CC BY
23
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.60-71.
УДК 519.711.3
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЖИЗНИ
Н.В. Перцев
A stochastic model of interacting populations of the particles with a limited life span is concidered. The population - size and age - dependent branching process is used for the construction the model equations. The Monte - Carlo approach for the simulation the population dynamics is presented here.
1. Введение
Вероятностные модели широко применяются при изучении динамики популяций в задачах биологии, экологии, демографии и во многих других областях естествознания. В приложениях часто рассматриваются совокупности клеток, группы молекул, особи нескольких конкурирующих видов, население различных возрастных групп, технические устройства и т. д. Все эти объекты моделирования будем обозначать в дальнейшем термином «частицы». Для построения вероятностных моделей динамики популяций используется аппарат теории случайных процессов, который подробно описан в большом количестве работ (см., например, [1] - [10]). Во многих случаях динамика моделируемых популяций существенным образом зависит от следующих факторов : 1) взаимодействие между собой частиц различных видов разного возрастного состава; 2) старение частиц и их гибель при достижении определенного возраста; 3) рождение новых частиц за счет существующих частиц, причем одна частица на протяжении своей жизни может порождать некоторое количество новых частиц. Учет указанных факторов приводит к значительным сложностям при построении моделей динамики популяций и, как следствие, не позволяет в полной мере использовать известные аналитические методы для их исследования. В этих случаях для проведения расчетов можно применять метод Монте - Карло [11], ориентированный на реализацию моделей в виде программ для высокопроизводительных ЭВМ.
В настоящей работе описывается вероятностная модель динамики популяций взаимодействующих частиц с ограниченным временем жизни. Модель
0 1998 Н.В. Перцев
E-mail: perts@omsk.edu
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
61
представляет собой разновидность марковского случайного процесса, состояниями которого являются точечные распределения, характеризующие возрастной состав популяций частиц различных видов. Построены рекуррентные соотношения, которые задают правило перехода из одного состояния в другое за некоторый промежуток времени. На основе этих соотношений разработан алгоритм статистического моделирования на ЭВМ динамики рассматриваемых популяций частиц. Указаны примеры применения представленной модели.
2. Описание модели
Будем рассматривать популяции, которые состоят из частиц видов Ад А2,..., Ат. Принимаем, что каждая частица на протяжении своей жизни может участвовать в различных взаимодействиях с частицами других видов. Интенсивности взаимодействий пропорциональны количеству участвующих в них частиц определенного возраста. В результате осуществления взаимодействия частицы могут сохраниться или погибнуть, одновременно с этим возможно рождение новых частиц нулевого возраста. Предполагаем также, что за время своей жизни либо в конце жизни частицы могут порождать новые частицы нулевого возраста.
Пусть 0 < Ti < оо означает максимально допустимую продолжительность времени жизни частиц вида Ад 1 < i < га. Для учета возрастного состава популяций частиц вида Аг- разобьем промежуток [0, тг] на /г- + 1 частичных промежутков с помощью точек 0 = т-0^ < т< ... < т< ... < т= тд 1 < г < т. Взаимодействие частиц между собой, изменение возрастного состава частиц и их гибель вследствие старения будем записывать в виде следующей схемы :
(&)
АЫ) Д АЫ+г)^ о < k < д дП) 4 ИДО), 1 < г < m, (1)
1>У ^ Д''+5>> + ИД”), 1 < j < п. (2)
В соотношении (1) первое выражение означает, что частицы вида Аг- возраста (k) ^ (fc+1)
Sik такого, что т> < Sik < т> , с течением времени переходят в следующую возрастную категорию, 0 < к < /у 1 < i < m. Второе выражение в (1) указывает на то, что частицы вида Ад достигшие предельного возраста тд погибают, порождая при этом совокупность частиц Wp®\ 1 < i < m. Совокупность Wp^ = рцА^ + ДйА^ + ... + pimAсостоит из рг1 частиц вида Ai, pi2 частиц вида А2, ... , pim частиц вида Ат нулевого возраста, 1 < i < m. Параметры Pij могут принимать неотрицательные целочисленные значения, 1 < i,j < m. Если для фиксированного 1 < i < m окажется, что рц = pi2 = ... = Pim = О, то будем писать, что Wp^ = D} понимая под D совокупность погибших частиц всех видов.
