Смешанная задача для одного квазилинейного параболического уравнения с гистерезисом Текст научной статьи по специальности «Математика»

8. Kydyraliev T.R. O zadache Koshi nelineinykh differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh vtorogo poriadka s kompleksnymi parametrami [On the Cauchy Problem of Second Order Non-linear Partial Differential Equations with Complex Parameters] / Kydyraliev T.R.// - Izhevsk, 2016. No. 3(55). - P. 16-20

9. Aitbaev K.A. Razreshimost i struktura reshenii differentsialnykh i integralnykh: avtoref. dis. ... kand.f.-m.n.:01.01.02 [Solvability and Structure of Solutions of Differential and Integral: Author's abstract of PhD in Physics and Mathematics: 01.01.02] / Aitbaev K.A. -Bishkek, 2016. -18 p. [in Russian]

10. Bayzakov A.B. O razreshimosti nachalnoi zadachi singuliarno-vozmushchennoi integro-differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh tretiego poriadka [On Solvability of the Initial Problem of Singular-Perturbed Integro-differential Partial Differential Equations of the Third Order] / Bayzakov A.B., Dzhaenbaeva G.A. // Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya «Informatsionnyye tekhnologii: innovatsii v nauke i obrazovanii» (Aktyubinskiy oblastnoy gosudarstvennyy universitet im. K. Zhubanova) [International Scientific and Practical Conference "Information Technologies: Innovations in Science and Education" (Aktubinsk Regional State University named after K.Zhubanov)] .- Aktobe City, 2015. - P. 130-132. [in Russian]

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.75.9.004

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С

ГИСТЕРЕЗИСОМ

Научная статья

Исаева С.Э.*

ORCID: 000-0002-0872-1350, Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан

* Корреспондирующий автор (isayevasevda[at]rambler.ru)

Аннотация

В данной работе рассматривается начально-краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором в ограниченной области с достаточно гладкой границей. Доказана теорема о существовании решений рассматриваемой начально-краевой задачи с запоминающим оператором. Для доказательства этой теоремы использован метод дискретизации по времени. Доказана также единственность решений этой задачи, если запоминающий оператор является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта.

Ключевые слова: квазилинейное параболическое уравнение, запоминающий оператор, гистерезис, обобщенный люфт.

MIXED PROBLEM FOR ONE QUASILINEAR PARABOLIC EQUATION WITH HYSTERESIS

Research article

Isaeva S.E.* ORCID: 000-0002-0872-1350, Baku State University, Baku, Azerbaijan

* Corresponding author (isayevasevda[at]rambler.ru)

Abstract

The paper considers an initial-boundary value problem for a quasilinear parabolic equation with a memory operator in a bounded domain with a sufficiently smooth boundary. A theorem on the existence of solutions of the initial-boundary value problem with a memory operator is proved. We used the method of discretization with respect to time to prove this theorem. The uniqueness of the solutions of this problem is also proved if the memory operator is a hysteresis nonlinearity of the generalized backlash type.

Keywords: quasilinear parabolic equation, memory operator, hysteresis, generalized backlash.

Введение

Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Понятие гистерезисного оператора впервые было введено в [1]. Смешанные задачи с гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [2], [3], [4]. В данной работе рассматривается начально-краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором. В случае отсутствия запоминающего оператора, эта задача

исследована, например в [5]. Разрешимость такой задачи без нелинейного слагаемого |и|Ри, исследована в работе [6].

В данной работе доказана теорема о существовании решений рассматриваемой задачи. Доказана также единственность решений этой задачи, если запоминающий оператор является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта. Отметим, что смешанные задачи с такими гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [7,8].

