CC BY
58
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 625.131 ББК 38.113 П 932
В.А. Пшеничкина, А.С. Белоусов
Оценка надежности зданий повышенной этажности при сейсмических воздействиях на основе критерия допустимого риска
(Рецензирована)
Аннотация:
Представлены результаты расчета сейсмической надежности 16 этажного каркасно-связевого здания на основе пространственной модели тонкостенного составного стержня. Получена величина полного и условного сейсмического риска, как для уровня расчетной нагрузки, так и для уровня предельных значений нагрузочного эффекта в сечениях конструкций.
Ключевые слова:
Тонкостенный составной стержень; полный сейсмический риск; условный сейсмический риск; интенсивность выбросов; эффективный период колебаний; передаточная функция системы; спектральная плотность.
Проведем расчет административного здания, решенного в каркасно-связевой системе [1]. Здание прямоугольное в плане размером 61,4x16,4 м. Оси колонн образуют ячейки 6x6 и 3x3 м. Здание состоит из подвала высотой 4,2 м, шестнадцати рабочих этажей по
3,3 м и верхнего технического этажа высотой 4,8 м. Бетон стен класса В25, бетон колонн -В30. Арматура класса АТТТ. Колонны размером
0,4х0,4 м. Толщина стены 0,2 м. Погонная масса здания т=205,7кН/м, высота Н = 61,8 м.
о
О
О
■о
|=
>=■
|=
СП
1=1
>=■
1=1
■о
Рис. 1. План здания и основная несущая система
Здание обладает конструктивной стержней открытого профиля, скрепленных
регулярностью по высоте, поэтому для его поперечными и сдвиговыми связями в швах.
расчёта принята пространственная модель Рассматриваются абсолютно жесткие тонкостенного составного стержня, которая поперечные связи и упругоподатливые связи
представляет собой систему тонкостенных сдвига. Данная модель может применяться для
зданий повышенной этажности различных конструктивных схем: бескаркасных
монолитных и сборных, каркасных и каркасно-связевых.
План здания и основная система приведены на рис. 1. В каркасно-связевых системах горизонтальные нагрузки воспринимаются элементами жёсткости. Основная система (расчетная схема) состоит из 8 ветвей, образованных участками диафрагм жёсткости с примыкающими к ним колоннами, и 2-х швов, образованных вертикальными рядами проёмов в диафрагмах. На плане ветви пронумерованы в квадратиках, а швы - в кружочках.
Амплитуды и формы колебаний тонкостенного составного стержня вычисляем с использованием программного PRO-32, разработанного для расчета зданий повышенной этажности на основе модели тонкостенного составного стержня [2]. Значения частот собственных изгибно-крутильных колебаний тонкостенного составного стержня для первых 4 тонов (с-1): Ц 1=1,11; Ц2=10,78; Ц3=29,48; Ц4=55,84; 11 1=2,14; 11] 2=13,88; 11] 3 =38,68; 1 г| 4=75,38; І01=8,63; І 0 2=55,37; І0 3=154,71; І0 4=302,36. Индексы X и 1 соответствуют горизонтальным, а индекс 0 - крутильным колебаниям.
Сейсмическое воздействие моделируется в общем случае 6-компонентной стационарной случайной функцией ускорений
поступательного движения и вращения
®0h (1) грунтового основания (И=1,2,3). Принимаем, что компоненты ускорения грунта при сейсмическом воздействии статистически независимы. Для зданий повышенной этажности учитываем только горизонтальное воздействие сейсмических сил. Тогда компоненты X03, а0Ъ а02 принимаются равными нулю, и сейсмическая нагрузка на тонкостенный составной стержень
представляется в виде трехкомпонентной функции
и0 ~)= . -'~~01( 1 ),Х02(1), а03(1)] =
= [.?,(г), -~2 (1), Хз (')]
со следующими статистическими
характеристиками компонент:
математическими ожиданиями mh » 0 и
спектральными плотностями 8 И, (и ), которые
аппроксимируем формулой:
г 2
$кк (х) = ^к к
= ЪкКк (Ш )
4 ~ 2 4
т, + 2а, ® ®
2 2 п 2 2 п 2
где т, = а , + Р и ; аи= а и_Ь И ,
дисперсия И-й компоненты.
Коэффициенты спектральной плотности (с-1): а1=6,0; а2=6,12; аз=8,09; рх=14; р2=16; рз=21. Дисперсии DИ для 7-балльного землетрясения
о 1 = о 2 = =0,25 м/с2; о з = л^з =0,0077
рад/с2. Графики нормированного спектральных плотностей компонент сейсмического ускорения приведены на рис. 2.