Соотношение (2) означает, что частицы видов Ад А2,..., Ат участвуют в п различных взаимодействиях между собой с интенсивностями г3 > 0,1 < j < п. При фиксированном 1 < j < п совокупность частиц Ua/^ = ссдА^1^ +
62
Н.В.Перцев. Вероятностная модель динамики...
aj2^2 “1“ ••• + 0!jmAmЗП г\ в которую входит по otji частиц вида Аг- возраста sp, О < ap < sp < bp < ту 1 < i < m, в течение некоторого промежутка времени Sj может осуществить взаимодействие между собой, 1/rj задает среднее значение Sj. В результате осуществления взаимодействия совокупность Uap переходит
в совокупность частиц у^3+8^ = (Зз1А^з1+8^ А (332А^з2+8^ А ... + (3imAmjrn+5^ соответствующего возраста sp A Sj, 0 < ар < sp A Sj < bp < ту 1 < i < га, и порождает совокупность частиц wff = д3\А^ АдрА^ А ■■■Ад]тА^т нулевого возраста. Параметры др могут принимать неотрицательные целочисленные значения, а параметры ар}(3р - значения 0 или 1, 1 < i < га, 1 < j < п. При фиксированном 1 < j < п должны выполняться неравенства (Зр < суд, 1 < i < га, причем, если др = др = ... = д1т = 0, то среди последних неравенств хотя бы одно должно быть строгим. Если для некоторого 1 < j < п окажется, что fjp = др = 0,1 < г < га, то будем писать, что y^'b+s^ д. wff = D.
В соотношении (2) может встречаться запись А^'^ D} которая означает, что частица вида Аг- определенного возраста зд, погибает в результате взаимодействия с факторами, которые в модели явно не учитываются, 1 < i < га. Такая гибель может быть также связана с эмиграцией частицы или ее превращением в частицы некоторых видов, которые в модели не рассматриваются. Гибель частиц в результате осуществления взаимодействий различных типов приводит к тому, что некоторые частицы вида Аг- могут не достигать своего предельного возраста ту 1 < i < га. Кроме того, в (2) может содержаться запись A^kk> r-A A^kk+5k) _|_ < к < т. Эта запись означает, что за время
своей жизни частица вида Ак некоторого возраста Skk может порождать совокупности W^k частиц нулевого возраста, 1 < к < га.
