Арифметические и биномиальные ряды в отображении распада, живучести развивающихся сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Арифметические и биномиальные ряды в отображении распада, живучести развивающихся сетей

Птицын ГА., Бакер АА, МТУСИ

Препосылки. Если для некоторой последовательности чисел ее т-ые разности равны между собой, то эта последовательность есть арифметический ряд (АР) порядка т. Если т = 1, т.е. р(х) = ао+а^, то получается арифметическая прогрессия с начальным членом а0 и разностью а^ Установлено, что значения общих сумм длин путей, размещенные в порядке регулярного приращения топологической характеристики однородной сети, образуют арифметические ряды. Например, для звездообразной сети имеем АР второго порядка, для линейной сети — АР третье-го порядка [1,2]. Напоминаем, что распад показывает сохранность элементов сети после повреждения. Живучесть — функциональные возможности сети после повреждения.

Постановка задачи. Сеть формализована графом, состоящим из узлов и дуг. Известна вероятность рабочего состояния дуг, узлов, одинаковая для каждого из них. Требуется установить числовые закономерности образования коэффициентов в формулах распада, живучести однородных сетевых структур. Сеть является развивающейся, т.е. она получает регулярное приращение топологической характеристики. Дуги, узлы — бинарные элементы.

Арифметические ряды в формулах распада сетей. Формула распада (математического ожидания числа выживших узлов) линейной сети при разрыве дуг (узлы неуязвимы) имеет вид [3,4] двухчленна М(11р) = Ар + Вр2. (1)

Коэффициенты А, расположенные в порядке возрастания п = 2,3,4..., образуют арифметическую прогрессию (АП), у которой первый член и разность равны двум. Расположенные таким же образом коэффициенты В образуют АП с первым членом, равным нулю, и разностью, равной (-1), таким образом, А = 2(п—1), В = (п-2). (2)

В кольцевой сети формула математического ожидания числа выживших узлов при разрыве дуг также имеет вид квадратного двух-члена (1), однако А = 2п, В = -п. (3)

Распад звездообразной сети. При п = 2,3 звезда вырождается в линейную сеть, поэтому зависимости М(11р),М(11у) остаются прежними. Любая древовидная сеть, в том числе звездообразная, при разрыве т дуг распадается на т+1 фрагмент [3]. Из них в звезде т фрагментов имеют размер, равный одному узлу, и один фрагмент размером (п-т) узлов. Выражение для М(1_1р) звезды имеет вид многочлена в степени (п-1). Коэффициенты при р, расположенные в порядке возрастания п = 2,3., образуют АП с первым членом и разностью, равными двум. Коэффициенты при р2 образуют арифметический ряд квадратного многочлена с параметрами а, = 1, Ь, = с = 1. Коэффициенты при р3 образуют арифметический ряд ку-

бического многочлена с параметрами а, = 0, Ь, =1, с,= 2, d = 1 и тд. В двухкаскадной звезде 1-а-Ь (пусть а = var, Ь = const = 2) коэффициенты при р образуют АП с первым членом и разностью, равными 6. Коэффициенты при р2 образуют с АР второго порядка с параметрами а,, = -3, а2, = -4, аз, = -1. Коэффициенты при р3 — арифметический ряд кубического многочлена с параметрами а,,= а2,= аз,= а41=1. Коэффициенты при р4 образуют АР полинома четвертого порядка и тд. Степень полинома соответствует значению а. Размер сети n = 1 + а + 2а = 1 + 3а. Исходя из свойств рядов выражения для M(Up), в общем виде (сеть 1-а-2)

M(Up) = (1 + 3а) - 2а(1 - р) - а(1 - р)3- (1 - р)а.

Анализ формул распада других однородных развивающихся структур показывает, что коэффициенты при р'(1 > 1), расположенные в порядке регулярного приращения топологической характеристики, также образуют арифметические ряды. Порядок ряда ограничен максимальным значением степени связности узла, например, для звездообразной и полносвязной сетей, максимальная связность равна n - 1.

Биномиальные рады в формулах распада сетей. В ряде случаев, когда связности узлов в сети имеют большие значения и получить арифметические ряды коэффициентов при р' в процессе развития сети не удается, удобнее формулу M(Up) разложить на биномы [5].

