Модели характеристик гибели сетей связи Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МОДЕЛИ ХАРАКТЕРИСТИК ГИБЕЛИ СЕТЕЙ СВЯЗИ

Птицын Герман Александрович,

к.т.н., профессор, МТУСИ, каф. ИБиА, Москва, Россия, [email protected]

Ключевые слова: сеть связи, атака на дуги, узлы сети, математические модели гибели сетей, детерминированный и вероятностный подходы, модели структурной живучести сетей.

Введены понятия и дана оценка атак на сети, определены ее последствия. Атака может быть представлена детерминировано числом и долей пораженных дуг или узлов. При этом последствия могут быть различны, например, если в звезде атакован центр, то гибнет вся сеть. А если в линейной разомкнутой сети атака направлена на дуги через одну, то в этом случае сеть распадается на фрагменты размером два узла или более каждый. По условию они продолжают действовать, погибших узлов нет. Получены математические модели гибели сетей типовых структур. Атака может быть представлена вероятностно. Тогда при любом значении вероятности атаки может наблюдаться практически весь спектр последствий. Установлено, что математическая модель гибели сетей любой структуры и размера является отображением топологии сетей: её размера, распределения связности узлов, числа дуг сети, что позволяет численно определить структурную живучесть, как разность между исходным (до атаки) размером сети и математическим ожиданием числа погибших узлов после атаки. Показано, что в равнопрочных сетях доля погибших узлов не зависит от размера сети и равна вероятности атаки на дуги сети в степени равной связности узлов. Структурная живучесть сети при атаке на узлы в 1-я раз меньше, чем при атаке на дуги. Показаны свойства и недостатки метода.

В отличие от вероятности связности сети [1-5] при разработке моделей гибели сетей при-нято, что сеть продолжает действовать после атаки на дуги или узлы, если в ней остался хотя бы один связный фрагмент размером два узла или более [6]. При этом структурная живучесть будет более нуля. Исследование структурной живучести ведется при условии, что известна вероятность выживания (гибели) структурного элемента (дуги и узла), одинаковая для каждого из них, р' = р, 4 = д, р' + 4 = 1 Допускаем, что каждый узел сети имеет независимое управление и питание. Анализ чрезвычайных ситуаций и боевых дей-ствий подтверждает реальность такого подхода.

Для цитирования:

Птицын Г.А. Модели характеристик гибели сетей связи // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №2. -С. 53-56.

For citation:

Ptitsyn G.A. Models of communication networks destruction characteristics. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.2, рр. 53-56. (in Russian)

T-Comm Vol.10. #2-2016

Показатели гибели сетей. При заданном числе т атакованных элементов анализ гибели сети размером л узлов, связанных г дугами ведется по следующим показателям:

Исходные данные: г) - число узлов сети, п-1 г число дуг, соединяющих узлы. Дуги, узлы - бинарные элементы.

Атака на сеть: 0 т л, г - число атакованных элементов (целые числа); min, mir - доля атакованных элементов; W — С™, С™ - число вариантов атаки т элементов сети. Последствия атаки:5г- число погибших узлов для /-го

варианта атаки на т элементов сети (погибшим считается узел, оставшийся в одиночестве или атакованный); U- - число выживших узлов для 1-го варианта поражения

т элементов, очевидно, что & ~п\

У" Sj ~ общая сумма погибших узлов для W вариантов атаки на m элементов сети (дуг, узлов);

У f Ut ~ общая сумма выживших узлов для W вариантов атаки на т элементов сети (дуг, узлов);

Uр , U! - — - среднее число выживших узлов при

поражении m элементов сети при атаке на дуги, узлы;

-— S

SB ,Sll - —~ среднее число погибших узлов при

поражении m элементов сети при атаке на дуги, узлы;

dSr ~ средняя доля потерянных узлов при атаке на дуги (ребра), узлы;

ТГ ТГ

dU ,dU =—~ средняя доля выживших узлов у г п при атаке на дуги (ребра), узлы;

Средняя доля погибших, выживших узлов должна удовлетворять следующим условиям: Если m = 0, то d(S) = 0, d(U) = I. Если m = г,п, то d(S) = 0, d(U) = I. d(S) =[0,1],</(Е/) =[1,0] при 0 m п, г.

