О регулярности решений модельной задачи с заданной косой производной для квазилинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2019 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 6 (64). Вып. 1

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

МБС 35К55 Памяти Г. А. Леонова

Ои и

регулярности решении модельной задачи с заданной косой производной для квазилинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами*

А. А. Архипова1, Г. В. Гришина2

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5

Для цитирования: Архипова А. А., Гришина Г. В. О регулярности решений модельной задачи с заданной косой производной для квазилинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 1. С. 3-26. https://doi.org/10.21638 /11701^рЬи01.2019.101

Рассматривается квазилинейная параболическая система уравнений с недиагональной главной матрицей в модельном параболическом цилиндре. На плоском участке боковой поверхности цилиндра решение системы удовлетворяет условию заданной косой производной. Предполагается, что главная матрица системы и функции, определяющие краевое условие, не обладают гладкостью по временной переменной. Доказана частичная регулярность обобщенного решения задачи (непрерывность по Гельдеру) в окрестности поверхности, где задано краевое условие. Как следствие, показано, что обобщенные решения соответствующей линейной задачи непрерывны по Гельдеру при оптимальных предположениях о гладкости данных задачи по независимым переменным. Для доказательства используется модификация метода А(£)-калорической аппроксимации, учитывающая данное краевое условие.

Ключевые слова: параболические системы, нелинейность, регулярность, косая производная.

* Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №18-01-00472). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2019

1. Введение. В работе изучается регулярность обобщенных решений задачи с заданной косой производной для квазилинейных параболических систем с недиагональной главной матрицей. Данная работа обобщает результаты работы авторов [1], полученные для такого класса систем при краевом условии Неймана.

Пусть функция и = и(х, Ь), и = (и1,... ,и1), N > 1, —решение задачи

щ — &у(а(г, и)У и) = д(г), г = (х, Ь) € = В+ х (-1, 0);

ди(г') ди(г') 1 йСт(г',и(г')) , . ,. , . , .

:= + £ - КЛ г' = (ж , О,Ь) € Г1 = 71 х (-1,0).

Т = 1

(1)

Здесь В^ — полушар в пространстве К™, п > 2, 71 = В\ П {хп = 0}, щ = ^и = {жс^}' ^ — п' п(ж ) = (0,..., — 1)—единичная нормаль в точках х' € 71, внешняя к В+.

Недиагональная матрица а(г,и) = {а^(г, и)}, 1 < а, в < п, 1 < к,1 < N, удовлетворяет условиям Каратеодори и условию равномерной эллиптичности на множестве Q+ х К1, эллиптический оператор в (1) определен равенством

а[у(а(г,и) Vи) = | £ ^(г,и) и1Х13^ ,

а,в<п,1<1 <

и вектор конормальной производной имеет вид

ди(г') / г гф( , . I \ ,

а в<и,1<М

При т = 1,... ,п — 1 определены вектор-функции Ст(г',и) = {С~Т(г'и)}и<1.

Далее мы всегда предполагаем, что т < п — 1, и хт определяет касательное направление.

Данная работа посвящена описанию оптимальных предположений относительно гладкости матриц а, Ст и функций д, ф по переменным х и Ь, при которых можно показать непрерывность по Гельдеру обобщенного решения задачи (1) на множестве полной меры в окрестности поверхности Г1 и оценить хаусдорфову размерность допустимого замкнутого сингулярного множества решения. Как следствие, для линейной задачи с косой производной получаем гладкость решения на всем множестве Q+ и Г1, т.е. для линейной задачи сингулярное множество исключается.

Первые результаты о частичной регулярности обобщенных решений простейших квазилинейных параболических систем с недиагональной главной матрицей получены в [2]. Для параболических систем более общего вида (класса систем с контролируемыми нелинейностями) частичная гладкость решений задачи с нелинейным краевым условием типа Неймана изучалась в работе [3] (в условии (1) ф = ф(г',и) и Ст = 0). Регулярность обобщенных решений задачи с косой производной для эллиптических систем уравнений изучалась в работах [4, 5]. В [4] рассмотрены квазилинейные системы при краевом условии (1), а в [5] частичная регулярность обобщенных решений доказана для класса нелинейных эллиптических систем при более общем краевом условии.