Для линейной сети размером n узлов:

M(Up) = 2(n - 1)р - (n - 2)р2 = n - 2(1 - р) - (n - 2)(1 - р2). (4)

Для кольцевой сети размером n узлов:

M(Up) = n(2p - р2) = n(1 - (1 - р)2). (5)

Для звездообразной сети размером n узлов анализ выражений при n >2,3,4... показывает, что все они содержат неполные биномы в степени единица и n - 1. Дополняя биномы, получаем

M(Up) = n - (n - 1)(1 - р) - ( 1- p)(n - ]). (6)

В полносвязной сети размером n узлов выражение для M(Up) имеет вид многочлена в степени (n - 1)

M(Up) = (Cn-1p C2n-1 p2+ C3n-1 p3-C4n-l p4 +.± p"-’) . (7)

Коэффициенты при pi образуют неполный бином в степени n-1. Добавляя ±1, получаем

M(Up) = n(1-(1-p)n-1) . (8)

Итак, зная размер и структуру сети, связность узлов, можно составить формулу распада ее при разрыве дуг по биномиальным коэффициентам в степени равной связности узлов. При гибели узлов в сети значения коэффициентов не меняются, а значение М(11у) уменьшается в р (0 < р < 1) раз по сравнению с М(1_1р). Однако, если в сети имеются сверхизбыточные дуги (одна дуга или более приложены параллельно существующим с обхватом двух узлов), то формула распада сети при гибели узлов составляется по другому правилу.

Построение формулы распада в сети со сверхизбыточными дугами при гибели узлов требует удаления сверхизбыгточных дуг, и для нового состояния сети определяется связность узлов, что позволяет получить соотношения для математического ожидания числа выживших узлов как при разрыве дуг, так и при гибели узлов. Ни число, ни место прокладки сверхизбыгточных дуг не влияют на формулу распада сети при гибели узлов, она соответствует сети при отсутствии сверхизбыгточных дуг.

В качестве примера рассмотрим кольцо размером п = 4 (рис. 1а) с одной сверхизбыточной дугой (рис. 1б). Для получения формулы распада при разрыве дуг, используем метод связности узлов, согласно которому

М(ир) = 4-2я2-2я3. (9)

Интересно отметить, что формула распада при разрыве дуг не зависит от положения диагональной дуги. На рис.1в изображена ячеистая сеть (ячейка — треугольник, контакт дугой, или проще, — квадрат с одной диагональю). Формула распада М(ир) будет одинакова для обеих структур рис.1б и 1в.

Для вывода формулы распада структуры (рис.1б) при гибели узлов воспользуемся методом полного перебора

М(и) = 4р4+3-4р3я+2-4р2я2= 4р4 +12 р3 (1-р)+

+8 р2 (1- р2 )=4(1-(1-р)2 =4(1-я2). (10)

Эта формула соответствует распаду простого кольца (рис. 1а) при гибели узлов. А вот формула распада структуры (рис. 1в) при гибели узлов будет иметь вид

М(иу) = 4р4+3-4р3я+2-5р2я2 =

= р(4-2(1-р)2-2(1-р)3) = р(4-2я2-2я3). (11)

Что соответствует обычной процедуре составления формулы распада М(иу) по методу связности узлов.

Арифметические ряды в отображении живучести сетей.

Живучестью сети — D(а) называется отношение математического ожидания числа выживших соединений (струй) М(а) к общему числу соединений — у в нормальных условиях эксплуатации

D(а) = М(а)/у. (12)

Уязвимость сети — D(P) — величина, противоположная живучести, характеризует потери соединений

ад=1- ад . (13)

Для функции живучести и уязвимости произвольной древовидной сети должны выполняться следующие условия:

1. D(а) = 1, если р =1, соответственно D(P) = 0.

2. D(а) = 0, если р = 0, соответственно D(P) = 1. (14)

3. D(а), D(P)=€ [0;1] при 0 < р < 1.

4. D(а), D(P) непрерывные функции ¥р =€ [0;1].

В древовидной сети математическое ожидание числа выживших соединений М(ар) при разрыве дуг равно сумме произведений числа соединений определенной длины на вероятность выживания этого соединения

М(ар)=А1р+А1р2+.+А*^ = еАр'.

