CC BY
67
УДК 624.042.7 ББК 38.79 К 901
А.Н. Кулешова
Вероятностный расчет тонкостенного составного стержня на сейсмическое воздействие с учетом вертикальной составляющей
(Рецензирована)
Аннотация:
Представлены методика и результаты вероятностного расчета 16 этажного каркасно-связевого здания на основе пространственной модели тонкостенного составного стержня на многокомпонентную сейсмическую нагрузку. Вектор сейсмического движения основания представлен тремя компонентами поступательного и углового ускорений грунта. Получены матрицы коэффициентов динамичности обобщенных координат горизонтальных, вертикальных и крутильных колебаний системы.
Ключевые слова:
Тонкостенный составной стержень; метод канонических разложений; белый шум; спектральная плотность; коэффициенты динамичности.
Пространственная дискретно-континуальная модель тонкостенного составного стержня представляет собой тонкостенные стержни открытого профиля, связанные между собой по всей длине абсолютно жесткими поперечными связями (диафрагмами) и упруго-податливыми связями сдвига. Данная модель применяется для расчета зданий повышенной этажности различных конструктивных схем
(крупнопанельных, каркасно-панельных и монолитных).
Теория пространственных тонкостенных составных стержней в основном разработана для расчета зданий на действие горизонтальных сейсмических нагрузок [1]. В настоящей публикации представлена методика вероятностного расчета тонкостенного
составного стержня на сейсмическое воздействие с учетом горизонтальной,
вертикальной и крутильной составляющей.
Сейсмическое воздействие представляется в виде вектора ускорений поступательного движения и вращения грунтового основания:
и0(ї) - Х01(їX Х02(їX Х03(їX а01(X а02(їX а03(ї) ,
где
Xй (ї), а^ (ї) - стационарные случайные
функции, со следующими статистическими характеристиками: вектор математического
ожидания приближенно равен нулю и
И = 1, 2, 3, 4,
спектральных
(1)
(2)
плотностей SXh (^),
матрицей h = 1...6.
Составляющую всякой векторной функции можно рассматривать как скалярную функцию ее аргумента и номера. Тогда (1) запишется в
виде:
ХИ (ї) -[Х01(їX Х02(їX Х03(їX а01(X а02(їX а03(ї)] •
(3)
Путем преобразований, с учетом данных составляющей сейсмического воздействия. [2], вектора вращения грунтового основания Уравнение (3) принимает вид: ао!^) и ао2^) приводятся к вертикальной
ХИ(ї) - Х01(їX Х02(ї), Х03(ї) ± Ха 1(~) ± Ха 2(ї), ""03(ї) -
- |.?1((), Хг(і), %3(<), Х4(ї)]
где Ха 1(ї) - ахі ^сі01($) - приведенная
вертикальная составляющая вектора вращения грунтового основания а01(ї) относительно оси
х; Х"а 2 (ї) - ау, ■ tgao2 (ї) - приведенная
вертикальная составляющая вектора вращения грунтового основания а02 (ї) относительно оси
у; аХі, ауі - расстояния от центра тяжести
основной системы до цента тяжести каждой ветви тонкостенного составного стержня в направлении осей х и у соответственно.
Продольно-поперечные колебания
тонкостенного составного стержня под действием случайной динамической нагрузки описываются системой дифференциальных уравнений:
(1 - Сх■ 0) - - Вх• 1 — + (и,Т") + ~
-0
у
^■(Г + Су 0і)- -£„Г- + (V ,Т") + гХ
g ^ ^ р ■ Г g р ■ Г g
р ■ Г
,2 л-
і0
■ (ау• х - ах 1}" ■ + Г0 0) - - Вм, 0 — + (м>,Ґ) + В 0"+ т
кр
Ї-- В2ГГ'+ Я Г'+ Ги
3Т"- ЛТ -- (2Г КТ ■¡Г' + «"Г^‘ )
Т
(5)
Входные случайные характеристики системы: Вх - £ EJх , Ву - Е ЕЗу , Вш - Е ЕЗ& , ЕЧр - £ З, В21 - - случайные величины главных изгибных, секториальной,
крутильной и осевой жесткостей; ~- diag{Гi}, (і=1,...,п) - случайный вектор коэффициента
жесткости связей сдвига; п - количество швов; ~Х - Гх°(-,ї); Гу - Гу°(-,ї); та - та(г,ї);
Рг - Рг (-, ї) - компоненты внешней случайной нагрузки, рассматриваемые как стационарные случайные функции, модулированные заданной детерминированной функцией времени.
