Вероятностные модели гибели равнопрочных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вероятностные модели гибели равнопрочных сетей

Ключевые слова: равнопрочная сеть сообщений, связность узлов, атаки на дуги и узлы, модели гибели сетей.

Приведены примеры построения равнопрочных сетей со связностью две, три и более дуг. Получены математические модели гибели сетей при атаке на дуги или узлы. Установлено, что средняя доля погибших узлов при атаке на дуги характеризуется одночленом qS-вероятностью потери дуги в степени равной S связности узла, а при атаке на узлы трехчленом q + qS - qS+1 вероятность потери узла в первой степени, в степени S равной связности узла и в степени S+1 (последний входит со знаком минус) независимо от размеров сети.

Птицын Г.А., МТУСИ

Примеры построении равнопрочных сетей. Простейшим примером равнопрочной сети является кольцо, имеющее одну избыточную дугу и степень связности (прочности) каждого из узлов равную двум дугам, (рис. 1а) Степень связности равная трем дугам возникает, если в квадрате провести две диагонали, одновременно это полносвязная сеть размером четыре узла (рис. 16). Если в кольце размером 6, 8 узлов провести диаметры или хорды, то также получаем равнопрочную сеть со степенью связности узлов три дуги (рис. 1в,г). Для построения сети неограниченного размера прочностью узла три дуги можно применять гак называемую кирпичную кладку (рис, 1д, 4а). Степень связности равная четырем дугам обеспечивается и сетях (рис. ! е-и), причем при и — 5 получаем полносвязную сеть. Вариант на рис. ! и позволяет строить сети практически неограниченного размера за счет увеличения числа и диаметра колец. Сеть на рис. 1 к имеет прочность узлов равную пяти дугам, С другой стороны это полносвязная сеть размером шесть узлов.

При построении решетчатых равнопрочных [5] или регулярных [1] сетей приходится сталкиваться с проблемой краевого эффекта - возникновение слабосвязных узлов на границах сетей. В обширной статье [1|, посвященной геометрической прочности сетей, приведены примеры построения регулярных сетей, имеющих СВЯЗНОСТЬ узлов 5=3-Н!, Приведенные графы показывают, что объем слабосвязных узлов, может достигать половины от общего размера сети.

Наличие слобопрочных окраин может существенно понизить устойчивость сетей от гибели при случайных или преднамеренных атаках на дуги или узлы. Рассмотрим, как меняется доля слабопрочных узлов на окраине сети с квадратной ячейкой. Такие сети наиболее распространены при построении городских транспортных и логистических сетей. Пусть размеры сети равны а и Ь узлов. Связность угловых узлов равна двум дугам. Таких узлов в сети независимо от значений а и Ь равно четырем. Пограничные узлы между углами имеют связность равную трем дугам. Таких узлов в сети равно 2((а-2)+(Ь-2)). Таким образом, число равнопрочных узлов со связностью четыре дуги равно разности аЬ-(4+2((а-2)+(Ь-2))=(а-2)(Ь-2).

Для приведенного на рис.2 примера:

«52 = 4,71я = 12 "И- 8 п = аь = 24 = 24.

Здесь доля пограничных слабопрочных узлов составляет 66%, Очевидно, что с увеличением а и Ь , доля пограничных слабопрочных узлов будет уменьшаться. Так, если размеры а и Ь увеличить вдвое, то п=2а2Ь=96, п52 = 4,Яд = 2((2а -2)+ (2Ь -2)} = 32, тогда п54 = 60. Доля пограничных слабопрочных узлов уменьшится до 37,5%.

Возвращаясь к решетке с квадратной ячейкой, посмотрим, как будет влиять переход к квадратной структуре при одинаковом периметре. В предыдущем случае а+Ь=10, теперь возьмем, а=Ь=5. п$2 = 4,= 4 ■ 3 = 12,и$4 = 9. В этой сети доля пограничных слабопрочных узлов составит 16/25 или 64%. Вытягивание сети в длину может привести к тому, что доля слабых узлов станет равной 100. Есть выигрыш в один узел или 2%. При а=Ь=Ю, п-100 доля слабых узлов сокращается до 36%. А если, а-Ь-20, то доля слабых узлов падает до 19%. Необходимо изыскать возможности уменьшения доли слабопрочных узлов на окраинах до нуля. Построение полносвязных сетей дает эту возможность, но закрывает сеть к развитию, расширению.

Другой пример построения равнопрочной сети (8-4) прямоугольного размера с квадратной ячейкой дает структура вида сетка «рабица».

Рулон в развернутом виде имеет очень малую прочность. Каждая проволока дает две висячих вершины, кроме того точки соединения проволок не связаны друг с другом, они лишь каеаются друг' друга (рис 2в).

