Вероятностные модели распада динамических сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Вероятностные модели распада динамических сетей

Г.А. Птицын

Приведены вероятностные модели распада динамических сетей на связные фрагменты размером два узла и более при бинарном состоянии дуг, узлов.

An introduction to stochastic models for dynamic networks' fragmentation into parts of two and more nodes with binary condition of nodes and arcs.

Живучесть становится одним из важнейших свойств сетей, и для выбора оптимального варианта их построения необходимо установить показатели живучести, разработать математический аппарат для их расчета. Существенной для теории и практики построения сетей связи является детальная информация о последствиях поражения сети: о числе частей (связных), на которые распадается сеть в результате вредного или иного воздействия, о числе узлов и ребер, а также о топологии каждой из выживших частей [1].

Зависимости размеров выживших частей от вероятности поражения ребер или/и узлов сетей вида «решетка» (степень связности узлов в которых равна трем, четырем, шести) ранее были получены с помощью метода статистических испытаний [1]. Однако использование этого метода сопряжено с большими затратами на ввод данных и значительным расходом машинного времени на выявление частот редких событий, которые возникают при поражении сетей.

Необходимость обратиться вновь к решению данной задачи вызвана рядом обстоятельств. Во-первых, требуется получить эти зависимости для других структур сетей, начиная от древовидных, а также кольцевых и сверхсвязных в процессе их развития от двух, трех узлов и более. Во-вторых, полученные результаты [1] выявили парадокс (названный «пороговым эффектом»), противоречащий интуитивным представлениям о реакции сетей на приращение вероятности выживания ребер, узлов. Он заключается в том, что средний размер связных частей, оставшихся после поражения сети, равен одному узлу (и =1) в диапазоне вероятностей выживания либо от 0,1 до 0,6, либо от 0,1 до 0,8 для всех трех решеток.

Поэтому предпринята попытка аналитически определить зависимости размеров выживших частей и их доли от вероятности выживания (гибели) элементов сети методом полного перебора вари-

антов ее поражений. При этом «одинокие» узлы, оставшиеся после вредного воздействия, во внимание не принимаются, так как они отрезаны от сети, не принимают и не передают сообщения. В дальнейшем рассматриваются выжившие части размером и >2.

Число связных частей, на которые распадается сеть после вредного воздействия, зависит от его направленности (на ребра или/и узлы), вида сети, силы поражения т ребер (узлов), варианта поражения при заданной силе. Под силой поражения понимается число разорванных ребер или погибших узлов. Если удар направлен на ребра с силой т, то любая древообразная сеть распадается на т+1 часть (0< т < п-1, где п - число (размер) узлов сети) размером и>1 каждая. Причем в звездообразной сети при любой силе поражается 0<т< п-2 узлов, выжившим остается один фрагмент размером и=п-т и все узлы его связны. Остальные т узлов оказываются в одиночестве.

Модели распада линейной сети. Рассматривая значения п>2 и используя метод полного перебора [2] как при разрыве дуг, так и при гибели узлов, получаем данные, представленные в табл.1.

Таблицаї. Математическое ожидание числа выживших узлов линейной сети

n Формула сети M(Up) M(Uy)-pM(Up)

2 12 2p 2p2

3 13 4p-p2 p2(4-p)

4 14 6p-2p2 p2(6-2p)

5 15 8p-3p2 p2(8-3p)

n 1n 2(n-1)p-(n-2)p2 p2(2(n-1)-(n-2)p)

В общем случае математическое ожидание числа выживших узлов в линейной сети при разрыве дуг выражается формулой

М(ир) = р(2(п -1) - р(п - 2)).

Тогда доля выживших узлов при разрыве дуг определяется выражением

Б(ир) = М(ир) /п = (р(2(п -1) -р(п - 2)))/п .

При увеличении размеров линейной сети и одинаковой вероятности выживания ребер значение средней доли выживших узлов возрастает, имея предел при п^-да:

Нш Б(ир) = р (2 - р).

Зависимости 0(ир) от р и п имеет выпуклый вид (рис.1).