Выходные случайные характеристики системы: Х-Х (-, ї); Х-Х (-, ї); )Г-)Г(-, ї);
0 - 0 (г, ї)- линейные и угловая компоненты пространственно-временного поля перемещений тонкостенного стержня; Ті(г,ї), (і - 1,...,п) - пространственно-временное поле сдвигающих усилий в швах тонкостенного составного стержня.
Решение системы (5) ищем в виде разложения в ряд по форме собственных колебаний. Разделение переменных в системе разбивает исходную нелинейную систему на две, одна из которых не зависит от координат:
$ pk +1 pk$ pk- - н pk(t), (k -1,2,•••,¥) (6)
где pk - стохастические обобщенные координаты;н pk - вектор обобщенных ускорений, компоненты которого выражаются формулами:
~ Xl(t )■ 1 Xk (z)dz ~ ~
Щк(t) =--------------------------°—H-= zxk ■J~i(t), H, k(t) =
(Лк + oyCk)- 1 Xк(z)dz
-^2(t )■ 1 Xk (t )dz
_________0_________
H 2
(Bk - axCk )- 1 Xk(z)dz
zi)к ■ X2(t),
H
~ н
$3, ^)■ 1гк^)йЬ (') =--------н0-------= ЧКХ 3, ('):
Екг ■ \ ^2(^
0
, = 1 т и, где п - количество ветвей;
с р 1 рк
Срк = „-приведенная диссипация; ср - коэффициент потерь;
X 4 (t )■ 1 Xk (z)dz Hik (t) - ------------0-------2---- zqk ' X4 (t)
(Akay - Bkax + r0 Ck)
2
а другая - от времени:
12 - (X + ay і)- By x IV - (v ,T")
g
p F g
IV
■■l 2, (, - axq) - Bx,IV - (u,T ■)
l«. (ay-X - ax-,+ r02 і )- Bw q aL- (w,T")- BKp і
g
P Fi
g
Т-l 2i--Bzri"-RT ’
3T"- AT = - (2-e RT ■Z'+6"-£ wT )
где 1p(p - z>x>y,w ) - собственные частоты продольно-поперечных колебаний составного стержня.
Решение стохастической задачи (6) проводим методом канонических разложений В.С. Пугачева.
При нулевых начальных условиях j pk (0) = j pk (0) = 0 , решение уравнений (6) запишется в виде:
1 1
(8)
, ,-^p, l pk 0
H pk (t ) e
sin
l pk (t -t )dt .
(9)
Представим векторную случайную функцию входа Хи (ї) в виде совокупности белых шумов.
Для этого разобьем конечный интервал [0, ¥] на М частей и вычислим несущие частоты канонического разложения:
Р ■ V
Ч = —, V = 1, 2, ... ,М. (10)
Интервал частот [0, ¥] выбирается так, чтобы в него было включено не менее 95% площади спектральной плотности Sкк (^) любой из компонент Хь (:) .
Для каждой несущей частоты wv вычисляем диагональную корреляционную матрицу ^кк (ну ) белых шумов и к ^ ) по формуле:
w + -
dhh (wv) = í Shh (w)dw ; h = 1, 2, 3, 4; A w = wv+: - wv -
Aw
2-Y ’
(11)
где Shк (^) - спектральные плотности составляющих поля сейсмического движения грунта.
После вычислений получаем М векторов dк ) размером N :
йкК ) = [й\(Щ ) й2(Щ ) й3(Щ ) й4(Щ )1, (12)
где N = 4 - число составляющих входной векторной случайной функции.
Дисперсия Dк векторной случайной функции входа Хк (() :
^Оп ) = [й\(Щ ) й2(Щ ) й3(Щ ) й4(мП )]. (13)
В итоге получаем М векторов дисперсий Dк .
Спектральные плотности компонент векторной случайной функции сейсмического движения грунта аппроксимируются функциями:
2
Shh(x) Dh ' 'a h ' 4 2
p mh + 2 • ah'w + w
2 , 2
mh + w_ 2 2 o 2. 2 o 2
4 , где mh - a h + b h ; ah - a h _ b h
(14)
Параметры сейсмической нагрузки приняты согласно данным [3].
