Вещественные n-поверхности в пространствах r (e) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.11+517.98 ББК 22.15

© Л.В. Антонова

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ

Вещественные n-поверхности в пространствах Rn (e)

Статья посвящена вещественным поверхностям в пространствах над алгеброй двойных чисел.

Ключевые слова: пространства над алгебрами, поверхности, отображения, сети.

© L.V. Antonova

Buryat State University, Ulan-Ude

The real n-surfaces in Rn (e) spaces

The article is devoted to substantial surfaces in spaces over algebra of double numbers

Key words: spaces over algebras, surfaces, displays, webs.

Введение

Вещественные и-поверхности Vn пространства Rn (e) изображаются в пространстве Re2n

n-поверхностями. Репер R = {х, Jt, Jn+i}, где X - точка поверхности Vn, а Jt, Jn+i -векторы, определяемые соотношениями (1), является каноническим репером поверхности Vn пространства Re2n. Формы имеют вид:

nn+j — Un+j nk Un+j — Un+j

= bik в , bik = bki . (1)

Так как репер R - канонический, то функции р, Ь^+1 образуют полную систему

инвариантов поверхности Vn биевклидова пространства гиперболического типа Re2n и

определяют ее с точностью до движений пространства Re2n и, следовательно,

вещественную поверхность Vn пространства Rn (e) с точностью до движений этого

пространства. При проектировании поверхности Vn на главные плоскости R+ и R-

получим области и Q_.

Пусть Vn - поверхность постоянных стационарных углов, т.е. (рш = const. Тогда dtyt = _в”+' = 0, из (1) следует b1 = 0. Если сеть Еn является геодезической, то имеем bn+l sin2pj + bijj+l sin2p = 0. Отсюда вытекает, что bn+l = 0, (i Ф j). Но так как bn+l = 0, то векторы нормальной кривизны линий в1 сети Еп равны нулю, т.е. bH = 0. Обратно, если у линий в1 сети Еn векторы нормальной кривизны равны нулю, то bu = 0, т.е. bn+1 = 0 . Тогда следует a1 = 0 , т.е. векторы относительной кривизны aii линий в1 сети Е n равны нулю и поэтому сеть является геодезической. Отсюда следует

Теорема 1 Сеть Е n поверхности Vn постоянных стационарных углов биевклидова пространства гиперболического типа Re2n является геодезической тогда и только тогда, когда векторы нормальной кривизны линий сети Еn равны нулю.

Пусть Vn - поверхность равного наклона. Тогда отображение T является конформным и в силу обобщенной теоремы Лиувилля [38] поверхность является при n>2 алгебраической.

Теорема 4.2. Минимальная поверхность Уп равного наклона в биевклидовом пространстве гиперболического типа Яе2п является плоскостью.

Доказательство. Пусть поверхность Уп равного наклона является минимальной. Тогда

вектор М средней кривизны равен нулю, т.е.

М = - £ Ьа = - 2 (Ь1ПГ + + • " + ЬГ ) 3п+г = 0 . Отсюда следует

п г п

Ы' + Ь$ +... + ЬП = 0. Получим ь? = К+к = ь;+ ' = ьп;к, т.е. Ьп+к = Ь^к. Тогда следует Ь'г+к = 0 , следовательно, Ь^1 = 0. Но из (2.32) Ь= -Ь£+■’. Поэтому ^+] = 0. Получим, что все компоненты асимптотических форм равны нулю, т.е. минимальная поверхность Уп равного наклона является при п>2 плоскостью.

При р = П4 поверхность равного наклона является антиголоморфной, а конформное отображение Т является изометрией, так как коэффициент к = tgр = 1, т.е. антиголоморфная поверхность Уп является плоскостью.

Рассмотрим случай п=3, т.е. поверхность У3 в пространстве Яе6. Пусть У3 -

поверхность равного наклона. Тогда следует:

Ь-41 = Ь-2 = Ь-3 = -Ь242 = -Ьз4з, Ь-2 = Ь'22 = Ьбз = -ЬЦ = -Ь^,

(2)

Ь-4з = Ь2з = Ь33 = -Ь-1 = -Ь262, ь24з = Ь-3 = Ь-2 = 0 Отнесем поверхность У3 равного наклона к сети линий кривизны относительно вектора 34. Так как всегда имеет место Ь23 • 34 = 0, то должны выполняться условия

Ь12 • 34 = 0, Ь13 • 34 = 0. Отсюда следует Ь142 = Ь13 = 0, Ь23 = 0, Ь12 II 35,Ь13 II 36 направления 32 и 33 сопряжены. Тогда векторы нормальной кривизны линий сети Е3: Ь11 II Ь22 II Ь33 II 34 и Ьп + Ь22 = 0, Ь11 + Ь33 = 0 . Уравнение присоединенной поверхности У3 в точке Х поверхности У3 равного наклона имеет вид

