Научная статья на тему 'Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга'

Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
176
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛЬ ИЗИНГА / ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД / ГАМИЛЬТОНИАН / МОДЕЛЬ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ-ВИЛЬСОНА

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бородихин В. Н., Вакилов А. Н., Прудников В. В.

For the first time the critical parameters of the effective Hamiltonian for weakly disordered three-dimensional Ising model are determined by Monte Carlo simulation.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бородихин В. Н., Вакилов А. Н., Прудников В. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга»

Математические структуры и моделирование 2001, вып. 8, с. 56-65

УДК 53.072+536.425

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭФФЕКТИВНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА СЛАБО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ

ИЗИНГА

В.Н. Бородихин, А.Н. Вакилов, В.В. Прудников

For the first time the critical parameters of the effective Hamiltonian for weakly disordered three-dimensional Ising model are determined by Monte Carlo simulation.

1. Введение

Исследование критического поведения неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры представляет большой теоретический и экспериментальный интерес. Это обусловлено тем, что большинство реальных твердых тел содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем и, в частности, может существенно сказываться на поведении систем при фазовых переходах. С другой стороны, центральной концепцией теории фазовых переходов и критических явлений является принцип универсальности, т.е. независимость термодинамических характеристик различных систем при фазовых переходах от различий в значениях мелкомасштабных параметров и разделение всех систем на небольшое число классов универсальности в зависимости от пространственной размерности системы и симметрии его параметра порядка. В случае неупорядоченных систем до сих пор остался невыясненным вопрос: являются ли такие характеристики критического поведения, как безразмерные амплитуды взаимодействия флуктуаций параметра порядка, и критические показатели универсальными, т.е. не зависящими от концентрации дефектов структуры вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек для значений амплитуд взаимодействия, определяющая непрерывное изменение критических показателей с концентрацией.

Исследования показали [1], что присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромаг-шп пых материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с

© 2001 В.Н. Бородихин, А.Н. Вакилов, В.В. Прудников

Омский государственный университет

Исследования поддержаны грантами РФФИ (№00-02-16455) и Минобразования РФ

(Е00-3.2-43).

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

57

показателем a > 0, Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга.

Теоретико-полевое описание критического поведения слабо неупорядоченной модели Изинга, проведенное непоередетвенно для трехмерных систем (<1 = 3) в высокопетлевых порядках приближения теории (5-ти петлевом [2] и 6-ти петлевом [3]) с применением методов суммирования получаемых асимптотических рядов, позволило с наибольшей доступной к настоящему времени точностью получить значения безразмерных амплитуд взаимодействия флуктуаций параметра порядка дц и иц в неподвижной фиксированной точке ренормгруп-повых преобразований модели, задающих ее критические свойства. Так, в соответствии с [3] д* = 36,72(32), и* = 11,89(30), Данные значения отражают главную особенность критического поведения, характеризующегося аномально сильным взаимодействием флуктуаций параметра порядка. Поэтому возникает вопрос о сходимости рядов теории возмущения и насколько адекватно результаты применения методов суммирования могут соответствовать реальным критическим характеристикам системы. Вычисление критических параметров д* и и* эффективного гамильтониана непертурбативным способом представляет большой интерес.

Экспериментальные исследования неупорядоченных систем, таких как кристаллические смеси одноосных 11зпиго-подобных антиферромагнетиков (

MnF2) с немагнитными материалами (ZnF2), показывают существенное отличие значений критических показателей для неупорядоченных систем от соответствующих показателей однородных систем, В частности, для материалов l-'i ,.Zio были измерены значения критических показателей у = 0,70(2), 7 = 1,34(6), а для материалов MnxZn^xF2 v = 0,715(35), 7 = 1,364(76). При этом многочисленные экспериментальные оценки демонстрируют независимость значений критических показателей от концентрации примесей (см, приведенные в [3] таблицы измеренных показателей из широкого ряда экспериментальных работ). Поскольку возможности теоретического подхода ограничены описанием слабо неупорядоченных систем, проверка данных результатов методом компьютерного моделирования имеет большое значение.

2. Модель

Известно, что исходная неупорядоченная модель в критической области термодинамически эквивалентна О(т) симметричной модели Гинзбурга- Ландау-Вильсона, определяемой эффективным гамильтонианом:

Я

ddx

ГПп

ФиФ)) + —ф) +

V(x) о 50/44

f Ф)

(1)

где <д(х) - поле т-компонентного параметра порядка, V(x) - примесный потенциал, ml ~ Т ^ Тс(р), Тс(р) - критическая температура разбавленного магнетика, зависящая от концентрации спинов р, д0 - положительная константа.