Если удар наносится по узлам (ребра неуязвимы), то выражение для М(иу)=рМ(ир) отличается от М(ир) наличием множителя р для всех значений п (см. табл.1), т.е. М(иу)=рМ(ир).__________

О(и)

а)

О(Ц)

_______________________________б)_______________________________

Рис.1. Зависимости доли поражения узлов от вероятности выживания дуг (узлов) при различных п: а - линейная сеть; б - звездообразная сеть

Зависимости 0(иу) от п и р имеют вогнутый вид (рис. 1,а). Таким образом, линейная сеть любого размера как при разрыве дуг, так и при гибели узлов не имеет участка нечувствительности к увеличению вероятности выживания ее элементов.

Модели распада кольцевой сети. Кольцевая сеть имеет одно избыточное ребро по сравнению с древовидной сетью. Рассматривая значения числа узлов п>3 и используя метод полного перебора, замечаем, что в общем случае они приводятся к виду

М (ир) = пр (2 - р).

Отсюда средняя доля выживших узлов кольцевой сети при разрыве ребер не зависит от размера сети, т.е. Б(ир)=р(2-р).

При гибели узлов справедливо соотношение

М (иу) = рМ (и у).

Средняя доля выживших узлов при гибели последних определяется выражением

Б(и у) = рБ(ир).

Таким образом, средняя доля выживших узлов кольцевых сетей как при разрыве ребер, так и при гибели узлов не зависит от п и совпадает с 0(ир) и 0(иу) линейной сети бесконечного размера (рис. 1, а).

Модели распада звездообразной сети. Звездообразная сеть при п=2;3 вырождается в линейную, поэтому зависимости 0(и)=Лр) звезд для этих размеров совпадают с линейной сетью как при разрыве дуг, так и при гибели узлов (см. табл.1).

Выражения для М(ир), М(иу) обладают общим свойством: все они содержат не полный бином в степени (п-1).Разбивая первый член на две равные части и делая подстановку +1-1, получаем выражение для М(ир) звезды в общем виде:

М (ир) = (п -1) р +1 - (1 - р)п-1.

Отсюда средняя доля выживших узлов звезды выражается формулой 0(ир)=М(ир)/п.

Если п^да, то бином практически при любых 0<р<1 стремится к 0, причем чем больше р, тем быстрее 0(ир) стремится кр:

Нш -0(ир) = р .

Зависимости 0(ир)=Др,п) при малых значения п>3 имеют выпуклый вид. С увеличением р и п значения 0(ир) полностью совпадают с прямолинейной, соответствующей значению п=2 (рис. 1,б). Если в звезде гибнут узлы, а ребра неуязвимы, то для всех значений п справедливо соотношение

М (иу) = рМ (ир).

Средняя доля выживших узлов звезды при гибели последних определяется выражением

М (иу) = р[(и - 1)Р + 1 - (1 - р)”-1 / «] .

Если п^да, то НшБ(иу) = р2 .

Звездообразная сеть любого размера как при разрыве ребер, так и при гибели узлов не имеет участка нечувствительности к увеличению вероятности выживания ее элементов. Зависимости 0(ир) при больших значениях п имеют вид, близкий к прямой линии. Зависимости 0(иу) имеют вогнутый вид, близкий к квадратичной параболе.

При одинаковом размере(например, п =10) во всем диапазоне 0<р<1 значения О(Ц) кольца больше линии, максимальное значение имеет звезда (рис. 2). Средняя доля выживших ребер не зависит от вида и размера сети и равна р при разрыве ребер ир2 при гибели узлов (рис. 3).

Модели распада двух звезд, смежных ребром. Центры двух звезд отдалены друг от друга на одну дугу. Число лучей, исходящих от каждого из центров, равно а (а=0,1,2,3...), при этом п=2(а+1). Используя метод полного перебора разрыва дуг и применяя индуктивный подход, получаем, что при а = 0, п=2 и а=1, п=4 сети вырождаются в линейную. Нетрудно убедиться в том, что каждое из приведенных выражений (см. табл. 2) содержит неполный бином в степени п/2.