(Ь4у41) • ((Ь141 у4 +1) • (Ь141 у4 -1) + (Ь141 уб)2 + (Ь141 у5)2) = 0 или Ь141 у4 +1 = 0,

4 2 5 2 6 2

(у ) + (у ) + (у ) = 1, т.е. присоединенная поверхность представляет собой сферу с

центром в точке Х и радиуса / 4 плоскость П, касательную к сфере в точке

/Ь11

А(- у 4 , 0,0). Вектор средней кривизны является вектором нормали плоскости П.

/Ь11

Заметим, что если сеть Е 3 поверхности равного наклона является сетью линий кривизны

относительно вектора 34, то она является сетью линий кривизны относительно вектора средней кривизны.

Пусть р3 = 0, (р1, р2 Ф 0, П2), тогда поверхность У3 пространства Яе6 является (1,0)-полуголоморфной и 3 3 = 3 3. Нормальная плоскость ^3( X) является (0,1)-полуголоморфной плоскостью и также следует 36 = 33- Формы принимают вид:

(3)

в34 = _e13tgp1, в35 = _e23tgp2, в14 = _dp1, в25 = _dp2,

в64 =_в16ctgp1, в6 = _в^р, вз6 = 0,

в2 = в,5 sin 2р2 + в24 sin 2р1 в5 = в]5 sin 2р1 + в24 sin 2р2

1 2(cos2 р1 _cos2 р2) 4 2(cos2 р1 _cos2 р2)

Отсюда следует b163 = b23 = b363 = 0, тогда b33 • J6 = 0, b13 • J6 = 0, b23 • J6 = 0, т.е. векторы вынужденной кривизны полей J1 и J2 вдоль 1-голоморфной линии в3 и ее вектор нормальной кривизны ортогональны 0-голоморфной нормали [ X, J6] (1,0) -полуголоморфной поверхности V3. Пусть р1 = const, р2 = const, тогда из (4.3) следует в14 = в25 = 0, т.е. b4 = b142 = b143 = 0, b152 = b252 = b253 = 0 . Если сеть Е3 является геодезической, то из (2.22) следует b151 • sin 2р2 = 0, b242 • sin 2р1 = 0,

b343ctgp1 J1 + b353ctgp2J2 = 0 . Так как р1, р2 Ф 0, П2, т.е. векторы b11, b22, b33 линий

сети Е3 коллинеарны вектору J6. Верно и обратное. Отсюда следует

Теорема 3. Сеть стационарных углов (1,0)-полуголоморфной поверхности V3, постоянных стационарных углов пространства Re6 является геодезической тогда и только тогда, когда вектор нормальной кривизны 1-голоморфной линии равен нулю, а векторы нормальной кривизны двух других линий этой сети коллинеарны 0-голоморфной нормали.

Основная система дифференциальных уравнений имеет вид:

d4 д в1 = Мв а в, dbi5 д в1 = Мв,

db6 д в1 = db12 д в2 = Кв а вj, db* д в1 + db262 д в2 = С в д в1,

■ 1 (4)

Ь11 /м, ~^Ьп^ - /'^ , ^Ь12 /м/ хи-Ь22''” ~с11° АЙ1 1

Характеры ^ = 8, д = 15, я 2 = 5, s3 = 2, число Картана Q = 24, а число существенных

параметров N = 24. Система в инволюции, т.е. (1,0)-полуголоморфная поверхность У3 пространства Яе6 существует с произволом двух функций трех аргументов.

Пусть р3 = 0, р2 = П2, (Р2 Ф 0, П2) тогда поверхность У3 является (1,1)-

полуголоморфной. Из (2.1-2.2) следует 33 = Е3+, 32 = Е2+, 35 = Е-, 36 = Е3- т.е.

нормальная плоскость ^( X) является (1,1)-полуголоморфной, формулы (2.14)

принимают вид:

в23 = в25 = в36 = в56 = 0, в14 = _dp1, в12 = _в24 ctgp1,

(5)

^1 = -#3 tgPl, = -#1 ^р^ 04 = -^1 tgPl.

Из (5) следует а21 = а22 = 23 = 0, т.е. на касательных к 1-голоморфной линии 01 и 0-

голоморфной линии 03 существует всего по одному псевдофокусу и векторы а22 и а33

относительной кривизны к этим линиям параллельны вектору 31 причем векторы а 22 и а33

относительной кривизны полей 31 и 31 вдоль линий 01 параллельн^1 также вектору 31.