58

В.Н. Бородихин, А.Н. Вакилов, В.В. Прудников.

После применения процедуры репличного усреднения по гауееовеки распределенному потенциалу случайного поля примесей гамильтониан принимает вид:

Н,

repl

Y^(d^a(x)f +

a=l

ГПп

+ |уХ^“(Я:

a=1

\2\2

a= 1

Щ

4!

п 9

(X](^a(^))2)

а=1

(2)

где индекс а нумерует реплики (образы) однородной составляющей в гамильтониане неупорядоченной модели (1), а дополнительная вершина щ, возникшая в (2), задает эффективное взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов, В пределе и -д 0 данная модель термодинамически эквивалентна исходной неупорядоченной модели.

После применения процедуры перенормировки — усреднения по мелкомасштабным флуктуациям поля <д(х) и последующего масштабного преобразования, сопровождающегося перенормировкой поля параметра порядка в Z раз, устраняющей расходимость модели в критической точке, гамильтониан принимает вид:

Hr

П

а=1

т|

2

П

'YlVaRixf +

а=1

^5>*яМ2)2

а=1

THrUr

4!

п 2

а=1

(з)

где индекс R обозначает перенормированные величины, <д ~ ZZA у ц. Z,Р = \ иги — нормировочный множитель, у - восприимчивость, Ur = 3i;y2/£d, £ - корреляционная длина, связанная с перенормированной массой соотношением т| =

1/е2-

Процедура ренормгрупповых преобразований модели характеризуется наличием предельной неподвижной точки (фиксированной точки) в пространстве безразмерных амплитуд взаимодействия флуктуаций параметра порядка цд и ur, которая задает ее критические свойства и позволяет определить критические показатели для основных термодинамических и корреляционных функций системы. Как отмечалось выше, в шестипетлевом приближении [3] д* = 36,72(32), и* = 11,89(30).

3. Численная методика и результаты

Значения эффективных амплитуд взаимодействия флуктуаций могут быть получены методами компьютерного моделирования путем вычисления различных корреляционных функций или моментов функций распределения для параметра порядка, Монте-Карло-результаты в критической области для нетривиальной фиксированной точки однородной модели Изинга [4], [5] находятся в хорошем соответствии с результатами теоретико-полевого подхода.

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

59

В настоящей работе впервые методом Монте-Карло определены координаты фиксированной точки эффективного гамильтониана (3) для концентрации спинов р = 0, 95,

Рассматривается трехмерная модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с размерами L с наложенными периодическими граничными условиями, С узлами решетки связаны спины оц принимающие значения ±1, и немагнитные атомы примеси (пустые узлы с <т,- = ()). Данная система описывается гамильтонианом:

где Jij - константа обменного ферромагнитного взаимодействия, р* - случайная переменная, описываемая функцией распределения

с р = 1 — с, где с - концентрация примеси.

Примесь равномерно распределяется по всей системе, и ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации в процессе моделирования системы. Концентрация спинов определяется суммированием абсолютных значений спинов по всем узлам решетки

При создании спиновой конфигурации со случайно распределенными примесями в решетке возникают несвязанные геометрические кластеры узлов со спинами. При концентрации спинов р больших порога спиновой перколяции рс в системе практически всегда существует спиновый кластер, характеризующийся общей связностью (протеканием) с одной грани решетки на другую грань, и какое-то количество изолированных кластеров, содержащих относительно небольшое число спинов, В пределе бесконечно большого размера решетки вклад в магнитные характеристики системы будут давать только скоррелированные спины бесконечного перколяционного кластера, поэтому будет разумным при вычислении критических характеристик не учитывать вклад от узлов, не имеющих связи с перколяционным кластером. Такая процедура позволяет уменьшить «шум» от спинов кластеров конечного размера.

Для распределения спинов с заданной концентрацией р по узлам решетки использовался алгоритм выращивания перколяционного кластера Хаммере, ш-Лиса-Александровица [6]. Практические детали реализации данного алгоритма следующие, В центре кубической решетки размещается затравочный спин. Шесть соседних узлов образуют «периметр» затравочного спина. Случайным образом выбирается узел из «периметра». Затем с вероятностью р этот узел занимается спином, а его соседи добавляются в «периметр», В противном случае узел остается свободным (примесным). Чтобы узлы решетки оставались

(4)

Р(р%) = P$(Pi -!) + (! “ Pi)s(Pi)>

(5)

i=1

60

В.Н. Бородихин, А.Н. Вавилов, В.В. Прудников.