Таблица 2. Математическое ожидание числа выживших узлов двух звезд, смежных ребром

а п Формула сети М(и) М(и)=рМ(и)

0 2 12 2Р 2р2

1 4 14 6р-2р2 р2(6-2р)

2 6 2-12-2 10р-6р2+2р3 р2(10-6р+2р2)

3 8 3123 14р-12р2+8р3-2р4 р2(14-12р+8р2-2р3)

4 10 4124 18р-20р2+20р3- 10р4+2р5 р2(18-20р+20р2- 10р3+2р4)

а 2(а+1) а-12-а 2[(1+ар)- (1-рГ1] 2р((1+ар)- (1-рГ1)

Добавив ±2, вынеся 2 за скобки и представив пару скобок в виде суммы двух слагаемых, получим общее выражение

Рис. 2. Сравнение сетей по средней доле выживших узлов

М (ир) = 2((1 + ар) - (1 - рГ1.

Модели распада двух звезд, смежных узлом. В этом случае формула сети 1-2-а. При а=0;1 вырождается в линейную, т.е. п=3;5.

Выражения для а=0,1,2,3 сведены в табл. 3.

Таблица 3. Математическое ожидание числа выживших узлов сети

а п Формула сети Ы(Пр)

0 3 13 р р2

1 5 15 8р-3р2

2 7 1-2-2; 2-13-2 12р-7р2+2р3

3 9 1-2-3; 3-13-3 16р-13р2+8р3-2р4

4 11 1-2-4; 4-13-4 20р-21 р2+20р3-10р4+2р5

а 1+2(а+1) 1-2-а; а-13-а 2[(1+(а+1)р)-(1-р)(а+1)]-р2

Рис. 3. Зависимость средней доли выживших дуг от вероятности их выживания

Как и в двух предыдущих случаях, все эти выражения содержат неполный бином в степени а.

Модели распада звезды, упрочненной дугами. Рассмотрим звезду, в которой избыточная (по сравнению с деревом) дуга проложена вначале параллельно действующей. Пойдем от простого (п=2) к более сложному с регулярным приращением в одну дугу с узлом и применим метод полного перебора состояний поврежденной сети. Виды сети и вероятностные формулы их распада, как при разрыве дуг, так и при гибели узлов приведены в табл. 4.

Таблица 4. Математическое ожидание числа выживших узлов звезды, упрочненной дугой

п=г а Вид сети М(ир) М(иу)

2 1 <=> 4р-2р2 2р2

3 2 6р-4р2+р3 СП >

4 3 >=> 8р-7р3+4р3-р4 6р2-3р3+р4

5 4 10р-11р2+10р3- 5р4+р5 8р2-6р3+4р4-р5

6 5 12р-16р2+20р3- 15р4+6р5-р6 10р2-10р3+104+5р5- р6

п п-1 (1+пр-р2)-(1-р)п р((1+ар)-(1-а)а)

Сравним полученные при гибели узлов формулы с аналогичными выражениями для простой звезды. Как видим, они полностью совпадают. Таким образом, прокладка одной избыточной дуги параллельно действующим не влияет на формулу распада при гибели узлов звезды постоянного размера. Более того, вероятностная формула распада звезды при гибели узлов не зависит от прокладки любого числа дуг параллельно действующим.

Теперь остановимся на распаде упрочненной звезды при разрыве дуг. Нетрудно заметить, что они также содержат неполный бином в степени п. Преобразование приведенных в табл. 4 выражений М(ир) сводится к следующему: прибавляем ±1, первый член 2пр раскладываем в два слагаемых пр+пр и от второго члена отнимаем р2.

В общем виде формула для М(ир) принимает

вид

М(ир) = (1 + пР - Р2)- (1 - Р)п,

Б(ир) = М(ир)/п .

С увеличением размера упрочненной звезды доля выживших узлов возрастает очень несущественно при малых значениях р, однако при п^-да значения М(иР) приближаются к прямой, а значения М(иу) приближаются к квадратичной зависимости.

Теперь рассмотрим случай, когда избыточная дуга соединяет в звезде два периферийных узла. Начнем с п=3, далее даем сети регулярное приращение - одна дуга с узлом. Применяем метод полного перебора состояний поврежденной сети.

Виды развивающейся звезды и формулы для М(иР), М(иу) приведены в табл. 5.

Таблица 5. Математическое ожидание числа выживших соединений упрочненной звезды

п Вид сети М(Пр) М(Цу)

3 < 6р-3р2 р(6р-3р2)

4 *< 8р-5р2+р3 р(8р-5р2+р3)

5 м 10р-8р2+4р3-р4 р(10р-8р2+4р3-р4)

6 и 12р-12р2+10р3-5р4+р5 р(12р-12р2+10р3- 5р4+р5)

п и (1+(п+1)р-2р2)-(1-р)п-1 рМ(ир)

Полученные выражения можно преобразовать, поскольку все они содержат неполный бином в степени (п-1). Добавляем ±1, выделяем бином.

