Вещественная кривая в пространстве над алгеброй двойных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.11+517.98 ББК 22.15

© Л.В. Антонова

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет

ВЕЩЕСТВЕННАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НАД АЛГЕБРОЙ ДВОЙНЫХ ЧИСЕЛ

В статье рассматривается вещественная кривая в пространстве над алгеброй двойных чисел и получена полная система инвариантов.

Ключевые слова: вещественные многообразия, алгебра двойных чисел, стационарные углы.

© L.V. Antonova

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University

REAL CURVE IN SPACE UNDER ALGEBRA OF DOUBLE NUMBERS

The article is devoted to studying real curve in space under algebra of double numbers and the full systems of invariants is obtained.

Key words: real manifolds, aалгебра двойных чисел, стационарные углы.

Введение

Теория дифференциально-геометрических структур возникает на вещественных многообразиях в пространствах над алгеброй двойных чисел. Перспективной областью геометрии пространств над алгебрами является интенсивно развивающаяся в последние десятилетия теория дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Многие из этих структур либо непосредственно связаны с алгебрами, либо возникают на подмногообразиях пространств над алгебрами.

1. Пространства над алгеброй двойных чисел

Вещественной интерпретацией пространства R3(e) над алгеброй двойных чисел является биевклидово пространство гиперболического типа R3(e). Вещественная кривая g пространства R3(e) изображается в биевклидовом пространстве гиперболического типа Re6 кривой g: X = X(t). Касательный вектор I кривой g в точке X составляет с главной 3-плоскостью R+ (X) некоторый угол ф. Пусть векторы E+ и E- вместе с вектором I1 реализует этот угол, Тогда деривационные формулы примут вид: r dX

ds

dE+

=E1 cos ф+E1 sinf,

ds

H+E+,

dE

ds

1 = H-E-,

dE+ r r

-dk -H1E+ + H+E+,

dE- r r

~dt -H1E1- + H - E3-,

dE+ r

~cEt=-H+E+,

dE- = - H - E -

ds H 2 E2 .

Будем называть угол ф углом наклона кривой в точке X . Функции Hi+(s), Hi-(s) и ф) образуют полную систему инвариантов и определяют кривую g с точностью до движения пространства R^(e) . Репер Френе, состоящий из векторов I I I3,I 15,I связан с кривизнами k1 - k5. в соприкасающейся 3-плоскости T^(X) кривой g рассмотрим вектор I перпендикулярный касательному вектору I т.е. вектор І2 является вектором главной нормали, направленным по соприкасающейся 3-плоскости T^(X) кривой. Положим: dф = ads. Найдем вектор:

—► І Ґ —► —► —► —► Л

I2 = k\_aE1 sinф+H+E^cosф+aE1_cosф+H1 E2 sinфJ,

где k1 - первая кривизна кривой:

22 k1 = J(H+ cos ф)2 + (H_ sin ф) + a2 .

Если вектор a является проекцией вектора 12 на 1-голоморфную 2-плоскость

X, E+, E_

то a= k1

a

. Отсюда следует геометрический смысл инварианта a .

Дифференцируя далее базисные векторы, находим вторую, третью кривизны кривой:

k22 = ((-(H+ )2-a2 + кх)2 + (H+ H+ )2 + 4a2( H- )2) cos2 f+ +((-(H“ )2 -a2 + к1)+(H-H- )2 + 4a2(H + )2 )sin2 f, ак (a2(3(H-)2 -a3 + к1 —j^)2 + (-(H+ )3 - 3a2 H+ - H+(H+ )2+H+ )2 +

k32 =

1 ak +9a2(H- H-)2) cos2f+((a2(3(H+)2 +a3 + k1 +^)2 + +(-(H- )3 - 3a2 H- - H-(h 2" )2+H-)2 + 9a2(H+ H+ )2 j sin2 f,

также найдены четвертая и пятая кривизны кривой.

