О частотно-временном разрешении кратковременного Фурье-анализа и непрерывного вейвлет-анализа при обработке речевых сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

А.Н. Г олубинский,

доктор технических наук

Р.А. Асташов,

ОАО «Концерн «Созвездие»

О ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОМ РАЗРЕШЕНИИ КРАТКОВРЕМЕННОГО ФУРЬЕ-АНАЛИЗА И НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЧЕВЫ1Х СИГНАЛОВ

ON TIME-AND-FREQUENCY RESOLUTION OF THE SHORT-TERM FOURIER ANALYSIS AND THE CONTINUOUS WAVELET

Предложены параметры, позволяющие удобно для практического анализа характеризовать разрешающие способности вейвлетов. Проведено сравнение частотновременных разрешающих способностей непрерывного вейвлет-преобразования и кратковременного преобразования Фурье.

The parameters allowing convenient for practical analysis was characterized resolutions for wavelets are proposed. The comparison of the time-frequency resolutions of the continuous wavelet transform and short-term Fourier transform is performed.

В настоящее время зачастую требуется обрабатывать сигналы, сложные по своей структуре. При этом решение ряда задач, связанных с обработкой нестационарных сигналов, параметры которых (например, частота) изменяются во времени, оказывается неэффективным или невозможным в рамках традиционного преобразования Фурье.

При оконном преобразовании Фурье сигнал делится на отрезки («окна»), в пределах которых его можно считать стационарным. Для этого к сигналу применяется оконная функция, ширина которой должна быть равной ширине окна. В данном случае окно как бы скользит, перемещаясь с некоторым сдвигом по всей временной оси сигнала [1]. Однако данное частотно-временное представление сигнала имеет существенный недостаток — чем уже временное окно, тем лучше временное разрешение, но хуже частотное, и наоборот. Проблема оконного преобразования Фурье имеет свои корни в явлении, которое называется принципом частотно-временной неопределённости Гейзенберга. Таким образом, применительно к обработке сложных сигналов проблема оконного преобразования Фурье состоит в том, что приходится выбирать окно «раз и навсегда », то есть для анализа всего сигнала. Однако разные его участки могут требовать применения разных окон. Например, если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать частотным разрешением в пользу временного, и наоборот.

Вейвлет- преобразование относительно кратковременного (оконного) преобразования Фурье (КПФ) обладает лучшей частотно-временной локализацией для коротких высокочастотных и протяжённых низкочастотных составляющих сложных сигналов, которые в подавляющем большинстве случаев существуют в природе [2]. Данное преимущество возникает вследствие переменного разрешения вейвлета по частоте и по времени. В результате при увеличении масштаба (или уменьшении частоты) в плоскости время-частота окно будет расширяться по временной шкале и сужаться по частотной шкале. При уменьшении масштаба — наоборот.

ANALYSIS AT SPEECH SIGNALS

Вейвлет-преобразование находит все более широкое применение в обработке временных рядов, будь то интернет-трафик или биржевые котировки, обработке данных дистанционного зондирования геофизических данных, распознавании образов и речевых сигналов, задачах связи, теоретической физике и математике, медицине, сжатии изображений и мультимедиа-информации и т.д.

Основная идея вейвлет-преобразования отвечает специфике многих сигналов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик — среднего значения, дисперсии, периодов, амплитуд и фаз гармонических компонент. Подавляющее большинство процессов, изучаемых в различных областях знаний, характеризуются как раз нестационарными сигналами.

Таким образом, перспективным математическим аппаратом для обработки речевого сигнала является непрерывный вейвлет-анализ, позволяющий вычислить частотно-временные характеристики речевого сигнала с удовлетворительным разрешением по времени и частоте, выявив существенные особенности в анализируемом сложном нестационарном сигнале.

Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) является одним из эффективных альтернативных методов частотно-временного анализа и позволяет проводить анализ на произвольно выбираемых частотах с корректировкой размера окна преобразования под анализируемую частоту.

Следует отметить, что некоторые материнские вейвлеты НВП в ряде случаев непосредственно соответствуют конкретному физическому процессу, что определяет потенциально более высокую точность описания соответствующих сигналов.