Это приводит к тому, что небольшие сдвиги, усилия, приложенные к полотну, вызывают выскакивания проволок из общего ряда, придавая длинным (горизонтальным) краям сетей неровный, неопрятный и даже агрессивный вид. Усиления прочности достигаются, если, во-первых, выровнять края полотна с висячими вершинами. Во-вторых, концы каждых смежных двух проволок и сверху и снизу загнуть друг относительно друга, образуя замок. При этом из висячих вершин образуются узлы, имеющие связность 5=2. В-третьих, через замки (узлы) й=2 необходимо проложить горизонтальные проволоки и сверху и снизу, а еше лучше по всему периметру. Это позволяет увеличить прочность узлов до 4=4. Такую сетку можно легко переносить как в вертикальном, так и горизонтальном положениях.

Для выравнивания концов проволок необходимо расстелить развернутым рулон на ровной площадке {дорожке), не натягивая сегку. После того, выскочившую из ряда проволоку ввинчиваем в ту или обратную сторону, добиваясь ровного положения (рис 2в). Когда сетка не натянута, то проволоки вращаю гея легко, смещаясь вверх (вниз). Однако это состояние может легко нарушиться, если вы начнете переносить полотно. Поэтому скрещенные концы двух смежных проволок необходимо замкнуть (загнуть концы) и сверху и снизу (рис 2г). Оти замки фиксируют положение двух проволок друг относительно друга, не позволяя им выскакивать из общего ряда.

Для соединения двух рулонов необходимо положить их рядом, развернуть края полотен, вытащить из одного из краев полотен одну проволоку. Совместить края рулонов и ввинтить проволоку через оба сдвинутых конца.

Усиление окраин достигается за счет создания пограничного контура, каждый узел которого имеет связность равную остальным узлам.

Уменьшить долю слабых узлов позволяет также свертка, склейка краев [I] прямоугольных или квадратных решеток, например, с квадратной ячейкой (рис. 2).

Другой путь заключается в создании равнопрочных колец как на рис. !д,и. Каждое следующее наружное кольцо размещается со сдвигом на половину дуги (рис, 4).

В качестве положительного эффекта таких структур помимо усиления прочности можно отметить существенное увеличение пропускной способности сети. Недостаток заключается в значительном росте затрат на линейные сооружения.

Постановка задачи. Необходимо установить, как зависят число и доля погибших узлов от атак на дуги или узлы равнопрочной сети, используя вероятностный подход. Сеть формализована графом, состоящим из вершин и ребер. Вершинам соответствуют узлы СВЯЗИ, ребрам -дуги (линии связи). И узлы и дуги - бинарные элементы. Принимаем, что после атаки сеть распадается на фрагменты. Если размер фрагмента равен одному узлу, то узел считается погибшим. Если размеры связных фрагментов два узла или более, то они остаются работоспособными. Если в сети после атаки выживает несколько фрагментов и каждый из них имеет размер два узла и более, то допускаем, что в сети продолжает действовать сумма размеров фрагментов сети.

Вероятность потери узла, дуги после атаки 0 < ц < I.

Вероятность рабочего состояния узла дуги 0 < р < I.

Очевидно, что р+Ч~I ■

Гибель сети оценивается математическим ожиданием числа потерянных узлов - М(Э) в результате либо прямого попадания, либо вследствие разрыва смежных узлу дуг. Дія сравнения сетей разных по размеру и структуре используется относительный показатель - средняя доля погибших узлов при атаке на дуги или узлы с1(8) — М(8)/п.

Аналогично характеризуется атака на сеть при детерминированном подходе либо числом потерянных дуг, либо узлов, вместе с тем также может применяться доля потерянных дуг или узлов.

Модели гибели сетей

Рассмотрим гибель кольца при атаке на дуги

п = 3; М{йр) = Зя3+Зя~р=Зя^-(-Зяэ{ 1-я) = Зя:;

сі(8р) = М(5р)/п = я2.

п = 4; М(|р) = 4с]4+8я ‘р+4і] р ’ = 4д?; іі(їр) = д2.

ТаблицаЇ Модели гибели равнопрочных сетей

Вид сети

п/г Б і18р (18у

4/4

4/6

5/10

6/15

7/21

ч’ ч'ч:-ч3

ч3 Ч+'Т-Ч4

4 і 4 5

ч ч+ч ч

ч+ч-ч

ч+ч-ч

Потери узлов 1% и менее обеспечиваются при атаке па дуги: прочность узла 5-2 и вероятности разрыва дуги 4=0,1; с!8р=0,01; при 8=3 и д=0,2; с!Йр=0,008; при 8=4 и Я=0,3;<33р=0,0081.

Доля погибших узлов не зависит от размера кольца. Теперь возьмем полносвязную сеть размером п = 4, г = 6, 8 = 3. Атака на дуги.

М(Бр) =4ц<’ + 12ч5р + 12а4р2+4яУ = 4ч3.‘)(5Р) = Ч3-В обшем случае с1(Яр) =я‘, где 8 - связность узла сети. Формула гибели сети при разрыве дуг (математическое ожидание числа потерянных узлов), выраженная через я - вероятность разрыва дуги, является отображением топологии сети; коэффициент перед q соответствует размеру (числу узлов) сети, степень при я показывает связность (прочность) каждого из узлов, половина произведения коэффициента перед 4 на степень при я равна числу дуг сети. Средняя доля погибших узлов (](8р) при разрыве дуг равна вероятности я разрыва дуги в степени соответствующей 8 числу дуг смежных одному узлу <3(5р) = я8(табл. 1).

