CC BY
54
УДК 621.9
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ
А.В. Комаров
Произведен анализ времени обслуживания и ремонта технологического оборудования машиностроительного предприятия, определен закон распределения вероятностей времени обслуживания и его параметры.
Ключевые слова: ремонт, вероятностные характеристики.
В процессе работы технологическое оборудование машиностроительных предприятий по различным причинам выходит из строя и требует проведения технического обслуживания или ремонта, в дальнейшем будем употреблять термин обслуживание. Эту работу выполняют слесари-ремонтники. В свою очередь руководству ремонтной службы в процессе работы приходится постоянно решать вопросы планирования общей численности ремонтно-технического персонала, специализации персонала по видам работ и группам оборудования, и определять численность бригад, формируемых для обслуживания и ремонта конкретных единиц оборудования. Однако для решения всех перечисленных задач, прежде всего, необходимо установить потребное количество ремонтного персонала. Эту задачу целесообразно решать на основе методов теории массового обслуживания. Одним из важнейших понятий теории массового обслуживания и показателей процесса обслуживания является время обслуживания.
Процесс содержания в исправном состоянии оборудования предприятия (цеха) можно представить как функционирование системы массового обслуживания, потоком требований в которой является последовательность вызовов ремонтного персонала к отказавшему объекту, а временем обслуживания - длительность отдельных технических обслуживаний и ремонтов.
Длительностью обслуживания в теории массового обслуживания называют интервал времени с момента начала обслуживания до окончания обслуживания. Из-за того, что тип отказа и трудоемкость его устранения заранее не известны, время обслуживания рассматривается как случайная величина Тобс с определенным законом распределения (показательный, Вейбула, нормальный, гамма-распределение) [1].
Закон распределения определяется из опыта в результате статистической обработки данных о длительности устранения отказов. Для этого целесообразно вести журнал регистрации заявок, в котором регистрируется момент поступления заявки, момент окончания ремонтного обслужива-
ния, характер отказа и принятые меры. Из базы данных делается выборка длительности обслуживания за достаточно большой интервал времени и эта выборка подвергается статистической обработке. В процессе обработки определяются продолжительности обслуживания отдельных требований, амплитуда их колебания, происходит разбиение ее на интервалы, группирование наблюдавшихся продолжительностей по интервалам и выравнивание полученного распределения по теоретической линии.
Например, на Рудаковском механическом заводе (филиал ОАО "Тулаточмаш") принята система централизованного ремонтного обслуживания. Функционирование ремонтной службы этого предприятия была рассмотрена с позиций теории массового обслуживания, т.е. в результате структурно-функциональной декомпозиции были выделены все элементы системы массового обслуживания. На данном предприятии была осуществлена подконтрольная эксплуатация технологического оборудования, с фиксированием в журнале моментов начала обслуживания и завершения обслуживания. После проведения статистической обработки апостериорной информации, полученные данные сведены в таблицу 1.
Таблица 1
Группировка продолжительностей обслуживания оборудования
по интервалам времени
№ п/п Интер- валы времени (час.) Середины интервалов Т (час.) Частота попадания промежутков в интервал т т ■ Т Расчетная частота тр (т - тр }
тр
1 0 - 5 2,5 208 520 183,42 3,29
2 5 - 10 7,5 90 675 93,74 0,15
3 10 - 15 12,5 39 487,5 47,91 1,65
4 15 - 20 17,5 18 315 24,48 1,71
5 20 - 25 22,5 9 202,5 12,51 0,98
6 25 - 30 27,5 6 165 6,39 0,02
7 30 - 35 32,5 4 130 3,27 0,16
8 35 - 40 37,5 3 112,5 1,68 1,03
9 40 - 45 42,5 2 85 0,86 1,51
10 45 - 50 47,5 2 95 0,44 5,53
11 50 - 55 52,5 0 0 0,23 0,23
12 55 - 60 57,5 1 57,5 0,12 6,45
382 2845 ^2 = =22,71
В таблице 1 выборка длительности обслуживания разбита на двенадцать интервалов и приведена группировка зарегистрированных продолжительностей обслуживания оборудования по интервалам времени. Изменение частот по интервалам напоминает показательное распределение -часто повторяются малые продолжительности и редко встречаются большие. Это предположение подтверждает и графический анализ (рис. 1).