Состояния популяции частиц вида Аг- будем описывать с помощью точечных распределений uj^k\t), которые в некоторый момент времени t отражают возрастной состав этой популяции, 0 < к < /д 1 < г < га, to < t < Г, где [t0,T] - промежуток времени, на котором изучается динамика рассматриваемых популяций. В фиксированный момент времени t точечное распределение u\k\t) имеет следующую структуру :
4к)(1) = {(til + rjk+1\n\k)(t))}..., (tp A rjk+1\n\k)(t))}..., (tpk A rjk+1\n\k)k(t))}}
0<k< U, 1 < i < ra, (3)
где tn < ••• < tij... < tpk At- моменты рождения частиц вида Ai нуле-
I . (fc+l) Л
вого возраста, tp А т> - моменты перехода частиц вида Ад имеющих возраст sp = t — tp,T> < sp < т> , в следующую возрастную категорию,
1 С j < jk, 0 < к < /д 1 < i < m. Если к = /д то tp А = tp А означают
моменты гибели частиц вида Аг- при достижении ими предельного возраста Ti, 1 < j < jk, 1 < i < m. Положительные величины n\k\t) означают количество частиц указанного выше возраста sp, 1 < j < jk}0 < к < /д 1 < i < m. Эти величины задаются в моменты tp по совокупностям Wp®\ родившихся частиц нулевого возраста, а затем с течением времени они могут уменьшаться
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
63
вследствие участия частиц в различных совокупностях Uaj взаимодействующих частиц, 1 < i < га, 1 < j < п. При фиксированном 1 < i < m величина 1 A jk < oo задает количество элементов, входящих в точечное распределение u\k\t), а сумма n\k\t) + n^(t) + ... + n\y_(t) = (t) означает общее количе-
ство существующих в момент времени t частиц, имеющих возраст щ, такой, что тjk^ < Si < т- к+1\ 0 < k < li. Если в некоторый момент t частицы вида Аг-отсутствуют, т. е. jk = 0,x\k\t) = 0, то u\k\t) будем называть нулевым точечным распределением и писать, что u\k\t) = 0, 0 < к < /ц 1 < г < га. Отметим, что в ненулевых точечных распределениях (3) все элементы упорядочены по своим первым компонентам. В последующих выкладках будем предполагать, что в течение промежутка времени [t0,T] число частиц всех видов конечно.
Опишем далее события, которые могут приводить к изменениям точечных распределений (3). Зафиксируем момент времени t и точечные распределения u\k\t), 0 < к < /ц 1 < i < m,to < t < Т. Примем, что за интервал времени (t,t-\-h) любая совокупность Uap частиц определенного возраста Sj независимо от других существующих частиц и предшествующих событий взаимодействует между собой с вероятностью rjh + o[h),h —У 0,1 < j < п. Вероятность взаимодействия нескольких таких групп равна о(К). Вероятности осуществления различных типов взаимодействия частиц за интервал it,t + h) будем задавать следующими соотношениями. Вероятность того, что за it,t + h) произойдет ровно L взаимодействий j - го типа равна о(К) при L > 2 и qj(x(t))h + o(h) при L = 1, h —у 0, где
9j(x(t)) = гз П Xi(t,aji,bji), 1 <j<n. (4)
i=l,cxjt^0
Вероятность того, что за интервал it,t + h) не произойдет взаимодействия ни одного из п типов равна 1 — Q(x(t))h + о(й), h —У 0, где
я(х(*)) = J2q^x(t))- (5)
j=i
В формуле (4) величина Xi(t,ay,by) означает количество частиц вида Аг- определенного возрастного диапазона 0 < ay < sy < by < тд 1 < i < га, 1 < j < n. В частности, величина Xi(t) = жг-(ф 0, тг') задает общее количество частиц вида Ад 1 < г < га. Примем, что при фиксированном 1 < j < п промежуток [ay, by) включает в себя один или несколько частичных промежутков , ту ), иначе,
[ay,by)= U [г^гГ\ 1 < г < ™, (6)
keFJt
где Fy = {к : еу < к < dy}, 0 < еу < dy < li - заданы, 1 < i < m. Заметим при этом, что
хi(t,ay,by) = 1 <г <m.
keFJt
(7)
64
Н.В.Перцев. Вероятностная модель динамики...
Определим случайную величину ip(t) как продолжительность времени до первого осуществления одного из п типов взаимодействия частиц между собой, начиная с момента t. Предполагаем, что на промежутке [A, A + ip(t)\ не происходит никаких событий, приводящих к изменениям точечных распределений (3), за исключением того, что в момент t -\- фit) осуществляется взаимодействие частиц с номером г/(А). Возраст всех частиц, существующих в момент А, увеличивается на величину ф(А). Если Q(x(t)) > 0, то величина ф(А) имеет экспоненциальное распределение
Р{фф) > s} = exp(-Q(x(t))s), s > 0, (8)
а величина uit) задается законом распределения
P{v(t) = j} = qj(x(t))/Q(x(t)), l<j<n, (9)
при условии, что взаимодействие частиц произошло.