Постановка задачи и основные результаты

Пусть QcRN(N > l) ограниченная область с достаточно гладкой границей Г В области Q = Qx(0,T) рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение:

— [и + Р(и )]-Аи + \и\ри = / (1)

дг

с граничным условием

и = 0, (л,г)еГх(0,Г) (2)

и с начальным условием

[и + Р(и )Ц = и0 + , (3)

2

где о < р <-если N > 3 и р > 0 если N = 1 2; /• О х (0 Т) ^ Л и нелинейный оператор Б действует из

^ 2 - N ' ' '

пространства м(о;С0([0,Т])) в м(0;С0([0,т])), где м(о;С0([0,Т])) - пространство измеримых функций, действующих из О в С0 (0,Г ]). Предполагается, что Б является запоминающим оператором, который действует в каждой точке х ёО независимо, то есть [р(и(х,-))](г) зависит от и(х,.)^ ^ и не зависит от и(у,.)^ для у ф х.

Пусть оператор Б удовлетворяет следующим условиям:

[если для любых о, о2 ё м(о; С0 ([0,Т])) и для любого г ё [0,Т] (4)

[^=^2 на [0,1], то [Р(о)](-,1 )=[Р(о2)](-,1) п.в. в О;

[если оп ём(о;С0 ([0,Т])) и оп ^о равномерно на [0,Т], п.в. в О, (5)

[то Р(ои) ^Р(о) равномерно на [0,Т], п.в. в О. Пусть V = Н1 (О). Предполагаем, что

и0 ё^ w0 ё Ь2 (О), (6)

/ = /1 + /2, /1 ё ь2(б) /2 ё Ж1Д(0,Т;Г). (7)

Определение. Функция и ё М(о С0 ([0,Т]))п Ь2 (0,ТV) такая, что Р(и)ё ь (б) и удовлетворяющая для любого о ё ь2(0, Т; v) п Н1 (0, Т;ь2(о)) (о(-,Т) = 0 п.в. в о) равенству

и|-[и + Р(и)] — + Ум • Vо + |и|р ио = | г (/, +1[и0 (х) + (х)] о(х, 0)Же, (8)

е [ Ы ^ о о называется решением задачи (1)-(3). Из определения решения следует, что

Ы

дг'

откуда

_Ы

дг1

поэтому и + р(и)Ё Н 1(0,ТV') и (9) удовлетворяется в V' п. в. на (0,т). Интегрирование по частям в соотношении (8) дает следующее:

[и + Р(и)]и = и0 + w0 в V' (в смысле распределений). (10)

В свою очередь из (9) и (10) получается соотношение (8). Предположим, что оператор Р удовлетворяет также условиям:

[существуют 3Ь > 0, 38 ё Ь2(о), что для любого о ёМ(о;С0([0,Т])) ^^

||[р(о)](х,-|С0([0,Т])< Ь1КХ,'1 С0([0,Т]) + 8(х) п.в. в 0; если о ё М (о; С0 ([0, Т ])) и для любого [г1, г2 ] с [0, Т]

/1

< о(х,-) является аффинной на г2], п.в. в О,

то Цр(о)](х,г2)-[Р(о)](х,гl)}[о(х,г2)-о(х,г^]> 0, п.в.в О.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4)-(7), (11), (12). Тогда задача (1)-(3) имеет по крайней мере одно решение, для которого имеет место:

и ёH 1(0,Т;Ь2(0))ПЬ°(0,Т;V), Р(и)ЁЬ2(о;С0([0,Т])). (13)

— [и + Р(и)]-Аи + \и\ри = / в D'(0,T;V'), (9)

—[и + Р(и)] = / + Аи - \и\ри ё Ь2(0,Т;V');

Доказательство. Применим метод дискретизации по переменному г (см.[6]). Разбивая отрезок [0,Т] точками г = пк, п = 0,1,...,да на т частей, обозначая

п пк

/т = I Ц^, /Пт = /2(пк), /П = /т + /Пт, п = 1,. ..,т,

к (п-1)к

ит=и°, мш=м°, иш (х)=и(х, пк), п=\,...,ш,

^п (х) = [Р(иш )](х,пк), п = \,...,ш, п. в. в О, ии(х,-) = линейная интерполяция по времени иП(х) для п = °,\,...,ш п.в. в О и аналогичным образом