Детерминированный подход предполагает, что число m атакованных узлов на дуги сети задается заранее, причем это число последовательно принимает целочисленные значения 0, 1, 2,..... п(г) при различных вариантах размещения на сети.

Звездообразная сеть. Атака на дугу означает гибель смежного с ней узла, по число узлов на единицу больше числа дуг, поэтому зависимость dXJр = dU„p имеет излом.

Alt "~m 1 ,! 11 7С 7 и-]

dU =-= I - с/,,,,-: dSp = d„p--•

11 п и

С увеличением л доля погибших узлов возрастает, но

тп

не более, чем —0 < m < п ■ При атаке на m узлов средняя

п

доля выживших узлов принимает вид; dUv =

n-m

Средняя доля погибших узлов

2пт- т~

Если при атаке на дуги доля погибших узлов практически прямолинейно зависит от доли поражения, то при атаке на узлы доля погибших узлов возрастает по квадратичной зависимости (рис. 2).

Линейная (разомкнутая) сеть. При атаке на дуги погибшим считается узел, смежные дуги которого разорваны. Выжившими считаются узлы {два и более), содержащие связывающие их дуги. Поэтому в линейной сети весьма вероятны случаи, когда число разорванных дуг т=1, 2, 3,..., а общая сумма выживших фрагментов остается равной л.

" {«(/7-1)) Р При атаке на т узлов средняя доля выживших узлов равна

п - т

dU v=dUр

п

■ . Графические зависимости dUр % dUv

для линейной сети п = 3, 4, 6, 8 представлены на рис. I.

Кольцевая сеть. Удаление одной избыточной дуги оставляет долю выживших узлов равную единице. График ¿(иу) = /(с1 ) начинается не с нуля, а с точки

а =(г—I)-1, поэтому с увеличением г значение функции

d(U ) = 1 приближается к оси dU.

п „, , т(т -1) При атаке на дуги dU — 1----- •

При атаке на узлы dU ={— Iii__^^

* I п Д (»-1)(й-

Графические зависимости dU = f{d ) для кольца п~ 8

2)

представлены на рис. 3.

dU. =

(4-2)

1-

2(2-1)

((4-0(4-2))

1 1 2 "з"

dSy = \-dUv =

\\ • ' "И/

Однако получить аналитические зависимости dU = / ) для других структур оказалось затруднительным, Более широкие возможности открывает вероятностный подход.

Вероятностные модели гибели сетей связи. Характеристики гибели сетей. Вредные воздействия на сеть представлены стохастично через вероятность атаки на элементы сети (0 q I). При любом значении д в сети возможен весь спектр повреждений дуг, узлов сети.

Исходные данные; п-число узлов сети; п-1 г число дуг; 9 - вероятность атаки на дуги, узлы, р+д=1.

Последствия атаки: М(5р > = ^ Ад, ■

Л),А/(£ математическое ожидание числа погибших узлов при атаке на дуги, узлы;

А, - число узлов в группе, имеющих одинаковую связность / дуг;

д. - вероятность потери узла, имеющего связность ' дуг;

T-Comm Том 10. #2-2016

Т-Сотт Уо1.10. #2-2016

MATHEMATICS

пример, в кольце доля погибших узлов не зависит от л-размера сети и равна d(S|l) = qi, для равнопрочной сети со связностью С каждого из узлов не зависит от п-размера сети и равно = •

- половина суммы произведений коэффициентов при q на степени при д дают длину сети по числу дуг.

- модель гибели сети при атаке на дуги дает детальную информацию о топологии сети: о размере (числе узлов) сети, числе групп узлов, имеющих одинаковую связность, числе узлов в группе, распределении связности узлов, длине сети.