Каноническое разложение векторной случайной функции сейсмической нагрузки запишется в виде:
~ M 4 ~ ~
Xh (t) = Е Е (Vrs • sin wvt + Vf • sin wvt), (15)
v - 1 r = 1
где Vrs и Vrc - случайные некоррелированные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и попарно равными дисперсиями:
M[~ ] = M[V/ ] = 0; d[v; ] = dV ] = Dr. (16)
Каноническое разложение выходной векторной случайной функции обобщенных координат:
M4
j hk(t) - Е Е [Vr y pk(t) + Vr y pk(t)
v - 1 r - 1
(17)
Координатные функции выхода У срк (() и У „к (() вычисляются из решения уравнений (6), в правой части которых стоят координатные функции входа:
2 (
р "Ср{()sin 1 „к (( -1
У pk (t) - íApk'e "Г ^ sin wv e
1 pk 0
У pk (t) - -1- íApk'e ~7p' C0s wv e~ Cpk (t-t )sin 1 pk (t-t )dt
pk 0
(18)
v = 1,...,М; p = z ¡, X h, в.
Корреляционные функции обобщенных координат находятся по формулам:
М
Е
v- 1
X)2+(y C, Г
М
, Kj (t, t) - Е D2
7 Г h k
v - 1
22
s ) + (y C )
Kj (t, f) - Е D3
r z ¡kk
М
Е
v - 1
\2
z.
+ \y
\2
z.
М
s)2+ k )2
(19)
К:9> ((, () = I D4■
' 6 кк Л
v= 1
к = 1, 2, ..., К; где К - число учитываемых форм колебаний; , - количество ветвей тонкостенного составного стержня.
p
w -
v
2
k
k
Выражения (19) позволяют получить группу матриц коэффициентов динамичности
2
по отдельным формам колебаний: Ь pqkk (1 i , t)
. Эта группа представляет собой коэффициенты динамичности обобщенных координат каждой составляющей вектора сейсмического воздействия:
С(1 к ■')
Ркк
(і, і). (20)
В качестве примера расчета на сейсмическую нагрузку интенсивностью 7 баллов рассмотрим административное здание (рис. 1), решенное в каркасно-связевой системе [1]. Здание прямоугольное в плане размером
61.4^16.4 м. Оси колонн образуют ячейки 6*6 и 3^3 м. Здание состоит из подвала высотой 4.2 м, шестнадцати рабочих этажей по 3.3 м и верхнего технического этажа высотой 4.8 м. Бетон стен класса В25: Ест=3.172-106 т/м2, бетон колонн - В30: Ек=4.005406 т/м2. Арматура класса А-Ш. Колонны размером 0.4*0.4 м. Толщина стены 0.2 м.
Исходные данные основной системы: жесткостные характеристики - Вх= 1.714 -108 т/
м
Ву=5.564-108
т/м2; В^=4.865-1010 т/м'
Вкр=2.475-105 т/м2; Вг;=1.275-106 т; Вг2=6.991-106 т; В:3=1.275-106 т; В:4=6.991 -106 т; координаты центра изгиба А - ¿/,= 10.12 м; ¿/,=2.03 м; радиус инерции - /7/=141.76 м2.
| Ветвь 2
ІІ ГШI
91
91
гш I
Тц/1 И
91
ГМІ
/V
/Ветвь 1
| Ветвь 4
1І
! і[ і
1/И і 1
1/И
1
1/И 1/И 1/И ¡1/ и
л I
Рис. 1. Пространственная модель тонкостенного составного стержня
Координаты сдвига в швах основной системы: V 1 =и 2 =-5.16 м; и1 = и2 =1.80 м; w1
Несущие частоты разложения ^ =8 с 1,
=43.22
м
w2 =-43.90
м2.
Коэффициент
жесткости швов: £ ,= £ 2 =1.6784• 104 т/м2.
^2=16 с-1, ^3=24 с-1, ^4=32 с-1, ^5 =40 с-1.
В таблице 1 приведены значения частот собственных продольно-поперечных
колебаний тонкостенного составного стержня для первых 4-х тонов.
Таблица 1.
Частоты собственных продольно-поперечных колебаний
Номер тона Частота, с 1
Хх Ху Хя1 Хz2 Хz3 Хz4
1 1.38 2.04 7.34 58.89 79.32 58.91 90.18
2 8.65 12.68 45.12 132.34 176.90 149.29 176.95
3 24.19 35.45 125.24 180.08 294.78 207.58 294.83
4 47.45 69.74 242.72 272.50 412.65 288.71 412.84
Необходимо определить коэффициенты динамичности для первых 4-х тонов колебаний. Время реализации землетрясения t = 1 + 10 с.