определяя мт (х,-), рассмотрим задачу

ш ,х) = тах ]ит(х,-)= тах |и!(х), п.в.в О• (16)

п п—\ п п—\

иш - иш + мш - мш — Дип + |ипГип = /п в V, п = \,2,...,т, (14)

, ^ , ^"ш ^ > ш Jш ' ' ' ' '

к к 11

° ° ° ° ЛО

иш = и , = м • (15)

Покажем, что эта задача может быть решена шаг за шагом. Предположим, что и\, и2,...,и^-\ е V известны для любого п е{\,2,...,ш} и рассмотрим задачу определения и^. Функция (х,.) является аффинной на отрезке [(п - \)к,пк], почти для всякого х е О; поэтому [г(ит)](х,пк) зависит только от ит(х,-)|[0 , которое известно, и

от и.п (х), которое должно быть определено. Поэтому

мМш(х)=рг(иш)](х,пк) = ^ш(и'ш(х),х),п.в. в о •

Пусть

^ш-1 (х) = ^те Я (х,-) = тах к(4 п.в.

Согласно (16), иптх е Ь2 (О) и из (11) получаем, что

Р(и(х),х)<Ьтах{иш-\(х), |и(х)}+ g(x), п.в.в О• (17)

для любого уеМ(О).

Определим оператор р : М(О) — М(О), и — р (и('),'). Согласно (5) и (17) имеем

: Ь2 (о) —^ Ь2 (О) аффинно ограничен и сильно непрерывен. (18)

Из (12) получается, что

(р(и)-мп-\)(и-ип-\)>°, п.в.в О для любого ие Ь2(о). Из последнего неравенства и из (17), получаем, что существуют такие постоянные С, с2 е (зависящие от ш, п , но не от и), что

{Р (и)и^ >-С\\\ ф(п)-с 2 (19)

для и е Ь (о) •

Если не учесть фиксированные индексы ш и п, то уравнение (14) можем записать в виде:

и + Р (и)- кДи + к|и|ри = р в V', (20)

где р = кк + ипт - + мпт1. Для доказательства существования хотя бы одного решения этого уравнения воспользуемся стандартной процедурой. Пусть {V } - последовательность конечномерных подпространств,

I ]']еЫ

покрывающих V; для любого ] е N рассмотрим следующую конечномерную задачу:

найти функцию и] е V] такую, что

(21)

2(и] ) = и] + Р(и] ) - кДи] + к|и] |Р и] = р в V/. Согласно (18), 2: V — V' является сильно непрерывным оператором. Из (19) (а также из того факта, что для /(и) = |и|Ри выполняется неравенство / (и)- и > -Сги2 -С2, где Сх,С2 е Я+ - некоторые постоянные) получается, что этот оператор удовлетворяет следующему условию:

г< 2 (и),и>к —+<ю пРи \\иЦ —• (22)

\Н1

Отсюда получаем, что задача (21) имеет хотя бы одно решение (по одному варианту теоремы Брауэра о неподвижной точке, [5], гл. I, раздел 4.3). Умножая (21) на и . и используя (22), получаем, что последовательность

{иу} равномерно ограничена в V. Следовательно, существует такая функция и и можно выделить такую

подпоследовательность {и~ }, что и„ — и слабо в V •

Согласно компактному вложению: V с ь2(о) и (18) имеем

Ф и (и ) в Ь2 (о) .

Поэтому переходя к пределу в (21) (для j = ) при ^ °>, получаем (20); то есть существует функция и , которая является решением уравнения (20) (или (14)).

