CC BY
31
УДК 625.131 ББК 38.113 Ч 93
А. А. Чураков, В. А. Пшеничкина
Оценка влияния статистической изменчивости жесткостных параметров системы «тонкостенный составной стержень - основание» на ее динамические характеристики
(Рецензирована)
Аннотация:
Приведены результаты вероятностного расчёта здания представленного системой «тонкостенный составной стержень - основание» на сейсмическое воздействие, позволяющий оценить влияние статистической изменчивости жесткостных характеристик здания и грунтового основания, а также амплитуды сейсмического воздействия на статистическую изменчивость динамических и прочностных характеристик сооружения.
Ключевые слова:
Тонкостенный составной стержень, сейсмическое воздействие, статистическая изменчивость жесткостных характеристик, амплитуда сейсмического воздействия.
Рассматривается система «тонкостенный составной стержень - основание» (рис. 1). Тонкостенный стержень объединён в систему абсолютно жесткими поперечными связями и уп-ругоподагливыми связями сдвига. Податливость грунтового основания учитывается при помощи коэффициентов жёсткости Сх, Су и Сщ.
1 - тонкостенный составной стержень; 2 - связи; 3 - фундамент;
Сх, Су - коэффициенты жёсткости основания при горизонтальных поступательных колебаниях; Сщ - коэффициенты жёсткости основания при вращательных колебаниях вокруг осей Ъ, X и У; Х0 - вектор по ступательного движения грунта; а{) - вектор вращения грунта.
Расчёт системы проводим на действие сейсмической случайной нагрузки, представленной в
виде составляющих поступательного и
вращательного й0 ускорения грунта.
Рис. 1. Расчётная схема пространственной тонкостенной составной системы «здание-основание»
Методика вероятностного расчёта рассматриваемой системы изложена в [1, 2, 3].
В настоящей работе ставится задача изучения влияния статистической изменчивости модуля упругости бетона, модуля деформации грунтового основания и амплитуды сейсмического воздействия на вероятностные характеристики динамической реакции рассматриваемой системы (собственные частоты изгибно-крутильных колебаний и максимальные нормальные напряжения в ветвях).
Для расчёта было выбрано 16 этажное административное здание, прямоугольное в плане, размером 61,4x16,4 м (рис. 2), решенное в каркасно-связевой системе. Колонны размером
0,4х0,4 м. Толщина стены 0,2 м. Здание состоит из подвала высотой 4,2 м, шестнадцати рабочих этажей по 3,3 м и верхнего технического этажа высотой 4,8 м. Высота здания /=61,8 м. Масса здания складывается из массы несущей диафрагмы жесткости, колонн, наружных стеновых панелей и междуэтажных перекрытий.
Рис. 2. План здания:
И - характерные точки элементов жёсткости; ■ -ветви; (2) - швы.
А также для сравнения был выполнен расчёт этого же здания по методике, не учитывающей совместную работу сооружения с основанием [4].
Решение вероятностной задачи проводим методом канонических разложений в сочетании с методом статистических испытаний и методом планирования эксперимента.
Были составлены две математические модели позволяющие оценить влияние величины статистического разброса входных факторов на величину статистического разброса выходных параметров оптимизации.
В качестве параметров оптимизации были выбраны:
а) собственные частоты изгибно-крутиль-ных колебаний системы «сооружение-основание»;
б) максимальные нормальные напряжения в ветвях.
В качестве факторов оказывающих влияние на процесс эксперимента были приняты:
для эксперимента а): модуль упругости бетона Еь, модуль деформации грунтов Е;
для эксперимента б): модуль упругости бетона Еь, модуль деформации грунтов Е, амплитуда сейсмического воздействия А.
В таблицах 1 и 2 представлены матрицы
2 3
планирования экспериментов а) (2 ) и б) (2 ).
Таблица 1
Матрица планирования эксперимента а) _________________
№ опыта Х0 Еь Е Хі
1 +1 -1 -1 хіі
2 +1 -1 +1 Хі2
3 +1 +1 -1 Хі5
4 +1 +1 +1 Хі4
Таблица 2
Матрица планирования эксперимента б)_________________________
№ опыта Х0 Х1 Х2 Хз у
1 +1 -1 -1 -1 Уі
2 +1 -1 -1 +1 У2
3 +1 -1 + 1 -1 Уз
4 +1 +1 -1 -1 У4
5 +1 -1 + 1 +1 У5
6 +1 +1 -1 +1 У6
7 +1 +1 + 1 -1 У7
8 +1 +1 + 1 +1 У8
При проведении эксперимента факторы принимали следующие значения: модуль упругости бетона Еь - Еь тіп=1,842х106 Н/м2, Еь,Шах=4,496х106 Н/м2, Еь,ф=3,122х106 Н/м2;
модуль деформации грунтового основания Е:
3 2
основание 1 - Ешіп=1,259х10 Н/м, Етах=4,829х 103 Н/м2, Еср=3,91х103 Н/м2; основание 2 - Етт=2,93 9*103 Н/м2, Етах=1,127х 104 Н/м2, Ер=6,789х103 Н/м2; амплитуда сейсмического воздействия А - Атт=0,12, Атах=0,339, Аср=0,243.