К сожалению, в литературных источниках уделено мало внимания сравнительному анализу параметров частотно-временного разрешения НВП с параметрами КПФ.

Цель работы — исследование характеристик частотно-временного разрешения дочернего вейвлета Морле, сравнительный анализ частотно-временных разрешающих способностей непрерывного вейвлет-преобразования и кратковременного преобразования Фурье.

КПФ сигнала и^) определяется выражением:

(w, b) = Ju (t) • h(t - b) • e— jwt d t, (1)

где h(t) — временное окно; b — сдвиг по временной оси. На практике при обработке речевых сигналов хорошо зарекомендовало себя окно Гаусса [1]:

h (t) = exp

(2)

здесь о — параметр окна. Таким образом, для окна (2) КПФ приобретает вид:

¥ (* -Ь)2

Su (р, Ъ) = |и^) е 2 • °2 е-]р'1 d t. (3)

Отметим недостаток КПФ: разрешение по частоте и по времени — постоянные величины по отношению к частоте.

НВП сигнала и(Г) осуществляется путём свёртки [2]:

t - Ъ Л

■ — -.... а

¥ ¥ ,■ х г 1 г * (t — b i

Wu (a, b) = Ju(t) ya,b (t)dt = -_ J u(t)• y* ---------------------------------- dt, (4)

л/И —¥

где Ъ — координаты сдвига (размерность времени); а — масштаб (безразмерная величина, обратно пропорциональная частоте); двухпараметрическая вейвлетная функция:

—оо

—оо

— оо

У

(5)

здесь у(г) — материнский вейвлет, у

г - ь

а

дочерний вейвлет.

Человеческое ухо устроено так, что при обработке звукового сигнала результирующее преобразование сигнала будет с точностью до константы совпадать с вейвлет-преобразованием [3], а частотно-временные характеристики материнского вейвлета Морле аналогичны характеристикам базилярной мембраны.

В связи с этим применительно к описанию речевых сигналов хорошо зарекомендовал себя материнский вейвлет Морле [3], к преимуществам которого следует отнести наличие параметров: а (параметр масштаба, влияющий на ширину окна) и X (доминантная частота, позволяющая варьировать избирательность базиса). Варьируя данные параметры, можно добиться: 1) приемлемой ширины для частотного и временного окон (параметр а); 2) высокой точности аппроксимации, используя небольшое количество коэффициентов вейвлет-преобразования — вследствие резонанса сигнала с вейвлетом (параметр X).

Вейвлет Морле при условии X >4, что практически обеспечивает условие нулево-

_3

го среднего (значение не превышает 10 ) и достаточное затухание с ростом частоты спектральных составляющих (преобразования Фурье) материнского вейвлета, задаётся следующим образом (для единичной нормы):

- А

у(г) » г-\г- е• е 2а2 . (6)

(7)

С учётом (6) НВП для вейвлета Морле приобретает вид:

1

J и(г)• ехр

(* - Ь)2

2а2а 2

-

г - Ь

а

&.

4а ^

При значении параметра а>245»4,472 обеспечивается выполнение условия

2 ______2

X >> 2а , что даёт приближенные выражения [4]:

&• а »р/а; X/а »а. (8)

Таким образом, выражение для НВП (7) можно записать в следующей форме [4]:

(г-Ь)2 • о2

а г ,,

р г (‘ >'

2 • р2

• е

-]а • (г-Ь)

&,

(9)

— ¥ Г

здесь функция ехр

(г - Ь )2 а2 Л 2-Р2

= к(г - Ь, а) играет роль временного окна переменной

ширины и зависит от частоты (по аналогии с КПФ). Значение параметра Р для обработки речевых сигналов при условии X >4,5 в большинстве случаев целесообразно принять равным: Р=5. Однако в зависимости от требуемой разрешающей способности по частоте или во времени параметр Р может принимать и иные значения.

К удобствам НВП при использовании материнского вейвлета Морле, который является комплексным (как и ядро КПФ), при анализе периодических (квазипериодиче-ских, полигармонических) сигналов, стоит отнести следующее. Модуль НВП с данным материнским вейвлетом не будет иметь вид периодической (квазипериодической) структуры, в отличие от НВП при использовании действительных материнских вейвле-

1

е

тов, а будет представлять собой амплитудные составляющие (по аналогии с амплитудным спектром КПФ) на соответствующих гармониках (спектральных составляющих).