2. Стационарные углы соприкасающейся 3-плоскости T3X) кривой

и главной 3-плоскости R+ (X)

Квадраты косинусов стационарных углов у и у, У3 соприкасающейся 3-плоскости T3( X) кривой и главной 3-плоскости R+( X) являются собственными числами оператора W = (ATB)(BTA). Операторы A и B запишем следующим образом:

A

cosф

0

0

sinф

0

0

_a sin ф _(H+ )2 _ a2 + k1

k1

H1+ cosф k1

0

acosф

k1

H1_ sin ф k1

0

k

cosф

_2aH+ . ,

— Sinф

k

H1+ H 2+

k

cosф

2

-(H1)2 _a2 + k1 . ф 1 ------1 sin ф

k2

_2aH

— cosф

k2

H1 H2 - sin ф

k

2

B

1 0 0 0 1 0 0 0 1 000 000 000

Если ^ = cos2 у ^2 = cos2 у2 , ^3 = cos2 У3 являются собственными числами опе-

ратора

то

Я1,Я2 и Я3

находятся из соотношений:

Я1+Я2 +Я =^Ц (йшф2»4 _ 2k13a2 + 2k12a2(H+ )2 + k12(H1+ )2(H+ )2 + kk

12

+k14 _ 2k13(H+ )2 + k12(H1+ )4 + k22(H+)2 + k12k22)+sin2 ф(4k12a2(H+)2 +

+k 2a2)

Я1Я2+ЯЯ +ЯЯ =- ^ (cos^-k^ H+ )2 - 2(H+ )4a2 + 2(H1+ )4 k1 --(H+ )2a+2(H+ )2a2 k1 - (H+ )4(H2+ )2 - k12( H+ )2(H + )2 - (H+ )6 -

2

2

_(H+)2 k22) _ 4a4 (H+ )2 sin4 ф+cos2 фsin2 ф(_a2 (H+ H+ )2 + 4a2k1 (H+ )2 _ _4a2(H+ )4 _ 2a2k12(H+ )2 _ 4a2(H + )2)

Я Я Я (H+ )4(H2+ )2 бф

Я1Я2Я3 = 1^ С08ф

3. Классификация кривых в пространстве Re

Если /3 - вторая главная нормаль, а /^ - бинормаль кривой, то 2-плоскость [ X, /2, /3] будем называть нормальной 2-плоскостью кривой в точке X, обозначать через N2 (X). Рассмотрим классификацию кривых в пространстве Для кривизн кривой постоянно-

го угла наклона получаем следующие соотношения:

k12 = (H+ )2 cos2 ф+(я_ )2 sin2 ф,

k22 = [(_(H+ )2 + k1)2 + (H+ )2(H+ )2]cos2 ф+

+[(_(H1_ )2+k1)2 + (H- )2(H- )2]sin2 ф,

= [_(H+ )3 _ H+ (H+ )2 + H+ ]2 cos2 ф+ +[_(H- )3 _ H- (H-)2 + H- ]2 sin2 ф.

—

1. Если ф = —, a = 0 получаем:

1_Л2 +ЛЛ+Л/13 = 0 = 0.

Соприкасающаяся 3-плоскость совпадает с главной плоскостью К-(^), т.е. является 0-голоморфной. Кривизны выражаются следующими соотношениями:

^2 = (Я-)2, к22 = (-(Я- )2 + я- )2 + (Я- )2(Я- )2,

к 2 _к 4 + 3 _ к 2

*-32 = (-(Я-)3-ЯГ(Я-)2 + я-)2, (Я-)2 = 4,2, (Я-)2 = ' +1 -

к12

2. Если f = 0, a = 0 и два стационарных угла равны 0 (у = У^ =f = 0), а У3 отли-

л г

чен от нуля, то получим выражение для у3 : cos2 У3 = (I 1+ )2.

3. В случае, когда соприкасающаяся 3-плоскость и кривая являются антиголоморфными,

т.е. у^=у =у =f = —, получим следующую зависимость:

123 Л

4

' ![(#+ )2 - (H- )2]V

^[(H+ )2 + (H1 )2] _ (H+ )2

+ 6(H+ )4(H+)2 = 0.

3.1. В случае, когда соприкасающаяся 3-плоскость является антиголоморфной, т.е. у = у = У3 = —, а кривая не является прямой (Я+, Я- ф 0) и угол наклона ф = 0 ,то получим к2 = 0 и &і = 1 .

Заключение

В статье рассматривается вещественная кривая в пространстве над алгеброй двойных чисел и получена полная система инвариантов. Найдены связи между инвариантами вещественной кривой адаптированного репера и репера Френе.

2