Величина статистического разброса факторов оптимизации принималась: для модуля упругости бетона - 16%; для модуля деформации грунтового основания - 20%;
для амплитуды сейсмического воздействия -20%.
Вид линейной модели, описывающий работу системы, будет следующий:
а) Хі=Ьо+ЬЕЬ+Ь2Е, где і=х, у, w;
б) а = Ь0+Ь 1Еь+Ь2Е+Ь3А .
В таблицах 3 и 4 приведены значения коэффициентов Ц 0=0, 1, 2, 3).
Таблица 3
Значения коэффициентов Ь при определении частот собственных изгибно-крутильных колебаний
сЗ К о н % Коэффициенты Ь|
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
А А А А А А А А А
1 Ьо 0,534 0,344 6,92 0,704 0,51 7,494 1,441 2,112 8,645
Ь1 0,047 0,014 1,241 0,081 о,оз 1,445 0,316 0,463 1,897
Ь2 0,111 0,095 0,454 0,119 0,127 0,326
2 Ьо 1,043 0,535 25,66 1,59 0,862 32,039 9,027 13,241 54,198
Ь1 о,оз 0,0058 2,847 0,069 0,014 4,359 1,981 2,905 11,898
Ь2 0,302 0,168 4,469 0,428 0,262 4,309
3 Ьо 1,667 0,821 50,101 2,624 1,339 67,117 25,277 37,072 151,756
Ь1 0,028 0,0048 3,972 0,068 0,012 6,991 5,547 8,135 33,304
Ь2 0,509 0,262 11,076 0,766 0,419 12,312
4 Ьо 3,328 1,641 99,476 5,235 2,676 132,96 49,531 72,645 297,368
Ьі 0,056 0,0093 7,985 0,138 0,025 13,99 10,87 15,942 65,258
Ь2 1,014 0,523 21,85 1,525 0,837 24,179
Таблица 4
Значения коэффициентов Ь при определении нормальных напряжений в наиболее нагруженной ветви_______________
Коэффициенты Ь.і основание 1 основание 2 без учёта работы основания
Ьо 9559,35 14270,00 12780,00
Ь1 4561,00 6808,80 6095,89
Ь2 643,57 971,30 -1456,36
Ьэ 1835,82 2892,13
В таблицах 5 и 6 приведены математические ожидания частот собственных изгибно-крутильных колебаний и максимальных нормальных напряжений в ветвях
Таблица 5
Математические ожидания частот собственных изгибно-крутильных колебаний системы
03 К % Частота, с-1
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
А А А А А А А А А
1 0,534 0,344 6,92 0,704 0,51 7 494 1,465 2,146 8,784
2 1,043 0,535 25,66 1,59 0,862 32,039 9,173 13,455 55,079
3 1,667 0,821 50,101 2,624 1,339 67,117 25,686 37,672 154,211
4 3,328 1,641 99,476 5,235 2,676 132,96 50,332 73,821 302,178
Таблица 6
Математические ожидания максимальных нормальных напряжений в ветвях
Номер ветви Количество участков ветви Номера точек начала и конца участков Максимальные нормальные напряжения а, кПа
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
нач. кон. ^нач ^кон ^нач ^кон ^нач ^кон
1 3 1 1 3771,9 3771,9 5636,0 5636,0 10818,7 10818,7
1 2 3771,9 4028,5 5636,0 6030,2 10818,7 11572,1
2 2 4028,5 4028,5 6030,2 6030,2 11572,1 11572,1
2 3 3 3 3668,4 3668,4 5486,8 5486,8 10753,1 10753,1
3 4 3668,4 3766,3 5486,8 5627,6 10753,1 10825,3
4 4 3766,3 3766,3 5627,6 5627,6 10825,3 10825,3
3 3 5 5 9409,0 9409,0 14060,0 14060,0 27085,7 27085,7
5 6 9409,0 9416,9 14060,0 14080,0 27085,7 27057,2
6 6 9416,9 9416,9 14080,0 14080,0 27057,2 27057,2
4 2 10 11 5134,6 5516,6 7667,9 8238,2 16026,8 17083,5
11 11 5516,6 5516,6 8238,2 8238,2 17078,2 17083,5
5 4 7 7 3626,7 3626,7 5432,2 5432,2 10611,6 10611,6
7 8 3626,7 3838,2 5432,2 5735,3 10611,6 10890,5
8 8 3838,2 3838,2 5735,3 5735,3 10890,5 10890,5
8 9 3838,2 4976,2 5735,3 7435,6 10890,5 14150,2
6 5 12 12 3955,0 3955,0 5915,2 5915,2 11330,7 11330,7
12 13 3955,0 3835,6 5915,2 5731,3 11330,7 10969,9
13 13 3835,6 3835,6 5731,3 5731,3 10969,9 10969,9
13 14 3835,6 5728,8 5731,3 8559,8 10969,9 16395,4
14 14 5728,8 5728,8 8559,8 8559,8 16395,4 16395,4
7 2 15 15 7793,6 7793,6 11650,0 11650,0 22574,1 22574,1
15 16 7793,6 8172,9 11650,0 12220,0 22574,1 23622,2
8 4 17 18 8398,8 9545,3 12550,0 14260,0 24140,7 27421,5
18 18 9536,5 9545,3 17020,0 14260,0 27400,6 27421,5
18 19 9536,5 9559,4 17020,0 14280,0 27400,6 27420,5
19 19 9550,7 9559,4 16960,0 14280,0 27398,5 27420,5
В таблицах 7 и 8 приведены дисперсии частот собственных изгибно-крутильных колебаний и максимальных нормальных напряжений в ветвях, которые определялись по формулам:
о х =
ґ ЭХ л2
ЭБЬ
° Еь
+
ґдХл 2
чЭБу
0 е ;
о о =
ґ Эо ^2
VЭЕь у
0 Еь +
^Эол 2
V ЭЕ У
0 Е +
Эо 2
