднее значение и обладать единичной нормой. Этими свойствами обладает вейвлет Морле:

= Дехр

2

ч у

ехр(-Ш0х) - ехр

' о2Л 2

V у у

,(6)

где параметр П0 = 2л, а значение нормировочной постоянной Б определяется следующей формулой:

2) =

л/л

1-2ехр

4

ч у

+ ехр

И)

-1/2

•(7)

Из выражения (6) видно, что вейвлет Морле представляет собой комплексную функцию, осциллирующую с частотой О0 и модулированную функцией Гаусса. Фурье-компонента вейвлета Морле имеет вид

\£г(П) = л/2я £>х

ехр

(П-П0):

2 Л

(1-ехр(-П0П))

(8)

Используя Фурье-компоненту ф(П), введем константу :

п

(9)

В случае вейвлета Морле формулы (4) приводят к следующим значениям усредненной координаты хс и усредненной частоты Пс:

хс=0;

Величины Ах и Ап, введенные таким образом, удовлетворяют неравенству АхАп >1/2. Ширина окна, соответствующего функции \|/(х) на оси х, составляет 2АХ, а ширина окна на шкале частот С1 оценивается величиной 2ДП.

Теория вейвлетов предписывает выбрать определенную функцию \|/(х) в качестве материнского вейвлета, а затем разложить исследуемый нестационарный сигнал по базисным

Пс=О0

1-ехр

' ЗП? и

4 ,,

\ У У

1-2ехр Г зпГ Л + ехр (-По)

V У

-1

(Ю)

Квадраты протяженности Дх вейвлета Морле на оси х и протяженности Лп частотного спектра имеют вид

Ai-i

* 2

1-2ехр

1+

Qo ехр

ЗПп

( ЗП^

+ ехр

И)

-1

(11)

дЧ

1-

п

f f - 1 \ 3Q

ехр

-2е}ф^-Оо)

+

+ехр

7Q;

>\л

J J

(12)

1-2ехр Г 3nl] л -1

- V V -

V(\,t)= Jz(m)v* ™ exp(-toi) (14)

При выборе значения Од = 2 те параметры локализации вейвлета Морле принимают значения Ах»1/у/2, Дп «1/\/2 , что очень близко к наименьшему значению произведения ДХДП =1/2. Следовательно, вейвлет Морле одинаково хорошо подходит для анализа как временных, так и частотных особенностей исследуемого сигнала.

Непрерывное вейвлет-преобразование

Указанное вейвлет-преобразование определено следующим выражением:

00

= v | (13)

—00

Оно отображает исходный сигнал Z(l) на плоскость непрерывно изменяющихся аргументов — частоты V и времени ?. В этом выражении \|/(х) -материнскийвейвлет; звездочка означает комплексное сопряжение. Аргумент V определяет масштаб сжатия или растяжения материнского вейвлета, а аргумент t — положение центра его локализации. Вейвлет играет роль адаптивного окна, ширина которого велика для малых частот V и мала для больших частот. Основной вклад в интеграл У(у,0 дают те составляющие сигнала Z(У), которые в наибольшей степени «похожи» на вейвлет, центрированный в точке (' = ( и осциллирующий с частотой v. В представлении Фурье вейвлетное преобразование У(у,0 принимает вид

где ¿(со) — Фурье-компонента сигнала Z(/), а ф (со) — Фурье-компонента вейвлета.

Анализ выражения (14) показывает, что основной вклад в интеграл (14) вносят частоты со, удовлетворяющие соотношению со ~ Апу, где Дп — протяженность частотного спектра материнского вейвлета.

Условие конечности константы , определенной соотношением (9), позволяет вывести формулу обращения

0 -00

восстанавливающую сигнал Z(7) по известному вейвлетному преобразованию и материнскому вейвлету \|/(х).

Для доказательства соотношения (15) необходимо воспользоваться равенством

-> о

Jdv-v J<ft0x

(16)

xRe{V[v(i'-/0)] v[v(/-/0)]} - &{t-t%

где 5(x) — дельта-функция Дирака.

Для вейвлет-преобразования справедливо соотношение, аналогичное формуле Парсеваля в Фурье-анализе:

\dtZ\t)

2 corJcorJ lFM|

(17)

о у

Из этой формулы следует, что величина е(у,/), имеющая вид

2 |^М|2

5М =

(18)

■"F

характеризует мгновенное распределение энергии сигнала по частотам V вейвлетного преобразования (локальная плотность спектра энергии сигнала).