Коэффициент А отображает число соединений длиной I дуг. Степень I при р характеризует длину соединения.

Поскольку каждая дуга смежна двум узлам, то организация соединения по дуге эквивалентна выживанию двух узлов. Поэтому живучесть соединения длиной I дуг в древовидной сети при гибели узлов характеризуется соотношением

^Оу) = р^Ор). (16)

В линейной сети размером п узлов М(ар) равно

М(ар) = (п-1)р + (п-2)р2 + 2рп-2 + рп-1. (17)

Коэффициенты при р1, размещенные в порядке возрастания степени при р образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом равным (п-1) и разностью, равной единице. При любом значении 1 < I < (п-1) сумма значений коэффициента А и степени I дает п — размер сети. Если расположить коэффициенты при р в порядке регулярного возрастания п >2, они образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью, равными единице. Коэффициенты при р2 образуют такой же ряд по соотношению п-2, начиная с п = 3, коэффициенты при р3 образуются по соотношению п-3 при п >4 и т. д.

Звездообразная сеть размером п узлов имеет формулу живучести при разрыве дуг в виде квадратного двучлена, содержащую переменную р (вероятность) в степени единица и два

адр = (Ар + Вр2)/у. (18)

Коэффициенты А при р, расположенные в порядке возрастания п, образуют АП с первым членом и разностью, равными двум (п >2). Коэффициенты при р2 — арифметический ряд квадратного многочлена В = 0;2;6;12;20...Параметрами этого ряда являются а] = 0, Ь] = 2, с = 2. После подстановки этих значений в биномиальную формулу к-ого члена, упрощения и перехода к топологической характеристике п (размеру сети), получаем: М(ар) = 2(п-1)р + (п-1)(п-2)р2. Сумма коэффициентов А и В дает значение у— общего числа соеди-

а) кольцо . . б) кольцо со в) сеть с двумя

сверхизбыточностью Р Л избыточными Т У\

I______| [ | дУгами у |

Рис. 1. Сеть размером 4 узла

нений в сети. Коэффициент А характеризует число соединений (струй) длиной в одну дугу, коэффициент В — число соединений длиной две дуги.

Кольцевая сеть размером п узлов имеет по сравнению с древовидными одну избыточную, и она приводит к изменению правил формирования коэффициентов при р1. При разрыве дуг формула живучести имеет вид многочлена в степени п. Причем коэффициенты при р1 (1 < I < п-1) равны 2п. Коэффициенты при р1, расположенные в порядке возрастания п(п > 3), образуют арифметический ряд квадратного многочлена, численно равного общему числу соединений у = п(п-1). В отличие от у, они имеют отрицательный знак.

Итак, коэффициенты при р' в формулах распада, живучести однородных сетей, расположенные в порядке регулярного приращения п, образуют арифметические ряды. Порядок и параметры ряда зависят от размера п и структуры сети, степени I при р-вероятности рабочего состояния дуги, узла.

Коэффициенты при р' в формуле распада сети любых размера и структуры содержат разложения биномов, число которых равно размеру сети, а степень соответствует связности узлов. Для звездообразной сети формула распада при разрыве дуг содержит (п-1)

бином (1-р) в первой степени и один бином в степени (п-1). Для полносвязной сети формула распада при разрыве дуг содержит п биномов (1-р) — каждый в степени (п-1).

Литература

1. Птицын ГА Арифметические ряды — отображение развивающихся сетей сообщений//Международная конференция и дискуссионный научный клуб "Нейросетевые технологии обработки информации P+NN 97": Тезисы докладов. — 1997. — С. 25-31.

2. Птицын ГА Анализ строения деревьев кратчайших путей развивающихся сетей //Электросвязь. — 1996. — № 3. — С. 4-6.

3. Птицын ГА Вероятностные модели распада динамических сетей/электротехнические и информационные комплексы и системы. — 2006. — № 4. — Т.2. — С. 54-58.

4. Птицын ГА, Кашкаш В. Математическая модель распада сети связи //Электросвязь.- 1994. — № 4. — С.8-10.

5. Птицын ГА, Бакер АА, Сурский ЕА Оценка распада сети методом связности узлов//Труды Московского технического университета связи и информатики. — М.: ИД Медиа Паблишер, 2008. — Т. 2. — С. 98-100.