При атаке на узлы для тех же сетей получаем п = 3, Э = 2; М(8у) = Зя3 + 9я;р + Зяр" = 3(я+ я: - я2); с!(5у) - ч+ч3-^-

п т 4, 8 = 2; М(ву) = 4q"' + 16я’р + 16я“р” + 4яр = 4(я+я2-я3); й(3у) - ч+ч’-ч3.

3 _

п = 4, 8 = 3; М{8у) = 4q4 + Ібя'р + 12я“р~ + 4яр'’

= Я + ч

„8+1

Ч5+|. Поскольку

= 4(q+q'J-q',); (КБу) - Ч+Ч3-Ч4.

В общем случае (1(йу)

0^<1, 3=2,3.4.,. то с|> я > q'’ Поэтому функция сЦЭу) будет проходить всегда выше диагонали из нуля слева в единицу справа, но ниже функции ь1(йу) для кольца (табл. I. рис. 5).

Рис. 5. Зависимости доли погибших узлов от вероятности q потери дуг, узлов дня равнопрочных сетей 8 = 2, 3,4

При подстановке числовых значений 0 < ^ < 1 с шагом 0,1 и 8=2; 3; 4; получаем таблицу I. Верхнее (наибольшее значение) положение функции с1(5р) = qs, <1(5у) = ч + я* - 1 занимают при 5 = 2 как при атаках па дуги,

так н на узлы. Каждая последующая функция, характеризующая потери узлов при разрыве дуг - ложится в секторе между нулем И предыдущей функцией (3(йр)1 > <1{8р) з > <.1(8р) 1 с точностью 10“3 при прочности узла в три дуги и с точностью 10"4 при прочности узла в четыре дуги (см. табл. 2 - значения с1(8р))

При гибели узлов каждая последующая функция, характеризующая потери узлов при атаке на узлы (18у = ц + с]4 - ч'' 1, ложится ниже предыдущей, но выше диагонали, соединяющей ноль в левом углу с единицей в правом верхнем углу с точностью до 10 при прочности узла равной трем дугам и с точностью до 1(Г при прочности узла, равной четырем дугам (см. табл. 2 - значения сЦЭу)).

Выводы

1. Формула гибели сети при атаке на дуги (математическое ожидание числа потерянных узлов) является отображением топологии сети; сумма коэффициентов перед 0 < ч < I дает размер сети по числу узлов, степени при 1| показывают связность (прочность) узлов по числу смежных дуг, половина суммы произведений коэффициента на степень при ц дает число дуг сети.

2. Гибель равнопрочной сети, выраженная долей потерянных узлов, при атаке на дуги, равна я вероятности разрыва дуги в степени 5, соответствующей связности (прочности) узла; так для кольца связность узла равна двум дугам, для полносвязной сети размером пять узлов - четырем дугам и т.д.

3. Гибель равнопрочной сети, выраженная долей

потерянных узлов, при атаке на узлы характеризуется трехчленом С| + I]"’ состоящим из вероятностей ги-

бели узла в первой степени в степени 5 и в степени равной 8+1 па единицу больше связности узла ( последний входит со знаком минус).

4. Потери узлов менее 5% обеспечиваются при атаке па дуги:

при прочности 8 = 2 я = 0,2 ^р = 0,04); и вероятности разрыва дуги

при прочности 5 = 3 Я - 0,3 (с18р = 0,027); и вероятности разрыва дуги

при прочности 8 = 4 Я = 0,4 (с18р = 0,0256); и вероятности разрыва дуги

при прочности 8 = 5 Я = 0,5 № = 0,03125); и вероятности разрыва дуги

при прочности 8 = 6 Я = 0,6 (с18р = 0,0466)* и вероятности разрыва дуги

Литература

1. Сизый С.В.. Маевский В В Геометрическая прочность сетей. №\«™.Ьгашсгай.ш, 2010. - 31с.

2. Попков В.К, Математические модели связности. - 2-е изд., испр.и доп. - Новосибирск: изд. ИВМ и МГ СО РАН, 2006 - 490 с.

3. П. Дюндар, А. А ишак. В. Айтак. Вычисление индекса доступности и окрестной целостности графа Н Математические заметки, Т. 78, вып. 5, 2005. - С, 676-686.

4. Сай В.М.. Сизый С.В. Организационные структуры как мультиоператорные сети. Задачи прочности и устойчивости, II Транспорт Урала, 2009. № 2 (21). с. 5-9, ]SSN 1815-9400.

5. Гладкий В С. Гуревич И.М.. Кириченко Т.В. Характеристики связности сетевых систем из ненадежных элементов. Л.; ЛЭНС, Сборник научных трудов № !48, 1990. - С. 57-64,

6. Птгщын Г.А. Вероятностные модели распада динамических сетей II Электротехнические и информационные комплексы и системы, 200й, №4, т.2. - С. 54-58.