Рис. 1. Эмпирическая гистограмма распределения длительности обслуживания по интервалам времени и выравнивающая ее теоретическая кривая
В большинстве случаев, при исследовании реальных систем массового обслуживания, время обслуживания чаще всего распределяется по показательному закону
Ш] —у.Л.
—^ »у. е у 1 А?, (1)
п
где Ш] - число наблюдавшихся продолжительностей обслуживания, попавших в данный интервал (эмпирические частоты); п - общее число наблюдавшихся продолжительностей обслуживания (п = £ Ш] по всем интервалам); у - параметр времени обслуживания.
Параметр времени обслуживания является величиной, обратной среднему времени обслуживания требований, т.е. если время обслуживания имеет показательный характер распределения и если математическое
ожидание времени обслуживания
= Тобс, (2)
X Ш
то параметр обслуживания
у=^_ = £ш = п (3)
Тт X ' ГТ1 \ ' ГТ1 V /
обс £ шТобс £ шТобс
В этом случае дифференциальный закон распределения вероятностей для времени обслуживания будет
/ (* )=у е ~у; (4)
/(?)А? приближенно указывает вероятность того, что величина времени обслуживания (Тобс) очередного поступающего в ремонт оборудования попадет в интервал от ? до (? + А?) единиц времени.
Полной характеристикой времени обслуживания в этом случае будут интегральные функции показательного закона распределения вероятностей [2]:
Е(I) = Вер.[Тобс < ?}= 1 — е-у; (5)
1 — Е(г) = Вер{Тобс > 1}= е-у, (6)
где Е (?) - вероятность того, что обслуживание очередного поступающего в систему требования будет продолжаться меньше ? единиц времени;
1 — Е (?) - вероятность того, что обслуживание очередного поступающего требования продлится не меньше ? единиц времени.
Зная параметр у, время обслуживания с помощью этих функций может быть полностью описано количественно вероятностными методами. Доказательство показательного характера распределения времени обслуживания и определение его параметра можно производить различными методами - выравниванием эмпирического распределения наблюдавшихся продолжительностей обслуживания по показательной кривой и проверкой тесноты связи между эмпирической и теоретической кривыми с помощью критериев согласия.
Для выравнивания эмпирического распределения по показательной кривой (1) воспользуемся методом приравнивания параметра к величине, обратной среднему значению распределенного показателя (2).
Если математическое ожидание времени обслуживания
г £ шТобс 2845 П ЛЛП„
Тобс =——обс =---------= 7,4476 часа
обс £ ш 382
и если характер распределения частот действительно показательный, то параметр обслуживания должен быть равным
у = =^ = -^ = 0,1343 = 1,0744 »1 тре*.
Тобс 7,4476 час смену смену
Следовательно, распределение продолжительностей обслуживания поступающих в систему требований должно описываться показательным законом распределения с параметром у = 0,1343. Оценка параметра производилась по выборке, размером N = 382. Расчетные (теоретические) частоты (Шр) распределения времени обслуживания в каждом I -ом интервале
можно рассчитать логарифмированием формулы (1)
^ Шр1 = ^ п + \%у — у- Ц ^ е + ^ А, (7)
подстановкой в полученное выражение значения единичного интервала (А? = 5 часов), а вместо // - центральных значений каждого интервала (середина интервалов Тобс) и последующим потенцированием полученных по формуле (7) логарифмов. Значения теоретических частот приведены в табл. 1. График теоретической кривой изображен на рис. 1.
Для доказательства достоверности предположения о показательном распределении времени обслуживания можно проверить близость эмпирического и теоретического распределения частот по одному из применяемых в математической статистике критериев согласия: критерий Пирсона, Колмогорова. Для практических расчетов весьма удобно пользоваться критерием Пирсона с (хи - квадрат)
с2 = £ (ш ~Шр> У , (8)
I = 1 Шр\
где N - количество интервалов при группировке; I - порядковый номер интервала, применяемый по правилу В.И. Романовского, согласно которому расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением являются не существенными, а связь между эмпирической и теоретической кривыми можно считать удовлетворительной, если
С/2Т< 3 (9)
где - число степеней свободы, равное числу интервалов распределения N минус количество наложенных связей (для показательного распределения количество наложенных связей равняется 2, а поэтому т = N — 2).