Рис. 2. Нормированные спектральные плотности составляющих сейсмического ускорения грунтового основания Уравнения пространственных колебаний обобщенных координатах с учетом затухания тонкостенного составного стержня в имеют вид:
k + 2сх k ~ х k+1 х k ~ X k=
k + 2сц k ~ ц k + 1 ц k ~ ц к
~0 k + 2се k ~ 0 k + 1 0 k ~ 0 k=
где X Є - направления главных линейных и углового перемещений центра изгиба
тонкостенного составного стержня;
~ X к (1X ~ ц к (1X ~ 0 к (1) - стохастические
обобщенные координаты;
Н X к (*)’Н ц к (1 )>Н 0 к (1) - обобщенная
пространственная нагрузка, равная
Н рк(1)= 2ркХh(1); грк - коэффициент
формы; срк = ср1 рк/2 - приведенная
диссипация; Ср =0.1 - коэффициент потерь;
р=Х,Л,0-
Статистические характеристики
обобщенных координат (дисперсии, коэффициенты динамичности)
Н /к(1),
- к(1), к = 1,2,...,» ,,
■й 0 к (').
» 2 ДФ рк ~ \^ИИ(®)Ф рк() ;
ЬФ рк (і рк)- 1
ркл1ВФ рк 1 Ди
находим аналитически с использованием передаточной функции системы
Ф pk () _ 1 pk ~ ® + 2ср1 pk ® ) > а также по приближенной формуле
Д
ф рк
p $ИИ (і рк')!4ср1 рк >
где Shh(1pк) - значение входной спектральной плотности И -й составляющей,
соответствующее собственной частоте системы 1рк.
Таблица 1
Статистические характеристики обобщенных координат тонкостенного составного стержня
Номер тона, к Направление Дисперсия по аналит. формуле Дисперсия по прибл. формуле Ррк аналит. Ррк прибл. Ррк СНиП
1 X 0,095 0,095 0,382 0,382 0,665
ц 0,014 0,014 0,538 0,538 0,992
0 3,9410-4 4,03-Ю-4 1,48 1,50 1,85
2 X 3,1410-4 2,77-Ю-4 2,06 1,93 2,07
ц 1,5710-4 1,63-Ю-4 2,42 2,46 2,5
0 1,8210-7 6,88-Ш-8 1,31 0,80 2,5
3 X 3,9410-6 2,43-Ю-6 1,72 1,35 2,5
ц 9,7810-7 4,85 10-7 1,49 1,05 2,5
0 1,7710-9 3,4610-10 1,01 0,44 2,5
4 X 1,7510-7 6,57-Ш-8 1,31 0,8 2,5
ц 4,5410-8 1,36-Ю-8 1,21 0,66 2,5
0 1,1610-10 1,2010-11 0,99 0,32 2,5
Результаты расчета сведены в таблицу 1. Дисперсии имеют нормированные значения. В последней колонке приведены значения коэффициентов динамичности, вычисленные по СНиП П-7-8Г:
Суммарные дисперсии перемещений тонкостенного составного стержня, спектральные плотности перемещений и
стандарт инерционной нагрузки вычисляем по формулам:
Др = I рк(77ркДФ рк ; к = 1
їрМ = 1 ркрк И;
к = 1
о
величине полного сейсмического риска /*=0,01;
значению «0005, соответствующему величине
SpkW= Л р^р^к^рк* ф рк; р=х,лД
Определим среднее число выбросов и(а,і) случайных функций перемещений п°лн°г° сейсмического риска р=0,0°5:
*\2
тонкостенного составного стержня для расчетного уровня а*, который назначим равным 1 стандарту перемещения (согласно принятой в нормах расчетной сейсмической
нагрузке); значению а00р соответствующему
и (а, t)
1
ехр
а
Эффективный период изменения функций перемещения вычисляем по формуле
Тер = 2р
2р
' ¥ 4 3 11 I рК- 0 к = 1р = 1 \ )22р^фрк(ш)Л „ „3 рЦ 2) 2 р^ИИ(і рк)
» 2р 1 1 к = 1р = 1 1 рк 3
¥ 4 3 11 I рК- 0 к = 1р = 1 V г )2ф рк (ш)Л ) „4 „3 р2к(- 2) 2 р^ИИ(і рк)
1 1 к = 1р = 1 1 рк
Н=1 прир=Х; И=2 прир=Л; И=3 прир=0.
Тогда условная вероятность превышения перемещений тонкостенного составного стержня уровень а* хотя бы один раз за время 0 < х < t при реализации землетрясения расчетной интенсивности равна
Р(р > Оі) = 1 - ехр
| и (а, х) dх
0
Для комплекта карт А ОСР-97 период повторяемости землетрясения составляет 500 лет, частота повторяемости Л = 0,002 (лет-1). Тогда сейсмическая опасность
рассматриваемой площадки вычисляется по формуле
Р( t) = 1 - ехр(- Л t).
За t=50 лет вероятность однократного превышения землетрясения равна Р(0=0,095.
Уровень а* расчетного перемещения составного стержня в зависимости от показателя риска Р* равен
хотя бы расчетного
*
а = о
21п
Те 1п1 - Р
■Е
= по
р
Результаты расчета условной вероятности превышения суммарных перемещений тонкостенного составного стержня заданный уровень приведены в таблице 2. Установлено, что при величине полного расчетного
сейсмического риска Ряеш
0,01 условная вероятность превышения перемещений
тонкостенного составного стержня уровень а00і хотя бы один раз за время 0 < х < 10с при реализации землетрясения расчетной интенсивности равна 0,105 (или 10,5%); при величине полного расчетного сейсмического риска Рцеїт = 0,005 условная вероятность превышения уровень а0005 равна 0,053 (или 5,3%). Для обеспечения такого уровня безопасности расчетный коэффициент
динамичности, или расчетная сейсмическая нагрузка, должны быть увеличены соответственно в 2,4 и в 2,7 раз (строки 5-6 табл. 2). Уровень безопасности, установленный нормами в 1 стандарт, является недопустимо низким.
