ВЕРОЯТНОСТНАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ ОДНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Известия СПбГТИ(ТУ) №25 2014

УДК: 519.676

В.А. Сиренек1, С.И. Чумаков2, В.Г. Никитенко3

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ ОДНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Московский пр., 26

Изучается обобщенное решение смешанной задачи для эволюционного уравнения V'(I)=(Л^)+Б(())¥(I). «Возмущающий» оператор В(() не нарушает граничных условий. Показано, что если оператор В(() аффинный, то решение задачи имеет вероятностное представление.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, смешанная задача, обобщенное решение, вероятностная форма решения, аффинный оператор.

Введение

В этой статье задача рассматривается с точки зрения дифференциальных уравнений в банаховых пространствах ([1], гл. 5). Речь идёт о смешанной задаче для эволюционного уравнения:

dV (t)

dt

■ A(t )V (t) + B(t )V (t)

V (t o) = V0 V(t) e Zt, te[0,T],

(1)

dV (t)

dt

= A(t )V (t)

где V(t) - неизвестная вектор-функция со значениями в банаховом пространстве О. Мы предполагаем, что для каждого значения t задан линейный оператор АО) и непрерывный оператор ВО). Подробное изучение задачи Коши для таких уравнений представлено в [2]. Мы ограничимся случаем аффинных, т.е. линейных неоднородных, граничных условий. Это означает, что для каждого значения t множество Zt является аффинным подпространством О. Напомним соответствующее определение (подробнее см. [3], с. 307- 318). Множество Z в банаховом пространстве О называется аффинным подпространством, если оно может быть получено в результате параллельного переноса некоторого линейного подпространства (замкнутого векторного пространства) 1 с О, при этом оно называется направляющим для Z. Пусть Zl и Z2 - аффинные подпространства О. Непрерывное отображение и: Zl Z2 называется аффинным оператором, если существует линейный оператор й: 1Х — 12, такой что й(у+Ш) = й(V) + й(Ш) для каждых VeZ1 и Ш е 1. Оператор й называется ассоциированным с и. Решение интегрального уравнения:

/

V ({) = й(}, t0)V0 +1 й^, s) Б^У (2)

назовем обобщенным решением смешанной задачи (1). Здесь и(}, s): Zs Z( является эволюционным оператором «невозмущенной» задачи:

V (t o) = V0

V(t) e Zt, te[0,T],

а U(t,s): Zs ^ Zt — оператор, ассоциированный с оператором u(t,s). Мы исходим из того, что семейство аффинных операторов u(t, s): Zs Zt обладает обычными свойствами: u(t,s)u(s,r) = u(t,r) и u(t,t) = I. При этом u(t,s)V0 непрерывно для любого t или s и V0e Zs. Кроме того, предполагаем, что для любого t задан оператор B(t): Z, Zt (т.е. «возмущение» не нарушает граничных условий). При этом на оператор B(t) накладываются два условия. Во-первых, для любой непрерывной вектор-функции V(t) такой, что V(t)eZt при всех t, вектор-функция B(t)V(t) интегрируема в смысле Бохнера ([1], гл. 2, 4; разумеется, для этого достаточно, чтобы эта функция была непрерывна). Во-вторых, должно выполняться условие Липшица:

I \B(t )V - B(t)w \\< к (t,\\v\\ + \\w\\y \\v - w\\

с некоторой непрерывной функцией K. В случае аффинного оператора B(t) второе условие может быть сформулировано проще: \\B(t) \\<K(t). При этих условиях существование решения интегрального уравнения (2) может быть установлено методом последовательных приближений. В данной статье показано, что если оператор B(t) аффинный, то решение уравнения (2) имеет вероятностное представление.

Метод последовательных приближений

Рассмотрим метод последовательных приближений для решения уравнения (2) в случае, если оператор B(t) - аффинный. Имеем:

V (t) = lim V (t)

n ^ да

V (t 0) = u(t, t0)V0

Vn+i(t) = Vo(t) + \u(t, s)B(s)Vn (s)ds.

