ВЕРШИННО-РАЗЛИЧАЮЩАЯ РЁБЕРНАЯ РАСКРАСКА КУБОВ ЛУКАСА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б01 10.24412/с1-37235 -2024-1 -44-46

ВЕРШИННО-РАЗЛИЧАЮЩАЯ РЁБЕРНАЯ РАСКРАСКА

КУБОВ ЛУКАСА

Т.К. Петросян1, П.А. Петросян1'2 Российско-Армянский университет Ереванский государственный университет

[email protected], [email protected]

АННОТАЦИЯ

Для графа б функция Е(й) ^ N называется «рёберной раскраской графа С». Рёберная раскраска / графа б называется «правильной», если для любых смежных рёбер е,е' ЕЕ (С), /(е) ^ /(в'). Если / -правильная раскраска графа б и V Е У(С) , то обозначим через /) множество цветов рёбер, инцидентных вершин V. Правильная раскраска / графа б называется «вершинно-различающей», если для любых различных вершин Е У(С), Б(и,/) ^ Наимень-

шее число цветов, необходимое для вершинно-различающей рёберной раскраски графа й, называется «вершинно-различающим хроматическим индексом» и обозначается через х'а(^). Кубом Фибоначчи Еп называется подграф п -мерного куба <2П, порожденный вершинами, которым соответствуют битовые строки без подряд идущих двух единиц. Кубы Лукаса Ьп можно получить из Еп, удалив вершины, у которых первые и последние позиции равны единице. В данной работе найдено точное значение для вершинно-различающего хроматического индекса кубов Лукаса.

Ключевые слова: правильная рёберная раскраска, вершинно-различающая раскраска, вершинно-различающий хроматический индекс.

Введение

Пусть С - неориентированный граф без кратных рёбер и петель, У(С) -множество вершин графа С, Е(С) - множество рёбер графа С. Обозначим через Ьп - п -мерный куб Лукаса. Неопределяемые понятия и обозначения можно найти в [7, 8].

Правильная рёберная раскраска / графа С называется «вершинно-различающей», если для любых различных вершин и,рЕ У(С), Б(и,/) ^ Б(у, /). Наименьшее число цветов, необходимое для вершинно-различающей рёберной раскраски графа С, называется «вершинно-различающим хроматическим индексом» графа С и обозначается через Определение вер-шинно-различающей раскраски графа было введено в [1,2] и, независимо, как «наблюдаемость» графа в [3-5]. В частности, авторами [2] были доказаны следующие результаты.

Теорема 1. Для любого натурального п > 3 имеет место равенство

XU^n) = {

n, если n — нечетное число, n + l, если n — четное число.

Теорема 2. Для любых натуральных m и n (n > m > Z) имеет место ра-

В работе [6] были получены верхняя и нижняя оценки для вершинно-раз-личающего хроматического индекса кубов Фибоначчи.

Теорема 3. Для произвольного n-мерного куба Фибоначчи (п > 2).

В данной работе было найдено точное значение для вершинно-различаю-щего хроматического индекса кубов Лукаса.

Основные результат

Теорема 4. Для произвольного n-мерного куба Лукаса (п > 2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Burris A. Vertex-distinguishing edge-colorings, Ph.D. Dissertation, Memphis State University, Memphis, Tennessee, 1993

2. Burris A., Schelp R.H. Vertex-distinguishing proper edge-colorings // J. Graph Theory 26. 1997. PP. 73-82.

3. Cerny J., HornakM., SotakR. Observability of a graph // Math. Slovaca 46. 1996. PP. 21-

4. HorñákM., SotákR. Observability of complete multipartite graphs with equipotent parts // Ars Combinatoria 41. 1995. PP. 289-301.

5. HorñákM., SotákR. Asymptotic behavior of the observability of Qn // Discrete Math. 176. 1997. PP. 139-148.

6. Petrosyan T., Petrosyan P. Vertex-distinguishing edge coloring of Fibonacci cubes // Proceedings of the CSIT conference. 2023. PP. 144-146.

7. West D.B. Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall, New Jersey, 2001.

8. Klavzar S. Structure of Fibonacci cubes: A survey // Journal of Combinatorial Optimization 25. 2013. PP. 505-522.

венство

n + l, если n > m > Z, n + Z, если n = m > Z.

n<*¿d(Fn)< n+l.

31.

VERTEX-DISTINGUISHING EDGE COLORING OF LUCAS

CUBES

T.K. Petrosyan1, P.A. Petrosyan12

Russian-Armenian (Slavonic) university 2Yerevan State University

ABSTRACT

An edge coloring of a graph G is a mapping /: £(G) ^ N. A proper edge coloring of a graph G is an edge coloring / of G such that for any adjacent edges e,e' £ /(e) ^ Z(e'). If f is a proper edge coloring of G

and v £ ^(G), then S(v,/) denotes the set of colors of edges incident to v. A proper edge coloring / of a graph G is vertex-distinguishing if for any distinct vertices u, v £ ^(G), S(u,/) ^ S(v,/). The minimum number of colors required for a vertex-distinguishing proper edge coloring of a graph G is called vertex-distinguishing chromatic index and denoted by ^¿d(G). Fibonacci cubes can be obtained from hypercubes by removing vertices whose binary representations contain consecutive 1s. Lucas cubes Ln can be obtained from Fibonacci cubes by removing vertices whose binary representations started and finished by 1s. In this paper, we determine the vertex-distinguishing chromatic index of Lucas cubes. Keywords: Proper edge coloring, vertex-distinguishing edge coloring, vertex-distinguishing chromatic index.