V ЭА у
о
А •
Таблица 7
Дисперсии частот собственных изгибно-крутильных колебаний
сЗ К о н % Частота, с-1
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
Х Х Х Х Х Х Х Х Х
1 0,0022 0,0014 0,259 0,003 0,0025 0,325 0,023 0,049 0,819
2 0,014 0,0042 4,159 0,028 0,01 5,566 0,893 1,921 32,184
3 0,038 0,01 20,511 0,088 0,023 29,696 7,000 15,056 252,293
4 0,153 0,04 80,171 0,347 0,104 115,607 26,876 57,814 968,724
Таблица 8
Дисперсии максимальных нормальных напряжений в наиболее нагруженной ветви
Максимальные нормальные напряжения а, кПа
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
70820 31220 58190
В таблицах 9 и 10 приведены значения величины статистического разброса частот собственных изгибно-крутильных колебаний и максимальных нормальных напряжений, которые вычисляются по формуле:
V = -
4т>
т
где V - коэффициент вариации;
- средне квадратичное отклонение (стандарт);
т - математическое ожидание.
Таблица 9
Статистический разброс значений частот собственных изгибно-крутильных колебаний.
сЗ К о н % Коэффициенты вариации
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
А А А А А А А А А
1 0,078 0,098 0,076 0,087 0,107 0,070 0,104 0,103 0,103
2 0,105 0,117 0,074 0,112 0,121 0,074 0,103 0,103 0,103
3 0,113 0,12 0,081 0,118 0,123 0,090 0,103 0,103 0,103
4 0,113 0,12 0,081 0,117 0,123 0,090 0,103 0,103 0,103
Таблица 10
Статистический разброс значений расчётных максимальных нормальных напряжений ___________________________в наиболее нагруженной ветви___________________________
Коэффициенты вариации
основание 1 основание 2 без учёта работы основания
0,186 0,185 0,189
Применение метода планирования эксперимента в сочетании с разработанной динамической моделью пространственной тонкостенной системы «сооружение-основание» позволяет оценить влияние случайного разброса жесткост-ных характеристик грунтового основания и элементов конструкции здания, а также амплитуды сейсмической нагрузки на величину статистического разброса значений частот собственных из-гибно-крутильных колебаний и максимальных нормальных напряжений с меньшим количеством вычислений по сравнению с методом статистических испытаний.
Результаты вычислений, показывают, что при величине статистического разброса жестко-стных характеристик здания на 16%, жесткост-ных характеристик грунтового основания на 20% и амплитуды сейсмического воздействия на 20%:
• величина статистического разброса значений частот собственных изгибно-крутильных колебаний системы для систем учитывающих совместную работу здания с основанием составляет
7.. .12,5%, причем, чем выше податливость основания, тем меньше разброс этих значений;
• величина статистического разброса значений частот собственных изгибно-крутильных колебаний системы для систем учитывающих только работу сооружения составляет примерно 10%;
• величина статистического разброса значений максимальных нормальных напряжений прак-
тически не зависит от величины податливости грунтового основания и составляет 18,5%, а для систем учитывающих только работу сооружения составляет примерно 19%.
Примечания:
1. Пшен ткина, В А. Вероятностный расчёт пространственной системы юдшие^снование» на сейсмические воздействия / В А. Пшеничкина, А А. Чура-ков // Современные проблемы фундаментострое-
: -технической конференции: В 4-х ч./ ВолгГАСА. -Волгоград, 2001. Часть 1-2. - с. 53-56.
2. , . . -
тового основания на собственные колебания сис-
темы «сооружение^нование» // Городские агломерации на оползневых территориях: Материалы международной научной конференции: В 2-х ч., 15-17 октября 2003 г., Волгоград / ВолгГАСА. -Волгоград, 2003 г. Часть 2. - с. 122-126.
3. , . .
грунтового основания на динамические и прочностные характеристики сооружения подвергающе-
// -
ломерации на оползневых территориях: Материалы Ш международной научной конференции: В 2-х
ч., 14-16 декабря 2005 г., Волгоград / ВолгГАСУ. -Волгоград, 2005 г. Часть II. - с. 116-122.
4. , . .
повышенной этажности на динамические воздей-. , , 1996. - 118 .