Проекциями (1,1)-полуголоморфной поверхности на главные плоскости Я3+ и Я3- является

2-поверхности У2+ и У2-.

Основная система дифференциальных уравнений имеет вид:

ЛЬ,4 л 01 = Мке0к л 0е, йЬ5п л 01 + ^ л 03 = N0 л 0е,

^ л 01 = ёЬ353 л 03 = £ке0к л 0е, ёЬ^ л 01 + ЛЬп л 02 = Ьке0к л 0е, ёЬ?2 л 01 = ёЬ262 л 02 = Яке0к л 0е

(6)

Тогда тащМ 1 = 7, тащМ2 = 11, и характеры ■ = 7, я2 = тащМ2 - тащМ 1 = 4,

■3 = 1, Q = N = 18. Поэтому (1.1)-полуголоморфная поверхность У3 в пространстве Яе6 существует с произволом одной функции трех аргументов.

Если р1 = П4 , то (1.1)-полуголоморфная поверхность У3 является СЯ-поверхностью.

Тогда ёр1 = 0 и из (4.5) следует 014 = 0, т.е. Ь141 = Ь12 = Ь13 = 0 . Формы 012,013 имеют вид

012 = -(Ь24202 + Ь34303), 0]3 =-(Ь24302 + Ь34303), т.е. инварианты сети а121 = а131 = 0. Отсюда следует, что вектор относительной кривизны а11 антиголоморфной линии 01 равен нулю, т.е. линия 01 - геодезическая. Так как вектор нормальной кривизны антиголоморфной линии 01 (1,1)-полуголоморфной поверхности У3 ортогонален вектору 34. Нормаль

[ X, 3 4] является антиголоморфной. Поэтому верна

Теорема 4. Если поверхность У3 пространства Яе6 является СЯ-поверхностью, то антиголоморфная линия 01 сети стационарных углов является геодезической, а ее вектор нормальной кривизны ортогонален антиголоморфной нормали.

Из системы (6) имеем тащМ 1 = 6, тащМ2 = 9 и характеры ■1 = 6, ■ 2 = 7, д = 9, ■3 = 0. Число Картана Q = 12, а N = 12. Тогда произвол существования СЯ-поверхности У3 пространства Яе6 равен трем функциям двух аргументов.

Пусть р2 = р3 = 0, (р1 Ф 0, П2), тогда поверхность У3 пространства Яе6 является (2,0)-

полуголоморфной поверхностью. Ее нормальная плоскость N3(X) является (0,2)-полуголоморфной. Система (4) принимает вид:

02 = -024 ^ р1, 013 = -034 tg р1, 04 = -015 щ р1, 04 = -016 tg р1,

014 = -ёр1, 025 = 026 = 035 = 036 = 0.

(7)

Отсюда следует Ь162 = Ь2”2 = Ь163 = Ь\3 = Ь363 = 0, Ь12 = Ь22 = Ь13 = Ь23 = Ь33 = 0. Так как Ьц ■ 35 = 0, Ьц ■ 36 = 0, (г Ф 1), то есть Е3 является сетью линий кривизны относительно

любого вектора из плоскости [ X, 35,36 ], т.е. является сетью линий кривизны относительно любой 0-голоморфной нормали.

Из (7) имеем 012 = - (Ь142 0 1 + Ь 22 л 0 2 + Ь 243 л 0 3 ) ^ р 1, 0]3 =-(Ь14301 + Ь243 л 02 + Ь343 л03)^р1. Отсюда следует, что инварианты сети Е3 имеют вид: а121 = -Ь142 ctgр1, а122 = -Ь242 ctgр1, а123 =-Ьnl3ctgр1, а^ =-Ь143ctgр1,

3 3 74.,Л 2 3 1 1

а12 =-Ь23ctgр1, а13 =-Ь33ctgр1, тогда а13 = а12 = -Ь23ctgр1, т.е. а23 = а32, а это является критерием того, что (2,0)-полуголоморфная поверхность У3 расслаивается в 1-направлении {0-} на двумерные поверхности, несущие сеть линий 02 и 03. Поэтому верна Теорема 5 (2,0)-полуголоморфная поверхность У3 пространства Яе6 расслаивается в

1-направлении {0-} на двумерные поверхности, несущие сеть 1-голоморфных линий 02 и 03.