Таблица 2
Условная вероятность превышения перемещений тонкостенного составного стержня уровень а
о
о
х=г/Н 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Р(р>10р) 0,874 0,868 0,864 0,867 0,881 0,902 0,927 0,949 0,967 0,979 0,999
Р(р>а0м) 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105 0,105
Р(р>а0005) 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053 0,053
Р seism(sp) 0,083 0,083 0,082 0,083 0,084 0,086 0,088 0,09 0,092 0,093 0,095
П001 2,42 2,41 2,40 2,41 2,43 2,47 2,517 2,567 2,62 2,67 3,42
П0005 2,70 2,69 2,69 2,69 2,71 2,74 2,79 2,839 2,88 2,92 3,62
Проведем оценку риска превышения напряжений в ветвях тонкостенного составного стержня уровень, равный расчетному напряжению.
Так как усилия и напряжения в сечениях ветвей стержня находятся в линейной зависимости от перемещений, эффективный период изменения случайных функций нормальных напряжений в i-й ветви равен эффективному периоду перемещений
Тео I = Тер. Среднее число выбросов и(а^)
случайной функции напряжений в ветвях
Я,
,(Rb,T) = P(s> R6|i)P(T) =
Приняв значения расчетных параметров Л = 0,002 (лет-1), Хл=10с, Т=50 лет, вычислим значения условного и безусловного рисков.
Полученные результаты расчета показывают, что, несмотря на то, что нагрузочный эффект в сечениях здания не превышает несущую способность,
безопасность такого здания является
тонкостенного составного стержня за уровень а=Л,=14,5 МПа=1480 т/м2
U (a, t) = —1— exp
Tes i
R
2
b
2s 2 i
Условная вероятность превышения напряжений в ветвях составного стержня уровень a=Rb хотя бы один раз за время 0 < х < t при землетрясении расчетной
равна
Полный
интенсивности Р(о > Rb|t) = 1 - ехр
сейсмический риск
Ґ
t
(U (Rb, t) dt
ехр
(U (Rb, t) dt
0
[l - exp(- A T)].
достаточно низкой. Вероятность превышения напряжений расчетное сопротивление от сейсмической нагрузки равна в различных сечениях тонкостенного составного стержня от 6 до 70%. Величина полного сейсмического риска составляет уровень, примерно соответствующий уровню риска по 2-й группе предельных состояний: 0,006-0,067.
Таблица 3
Результаты оценки условного и безусловного рисков
l
Номер ветви Количество участков ветви Номера точек начала и конца участков Стандарты нормальных напряжений 0о, т/м2 Интенсивное ть выбросов U(Rb,t) 0,025 0,015 0,039 Условный риск P(a>Rb|t) 0,222 0,137 0,324 Полный сейсмически й риск Р 1 seism 0,021 0,013 0,031
нач. кон.
1 3 1 1 2 1 2 2 724,21 646,5 816,35
2 3 3 3 648,92 0,015 0,14 0,013
3 4 560,38 0,006 0,06 0,006
4 4 707,55 0,023 0,203 0,019
3 3 5 5 1348 0,111 0,67 0,064
5 6 1411 0,117 0,689 0,066
6 6 1381 0,114 0,681 0,065
4 2 10 11 649,43 0,015 0,14 0,013
11 11 819,98 0,04 0,328 0,031
5 4 7 7 673,34 0,018 0,166 0,016
7 8 606,28 0,01 0,098 0,001
8 8 765,49 0,031 0,269 0,026
8 9 777.61 0,033 0,282 0,027
6 5 12 12 799,38 0,037 0,306 0,029
12 13 586,68 0,008 0,081 0,008
13 13 740,75 0,028 0,241 0,023
13 14 872,25 0,048 0,382 0,036
14 14 1101 0,082 0,56 0,053
Продолжение таблицы 3
7 2 15 15 15 16 1232 1329 0,099 0,109 0,627 0,664 0,06 0,063
8 4 17 18 1315 0,108 0,659 0,063
18 18 1387 0,115 0,682 0,065
18 19 1241 0,1 0,63 0,06
19 19 1460 0,121 0,703 0,067
Целесообразный уровень надежности
конструкций (расчетное значение предельно допустимого риска) устанавливается на основании анализа работы и уровня
надежности существующих и ранее существовавших конструкций, последствий
землетрясений (имевших место и моделируемых), а также эффективности использования материальных ресурсов для наилучшего удовлетворения экономических потребностей и требований безопасности.
Примечания:
1. Подольский Д.М. Пространственный расчет зданий повышенной этажности. М., 1975. 158 с.
2. Пшеничкина В.А. Вероятностный расчет зданий повышенной этажности на динамические воздействия. Волгоград, 1996. 118 с.