Как показывают контрпримеры, построенные для размерностей п > 3, обобщенные решения квазилинейных параболических систем могут иметь сингулярности

внутри параболического цилиндра даже при гладкой матрице системы и гладких граничных данных [6]. Пример, показывающий, что сингулярности могут накапливаться к границе области, построен для эллиптической квазилинейной системы, удовлетворяющей условию Дирихле [7]. Таким образом, можно ожидать лишь частичную регулярность обобщенных решений квазилинейных параболических систем в окрестности границы области.

В то же время показано, что для широкого класса нелинейных скалярных параболических уравнений и линейных систем уравнений имеет место непрерывность по Гельдеру обобщенных решений в ситуации, когда главная матрица системы не обладает какой-либо гладкостью по временной переменной. Были рассмотрены краевые задачи Дирихле и Неймана (см. [8-10] и ссылки в них). Метод исследования, примененный в этих работах, не распространяется на случай квазилинейных систем, когда априори известно, что решение может иметь сингулярности.

В работе Ф.Дюзар, Дж. Минджионе [11] был предложен новый метод «А-калорической» аппроксимации, с помощью которого авторы получили новые результаты о частичной регулярности решений для широкого класса параболических систем. Позднее этот метод был применен для изучения гладкости решений в окрестности границы при краевом условии Дирихле [12, 13]. (О применении этого метода для широкого класса систем см. работу [14] и ссылки в ней.) В рамках этого метода исследуемое решение аппроксимируется локально в Ь2-норме решением простейшей параболической системы с постоянной матрицей А.

В работе А. Архиповой, О. Джон, Дж. Стара [15] была предложена модификация этого метода к методу «А(Ь)-калорической» аппроксимации. Это означает, что исследуемое решение системы аппроксимируется локально в Ь2-норме решением простой линейной системы с матрицей А(Ь), элементы которой — ограниченные измеримые на временном интервале функции. Это позволило при доказательстве частичной регулярности квазилинейных систем отказаться от требования какой-либо гладкости главной матрицы по переменной Ь. Метод А(Ь)-калорической аппроксимации в дальнейшем применялся этими авторами для ослабления предположений о гладкости матриц системы при доказательстве частичной регулярности вблизи границы при условии Дирихле [16], при рассмотрении квазилинейных систем недивергентного вида [17] и систем высокого порядка [18]. Кроме того, он был эффективно использован при изучении гладкости обобщенного решения задачи Вентцеля для параболических линейных и квазилинейных систем с недиагональными главными матрицами [19, 20]. Получение каждого нового результата основывалось на применении главной А(Ь)-калорической леммы в соответствующей задаче форме.

В работе авторов [1] при ослаблении известных требований гладкости относительно главной матрицы системы а(г, и) была доказана частичная гладкость обобщенных решений задачи Неймана для квазилинейных параболических систем.

В данной работе мы рассматриваем более общее краевое условие и модифицируем метод А(Ь)-калорической аппроксимации для изучения задачи с заданной косой производной. Мы оцениваем хаусдорфову размерность сингулярного множества решения в окрестности границы при условиях интегральной непрерывности главной матрицы а(г,и) и матриц Мт(г, и) = (Ст(г,и))и по пространственным переменным х. Мы не предполагаем какой-либо гладкости матрицы а, а также функций Ст и их производных по х и и, по временной переменной Ь. Оптимальность требований относительно функций д и ф в шкале пространств Морри подтверждается известными результатами для линейных задач. Можно допустить некоторый рост функций

д, ф, Ст по аргументу и, |и| ^ то (как это сделано в работе [3] для задачи Неймана), но мы не делаем этого, чтобы не усложнять доказательства. Как частный случай, мы показываем непрерывность по Гельдеру обобщенного решения соответствующей линейной задачи на всем множестве Q+ и Г1.

В § 2 мы приводим принятые обозначения и требования на данные задачи, а также формулируем основные результаты работы — теорему 2.1 о частичной регулярности решений квазилинейных систем и теорему 2.2 о непрерывности по Гельдеру на множестве Q+ и Г1 решений линейной задачи. В § 3 приведены вспомогательные утверждения для линейной задачи с косой производной, в которой Ст(г,и) = Мт(г) и и не требуется какой-либо гладкости матриц а(г) и Мт(г). В §4 обсуждаем свойства А(г)-калорических функций, удовлетворяющих краевому условию вида (1) и доказываем основную лемму (лемма 4.2). В последнем §5 мы доказываем теоремы 2.1 и 2.2.