При фиксированном 1 < i < m во взаимодействии с номером uit) могут принимать участие частицы вида Аг- возраста а„ру < щ < фру, причем участие любой из таких частиц предполагается равновероятным. Из (6) и (7) следует, что в данном взаимодействии участвует частица из возрастного диапазона с номером Ауру, который имеет закон распределения
P\J^v(t)i — к} — х- (А)/жг'(А, оуру, Ауру), к £ Тфру, 1 Д 1 Д пт-- (Ю)
(t) ')
Для фиксированного Ауру в точечном распределении v[t)l it) указанной частице соответствует элемент
дСду)
(t) = (t
+ И
(C(ty+!)
Оду)
igv(t)i
порядковый номер которого дуру является случайной величиной с распределением
Р{ддрг = д} =
П
/ i \ / (^(А)г)/,\ 1 Г)
{t)/xt (А), д = 1,2
1 < i < m.
(П)
Определим элемент ру(А) по правилу :
(7
(к)
ЕЙ
(*) = &9ДД + TlK(tb+l\n?gl(^- (t) - 1),
если ауру = 1, Д,ру = 0, к = Ауру и ру(А) = 0 в остальных случаях, 0 < к < /д 1 < i < m. Пренебрегая рождением частиц нулевого возраста, можно записать, что точечные распределения u\k\t) в момент А + Д(А) переходят в точечные распределения <-o\k\t + ф(А)), задаваемые соотношениями :
^ik\t + Ф(*)) = wJfc)(0V<7ipy(0>
0 < к < к, 1 < i < m.
(12)
Символ ” V” в (12) означает, что в случае ауру = 1,Д,ру = 0,А; = Ауру элемент Д^ру^Д) точечного распределения to^k\t) при > 1 заменяется
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
65
на элемент с^руД), а при п\д"^у {ф) = 1 он исключается из uj^k\t), 1 < i < m. Если же CTylpit) = 0, то соответствующие u\k\t) в момент t + ф{Ф) сохраняются неизменными, 0 < к < /у 1 < i < m. Введем далее элемент который будем задавать следующим образом : = 0, если yvp)i = 0 и
®дргФ) = (* + ФФ) + Е(1)Л up)i)i если yv(t)i > 0,1 < i < m, (i/(t) фиксировано).
При 7j,(tp > 0 элемент соответствует родившимся в момент t ф(ф)
частицам вида Аг- нулевого возраста, 1 < i < m. Предположим, что частицы вида А{ возраста (J = т> < Si < т> не участвуют во взаимодействии частиц с номером i/(t), 1 < i < m. Тогда можно записать, что точечные распределения (3) в момент t + ip(t) переходят в точечные распределения следующего вида :
^!О)С0 ^ Ч'0)С + ФФУ) = Ч'0)С) + 1 <г<т. (13)
Здесь символ ” + ” означает, что Д°Д) дополняются ненулевыми кото-
рые размещаются вслед за их последними элементами, 1 < i < т. Если же при некотором 1 < к < т = 0, то Д°Д) в момент t + ф{Ф) остаются не-
изменными. Объединяя далее соотношения (12) и (13), получим, что точечные распределения (3) изменяются следующим образом :
40)(1) -+ + Ф{Ф) = Ч(0)Д^Р)Д) + в%г(Ф’
u{ik\t) Wik)(t + фф)) = Jk)(t)Va{k{])t(t), 1<к< ф (14)
1 < i < т.
Операции над Д°Д), обозначенные символами ”V” и ” + ”, применяются последовательно слева направо, 1 < i < т. Очевидно, что полученные точечные распределения u\k\t являются упорядоченными по первым компонентам
своих элементов, 0 < к < /ц 1 < i < т.