Для определения наилучшего в некотором смысле вейвлета, позволяющего с необходимой точностью решать задачи синтеза и анализа речи, требуется задаться параметрами вейвлета, которые позволяют количественно охарактеризовать его свойства.

Рассмотрим основную характеристику вейвлета — частотно-временное разрешение, т.е. потенциальную способность селектировать частотные и временные компоненты исследуемого сигнала.

Основными параметрами материнских вейвлетов, которые позволяют характеризовать его разрешающие способности по времени и частоте, являются [2, 5—9]:

1) эффективный радиус (размер) временного окна материнского вейвлета

3) эффективная площадь частотно-временного окна материнского вейвлета для круговых частот

(10)

где t0 — среднее значение материнского вейвлета во временной области;

¥

(11)

у ||— норма материнского вейвлета (во временной области);

¥

(12)

— ¥

2) эффективный радиус (размер) частотного окна материнского вейвлета

(13)

где ¥(р) — преобразование Фурье от материнского вейвлета;

¥

7 =л/-Г; в формуле (13) ш0 — среднее значение материнского вейвлета в частотной области ;

|| — норма материнского вейвлета в частотной области;

¥

(16)

—¥

(17)

для линейных частот:

(18)

Преобразование Фурье материнского вейвлета Морле (для единичной нормы)

о2(х-д>)2

¥ (о) = 4Р- 42- 4а - е 2 , (19)

а соответствующие параметры:

Л =Т2; А° = 42-а ’ Swt = 2; Sft = 4р • (20)

Основными известными параметрами дочерних вейвлетов, которые позволяют характеризовать разрешающие способности по времени и частоте непрерывного вейвлет-преобразования, являются [2, 5—9]:

1) эффективный радиус (размер) временного окна дочернего вейвлета

Лу = Л 'а; (21)

2) эффективный радиус (размер) частотного окна дочернего вейвлета для круговых частот

Л^=—; (22)

а

эффективный радиус (размер) частотного окна для линейных частот

Л I

Л¥ [ Гц ] = — , (23)

(т.е. справедливо равенство Д„= Ду Д^ или Д^ Af= Ду- Д^ [.гц );

3) эффективная площадь частотно-временного окна дочернего вейвлета для круговых или для линейных частот соответственно

*У,¥ = 2Лу ' 2Л¥ = 4»5^ = 8Sft ^ 2 ; (24)

Sy,Y[Гц] = 2Лу ' 2Л¥[Гц] = 2Swt /р = 4Sft ^ 1/р. (25)

Следует отметить, что оперирование абсолютными величинами вызывает ряд трудностей при сравнительном анализе частотно-временных разрешающих способностей вейвлета, например, низкочастотных и высокочастотных составляющих спектра, или коротких и протяжённых временных сегментов сложных сигналов.

Для удобства анализа частотно-временных разрешающих способностей вейвлета предложены следующие относительные параметры, характеризующие соответственно временное и частотное разрешение дочернего вейвлета:

я ЛУ я Л¥[ Гц ]

°¥=~ ’ Я¥[Гц] =-------> (26)

где Т и f — соответственно длительность рассматриваемого временного сегмента и частота спектральной составляющей сигнала.

Используя формулу, устанавливающую связь между масштабом и частотой

а = 1, (27)

I

где 1н — нормированная линейная частота, которая для вейвлета Морле рассчитывается на основе выражения

1 н = (Х+^^2 + 2' & 2М4^ (28)

получим с учетом (21) и (23) следующие расчетные формулы:

Лу=У; Л¥[Гц] = I . (29)

^ I 4р-у

В формулах (29): у — константа для вейвлета Морле

g=f -A, _ £ _ 4J-p = ^ p (30)

Таким образом, относительные параметры:

_g; (31)

f -T _1

8хР[Гц] ----• (32)

^ 4р-у

В формуле (32) правая часть соответствует случаям, например, при исследовании разрешения самой малой по длительности или самой протяженной во времени периодиче-

ской составляющей речевого сигнала (т.е. Гт1П=1//тах или Ттях=И/тт).