свободными с вероятностью 1 — р, данный узел больше не проверяется. Если узел уже занят спином, то определяется, нет ли новых непроверенных узлов «периметра». Процедура повторяется до тех пор, пока не будут просмотрены все узлы периметра,

В основе компьютерного моделирования статистических процессов лежит метод Монте-Карло, суть которого заключается в использовании случайных чисел для машинной имитации вероятностных распределений, В данной работе для получения последовательных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа, который по сравнению с традиционным для метода Монте-Карло алгоритмом Метрополиса позволяет получать значительно менее скоррелированную последовательность спиновых конфигураций. Известно, что время коррелляции между двумя состояниями системы с линейным размером L вблизи критической температуры ведет себя как т ~ Lz. При этом для алгоритма Метрополиса показатель zMetropolis — 2, а для алгоритма Вольфа zwoif — 0, 5.

Примененный в работе вариант алгоритма Вольфа состоял в следующем, В системе случайным образом выбирался спин и переворачивался. Затем рассматривались ближайшие соседи спина, и если они еонаправлены с этим «центральным» спином (неперевернутым), то с вероятностью 1 — ехр(ф2/3), где /3 = 1 /'/' они также переворачивались, а их координаты заносились в стек. После того, как были проверены соседние спины, спин, координаты которого были занесены в стек последними, выбирается «центральным», и вся процедура затем повторяется, Процесс повторяется до тех пор, пока стек не окажется пустым, что соответствует полному перевороту кластера Вольфа, По данному алгоритму реализуется марковский процесс и с соответствующей вероятностью генерируются конфигурации спинов.

Для уменьшения корреляций спиновых конфигураций вычисление намагниченности и других термодинамических величин осуществлялось через три переворота кластера Вольфа, что условно можно назвать одним Монте-Карло--шагом,

В самом начале процесса все спины полагались еонаправленными (что соответствует состоянию системы при Т = 0), Процедуре установления термодинамического равновесия в системе, соответствующего температуре Т, отводилось 104 шагов Монте-Карло,

Поскольку моделируемая система являлась неупорядоченной, кроме усреднения по спиновым конфигурациям проводилось усреднение по различным примесным конфигурациям, В данной работе использовалось 100 примесных конфигураций, Для проведения статистического усреднения каждой примесной конфигурации сопоставлялось 105 спиновых конфигураций или Монте-Карло-шагов.

Для каждой примесной конфигурации вычислялись корреляционная длина £ и восприимчивость у по формулам [7]:

1,

(6)

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

61

х : (х[,Х2,хз) с последующим усреднением по всем примесным конфигурациям. Эффективные амплитуды взаимодействия флуктуаций параметра порядка Ur и дц в гамильтониане (3) вычислялись при усреднении по всей совокупности примесных конфигураций следующих выражений:

9r

(9)

Ur

Зх2 №f) - (^2)2

(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где (...) означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта -усреднение по примесным конфигурациям. Индексы а и /3 характеризуют спиновые конфигурации для различных реплик неупорядоченной системы размера L, моделируемых одновременно при одной и той же температуре и отличающихся различными начальными конфигурациями.

Для системы со спиновой концентрацией р = 0, 95 измерения проводились при температурах Т = 4, 275; 4, 285; 4, 295; 4, 315; 4, 335 для решеток с различными L. Мы использовали значение критической температуры фазового перехода в решетке бесконечного размера Тс = 4,2571, найденное в работе [8]. В табл, 1 приведены найденные значения корреляционной длины £, восприимчивости X и вершин д и и при всех вышеперечисленных температурах для решеток с размерами L, указанными в таблицах.

Из приведенных в таблице данных видно, что чем дальше температура системы отстоит от Iтем для меньших размеров решетки L измеряемые величины достигают своего максимального асимптотического значения. Так, для ближайшей к критической температуре Т = 4, 275 Lmax = 100, тогда как для Т = 4, 335 Lmax = 45, Это связано с уменьшением флуктуаций параметра порядка и определяющего флуктуационного вклада в измеряемые величины при удалении от критической температуры,

В конечной системе не может проявиться настоящий фазовый переход. Тем не менее можно ожидать, что если £,(’/') меньше линейного размера L системы, то конечная система будет правильно передавать свойства бесконечной системы при применении методики конечно-мерного скейлинга [5], которая позволяет осуществить экстраполяцию результатов для решетки размера L на систему бесконечного размера для каждой отдельной температуры. Алгоритм процедуры

62

В.Н. Бородихин, А.Н. Вавилов, В.В. Прудников.