1 Сиренек Валерий Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, каф. системного анали-за, e-mail: [email protected],

2 Чумаков Сергей Иванович, канд. техн. наук, доцент, каф. системного анализа, e-mail: [email protected]

3 Никитенко Валентин Гаврилович, канд. физ.-мат. наук, доцент, каф. математики, e-mail: [email protected]

Дата поступления - 1 июня 2014 года

II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Известия СПбГТИ(ТУ) №25 2014

Начиная с V2(t) используем аффинность операторов и(^) и 6(0. В частном случае для V3(t) имеем:

г

У3(г) = и(г,г0)У0 +1 .)Б(.1)и(.1,г0)У0 +

+ Ц и(г, .1)Б(.11)и(.ч1, ..2 )Б(.2 )и(.2,)У0ds2+

to to t 'l s2

V(t)=u(t,tQ)V0 +

1 <0<Л<"<А,«

B(juJi(ju2,MdB(j^(¿il,t0)V0dHd¿i2...d¿in

(3)

С учетом этого, выражение (3) может быть выражено через условное математическое ожидание:

V(t) = E{u(t, цп )Г1 В(Мп )и(Мп, //„_, )Л->... •

п=0

• Л^ЧМг )" (<"г. Mi )u{ßx, t0 )V01 N(t-t0) =

n}P{N{t-t,) = n},

где Л — произвольное число. Использую формулу для полного математического ожидания, получим:

ПО = е^Ет^'ВОл^Ол,,/^1... Л-^Ог )и(/лг, /л, )м(>ц ,г0)К0|

+ JJ Ju(t, s1 )B(s1)u(s1, s2)B(s2)u(s2, s3 )B(s3 )u(s3, t0 )V0ds3ds2ds1

В выражении для Vп(f) введем обозначения = эп, м2 = з„.1 м, = э1. Последовательные приближения совпадают с частичными суммами ряда:

(4)

Основной результат

Известно ([4], стр. 204), что моменты скачков М1,

М2.....Мп процесса Пуассона М(э), заданного на интервале

р0,0 с интенсивностью Л и средним значением £{N(3)} = Л-^ - to), , распределены как упорядоченные наблюдения из равномерного распределения на интервале р0,*) при условии, что N(t - Ь) = п. Для любых произвольных чисел Ь таких, что и £ Ь £ t2 £ ... £ ^£ t имеет место выражение для условной вероятности:

Р{цх = \,2,...,п\Ы{1-10) = п}

тгтуЦ- í

Подобная (4) формула дается в [5] ((1.3.1) и (1.3.6)) для линейного оператора B(t). Здесь показано, что этот результат обобщается на случай аффинного B(t).

Заметим, что в работе [6] к задаче (l) была сведена граничная задача для квазилинейных гиперболических уравнений массопереноса. Банахово пространство и соответствующие преобразования строились специальным образом. Оператор B(t), вообще говоря, рассматривался как нелинейный и для решения уравнения (2) нельзя было получить вероятностное представление. Несмотря на это, интегральное уравнение (2) было преобразовано в систему интегральных уравнений, успешно решаемую методом Монте-Карло.

Литература

1 Функциональный анализ. Под редакцией С.Г. Крейна, М.: Наука,1972. 544 c

2 Fitzgibbon W.E. Nonlinear perturbation of linear evolution equations in a Banach space // Ann. Math. Pure Appl. 1976. V. 110. P. 279-293.

3 Bourbaki N. Algebra. Paris: Hermann, 1958.

4 Карлин С. Основы теории стохастических процессов /пер с англ. М.: Мир, 1971. 537 с.

5 Pinsky M.A. Multiplicative operator functionals and their asymptotic properties. Advances in probability and related topics. New York: Marcel Dekker. 1974. V. 3. P. 1-100.

6 Сиренек В.А. Вероятностное решение квазилинейных гиперболических уравнений на основе обращения дифференциального оператора // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т. 40. №3. С. 396-407.

ttt