Чтобы получить априорные оценки, умножим обе части (14) на и^ -и^-1. Тогда суммируя по п = 1,2,...,/ для любого / ё {1,2,...,т} и интегрируя по О, получим:

I Г У 1 1 1

к XI1 и^ги^ I dx+-- w"ml )(и-т - иг) dx+х / Уи: (Уи: -Уиг) dx+

'Л у Л И=1 0 и=1 0

И=1 о

О

Согласно (12) имеем кроме того

(

XX Г |ии Г ип (и" - и"-1) dx = X Л /", и" - и"-1

/ . I | : | : \ : : ' / ; Г : > : :

"=1

)> 0 п.в. в О, п = 1,2,...,/;

^т - wm-1)(um - ит-1)> 0 п.в. в

«=1 о

«=1 □

X |Уи"-УС1)dx>Х I2-1 Р-1 Уи"-!2 ]^

^^^ Г : V : : г ^^ I М : I ^ I : ^ :

|2 1

4X !(|уи:|2-|уи:-1|2)dx=(уиЦ2-уи°|2)dx

2 "=1 о

>

"=1 о

XXII <Г dx -X и

о

dx -X Г |u-Гu-u-r1dX >

^^ I : : :

"=1 О

|( Р+1)IР+2

и" (Р ) Р+1 dx

"=1 о

I

"=1 чо

=Х||и:| dx-Х||

"=1 о "=1 чо

у

и I dx

|\и"т1\Р+ Жх

Чо

||иГ|Р+2dx "

X Л

"=1 о

\Р+2

X11

р + 2 "=1 о

у

1Р+2

Р+2

>

dx--1— ^ Пи" ^р dx =

Р + 2 "=11

-(I

+ 2 ¿¿Л1

и"Г+2 - 1и"г1 Р+2)dx = ■

р + 2 о "=1 Учитывая (24), (25), (26) в (23), имеем

Р

-1(1

+ 2

г |р+2 | оР+2\ ,

и\ - и I dx.

/ Г, п _.п-1^ ит ит

к XI

п=1оЧ

2

ёх +1 Г 2 Г

оч

Уи!

Уи1

21 1ёх +

р+2 0Ч

Уи/

р+2

р+2 V <! V'(/т,ит - ит-1

у п=1

V

X/ /1т (иПт - ит-1 )ёх +V'(/2 т, и^ - (/2 (0), и 0) -п=1о ¥ ¥ К

/

п-1 „ .п-1

- X V'( Йт - Йт , ит

+

п=2 (

тах

п=1,.../

I

Йт + к X

п=2

<

Г / к

V

X\(/lnm }

п=10

2т 2т

к

V 'У

ёх

тах

п=1,...,/

/ Г. п ,.п-Л2

к X/

п=1оЧ

ит - ит

к

ёх

+

V

+1 /2 (0) V'

<

V

1II /-112 к ^ (■

< 21 ^(б) + 2 п?!

/ Л. п „,п-Л2

к

ёх + С11/2II 21,1 (0,Т ;V') +

1

, — тах 4 п=0,1,.../

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

где постоянная С не зависит от т. Так как (27) справедливо для любого / ё {1,2,...,т}, то проведя несложные преобразования, получим, что

+

у

о

у

2

0

и

1

2

0

п

и

и

т

п

и

т

k X

k=1

un - un-1

m m

где постоянная C2 не зависит от m .

L2 (Q)

max

n=1,..., m

u.

< C

(28)

2

m

Пусть

ит(х,г) = ипт(х), если (п-\)к < г < пк, п = \,2,...,ш; п.в. в о и определим М , / аналогичным образом. Тогда из (14) и (28) имеем:

rs

-(Um + W m )-A~m + (~m )Pfm = fm B V' ' ПВ Ш (0,T)'

dt

(29)

\\иш\\Н \ (°,Г ; Ь2 (О)) П Ь«(°,Г V ^ |иш|Ь«(°,Г ;Г ) < СОтг • (30)

Так как И1(°),Т;Ь2(о))= Ь2(о;И1(°,Г))с Ь2(о;С0([°,Т])) (с непрерывным вложением), то согласно (11) и (30)

ЩЬ2 (о;С° (Г0,т]

ы? (q;C 0 ([0,t ])) < Ш? (q;C 0 ([0,t ])) 41 4l2 (q) <

const.