Изменение спектральных свойств сигнала во времени можно проанализировать, рассматривая положения максимумов (хребтов) поверхности | К(у,0 |2 . Изображение таких хреб-

тов называют скелетоном сигнала. Для исследования динамики нарастания и спадания спектральных составляющих нестационарных сигналов используется спектральный интеграл

(19)

представляющий собой локальную плотность спектра энергии сигнала, проинтегрированную по интервалу частот [v,.,, v.. ], где величины v..

г1 1 г1 г1

(ц = 0,1,2,...) характеризуют границы интервала с номером ц.

С целью построения математической модели нестационарного сигнала Z(í), решение для которой может быть получено аналитически, воспользуемся принципом суперпозиции и представим сигнал в виде суммы N простейших нестационарных сигналов, центрированных в точках t = tL и характеризующихся системой параметров Ь\

(20)

Примером простейшего нестационарного сигнала zL{t-tL) является выражение

2т г л/л

ехр

(21)

Сигнал zL{t-tL) представляет собой произведение огибающей гауссовой формы на осциллирующую функцию и описывается системой пяти параметров Ь, которые можно представить в виде

1 =

(22)

01 2 34 56 7 8 9 /, С

Рис. 1. График простейшего нестационарного сигнала с параметрами X = (1; 5; 5; 1; 0) в зависимости от времени

№). о.е

0,24 0,20 0,16 0,12 0,08 0.04

V. Гц

Рис. 2. Частотный спектр мощности простейшего нестационарного сигнала (см. рис. 1)

Ь = (1; 5; 5; 1; 0).

Фурье-компонента (ю) простейшего сигнала имеет вид

Л , . Ьт ехр(г-а>/г) ( г . ч2

ЧН = 21 ехр|_-(^ + ^)2 + ,-а2

+ ехр

(23)

где Ъь - амплитуда сигнала, /£, Гц - частота колебаний; tL,c- центр локализации сигнала во времени; тх, с - характерный размер локализации сигнала по времени; ах, рад - начальная фаза.

На рис. 1 показана зависимость от времени простейшего нестационарного сигнала гь - ) с параметрами

где хь = , ¥ь = 2л/£т£ .

Зная величину ¿¿(ю), можно вычислить спектр мощности Рь (со) = (ю) |2 сигнала. В качестве аргумента вместо круговой частоты ю удобно рассматривать частоту у = ю/(2л). Спектр мощности Рь (у), приведенный на рис. 2 для частот V > 0 , представляет собой гауссов пик с центром при у = fL. Характерная полуширина спектра мощности имеет вид Ду=1/(4лтх). Отметим, что классический спектральный анализ, основанный на преобразовании Фурье, позволяет обнаруживать факт присутствия в сигнале Z(í) различных гармоник, но не дает возможности проследить эволюцию во времени мгновенных спектральных характеристик сигналов.

о.е

По сравнению с классическим Фурье-ана-лизом и оконным преобразованием Фурье теория вейвлетов предоставляет более широкие возможности. Непрерывное вейвлет-преобра-зование (13) позволяет вычислять изменение плотности спектра энергии сигнала во

времени. Тем самым для сигнала Z(í) открывается возможность анализировать динамику возникновения и исчезновения отдельных гармоник, что является эффективным инструментом исследования локальных свойств сигналов даже в случае сильной нестационарности, когда мгновенные частоты быстро изменяются.

Для простейшего нестационарного сигнала вейвлет-преобразование (13) можно выполнить аналитически; результат мы обозначим посредством Тогда свойство линейности (аддитивность) вейвлет-преобра-зования дает возможность получить аналитическое выражение и для сложного сигнала Z(í) (20) — в виде суммы соответствующих функций

Приведем выражение для функции

I |2

У£ (у,/) , когда аргумент V ~ , а параметр ут£ удовлетворяет соотношению ух1 »1:

21.2

РЬ

8т?

хехр

4т12(Д - у)2

2т,

(24)

где

Ж(у) +4соз2 у-ехр

1-ехр

1-ехр

+

4я2/х

I |2

График функции от времени

представляет собой гауссов пик при t = tL, ширина которого совпадает с величиной т£. Гра-

фик зависимости той же функции от частоты

V имеет вид асимметричного пика с центром, строго локализованным в точке V = / . Это об-

стоятельство очень важно при анализе скелетонов — двумерных изображений экстремальных

I / \12

значений поверхности (V,? ^ .Поверхность, изображающая зависимость квадрата модуля непрерывного вейвлет-преобразования (24) от времени и частоты, представлена на рис. 3. В дополнение на рис. 4 приведен график отношения

величины Уь к ее максимальному зна-

чению в зависимости от безразмерной частоты

V / . Спектральная ширина на половине максимума этого пика, центрированного в точке

V = , равняется 0,27 fL ; на рис. 4 эта ширина указана жирной линией.