Если окажется, что Q(x(t)) = 0, то будем полагать, что t + ф{к) = Т + max(ri, т2,..., гт), т. е. за оставшийся промежуток моделирования [t,T] все точечные распределения (3) не будут изменяться вследствие взаимодействия частиц.
Точечные распределения (3) могут изменяться не только за счет взаимодействия частиц, но и за счет изменения возраста частиц. При этом, частицы вида Ад завершающие свое существование в некоторый момент t + тц независимо от других частиц и предшествующих событий могут порождать совокупности частиц Wp®\l < i < m. Введем случайную величину £(t) как продолжительность времени до первого перехода некоторой совокупности частиц из одного возрастного класса в другой, начиная с момента t. Предположим, что на промежутке [t}t + £(t)] не происходит событий, связанных с взаимодействием частиц, только лишь возраст всех существующих частиц увеличивается на величину Iфф. Для фиксированного 1 < i < m определим множество индексов Gi(t) = {к : u\k\t) ф 0,0 < к < /Д. Примем, что хотя бы одно Gi(t) не пусто,
66
Н.В.Перцев. Вероятностная модель динамики...
1 < i < га. Тогда можно записать, что
А + ДА) = min{(Ti + r/fc+1)), k £ Gt(t) ф 0,1 < i < ra}, (15)
где величины Ац + r/fc+1^ задают ближайшие к А моменты перехода частиц определенного возраста в следующие возрастные классы, k £ Gi(t) ф 0,1 < i < га. Некоторые из этих моментов времени могут быть одинаковы, что обусловлено возможностью одновременного рождения частиц различных видов и, кроме того, возможностью совпадения границ отдельных возрастных диапазонов.
Пусть Ei(t) = {к : Ац + т^к+1^ = А + ДА), А; £ (Д(А) ф 0}, 1 < i < m. По построению хотя бы одно Ei(t) не пусто, 1 < г < ш. Если для фиксированного 1 < i < m Ei(t) ф 0, то элемент уу-^(А) = Дн + т\к+1\ n<ii\t)) исключается из Lu^k\t),k £ Ei(t), a u\k+l\t) дополняется элементом f]\k+l\t) = (Агд(д.+2) + тг- % гг- ' который размещается вслед за последним элементом этого
точечного распределения, Щ+2) = ^н,игд(Д2)С) = пгДС),£; £ Et(t),k ф 1г. В остальных случаях положим, что уг-^(А) = 0,?Д+1Д) = 0, 0 < к < Д 1 < г < га. Вариант А; = /г- £ ЕДА) ф 0 означает, что гаг-[^(А) частиц вида Аг- достигли предельного возраста и погибают, 1 < i < m. Каждая из таких частиц порождает совокупность ПфД частиц нулевого возраста, 1 < i < т. Всего же рождается £j(t) = Глеяр) Д)/°й иастиц вида Aj нулевого возраста, 1 < j < т, где H(t) = {i : li £ Ei(t) ф 0,1 < г < га}. Определим элемент тгj°\t) по формуле : Д°Д) = (А + ДА) + тДщД)), если еДА) > 0 и Д°Д) = 0, если еДА) = 0 или при всех 1 < i < m U ф ЕДА) ф 0,1 < j < m.
Используя введенные выше обозначения, можно записать, что точечные распределения (3) в момент времени A + ДА) изменяются следующим образом :
^(0)С) + Ф)) = ^(0)(С - xf\t) + ^(0)со,
+ Да)) = Jk\t) - xf\t) + 1 < k < U, (16)
1 < i < ra.
Символы ” — ” и ” + ” в (16) означают, соответственно, что из u\k\t) исключаются ненулевые элементы уДД), а потом u\k\t) дополняются ненулевыми элементами 7г|°Д), r/^k\t), которые размещаются вслед за последними элементами этих точечных распределений, 0 < к < Д 1 < i < m. Если же при некоторых 0 < £; < Д1 < г < га, указанные выше элементы являются нулевыми, то соответствующие u\k\t) в момент A + ДА) остаются неизменными. Нетрудно заметить, что описанные выше точечные распределения ДДа + ДА)), 0 < к < Д 1 < г < га, являются упорядоченными по первым компонентам своих элементов.