Таблица 1. Зависимость физических величин от размеров системы L для различных

температур

т L е X 9 и

45 6, 58 ±0,02 203, 9 ±0,36 30, 531 ±2, 98 2,157 ± 1,54

4,335 40 6,4 ±0,026 194, 67 ±0,414 29, 93 ±2, 74 3,1 ± 1,83

30 6, 241 ±0,036 189,134 ±0,57 29, 31 ±2, 56 6, 316 ±2, 65

20 5, 753 ±0,005 169, 32 ±0,78 25, 2 ± 1,42 15, 335 ±4,16

50 8, 08 ±0,027 304, 563 ±0,52 30, 668 ±3,18 2,431 ± 1,8

45 7, 9 ±0,03 290, 74 ±0,567 30, 087 ±2, 86 3,093 ±2, 007

4,315 40 7, 554 ±0,03 271,176 ±0,55 29, 72 ±2, 36 3,37 ±2, 09

30 7, 305 ± 0, 045 262, 26 ±0,84 28,175±1,64 8, 58 ±3,4

20 6,45 ±0,052 213, 736 ±0,91 22, 84 ±0,94 14, 82 ±4, 386

65 10, 646 ±0,04 522, 64 ±0,99 30, 72 ±3,53 3,94 ±2, 7

60 10,468 ±0,007 509, 02 ±0,68 30, 528 ±2, 02 6, 031 ± 1,81

4,295 50 10, 322 ±0,009 503, 635 ±0,86 29,515 ±1,46 10, 02 ±2, 35

40 9, 978 ±0,01 482, 76 ± 1,05 27,439 ±0,96 16,61 ± 2,915

30 9,21 ± 0,011 426, 74 ± 1,16 23, 513 ±0,59 26, 04 ±3,66

20 7, 547 ±0,01 300,19 ±0,88 18, 583 ±0,3 27, 29 ±3,7

80 13, 319 ±0,06 809, 29 ± 1,794 30, 544 ± 3, 9 6,486 ±3,68

70 13,133 ±0,072 803, 214 ± 2,24 29, 795 ± 3, 24 9, 51 ±4, 77

4,285 60 13, 049 ±0,05 800, 37 ±2,453 29, 335 ±2, 21 12, 77 ±5,3

50 12, 626 ±0,1 766, 61 ±3,237 27, 006 ± 1,94 24, 76 ± 7,42

40 И, 868 ±0,11 696, 263 ±3,46 24,005±1,38 34, 02 ±8, 7

30 10, 685 ±0,1 585, 66 ±3,01 19, 887 ±0,85 36, 94 ±8, 93

100 19, 034 ±0,091 1652, 31 ±3,934 31,452 ±2, 68 10, 667 ±5, 655

90 18, 8 ±0,09 1618, 31 ±4, 9 29, 54 ± 2,31 11, 019 ±5, 73

80 18, 6 ±0,048 1612, 87 ±4, 25 28,46 ±2, 35 16, 83 ±6,49

4,275 70 18, 046 ±0,12 1539, 91 ±5,175 27, 29 ± 1,49 21, 68 ±8, 22

60 17,488 ±0,02 1483, 25 ±3,77 24, 925 ±2, 86 39, 81 ±6, 27

50 16, 54 ±0,15 1361, 27 ±6, 825 21, 633 ±1,1 48, 78 ± 12,42

40 14, 854 ±0,146 1129, 97 ±6, 01 18, 72 ±0,897 52, 783 ± 12,5

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

63

Рис. 1. Зависимость функции Q от х = £/L для разных температур. Квадратные значки соответствуют Т = 4,275, круглые Т = 4,285, треугольные Т = 4, 295.

конечно-мерного екейлинга состоит в еле.тушем. Для заданной температуры Т измеряется значение величины . 1/ д- и х = £,/ д-/ L при увеличивающемся L. Это позволяет определить значение I.. при котором величина А/..г становится не зависящей от размеров системы. Зная Lmax, полученные значения Ai^{x) для каждого L можно аппроксимировать с помощью специально подобранной функции Q(x) так, чтобы они не зависели от размеров системы, по формуле А(Т) = Ai(T)/Q(x(L,T)). В соответствии с рекомендациями работы [5] функция Q(x) была выбрана в виде Q(x) = 1 + С1Т + С2Т2 + сзя:3 + С4я:4 с подбираемыми коэффициентами сц по методу наименьших квадратов. Функция Q(x) характеризуется универсальностью для значений температур в критической области. Это позволяет использовать ее для нахождения физических величин при температурах Т, столь близких к при которых Lmax может быть и недостижима, но известны величины Al^t(x) и х = £l,t/L при L < Lmax. Графики функций Q(x) (рис.1), построенные для различных температур, демонстрируют эту универсальность.