Если
С ~ Т >3, (10)
42т
то расхождения следует считать существенными, а эмпирическое распределение - не согласующимся с выбранным теоретическим законом распределения.
В исследуемом распределении, подставляя величину критерия Пир-
2
сона (8) с = 22,71, рассчитанного в табл. 1, в формулу (9), получим
22 71 -10
22,/1_ 10 = 2,84 < 3. л/2о
Таким образом, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями можно считать не существенными, а описание эмпирического распределения показательным законом - удовлетворительным. Следовательно, время обслуживания в данной системе может быть описано количественно с помощью интегральных функций распределения вероятностей (5 и 6) с параметром п = 0,1343:
Р ^ ) = 1 - е-°,1343^,
1 - Р^) = е-°,1343^ .
Значения функций приведены в табл. 2, а их графики показаны на рис. 2 и 3.
Таблица 2
Количественное описание времени обслуживания с помощью функций
распределения вероятностей
Время ? (час.) 1 !§[! - Р Ь)] 1 - Р Ь) Р Ь)
0 0 0 1 0
1 -0,0583 1,9417 0,8744 0,1256
2 -0,1166 1,8834 0,7645 0,2355
3 -0,1749 1,8251 0,6685 0,3315
4 -0,2332 1,7668 0,5845 0,4155
5 -0,2915 1,7085 0,5111 0,4889
8 -0,4664 1,5336 0,3417 0,6583
10 -0,5830 1,4170 0,2612 0,7388
15 -0,8745 1,1255 0,1335 0,8665
20 -1,1660 2,8340 0,0682 0,9318
25 -1,4575 2,5425 0,0349 0,9651
30 -1,7490 2,2060 0,0178 0,9822
35 -2,0405 3,9595 0,0091 0,9909
40 -2,3320 3,6680 0,0047 0,9953
45 -2,6235 3,3765 0,0024 0,9976
50 -2,9150 3,0850 0,0012 0,9988
60 -3,4980 4,5020 0,0003 0,9997
70 -4,0810 5,9190 0 1
Рис. 2. График распределения вероятностей того, что обслуживание очередного поступающего в систему требования будет продолжаться меньше і час
Рис. 3. График распределения вероятностей того, что обслуживание очередного поступающего в систему требования будет продолжаться
не меньше ? час
Полученное количественное описание времени обслуживания технологического оборудования представляет, в частности, интерес для дальнейшего определения оптимального количества ремонтного персонала, статистического моделирования различных возможных вариантов органи-
зации обслуживания.
Список литературы
1. Алдохин И.П., Теория массового обслуживания в промышленности. М., «Экономика», 1970. 207с.
2. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О., Теория массового обслуживания в экономической сфере: учеб. пособие для вузов. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. 319с.
Комаров Анатолий Владимирович, канд. техн. наук, начальник ЭМС МЗП, Россия, Тула, ОАО «Тулаточмаш»
PROBABILISTIC CHARACTERISTICS OF THE DURATION OF MAINTENANCE OF
MACHINE TOOLS
А. V.Komarov
The analysis of the time service and repair technological equipment engineering enterprise, the law defined the probability distribution of service time and its parameters.
Keywords: repair, probabilistic characteristics.
Komarov Anatoly Vladimirovich, candidate of technical sciencess, chief of EMC MW, Russia, Tula, JSC "Tulatochmash."
УДК 621.922: 621.921.34
ВЫБОР КРИТЕРИЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СМЕСИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МАТЕРИАЛОВ
А.В. Лобанов
Специфика технологии изготовления алмазного абразивного инструмента методом порошковой металлургии накладывает существенные ограничения на использование традиционного подхода оценки качества смеси по ключевому компоненту. Автор предлагает новый критерий оценки качества смеси, базирующийся на информационной энтропии системы и позволяющий учесть распределение всех компонентов смесевого продукта.
Ключевые слова: алмазный абразивный инструмент, многокомпонентные порошковые смеси.
Для приготовления алмазосодержащих и безалмазных смесей, применяемые при изготовлении алмазного абразивного инструмента методом порошковой металлургии, используются те же методы смешивания, общие для всех смесей порошкообразных материалов. Однако, специфика метода порошковой металлургии, заключающаяся в наличии смеси расплавляе-