2. Обозначения и формулировка основного результата. В работе приняты следующие обозначения:

К" — п-мерное евклидово пространство с точками х = (х1,..., хп) = (х', хп); и = (и1,..., и), V и = {и^ , IV и12 = Т,г<п,к<м (икъ )2; Бн(х0) = {х е К" : 1х - х01 < Я}, лн(г0) = (г0 - Я2,г0);

QR(г0) = Бп(х0) х Лп(г0), Q'R(г0) = QR(г0) П {хп > 0}, Пп(х0) = Бп(х0) П {хп > 0}; 1п(х0) = Бr(x0) П {хп = 0}, Ыг0) = Qr(г0) П {хп = 0}; Б+(х0) = Бr(х0) П {хп > 0}, если х0 е 71(0); Qr(г0) = Qr(г0) П {хп > 0}, если г0 е ВД);

д^+(0) = дQ+(0) \ (Б+(0) х{г = г0}); = шп Яп+2,шп = 1Б11п.

Мы пишем Б+, если х0 = 0, Qr, Q+, если г0 = 0. В интегральных тождествах

N

g ■ ф = £ gk фк, а V u -Уф = ]Т aakf ulXß фХа. k=1 a,ß<n,k,l<N

Через ||u||p,n обозначаем норму в пространстве Lp(Q.), где Q — ограниченная область в Rn; Wik(Q), к > 1, —пространства Соболева;

J- v(z)dz = J v(z)dz-

\Q'r I

Q'r (z0) Q'r (z0)

Пространство V2(Q'r(z0)) = C(Ar(t0)); W2(Qr(x0)) состоит из функций с конечной нормой

Ыу2^'г (z0)) = SUP IK'^lkfir (x0) + ||V v\\2,Q'r (z0). Ar (t0)

Параболическое расстояние S в Rn+1 определяется следующим образом: S(z1,z2) = max{\x1 - x2\, It1 - t2\1/2} Vzi = (xi,ti) £ Rn+1, г = 1, 2.

Для произвольной ограниченной области О С К" и интервала Л С К1 в цилиндре Q = О х Л определяем пространство Морри 3), X £ (0, п + 2], в метрике 3:

1 г -

L2'X(Q; 5) = \ие L\Q) : ||w||L2,a(q) = ( sup — / \u(z)\2 dz) * < oo),

L yz0ea, 0<p<d p J J >

Q'„(z°)

где d = maxjdiam^, |Л|}.

Пространство Кампанато C?,A (Q; S) с показателем Л G (0,n + 4] в метрике 6 — это пространство функций из L2(Q) с конечной нормой

m2,A,Q = \\u\\2,Q + iu]2, \,Q,

где полунорма определяется следующим образом:

Мг л о = ( SUP [ \u(z) ~ (u)z° р\2 dz ] , d = max{diamii, |Л|}.

' \z°eQ, 0<p<dP J ' I

V " Qp (z0) 7

Для краткости пространства вектор-функций B(Q; RN) мы обозначаем B(Q). Различные, зависящие от параметров задачи постоянные будем обозначать как c или Cj.

Сформулируем условия на данные задачи, при которых будет доказан основной результат работы — теорема 2.1.

(H1) Существуют положительные постоянные v < ц такие, что

(a(z,n) е • е) = Е аавеа > v е2, (2)

а,в<п; k,l<N

la(z,V)l<p Уп G RNG RnN, п. в. z G Q+.

(H2) Элементы матрицы a(z, п) равномерно непрерывны по п G RN при почти всех z G Q+, точнее, существует неубывающая ограниченная выпуклая вверх функция u(s), s G [0, ж), такая, что ш(з) ^ 0 при s ^ 0, и

esssup la(z,n) - a(z,Z)l <ш(\п - Z|2) Уп, Z G RN.

zeQ+

(H3) При r > 0 определена ограниченная функция

q.(r)= sup sup — ( — l„(x,t,n) - «„0 MP d.xXu,

P<r, neRN z0 £Q+ J \ J J

Ql Лр(10) Qp(x0)

где

ap x0 (Ь,п) = — а(х,Ь,п) dx, qa(r) ^ 0, r ^ 0.