В таблице 2 приведены результирующие зависимости значений корреляционной длины ф восприимчивости у и вершин g и и от температуры, найденные

64

В.Н. Бородихин, А.Н. Вавилов, В.В. Прудников.

Таблица 2. Зависимость физических величин от температур в критической области

т е X 9 и

4,275 4,285 4,295 4,315 4,335 19, 034 ±0,1 13, 31 ±0,09 10, 664 ±0,01 8, 09 ±0,04 6, 59 ±0,036 1652, 26 ±5, 73 807, 558 ±2, 997 529, 02 ± 1,132 304, 62 ±0,8 204, 05 ±0,59 31,455 ±2,3 30, 549 ±2,46 30, 72 ± 1,574 30, 65 ±2, 31 30, 529 ±2, 54 10, 706 ±3,766 6, 514 ±2,485 4,125 ± 1,135 2,438 ± 1, 32 2,18 ± 1,09

с помощью процедуры конечно-мерного екейлинга.

Из выявленной температурной завиеимоети перенормированных вершины да и ur могут быть выделены их критические значения д*,и* на основе екей-линговых зависимостей данных вершин

9R{t) = д* (1 + ate), (И)

ua(t) = и * (1 + bte) (12)

с / = Т — Тс(р), в = уш, задаваемых у - критическим показателем для корреляционной длины и ш - критическим показателем, характеризующим поправки к екейлингу, В соответствии е результатами работы [3] в = 0,17(10), Проведенная аппроксимация да и Ur по выражениям (11), (12) позволила получить следующие значения критических амплитуд взаимодействия флуктуаций параметра порядка для неупорядоченной системы с р = 0, 95 в фиксированной точке д* = 31,2382 ± 2,273, //•* = 9.871 — 3,41, Сопоставление полученных значений с теоретико-полевыми указывает на их хорошее согласие в пределах статистических погрешностей результатов.

Из данных по температурной зависимости восприимчивости и корреляционной длины нами были выделены значения критических показателей для соответствующих величин: у = 1.10 — 0. 01. /' = 0. 71—0. 02. Сопоставление полученных значений с теоретико-полевыми значениями показателей [3] у = 1,342(10) и у = 0,6837(53) показывает, что полученные нами значения являются слегка завышенными, хотя и находятся в достаточно хорошем соответствии со значениями показателей, найденными в экспериментальных исследованиях (см, [3]), В заключении отметим, что распространение развитой в настоящей работе методики на исследование критического поведения неупорядоченных систем с большими значениями концентрации примесей и выделение для них координат фиксированной точки, а также определение значений критических показателей позволит ответить на фундаментальный вопрос об универсальности критического поведения неупорядоченных систем.

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

65

Литература

1. Harris А.В. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phvs. C. 1974. V.7, N6. P.1671-1692.

2. Pakhnin D.V., Sokolov A.I. Five-loop renormalization-group expansion for the threedimensional n-vector cubic model and critical exponents for impure Ising sistems // Phvs. Rev. B. 2000. V.61. P.15130.

3. Pelissetto A., Vicari E. Randomly dilute spin m,odels: a six-loop field-theoretic study // Phvs. Rev. B. 2000. V.62. P.6393.

4. Tsvpin M.M. Effective potential for scalar field in three dimensions: Ising m,odels in the ferromagnetic phase j j Phvs. Rev. B. 1997. V.55. P.8911.

5. Kim J.-K. Critical renormalized coupling constants in the symmetric phase of the Ising models // J. Phvs. A: Math. Gen.2000. V.33. P.2675.

6. Гулд X., Тобочник Я.К. Компьютерное моделирование в физике: В 2 ч. М.: Наука, 1989.

7. Salas J. Sokal A. Exact Finite-Size-Scaling corrections to the critical two-dimensional Ising model on a torus // J. Stat. Phvs. 2000. V.98. P.551.

8. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of disrdered 3 - dimensional Ising systems j j Europhvs. Lett. 1990. \ .12. P.551.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.