Вторые квадратичные формы (2,0)-полуголоморфной поверхности У3 имеют вид Ф4 = Ь-ц 001, Ф5 = Ь151(01)2, Ф6 = Ь161(01)2. Отсюда следует, что главная нормаль

N2 (X) является двумерной и Ф = ЛФ , где Л = b11 I b11. . Векторы J4, J5 + XJ6 образуют

базис плавной нормали (2,0)-полуголоморфной поверхности V3. Заметим, что присоединенная кривая (2,0)-полуголоморфной поверхности V3 является кривой третьего

порядка. Пусть сеть Е 3 является сетью линий кривизны относительно вектора J4, тогда b162 = b143 = b243 = 0 и b12 = b13 = b23 = 0, а11 = 0, т.е. сеть Е3 является сетью линий кривизны с одним семейством геодезических линий в1. В этом случае присоединенная кривая распадается на две параллельные прямые 1 - b22 у4 = 0, 1 - b343 у4 = 0 и прямую

1 — b4 у4 — (b151 + Xb161) = 0. Если вектор J5 принадлежит плоскости главной нормали, то Л = 0 . Поэтому b161 = 0. Репер R становится каноническим и формы в2, в56 являются главными, т.е. в23 = а, в56 = а^в'. Полную систему инвариантов образуют

одиннадцать функций (р1, b4, b151, ali, а^ и они определяют (2.0)-полуголоморфную V3 поверхность пространства Re6 точностью до движений этого пространства.

Если (р1 = П4 , (2,0)-полуголоморфная поверхность является CR-поверхностью. Тогда

из (7) следует в4а = 0 т.е. b141 = b12 = b143 = 0 . Тогда а121 = а^ = 0. Поэтому

антиголоморфная линия в1 является геодезической и ее вектор нормальной кривизны ортогонален вектору J4, т.е. для этой поверхности верна теорема 4.4.

Пусть р3 = 0, р2 = П2, (Р2 Ф 0, П2), тогда поверхность 1Л является I-голоморфной, ее нормальная* плоскость А£[л) является 2-голоморфной. Система (4) принимает вид

в12 = в13 = в16, в24 = в34 = в153 = 0, в46 = в56 = 0 . (8)

Тогда b12 = b13 = 0 , b23 = b23 • J6 , b11 = b11 • J4 + b11 • J5, b22 = b22 • J6 , b33 = b33 • J6 .

Отсюда следует, что 1-голоморфная поверхность V3 допускает поле 1-направлений J1, сопряженное ортогональному ему 2-направлению [ J 2, J 3]. Так как

VJ6 = np • dJ6 = в^14 +в65 J5 = 0, то вектор J6 переносится параллельно в связности нормального расслоения. Векторы нормальной кривизны 0-голоморфных линий в2 и в3 сети Е3 параллельны между собой и параллельны вектору J6. Так как в]2 = в! = 0, то вектор относительной кривизны 1-голоморфной линии в1 равен нулю, т.е. а11 = 0 и эта линия является геодезической и лежит в плоскости [X,J1,...,J6], т.е. является гиперплоской. Векторы а12 = а13 = 0 , т.е. вектор J1 переносится параллельно вдоль линий в2 и в3 cera Е 3 получебышевская . Так как тащ (в®) = 2,, то 1-голоморфная поверхность

V3 является тангенциально вырожденной поверхностью ранга 2. Но а— = а— = 0 1-

голоморфная поверхность V3 пространства Re6 расслаивается в 1-направлении {в1} на 0-голоморфные 2-поверхности, несущие сеть линий в2 и в3 [15]. Так как число линейно независимых векторов bравно двум, то главная нормаль двумерная. Вторые квадратичные формы Ф4 = b^^1)2, Ф5 = b^^1)2 и Ф5 = ЛФ4, где Л = b151 /b141. Тогда bn = b4 (J4 +Л15 ), b22 = b262 J6 и векторы J4 + XJ5, J6 образуют базис главной нормали N2(X) 1-голоморфной поверхности V3. Присоединенная кривая распадается на прямую

1 — (b4 +Xb151) у4 = 0 и пару параллельных прямых

[(Ь262Ь363 - (Ь263 )2 )](уб)2 - (Ь262 + Ь363 )у6 +1 = 0. Формы кривизны О4,О4,О6 нормального расслоения равны нулю, т.е. 1-голоморфная поверхность У3 всегда несет сеть линий

кривизны. Отнесем ее к этой сети, т.е. Ь263 = 0. Если Л = 0 , то Ь151 = 0 и вектор 34 принадлежит плоскости главной нормали и является вектором первой главной нормали кривой 01. Тогда главная нормаль N2(X) является 1-голоморфной 2-плоскостью. В этом случае репер Я является каноническим.

Заключение

Рассмотрены вещественные поверхности в евклидовом пространстве над алгеброй двойных чисел. Получены некоторые классы и найден в каждом случае произвол существования.