(31)

и поскольку р — Ррр порождает отображение Ьр+2(о) — Ьр (о), 1 + _ = \, то легко проверить, что

р + 2 р'

|Р ~ Т° \Um\ Um е

1 1

-4

+ 2

L° (0, T; Lp (Q)).

(32)

Из соотношений (29)-(32) получаем, что

\\Um + Wm\\Hi(0,T;V') < C3 ||Um + Wm||L(g) +

д i \

— (u + w )

dt(m m'

<

L2 (0,t ;v')

< C IU II 2, ,+ C \W II 2, , +

3 II mlli2(g) 3 II mIL2(g)

f +Au - \u \ й

J m m m m

<

l2(o,t-,v)

(33)

< C3 I|UJL2(g) + Q^KJl2(Q;C0([0,T])) +

f +Au

J m m

l2(o,t-,v)

+

Iй \P й

m m

l2(o,t-,v)

< const

Известно, что если О - Банахово пространство и р' = —Р— при р > \ (/' = да), то

Р-\

ЬР'(О: О) с (ьР(О; О))' = Ьр* (О; О')

(см. [9]); кроме того, если О рефлексивно, или О сепарабельно, то

Ьр (О: О') = (ьР(О; О))' •

Используя этот факт для О = 1}(°,Т) и оценку (33), заключаем, что существуют функции и,м такие, что (после выделения быть может под последовательности) при ш — да

ит — и * - слабо в И1 (°, Т; Ь2 (о))п Ьда (°, Т; V), (34)

(35)

(36)

(37)

Um ^ U

* - слабо в Ьда(°,Т; V) , Мш — М * - слабо в Ь (о; Ьда (°, Т)),

иш + мш — и + м- * - слабо в Ь\* (о;Ьда(°, Т))п И1 (°, Т; V'),

где LL-* (q; L°(0,T ))=(l2 (q ; L1(0,T))).

Учитывая (34)-(37), переходим к пределу в (29) при ш — да и получаем (9); легко получается и (10). И это, как мы уже отметили, приводит к (8).

Известно ([10], глава 4, стр. 378), что

Н1 (0, Т; Ь (О)) п Г (0, Т; V) с Н1 (0) с Н' (О; Н5 (0, Т)) с Ь2 (О; С0 ([0, Т])) I 5 е | 0, -

с непрерывными вложениями (последнее вложение также компактное). Поэтому, выделяя быть может очередную подпоследовательность, имеем:

и — и равномерно на [°, Т], п. в. в о • Тогда, согласно (5), г(и)ем(О;С0([°,Т])) и Г(иа) — Г(и) равномерно на [°,Т], п. в. в О•

Так как ^(Х,-) является линейной интерполяцией по времени от wnm(х) = [р(иш)](х,пк) (п = 0,1,...,т) для почти всех х ё О, то имеем ^ ^Р(и) равномерно на [0,Т], п. в. в О.

Поэтому согласно (36) имеем: w = Р(и) п. в. в б . Из (11) получается, что сходится в Ь2(о;С0(0,Т])). Теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1)-(3) при дополнительном условии, что Р является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта (см. [6]).

Пусть для функций у (а), у (а) ё С0 (Я) удовлетворяется условие

у (а) <у/(а) (38)

для любого а ё Я.

Обозначим через Е гистерезисный оператор обобщенного люфта (см.[6], глава III). Зафиксируем некоторое ё ь1 (о) и предположим, что

для

[f(u)](x, t )= E (u(x,-),£0 (x )) (t ) п.в. в Q, любого и е M (q; С0 ([0,T ])) и для любого t е [о, T].