Qp (x0)

(H4) При всех т < n — 1 функции CT (z,п) удовлетворяют условию Каратеодори на множестве Q+ х RN, дифференцируемы по х и п, и существует постоянная > 0

п

такая, что при почти всех z G Q+ и любых п G RN

С (г,п)\ + \УхОт (г,г,)\ < И1 (\п\ + 1), \МТ (г,п)\ < И1, где матрицы Мт = {М^}, М^ = (Стк )„,, к,1 < N.

(H5) Мы предполагаем симметричность матриц Mт для всех т < n — 1:

MTms(z,n) = MTm(z,n), 1 < s,m < N, n £ RW, п.в. z £ Q+. (3) (H6) Для функции &(s), определенной в условии (H2), справедлива также оценка

esssup\MT(z,n) — Мт(z,Q\<u(\n — Z\2) Vn,Z £ RW, Vт < n — 1.

Q+

(H7) Существуют такие ограниченные функции qT (r), что

qT (r)= sup sup — ( — \MT (x,t,n) — MTx0 (t,n)\2 dx)dt,

p<r,neRN z0<pQ+ J \ J ' J

p<r,veRN z0ea+

Ap(t0) Qp(x0)

где

Мтх (г,п)= — мт(х,г,п) дх, дт (г) ^ 0, г ^ 0.

пр (х0)

(Н8) Функции д е Ь2'п-2+2а(^+; 5), ф е Ь2'п-1+2а(Г1; 5), где а е (0,1).

Замечание 2.1. Условие (3) будет выполняться, если, например, для гладких скалярных функций /т(г,у) определить

Ск = (/т)Ук ; (Ск )х} = (/т)ук хл ; Мт = (/т)утук .

Обобщенное решение и задачи (1) из пространства V:= Ь2(Л1; Ш^Б^)) можно определить следующим образом:

J [-и ■ фг + а(г,и^ и ■ V ф] дг = J(u,ф)+ J д ■ фдг + J ф ■ фдГ,

г1

Уф е Ш21 ф^+т =0, (4)

J(и,ф) = I Ст(г', и(г')) ■ фхт (г') дГ.

Г1

Далее мы сведем интеграл J(и, ф) к объемному. Если, например, предположить, что функции Ст(г,и(г)), т < п — 1, определены и непрерывно дифференцируемы по всем аргументам на множестве Q+ х , то

Q+ Q+

где

J(z,u) = J ([CT]хт • Фхп - [CT]xn • Фхт ) dz

Q+

где [CT\Xj = CX + C^m um —полная производная функций CT по переменным Xj, j < n.

Введем далее обозначения рт = -(CT)xn, pn = (CT)xT, MT = {MXm}, MXm = (CT)um, к, m < N, (5)

тогда интеграл . (и, ф) можно представить в форме

Л (и,ф) = ¡[р -Уф + мт (иХт ■ фХп - иХп ■ фХт)] ¿г. (6)

Q+

Определение 2.1. Функция и € V:= Ь2(А1; '№'2(В+)) называется обобщенным решением задачи (1), если она удовлетворяет тождеству

J [-и ■ фг + а(г, и)У и ■Уф] ¿г = ^ [р ■Уф + Мт (ихт ■ фхп - ихп ■ фхт)] ¿г+ 3+ Q+

+ У д ■ ф ¿г + У ф ■ фаТ, Уф € &+), ф|^+\Г1 =0, (7)

Q+ Г1

где вектор-функция р определена равенством (5).

В работе мы будем изучать свойства обобщенного решения, удовлетворяющего тождеству (7). Условия на функции Ст представлены в условиях (Н4)—(Н7).

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (Н1)-(Н8), и € V—обобщенное решение задачи (1), т.е. и удовлетворяет тождеству (7). Существуют такие числа в0, Яо, г0 € (0,1), что если

Я*(го) := яир{да, Ят} < Яо, (8)

и в точке г0 € Q+ и Г

¿г/ (|Ум|2 + \и\2) ¿г < во (9)

для некоторого К < го, тогда и € Са(€}'зЯ(г0)]5), У и € Ь2'п+2а(<3^д(,г0); 5) при а € (0,1) из условия (Н8) и некотором в € (0,1), и верна следующая оценка:

+ \\У <

< С1 \\и\\у^+) + С2(\\д\\Ь2п-2 + 2а^+. &) + ||ф||Ь2,п-1 + 2*(г1; ¿)) . (10)

Постоянные с1 и с2 зависят от V, /л, /л1, а, п, N и функций я*(т) и ш(в). Кроме того, с1 зависит от в и Я-1.