Пусть для всех 1 < г < m Gi(t) = 0. Это означает, что в момент времени А отсутствуют частицы всех видов, т. е. жг-(А) = 0, а точечные распределения (3) являются нулевыми, 0 < к < Д 1 < г < га. В этом случае будем говорить, что рассматриваемые популяции выродились к моменту времени А. Отсюда следует,
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
67
что на промежутке времени [t,T] все точечные распределения u\k\t) остаются неизменными и равными u\k\t) = 0, 0 < к < /у 1 < i < m. Примем здесь, что t + £(t) = Т + max(Ti,T2, ...,тт).
Рассмотренные выше события, связанные с гибелью и рождением частиц, приводят к изменениям точечных распределений (3) в момент времени t-\-p(t), где pit) = ip(t), если ip(t) < £(t) и p{t) = £(t), если ip(t) > £(t). На промежутке времени [t, t + (/?(t)) u\k\t) сохраняются неизменными, а в момент t + p(t) они переходят в u\k\t + p(t)), которые задаются формулами (14), если ф(^) < £(t) и (16), если ip(t) > <^(t), 0 < к < /г, 1 < i < m. Для завершения построения модели примем, что в начальный момент времени t0 заданы точечные распределения ^'^(^0)5 0 < к < /у 1 < i < га, характеризующие возрастной состав первоначально существующих частиц всех видов. Изменение точечных распределений (3) на промежутке [t0,T] может быть описано с помощью последовательности {tj,LU;k\tj), 0 < к < li, 1 < i < m},j = 0,1,2, ...,1V, которая задается рекуррентными соотношениями. Здесь ПД2,---Длг - моменты изменения точечных распределений (3). Эти моменты определяются следующим образом :
tj = Д-i + J = 1,2,..., IV, (17)
где p(tj_ 1) = Д(ф_ 1), если ф(ф_Д < £(£j_i) и (/Дф-i) = ^(Д-i), если
ip(tj-i) > ^(Д-i), а IV такой номер, что 1дг < ГДдг+i > Т. Величины ip(to), Д(П),..., Д(^дг), <Дф), £(П),..., £(П\г) приняты условно независимыми, а законы их распределения описываются формулами (8), (15) при заданных iL>\k\t0)} iL>\k\ti)}..., c<4^(tjv_i), с учетом соотношений Q(x(tj)) = 0,(Тг'(ф) = 0
при некоторых j = 0,1, 2,..., IV, 0 < к < /г-, 1 < г < ш. Точечные распределения (3) находятся по формулам (14) и (16), применение которых приводит к следующим соотношениям. Пусть ф(ф_ 1) < ^(ф_ 1). Тогда
, 1 < i < m. (18)
Если же 1) > £(tj-1), то
1 -К> >< 1 1 ‘^-1 -к> 3е II 1 -K> 5? + 1 < к < U,
+ ni 1 < i < m. (19)
Элементы
xf\tj -1), т-0)(Д-1 )> #}(Д-1), (20)
используемые в (18), (19), строятся по указанным выше для них формулам при каждом фиксированном £0, П, •••, Hv-i- Все случайные величины, входящие в формулы для элементов (20), являются условно независимыми при заданных ...,uf\tN-i), 0 < к < /г, 1 < i < m. В формулах (18) - (20) индекс j пробегает значения 1, 2,..., IV.
68
Н.В.Перцев. Вероятностная модель динамики...