Но этот метод не позволяет судить о потерях информации при повреждениях. Например, в линейной сети размером шесть узлов при атаке на две дуги через одну остаются три фрагмента размером по два узла, что означает ноль погибших узлов. Тогда доля выживших узлов равна единице. Но в этом случае объем передаваемой информации снижается в пять раз. Более полное и точное представление о потерях информации дает доля выживших соединений (межузловых потоков) или функциональная живучесть.

- эквивалентом q является отношение min, поэтому графические зависимости d(U),d(S) для вероятностного и детерминированного подходов при атаке на дуги или узлы, дают малое отклонение друг от друга.

Литература

1. Tutte W.T. A Contribution to the Theory of Chromatic Polinom'rals /W.T.Tutte// Canadian Journal of Mathematics. - 1945. №6, - p.SO-91

2. Надежность и живучесть систем связи И Под ред. Дудника Б.Я. - М.: Радио и связь, 1984, - 216 с.

3. Воробьев В. И., Мешков с кий К А Способ определения живучести связи II Электросвязь. - 1988, №12. С. 12-14.

4. Громов Ю.Ю., Драчев В.О., Набатов К.А., Иванова ОТ. Синтез и анализ живучести сетевых систем. - М.: Машиностроение-1,

2007.-iS2 с.

5. Птицын Г.А. Поиск способов уменьшения активного транзита // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2015, - №5. -С. 74-78.

6. Стекольников Ю.И. Живучесть систем. - СПб.: Политехника, 2002. - 156 с.

7. Птицын Г.А. Живучесть динамических сетей связи. Учебное пособие / Под редакцией проф. Петракова А.В. - М.: МТУСИ,

2008. - 96 с.

MODELS OF COMMUNICATION NETWORKS DESTRUCTION CHARACTERISTICS Ptitsyn G.A., professor, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia Abstract

Defined the concept and the evaluation of the communication networks attacks. The attack can be represented as determined number and proportion of affected arcs or nodes.Thus the effects may be different, for example, if the star center attacked then killed all network. If a linear open network attack is directed to an arc through one, in this case, the network breaks down into fragments of two or more nodes. Obtained mathematical model of the death of typical network structures. The attack can be represented probabilistically. Then, for any value of the probability of an attack may experience a whole range of consequences. It was found that the mathematical model of the death of networks of any size and structure is a reflection of network topologies: size, distribution connectivity nodes, the number of arcs of the network, which allows to numeri-cally define the structural robustness, as the difference between the initial size of the network and the expected number of dead nodes after the attack. It is shown that the proportion of victims of equally network nodes does not depend on the size of the network and is equal to the probability of an attack on an arc equal to the power of network connectivity components.

Keywords: communication network, network attacks, mathematical modes, deterministic and probabilistic models, survivability models. References

1. Tutte W.T. A Contribution to the Theory of Chromatic Polinomials // Canadian Journal of Mathematics. 1945. No.6. Pp. 80-91.

2. Reliability and survivability of communications systems / Editor Dudnik B.Y. Moscow: Radio and Communication. 216 p. (in Russian)

3. Vorobyev VI, Meshkovsky KA. The method of determining the survivability of communications / Telecommunications, 1998, N12. Pp. 12-14. (in Russian)

4. Gromov YY, Drachev VO, Nabatov KA, Ivanova OG. Synthesis and analysis of survivability network systems. Moscow: Ed. "Mashinostroenie - 1", 2007. 152 p. (in Russian)

5. Ptitsyn GA. Research in active transit reducing. T-Comm. 2015. No. 5. Pp. 74-78. (in Russian)

6. Strekolnikov YI. Systems survivability. SPb.: Politechnika, 2002. 156 p. (in Russian)

7. Ptitsyn GA. Survivability of dynamic networks, Tutorial / Editor Petrakov A.V. Moscow: MTUCI, 2008. 96 p. (in Russian)