Отметим, что в публикациях [2,4,5,9] принято несколько иное определение интегрального вейвлет-преобразования Щу,0. В этих работах вместо частоты V используется масштабная переменная вейвлетного преобразования £ = 1/V . Введенная нами функция К(V, 0 (13) связана с функцией Щу,/), применяемой в указанных работах, соотношением

/ -/Л , о.е

Рис. 3. График квадрата модуля непрерывного вейвлет-преобразования в зависимости от времени и частоты, выполненного для простейшего нестационарного сигнала (см. рис. 1)

0 12 3 4 5 6

у'Л

Рис. 4.1рафик отношения величины У^у, |2 к ее максимальному значению в зависимости от безразмерной частоты для простейшего нестационарного сигнала (см. рис. 1)

Из-за множителя

Л максимум функции не соответствует условию V = / даже для стационарного сигнала в форме гармонического колебания с частотой /, что усложняет интерпретацию графиков .

Таким образом, в данной статье предложена аналитическая модель нестационарного сигнала Z(t), представляющая собой линейную суперпозицию простейших нестационарных сигналов - ). Подбирая различные комбинации параметров Ь = (Ьь; /х; тх; ах) и количество слагаемых в суперпозиции, можно конструировать теоретические модели, позволяющие аналитически описывать нестационарные физические процессы.

Непрерывное вейвлет-преобразование К(V, /) введено с использованием материнского вейвлета Морле. Для простейшего нестационарного сигнала {t-tL) получено аналитическое выражение вейвлет-преобразования — функция Уь (V, 0. Показано, что временная протяженность величины У£ (V, 0 равна значению параметра ть, спектральная ширина составляет приблизительно 0,27/£, а центр спектра находится в точке V = . В общем случае функция отражает сложную динамику изменения спектральных свойств нестационарного сигнала, диагностирует локальные частоты и выявляет переходные этапы.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (2009—2013)»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам [Текст]/ И. Добеши. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 462 с.

2. Чуй, К. Введение в вейвлеты [Текст]/ К. Чуй. — М.: Мир, 2001.-416 с.

3. Витязев, В.В. Вейвлет-анализ временных рядов [Текст]/ В.В. Витязев. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001. - 58 с.

4. Короновский, А.А. Непрерывный вейвлет-анализ и его приложения [Текст]/ А.А. Короновский, А.Е. Храмов. — М.: Физматлит, 2003. — 176 с.

5. Мала, С. Вейвлеты в обработке сигналов [Текст]/ С. Малла -М.: Мир, 2005. -671 с.

6. Божокин, C.B. Дополнительные главы теоретической физики. Вейвлеты [Текст]/ C.B. Божокин, С.Н. Лыков. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2007. - 252 с.

7. Божокин, C.B. Вейвлет-анализ динамики усвоения и забывания ритмов фотостимуляции для нестационарной электроэнцефалограммы [Текст]/ C.B. Божокин // ЖТФ. - 2010. - Т. 80, - № 9. -С. 16-24.

8. Божокин, C.B. Вейвлет-анализ переходных процессов электроэнцефалограммы при фотостиму-

ляции [Текст]/ С.В. Божокин, Н.Б. Суворов. // Биомедицинская радиоэлектроника. — 2008. — № 3. — С. 21-25.

9. Короновский, A.A. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа [Текст]/ A.A. Короновский, В.И. Поно-маренко, М.Д. Прохоров, А.Е. Храмов // ЖТФ. — 2007. - Т. 77. - № 9. - С. 6-17.

10. Addison, P.S. Wavelet transforms and the ECG: a review [Текст]/ P.S. Addison// Physiol. Meas. — 2005. — Vol. 26. - P. R155-R159.

11. Shyu, H.C. Construction of a Morlet wavelet power spectrum [Текст]/ H.S. Shyu, Y.S. Sun // Multidimensional Systems and Signal Processing. — 2002. — Vol. 13.-P. 101-111.

12. Sinha, S. Spectral decomposition of seismic data with continuous-wavelet transform [Текст]/ S. Sinha, PJ. Partha, P.D. Anno, J.P. Castanga // Geophysics. — 2005. - Vol. 70. - No 6. - P. 19-25.

13. Bussow, R. An algorithm for the continuous Morlet wavelet transform [TeKCT]/R. Bussow // Mechanical Systems and Signal Processing. — 2007. — Vol. 21. — No 8. - P. 2970-2979.