Соотношения (18), (19) формально позволяют записать формулу для переходной вероятностной функции
Р^(и, В) = P{u(tj) е B/u(tj-i) = и}, (21)
где uj(t) = 0 < к < /у 1 < i < га), В - множество допустимых состоя-
ний рассматриваемых популяций частиц. На основе (21) можно указать также соотношения для переходной вероятностной функции из состояния сг(ф) в некоторое состояние w(tk), к = 1, 2,IV, (см. гл. 3 работы [8]). Однако практическое применение этих соотношений для нахождения вероятностных характеристик количества частиц различных видов является затруднительным. Поэтому для исследования динамики рассматриваемых популяций можно использовать метод статистического моделирования (метод Монте - Карло). В следующем разделе описан алгоритм, который позволяет реализовать описанную модель на ЭВМ.
3. Алгоритм моделирования
Зафиксируем моменты времени Z = {z0, щ,..., zj}, в которые нас интересуют состояния ioit) моделируемых популяций, z0 = t0 < zj = Т. Зададим начальное состояние lo(zq) популяций и все параметры, входящие в описание модели (1), (2). Схема алгоритма имеет следующий вид. Положим t = z0. Далее выполняем последовательность действий.
1) . Вычисляем по формулам (4), (5) величины q3(x(t))}l < j < n,Q(x(t)). При Q(x(t)) > 0 генерируем случайное число ip(t) = — (In ui)/Q(x(t)), где и\ - равномерно распределенная на (0,1) случайная величина. Если Q(x(t)) = 0, то полагаем, что ip(t) = 2Т + max(ri,r2, ...,тт). Далее по формуле (15) находим величину t + ^(t), если только хотя бы одно из множеств Gi(t) не пусто, 1 < i < га. В противном случае принимаем, что t + £(t) = Т + max(ri, r2,..., тт).
2) . Полагаем t + <p(t) = t + ip(t), если t + ip(t) < t + £(t) и t + <p(t) = t + £(t) в противном случае. Пусть для некоторых элементов zj\, zl2} •••, Zjk множества Z справедливы неравенства t < z3ц < z]2 < ••• < Zjk < t + <p(t). Положим тогда cj(zji) = oj(zj2) = ■■■ = u{z]k) = ^(t)- Если Zjk = zt, to заканчиваем вычисления, иначе переходим к следующему шагу.
3) . Если t-\-ip(t) < то выбираем номер типа взаимодействия частиц uit)
из условия
v(t) — l v(t)
Яз(х(*)) < u2Q{x(t)) < ^2qj(x(t)), 1 < u(t) < n,
3=1 3=1
где u2 - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1) и не зависящая от и\. Для фиксированных j = v(t), 1 < i < га, формируем элементы cr^\t) по описанным в и. 2 правилам. В случае ащ = 1,/Зд = 0 находим номер к = кд возрастного диапазона частицы вида Ад участвующей в j - м взаимодействии.
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
69
Для этого фиксируем набор Fy = {к : еу < к < dy}7ey7dy - заданы. Далее выбираем номер к из условия
к — 1 к
^ ^ ^ i (^) ^ 'М'ЗХ{ {t •)&ji 5 bji) ^ ^ ^ — & — djii
v=ejt v=ejt
где и3 - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1) и не зави-сягцая от u4lu2. Для полученного к устанавливаем элемент Ay\t), соответствующий рассматриваемой частице. Номер этого элемента g = gy находим из соотношений
Л n\v(t) < u4x\k)(t) < ^ nfj (t), 1 < g < jk,
v=l v=l
где u4 - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1) и не зависящая от u4,u2,u3. Далее формируем элементы 0y\t), 1 < i < m, по описанным
в п. 2 формулам. После этого строим точечные распределения <-o\k\t + Д(Д), используя формулы (14), 0 < к < /у 1 < i < m.
4) . Если t + ip(t) > t + £(t), то формируем элементы Д°Д), 7г|°Д), уД (t), g\k\t)^ 1 < А; < /у 1 < г < m, но описанным в п. 2 формулам. Затем строим точечные распределения u\k\t + £(£)), используя формулы (16), 0 < к < /г-, 1 < г < т.