Дисперсии Dh принимаем для 7-бального землетрясения:
с 1 = с 2 = 0.25 м/с2; с 4 = 0.0077 рад/с2;
с 31 = 0.25' 0.6 + ах1 + я^1 = 0.162 м/с2; с 32 = 0.25' 0.6 + ах2 + 2 = 0.160 м/с2;
с 33 = 0.25 ' 0.6 - ах3 + ау3 = 0.143 м/с2; с 34 = 0.25' 0.6 - аХ4 + ау4 = 0.142 м/с2. Коэффициенты спектральной плотности: а 1 = а 2 = а 3 = а 4 = 7 с-1; Ь1 = Ь 2 = Ь 3 = Ь 4 = 14 с-
1. Коэффициент потерь = °Л.
Коэффициенты динамичности обобщенных координат приведены в таблице 2.
Таблица 2.
Коэффициенты динамичности обобщенных координат
Тон Направление Время, с.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 0,180 0,084 0,076 0,072 0,064 0,053 0,032 0,024 0,022 0,020
п 0,305 0,266 0,169 0,163 0,154 0,148 0,136 0,101 0,087 0,066
е 0,870 0,569 0,558 0,399 0,357 0,351 0,314 0,288 0,260 0,238
1 С1 1,031 0,931 0,843 0,763 0,689 0,621 0,562 0,512 0,463 0,418
С 2 0,960 0,866 0,788 0,708 0,650 0,584 0,526 0,473 0,430 0,394
С 3 1,031 0,930 0,842 0,763 0,689 0,626 0,562 0,512 0,463 0,418
С 4 0,942 0,860 0,773 0,702 0,631 0,572 0,520 0,467 0,492 0,423
X 0,978 0,585 0,645 0,469 0,439 0,414 0,375 0,336 0,306 0,279
п 2,275 2,921 2,892 2,616 2,295 2,024 1,808 1,629 1,475 1,337
е 1,412 1,304 1,179 1,068 0,964 0,874 0,790 0,718 0,646 0,585
2 С1 0,916 0,829 0,764 0,679 0,618 0,565 0,503 0,455 0,413 0,347
С 2 0,903 0,819 0,744 0,672 0,608 0,550 0,490 0,483 0,408 0,369
С 3 0,913 0,824 0,748 0,700 0,596 0,554 0,500 0,474 0,399 0,348
С 4 0,903 0,818 0,744 0,672 0,617 0,550 0,490 0,451 0,408 0,369
X 2,375 1,929 1,680 1,557 1,404 1,270 1,150 1,040 0,938 0,845
п 1,900 1,823 1,661 1,501 1,358 1,230 1,111 1,006 0,910 0,823
е 0,919 0,831 0,769 0,680 0,603 0,568 0,504 0,456 0,402 0,364
3 С1 0,907 0,826 0,744 0,677 0,564 0,552 0,494 0,446 0,409 0,372
С 2 0,897 0,814 0,738 0,667 0,606 0,547 0,495 0,447 0,408 0,358
С 3 0,916 0,829 0,746 0,679 0,606 0,553 0,497 0,455 0,405 0,368
С 4 0,900 0,814 0,738 0,667 0,606 0,547 0,495 0,447 0,408 0,357
X 1,276 1,122 1,017 0,919 0,833 0,754 0,683 0,614 0,555 0,505
п 0,975 0,886 0,794 0,726 0,653 0,584 0,535 0,487 0,437 0,391
е 0,903 0,817 0,741 0,669 0,602 0,549 0,496 0,448 0,406 0,365
4 С1 0,964 0,816 0,740 0,668 0,601 0,548 0,494 0,448 0,404 0,364
С 2 0,902 0,816 0,737 0,668 0,602 0,546 0,448 0,404 0,363 0,324
С 3 0,900 0,814 0,737 0,667 0,603 0,546 0,494 0,447 0,402 0,276
С 4 0,902 0,817 0,73 0,668 0,602 0,546 0,404 0,391 0,324 0,223
Полученные матрицы коэффициентов нагрузки и вклад горизонтальной, вертикальной
динамичности обобщенных координат и крутильной составляющей ускорений грунта в
отражают реальную картину напряженно- работу системы.
деформируемого состояния пространственной модели тонкостенного составного стержня, работающего под действием сейсмической
1. Пшеничкина В.А. Вероятностный расчет зданий
повышенной этажности на динамические
воздействия. Волгоград, 1996. 118 с.
2. Николаенко Н.А., Поляков С.В., Назаров Ю.П.
Оценки интенсивности и спектрального состава компонент векторов сейсмического
воздействия // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. № 1. С. 58-63.
3. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость сооружений. М., 1988. 312 с.