Для линейной задачи мы получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть для матрицы а = а(г) и функций Ст(г, и) = Мт(г) и(г) выполнены условия (Н1), (Н3), (Н4), (Н5), (Н7), и функции д, ф удовлетворяют условию (Н8) с каким-либо а € (0,1). Пусть функция и € V— обобщенное решение линейной задачи (1). Тогда и(г) непрерывна по Гельдеру с показателем а на множестве Q+ при любом фиксированном в < 1, и справедлива оценка

< с{\Мкад+) + Ы\ь2.п-2 + 2а^+.&) + \\ф\\Ь2,п-1 + 2*(г1; ¿) }. (11) Постоянная с в оценке (11) зависит от данных задачи и от (1 — в)-1.

3. Вспомогательные предложения. Пусть для матрицы а(г) и функций Ст(г, у) = Мт(г) V, 1 < т < п — 1, выполнены условия (Н1) и (Н4), матрица Мт удовлетворяет условию симметрии (Н5), и функции / е Ь2^+), ф е Ь2(Г1).

Пусть далее V = (у1,..., V14) — решение параболической линейной системы (1) в Q+ при заданной косой производной на Г1:

уг(г) - (Цу(а(г^у(г)) = /(г), г е Qi; (12)

ду(г') сЦМт{г')у{г'))

д п„ дхт

= ф(г').

г' ег1

Замечание 3.1. При сделанных выше предположениях относительно данных задачи любое решение задачи (12) из пространства Vявляется функцией класса У2^+). Более того, можно показать, что эти обобщенные решения имеют половинную производную по времени (см., например, [21, гл.3, §4]).

Лемма 3.1. Для обобщенного решения V е V.задачи (12) справедливы неравенство Качопполи

J IVVI2 дг <

Я'г (г0)

< ^ I [о-у2г^\2гЬ + С1 I [и\2 сЬ + сг2 I |/|2сЬ + сг I \ф\2с1Г

(13)

и неравенство Пуанкаре

J IV - vr,z012 дг < с2г2 ! (IV VI2 + V2) дг + сг4 ^ I/12 дг + сг3 ^ ф2 дГ,

ЯГ (г0) Я'г (г0) Я'г (г0) гг (г0)

(14)

где г0 е Q+ и Г1; и Q2r(г0) П (дQ+ \ Г1) = 0. Постоянные с, с1, с2 в неравенствах (13) и (14) зависят от V, /л, п, N, а с1 и с2 зависят также от параметра из условия (Н4).

Доказательство. Если учесть симметричность матриц Мт, то оценка (13) выводится из тождества (7) точно так же, как это сделано при выводе неравенства Качопполи в лемме 3.1 работы [1], где Ст = 0.

Для вывода неравенства Пуанкаре мы воспользуемся идеей, изложенной в монографии [8, гл. 4, раздел 2], где неравенство Пуанкаре выводится сначала для гладких решений параболических уравнений, а затем проводится аппроксимация. Здесь мы приведем рассуждение, позволяющее получить неравенство сразу для обобщенных решений V задачи (12) класса V

Зафиксируем точку г° € <5^ и г > 0 такие, что С^'г(г0) С <3^ и Пусть £ € С$(Вг(х0)), 0 < £ < 1, |У£| < и тог := ¿х > к„г™ с некоторым

Кп > 0.

Определим весовые средние

уг,х0(г) = Ш-1 I v(x,t)£(x) дх, г е лг(г0), = - уг,Х0(г) дг.

Jnr (х0) ' ■!

( ) лг (г0)

Для почти всех г € Лг (г0) справедливо неравенство

J \у(х,Ь) - гЗГхХо (г)\2 ¿х < с(п) J \у(х,Ь) - Уг,Хо (г)\2 ¿х. (15)

Пг (х0) Пг (х0)

Правую часть соотношения (15) оценим по неравенству Пуанкаре и полученное неравенство проинтегрируем по интервалу Лг (г0):

! \у(г) - ЮГхХо (г)\2 ¿г < с1(п)т2 ^ \У у\2 ¿г. (16)

Q'r(z0) Q'r (г0)