(39)

Оператор Е удовлетворяет условиям (4)-(5), (11)-(12). Для этого оператора удовлетворяются также неравенство

- F(u)

dt

< L

du

dt

п. в. на (о, T),

и следующее

Неравенство Гильперта ([6 ], глава III). Пусть

(< ,е°)е W1,1 (0,T)х R (i = 1,2) и g : [0,TR - измеримая функция, такая, что g еИ(а1 -а2) п. в. на (0,T). Если st = е(о;)(i = 1,2),

s=si -S2 и s+ = max{г,0},

то

f g > d И п. в. на (0, T).

dt dty '

Теорема 2. Пусть и, ё Ь2(о), И, (х)ё Ь2(о) (/ = 1,2); У1 (а),уг (а) ё С 0(Я) - липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38). Определим Р как в (39) и предположим, что о)0 = тт{тах,уг(и,0)}, у(и,0)} п. в. на О (, = 1,2).

Если и, ё Ж1,1 (0,Т;Ь1(0))ПЬ2 (0,Т;V) - соответствующие решения задачи (1)-(3) с / = и wi = Р(и,)(, = 1,2) , то для любого г Ё [0,Т] удовлетворяются неравенство

| ^(и - и )+ (x, + - )+ (x, ?) dx <{[(и0 - и0 ) (x) + (w10 - м>\ ) dx + т/(1\ - )+ dx.

(40)

Доказательство. Пусть

Ит (rl) =

если |> -

т

т|, если 0<|<— , т

0, если i| < 0 .

Согласно теореме III. 2.3 (см. [1]), w; е W1,1 (0,T; L1(Q)), i = 1,2.

Так как

то

dt

—[u1 + F(u1)]- Au1 + Ы pu1 = h,

dt

-d[u2 + F(u2 )]- Au2 + |u2 Pu2 = h , dt

[(«1 - M2 )+ F(«1)-F(m2 )]-a(M1 - Ы2 )+ \щ\рщ - \Ы2\РЫ2 = h - ¿2,

откуда умножая на (u - u2 ) и интегрируя по Q,

имеем

1

1

d

q

j —(u1 -u2) + - w2) \Hm(«1 "u2)dx + jV(«1 "u2)VHm(«1 -u2)dx

+

/-,.41 2 / mW V 1 2 / J Vi 2/ ^^^ V 1

Ot J q

- U2 PU2 ]нт («1 - ^2 )dx =j(« - ^2 )Hm («1 - ^2 )dx.

+

(41)

q

= j (« - u-q

Так как

jv(«1 -«2)VHm(«1 -«2)dx =jH'm(u1 -«2-«2)| dx > 0

п. в. на

(0,Г)

Q

Q

\P I \P

«1 — «2 I

]нт(«1 - «2)dx > 0,

то из (41) получаем

Ot Ot

Hm(«1 -«2)dX < j(h -^2Hm(«1 -«2)dX.

(42)

Q

Теперь переходим к пределу при т ^ °. Существует функция у ё ь°(о) такая, что Нот (и - и2 ) ^ у п. в. в б Кроме того у ё Нт (и1 - и2 ) п. в. в б, где

H (7) =

W, [0,11 to

Тогда из (42) получаем, что

^(«1 - «2 )+^(w1 - w2 ) Ot Ot

если у < 0, если у = 0, если у > 0 .

iydx < j(h - ^2 dx < j (h - ^2 )+dx.

Q Q

(43)

Так как в силу неравенства Гильперта удовлетворяется неравенство

Ot Ot

п. в. в Q ,

то из (43) имеем

откуда получается (40). Теорема 2 доказана. Теорема 3. Пусть

Ot

j[(« - «2)+ + (w - W2)+ dx < j(h - h2)+ dx, п. в. в Q,

Q

Q

«0 e V, e L(Q), h e L2 (q),

функции у (а), у (а) ё С0(Я) липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38), а Р определяется как в (39). Тогда задача (1)-(3) с / = И имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (13).