5) . Полагаем t = t + ДД и возвращаемся к шагу 1).
Приведенная схема вычислений позволяет построить одну реализацию моделируемого процесса в заданные моменты времени Z. Многократное применение этой схемы дает возможность оценить вероятностные характеристики количества частиц различных видов с помощью известных статистических методов.
В заключение сделаем несколько замечаний относительно реализации на ЭВМ приведенного выше алгоритма.
A) . Для поддержания точечных распределений (3) можно применять двунаправленные списки, при этом необходимо осуществлять контроль за использованием динамически распределяемой памяти. В каждом из списков рекомендуется выделить элемент, разбивающий список на две части, отвечающие примерно равному количеству частиц. Это приводит к сокращению времени поиска описанного на шаге 3) элемента дД(Д.
B) . При значительном количестве частиц может оказаться, что время pit) настолько мало, что величины t и t + p{t) будут неразличимы при выполнении операции сложения на ЭВМ. Эта ситуация также должна контролироваться в ходе вычислений.
C) . Некоторые схемы взаимодействия частиц (2) могут включать в себя доста-
точно большое количество типов взаимодействия п. В этом случае для поиска номера u it) требуется специальная организация вычисления сумм Qj(x(t))
и проверка указанных на шаге 3) неравенств относительно u2Q{x{t)).
70
Н.В.Перцев. Вероятностная модель динамики...
4. Заключение
Описанная выше модель использовалась для проведения расчетов по оценке вероятностных характеристик некоторых процессов и систем. В частности, рассматривались вероятностные модели процессов иммунного ответа при заболеваниях. В одной из моделей исследовался рост популяции лимфоцитов в условиях антигенной стимуляции. Модель включала частицы m = 46 видов, которые участвовали в п = 50 типов взаимодействия. Общее количество частиц составляло порядка 104 — 105 частиц. Аналогичная модель была использована для описания процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток в селезенке облученных мышей. Кроме того, одна из модификаций модели применялась для прогнозирования потребностей регионов в педагогических кадрах. Результаты исследований с помощью указанных моделей представлены в работах [12] - [17].
Литература
1. Бартлет М.С. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Иностранная литература, 1958.
2. Баруча - Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. -М.: Наука, 1969.
3. Дорогое В.И., Чистяков В.П. Вероятностные модели превращения частиц. -М.: Наука, 1988.
4. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.
5. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. - М.: Наука, 1987.
6. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971.
7. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. 1982. Т.264. N 2. С.306-308.
8. Харрис Е. Теория ветвящихся случайных процессов. - М.: Мир, 1966.
9. Jagers Р. Branching processes with biological applications. - London, Wiley and Sons, 1975.
10. Nisbet R., Gurney W. Modelling Fluctuating Populations. - New York, Wiley and Sons, 1982.
11. Ермаков C.M., Михайлов F.A. Курс статистического моделирования. - М.: Наука, 1976.
12. Перцев Н.В. Вероятностная модель инфекционного заболевания. - Препринт N 107. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
71
13. Перцев Н.В. Статистическое моделирование процессов иммунного ответа // Материалы 7 Всесоюзного совещания «Методы Монте - Карло в вычислительной математике и математической физике». - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.
14. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. 2-е изд. - М.: Наука, 1985.
15. Перцев Н.В. Некоторые результаты математического моделирования процессов размножения и дифференцировки стволовых кроветворных клеток в селезенке облученных мышей // Математические модели в иммунологии и медицине. - М.: Мир, 1986. С.199-211.
16. Перцев Н.В., Жуков С.И. Социально - экономические исследования в народном образовании Севере - Казахстанской области: Отчет по НИР. Петропавловский педагогический институт, 1993.
17. Перцев Н.В. Математическое моделирование потребностей регионов в педагогических кадрах // Вестник Омского университета. 1997. N 3. С.21-23.