Теперь с помощью оценки (16) получаем, что

J \у(г) -юг^о\2 ¿г < 2 J \у(г) -юг,Хо(г)\2 ¿г + 2\Qr^ J \юг,го -юг,Хо(г)\2 ¿г < Q'r (г0) Q'r (г0) Лг (г0)

< сл(п)т2 У \У у(г)\2 ¿г + 2^1 Р?(г) ¿г, (17)

Q'r (г0) Лг (г0)

где

| |2

Р?(г) = \vrzo - (г)\

- К,х0 (т) - УгххО (г)] ¿Т

Q'r (г0)

,,Х° (Т ) - Юг х0 (

лг (г0)

Чтобы оценить выражение Р2(г), обратимся к тождеству, которому удовлетворяет обобщенное решение задачи (12):

У {-V ■ фг + а У V ■ Уф + Мт [Ухп ■ фхт - VХт ■ фхп ]} ¿г+

+ I М:п V ■ фхт - МХт V ■ фхп) ¿г = I / ■ ф¿г + I ф ■ фЗГ. (18)

Q'r(z0) Q'r(z0) Гг(г0)

Для произвольно фиксированных в,1 € Лг(г0), в < I, и параметра е << 1 такого, что (в -е, I+е) С Лг (г°), определим кусочно-линейную непрерывную функцию Хе(г): Хе(г) = 0 при г € Лг (г0) \ (в - е,1 + е), Хе(г) = 1 на интервале (в, I). Очевидно, что Хе(^) = ^ ПРИ ^ € (в — е, в) и Хе(^) = ~£ ПРИ ^ € ^ + е)- Из тождества (18) с функцией ф(г) = £(х) Хе (г) получаем равенство

в 1+е 1+е

-- ! v(x,t) £(х) ¿х ¿г + - ! v(x,t) £(х) ¿х ¿г + ! J а У V У^хе ¿хйЬ+

в-е Пг (х0) I Пг (х0) в-е Пг (х0)

1+е 1+е

+ / У Мт ^ Х - ^Охт Х ]Хе ¿х^-г + ] У (м:п -ои - МХт -их )Хе ¿г =

в-е Пг (х0) в-е Пг (х0)

1+е 1+е

= У У /£ Хе ¿г + У У ф^Хе ¿7 ¿г.

в-е (х0) в-е^-т (х0)

Переходя к пределу по е ^ 0 в последнем равенстве, получаем, что

J [у(х,1) — «(ж, в)] £(х) йх = J ! f£dxdt + J !

~(х°) Я пг (х0) Я ^Т (х0)

I

— | У {аУ V V £ + (МТп «и — МТт ) + Мт [«Хп х — «хт ]} ЛхйЬ. (19)

Я Пт(х0)

Оценивая правую часть равенства (19), выводим оценку

,1Г (I, в) :=

[«(х, I) — «(х, в)]£(х) йх

<

Пт (х0)

< с( тп-2\\У у\\1яиг0) + гп-2 М\1яиг0) + гп \\1 \\1яиг0) + гп- \\Ф\\1гЛ*0)) \1 — в\

У1, в € Лг (Ь0). Из полученного неравенства следует, что функция ■йг х0 (Ь) определена при всех Ь € Лг (Ь0) и непрерывна на этом интервале, причем

.1г(1, в) = \шг\2 \г>г,х0 (I) — Уг,-х0 (в)\2.

Теперь выражение Р2(Ь) можно оценить следующим образом:

Р2(Ь) < с(г-п\\У + т-пМ1л,{г0) + т-п+2и ^,(,0) + т-п+1\ф\2}Тт{г0)).

(20)

Возвращаясь теперь к неравенству (17), с помощью оценки (20) получаем (14). □

Замечание 3.2. Так как при доказательстве леммы 3.1 использовались только условие эллиптичности и ограниченности матрицы а, а также условия (Н4) и (Н5) относительно функций Ст, то полученные в лемме оценки (13) и (14) справедливы для обобщенных решений и € Vзадачи (1).

Нам потребуется результат о локальной гладкости обобщенного решения простейшей задачи с заданной косой производной в следующей постановке:

Н — Л(Ь)У2Н = 0, ^ € (21)

дН(г')

дта.1

+ Мт(Ь) Нхт (г') = 0, г' € Г2,

где элементы матриц Л, Мт € Ь"(Л2) удовлетворяют условиям (Н1) и (Н5) соответственно.