При проверке этих выражений при р=1 оказывается, что М(ир)=п, это один из тестов правильности. Подстановка числовых значений вероятности в формулы для М(ир) для обоих способов упрочения «звезды» показывает, что прокладка избыточной дуги между двумя периферийными узлами приводит к повышению живучести при р>0,3 примерно на 0,03 - 0,04.

При одинаковых значениях размера сети и вероятности выживания дуг (узлов) доля выживших узлов тем выше, чем больше узлов схватывает избыточная дуга (рис. 4). Так, в кольце избыточная дуга охватывает все узлы сети, поэтому значения 0(ир) в ней максимальное. При прокладке избыточной дуги параллельно ранее проложенной значения 0(ир) - минимальны.

о(иР)

Рис. 4. Зависимость Б(ир) от р для кольца и разных вариантов упрочнения «звезды» (п = 6 = г)

ст

Рис. 5. Зависимость Б(Ц) от п и р для полносвязных сетей

Модели распада полносвязной сети. Полносвязная сеть (ПСС) имеет число дуг, равное г = п(п-1)/2. При п=3 ПСС вырождается в кольцо, математическое ожидание числа выживших узлов которого известно для любого значения п как при разрыве дуг, так и при гибели узлов:

Б(ир) = 2р - р2, Б(иу) = р(2р - р2).

Эти выражения отличаются друг от друга только наличием множителяр (при гибели узлов).

Использовав индуктивный подход, получаем выражение для Б(ир) в общем виде для ПСС размером п узлов:

Б (и у) = р(1 - (1 - р)п-1).

Тогда доля выживших узлов при разрыве дуг выражается в виде

Б (и р) = 1 - (1 - р)п-1.

С увеличением п (размера ПСС при любых значениях р>0) бином в степени (п-1) стремится к нулю, а значит, при п^да Нш Б(ир)^1. Это подтверждают графики зависимости Б(ир) от р и п (рис. 5), где Б(иу) приближаются снизу к прямолинейной Б(иу) ^р.

Средняя доля выживших узлов кольцевой сети не зависит от размеров кольца и равна Б(иР)=р(2-р) при разрыве ребер.

С увеличением размеров линейной сети как при разрыве дуг, так и при гибели узлов значения -О(Цр), -0(иу) возрастают, приближаясь в пределе (и^да) к средней доле выживших узлов кольца.

Средняя доля выживших узлов сетей вида «линия», «звезда», «кольцо» полносвязная при гибели узлов в р раз меньше, чем при разрыве дуг.

Значения В(иу) для полно- и сверхсвязной сетей при гибели узлов возрастают от р2 при и=2 до р при и^да, а значения Б(иР) при разрыве дуг - от р при и=2 до единицы при и^-да.

Рассмотренные выше топологические структуры не имеют участка нечувствительности к изменению вероятности выживания дуг, узлов.

При одинаковых значениях размера сети и вероятности выживания дуг (узлов) доля выживших узлов тем выше, чем больше узлов охватывает избыточная дуга. Доля выживших узлов кольца больше по сравнению с любой другой структурой одинакового размера с одной избыточной дугой.

Вместе с тем надо отметить, что значения -0(и„) и Б(иу) при заданных структуре, размере сети и вероятности выживания дуг, узлов дают лишь распределение размеров фрагментов, на которые распадается сеть в результате вредного воздействия, но не позволяют судить о потерях передаваемой информации. Более полное и точное представление о реакции сети на вредные воздействия (ВВ) и на потери информации дает доля выживших соединений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гладкий В.С., Гуревич И.М., Кириченко Т.В. Характеристики связности сетевых систем из ненадежных элементов. //Тр. учебных институтов связи. Вып.148. - Л.:ЛЭИС, 1990, с. 57-62.

2. Птицын Г.А, Кашкаш В. Математическая модель распада сети связи. - Электросвязь, 1994, №4, с. 8-10.

Поступила 22. 09. 2006 г.