Для обеспечения равных значений относительных параметров разрешения:

8 ¥=5у [Гц]=0,282 следует положить:

у- 1/(2лр) » 0,282, (33)

что обеспечивается при значении:

4р —1

¡-—¡=» 2,307. (34)

2\12я

В таблице представлены значения относительных параметров разрешения, рассчитанных для КПФ и НВП при различных значениях ¡.

КПФ НВП

ß

5 4 3 2,307 2

§г, % 213,2 cmin emax 0 / §Y [Гц ] _ §Y [ Гц ^ % 13,9 17,2 22,4 28,2 31,8

§m x, % 3,7

§tmin, % 213,2 §™ _ §{?ax , % 57,4 46,4 35,5 28,2 25

§ x % О4 3,7

Параметры для расчета величин в таблице имели следующие значения: fmin=70 Гц (наименьшая частота основного тона); fmax= fd/2=4000 Гц (где частота дискретизации: fd=8 кГц); Tmax=1/fmin=14,3 мс; Tmin=1/fmax=0,25 мс. Соответствующие относительные параметры (в процентах) частотно-временного разрешения рассчитывались по фор мулам:

__A^ -100% ; §тах __A^ -100% ; §fn _ ^/_ -100%; ömfax _ — -100% ;

t t t t f f f f

min max J min J max

cmin cmax i nno/ omin omax 1 ,тц/ мг-,

§y _§y _g-100% ; §Y[Äö] _ §Y[Äö] _ •100% . (3 5)

Заметим, что для КПФ константы: A f _ const ; At _ const, при этом для НВП

f t

переменные величины: Ay [гц ] _ var ; Ay _ var .

f t

Значения эффективных радиусов для КПФ были выбраны из условий §mm _§mm (что эквивалентно §tmax _ §fax ); (36)

А. -А / — -1 (для окна Гаусса), (37)

7 4л

в результате получим:

1 0,53 мс. (38)

А /тп - /а »149,3 Гц ; А, — ,

У V 8л 1 ПР'/тт-/

Относительные параметры при этом определяются следующим образом:

с-тт с-тт

8 —8/

Л

/а

2,132; 8/тх — 8™*

» 0,037. (39)

8л'/тп ’ ’ Ч2л'к

Как видно из таблицы, непрерывное вейвлет-преобразование (при использовании вейвлета Морле) позволяет обеспечить по сравнению с кратковременным преобразованием Фурье (при использовании окна Гаусса) лучшие параметры частотновременного разрешения во всём частотном диапазоне исследуемого спектра и на всех временных сегментах речевого сигнала. Также заметим, что возможен случай фиксированных относительных параметров частотно-временного разрешения 28,2% (для значения Р =2,307).

Таким образом, предложены параметры в виде относительных эффективных радиусов дочернего вейвлета, позволяющие удобно для практического анализа характеризовать его разрешающие способности. На основе параметров, характеризующих частотно-временное разрешение дочернего вейвлета, проведено сравнение частотновременных разрешающих способностей непрерывного вейвлет-преобразования и кратковременного преобразования Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Женило В.Р. Компьютерная фоноскопия. — М.: Академия МВД России, 1995. — 208 с.

2. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: Физматлит, 2003. — 176 с.

3. Горшков Ю.Г. Новые решения речевых технологий безопасности // Специальная техника. — 2006. — №°4. — С. 1—13.

4. Голубинский А.Н. Параметры вейвлета, выбор сдвига и масштаба непрерывного вейвлет-преобразования для детектирования эмоций по голосу // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 2. — С. 109—118.

5. Бурнаев Е. В. Применение вейвлет преобразования для анализа сигналов. — М.: МФТИ, 2007. — 138 с.

6. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов. — СПб.: Изд-во С.- Петербург. ун-та, 2001. — 58 с.

7. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 464 с.

8. Мала С. Вейвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 671 с.

9. Новиков Л.В. Основы вейвлет- анализа сигналов. — СПб.: МОДУС+, 1999. — 152 с.