Доказательство. Эта теорема является прямым следствием теорем 1 и 2.

Заключение

Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые встречаются в физике, механике, биологии, химии, экономике и в других областях науки; гистерезисные явления часто встречаются также в теории трения, в ферромагнетизме, в теории сверхпроводимости. Особую трудность имеют уравнения с гистерезисом, если гистерезисный оператор находится под оператором дифференцирования по переменной 1 В этой статье методом дискретизации по времени исследована разрешимость смешанной задачи для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором; доказана также единственность решений этой задачи, при дополнительном условии, что запоминающий оператор является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта.

Конфликт интересов

Conflict of Interest

Не указан.

None declared.

Список литературы / References

1. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом // М.А. Красносельский, А.В. Покровский. - М.: Наука, 1983.-272 c.

2. Mielke A. Rate-independent systems. Theory and application / A. Mielke, T. Roubicek // Applied Mathematical Sciences. - vol. 193. - Springer, New York. - 2015. - 660 p.

3. Visintin A. Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis // Ann. Inst. H. Poincare. Analyse nonlineaire. - 19. - 2002. - P. 451-476.

и

O

4. Visintin A. Mathematical models of hysteresis / In: The Science of Hysteresis (G. Bertotti, I. Mayergoyz, eds.) Elsevier. - 2006. - chap.1. - P. 1-123.

5. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж. Л. Лионе. - М.: Мир. - 1972. - 588 c.

6. Visintin A. Differential Models of Hysteresis / A. Visintin. - Springer, 1993. - 411 p.

7. Kopfova J. Uniqueness theorem for a Cauchy problem with hysteresis // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - vol. 127. - No 12. - PP. 3527-3532.

8. Kopfova J. Periodic solutions and asymptotic behavior of a PDE with hysteresis in the source term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2006. - vol. 36. - No 2. - P. 539-554.

9. Ларькин Н.А. Нелинейные уравнения переменного типа / Н.А. Ларькин, В.А. Новиков, Н.Н. Яненко - Наука, Новосибирск, 1983. - 269 c.

10. Лионс Ж.Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971.357 c.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Krasnoselskii M.A. Sistemy s gisterezisom [Systems with Hysteresis] // M.A. Krasnoselski, A.V. Pokrovsky. - M.: Nauka, 1983. [in Russian]

2. Mielke A. Rate-independent systems. Theory and application / A. Mielke, T. Roubicek // Applied Mathematical Sciences. - Vol. 193. - Springer, New York. - 2015. - 660 p.

3. Visintin A. Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis // Ann. Inst. H. Poincare. Analyse nonlineaire. - 19. -2002. - P. 451-476.

4. Visintin A. Mathematical models of hysteresis / In: The Science of Hysteresis (G. Bertotti, I. Mayergoyz, eds.) Elsevier.-2006. - Ch.1. - P. 1-123.

5. Lions J.L. Nekotorye metody resheniya nelineinykh kraevykh zadach [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems] / J.L. Lions - M.: Mir. - 1972. - 588 p. [in Russian]

6. Visintin A. Differential Models of Hysteresis / A. Visintin. - Springer, 1993. -411 p.

7. Kopfova J. Uniqueness theorem for a Cauchy problem with hysteresis // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - Vol. 127. - No 12. - P. 3527-3532.

8. Kopfova J. Periodic solutions and asymptotic behavior of a PDE with hysteresis in the source term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2006. - Vol. 36. - No 2. - P. 539-554.

9. Larkin N.A. Nelineinye uravneniya peremennogo tipa [Nonlinear Equations of Variable Type] / N.A. Larkin, V.A. Novikov, N.N. Yanenko. - Nauka, Novosibirsk, 1983. - 269 p. [in Russian]

10. Lions J.L. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya [Nonhomogeneous Boundary Value Problems and Their Applications] / J.L. Lions, E. Magenes. - M.: Mir, 1971. - 357 p. [in Russian]