Отметим, что вопросы разрешимости и возможной гладкости решения задачи Неймана в шкале соболевских пространств при р > 1 для линейных параболических систем второго и высокого порядков подробно изучались в работах [9, 10]. В частности, в лемме 4.2 работы [9] доказано утверждение приведенной выше леммы 3.2 при Мт = 0. Анализ всех этапов доказательства леммы 4.2 из [9] показал, что утверждение остается справедливым и при Мт = 0, если Мт — симметричные матрицы.

2

Таким образом, справедлив следующий результат.

Лемма 3.2. Обобщенное решение Н е Vзадачи (21) является непрерывной по Гельдеру функцией в Q+ (в параболической метрике) при любом показателе 7 е (0,1), и справедлива оценка

11*11^;,) (22) где постоянная с зависит только от V, /л, ¡л\, п, К, 7.

4. (А(Ь), МТ(Ь))-калорические функции. В этом параграфе мы рассматриваем матрицы А, МТ е Ьж(Ап(Ь°)), Лд(Ь0) С ( — 1,0). Для матрицы А выполнено условие эллиптичности (2), а для матриц МТ, т < п — 1, —условие симметричности (3). Будем также считать, что QR(z0) П Г = 0.

Определение 4.1. Функция Н е Vназывается (А(Ь), МТ(Ь))-калорической в Q'R(z0), если она удовлетворяет интегральному тождеству

I {-Н-фь + А(Ь)У Н • Уф + МТ (1)[НХп -фХт — НХт -фХп ]} сЬ = 0 (23)

Я'я (1°)

Уф е ф\дЯ'д(г°)\Гн(г°)=°.

Из тождества (7) следует, что Н — обобщенное решение в Q'R(z0) задачи с косой производной (21). Согласно замечанию 3.1 имеем Н е У2^'-н^0)).

Замечание 4.1. Так как матрицы МТ в (23) не зависят от х и функции ] и ф равны нулю, то для (А(Ь), МТ(Ь))-калорических функций Н е уиз леммы 3.1 следуют оценки

с i - ,2

/ \УЩ2с1г<^[ \Ь-ЬП}г0\2 ¿г, (24)

Я'я(*°) ^^

! \Н — Нц, |2 dz < К2 J У Н\2 (Ь. (25)

Я'я (1°) Я'я(1°)

Лемма 3.2 гарантирует, что функции Н из У(Q'R^0)) обладают дополнительной гладкостью и для них справедливы интегральные оценки Кампанато, две из которых приведены далее. Они будут использоваться при доказательстве теорем 2.1 и 2.2.

Лемма 4.1. Пусть Н е У— (А(Ь), МТ(Ь)) -калорическая функция. Тогда при любом в е (0,1) справедлива оценка

/(Р\п+2+2в Г

\1~1 — 1гр7в\ ¿г < с\ ( — ) / \к — кТ7о\ ¿г, р < г, (26)

Я'Р(1°) ЯГ (1°)

кроме того,

I \к\2сЬ < с2 I \Ь\2сЬ, р<г, (27)

уТ

Я'р(1°) ЯГ (1°)

в цилиндрах Q'r(z0) С Q+, z0 е Q+_8, при т < в, где число в е (0,1) фиксировано произвольно. Постоянные с\, с2 зависят от V, п, N и не зависят от z0, с\

зависит также от в.

Мы не приводим доказательство этой леммы, так как она доказывается точно так же, как лемма 4.1 в работе [1]. Следует только воспользоваться оценками (24), (25) и (22).

Замечание 4.2. Далее мы обозначаем как С^^+(г0)), г0 € Г, сужение множества (г0)) на Q+(z0). Заметим, что замыкание этого множества в норме определяет совокупность функций этого пространства, обращающихся в ноль на множестве дQ+(z0) \ Гд(г°). Таким образом, в определениях (7) и (23) достаточно предполагать, что пробные функции ф € С^^^(г0)).

Лемма 4.2. Пусть г0 € Г1, и матрицы А, МТ € ЬЖ(АГ(I0)), т < п — 1, удовлетворяют условиям (Н1), (Н4) и (Н5) с фиксированными параметрами V, /л, ¡л\. Для произвольного £ > 0 существует такое 6 = 5(е^, /\,п, К) > 0, что если функция и € V^+(г0)) удовлетворяет условиям

—

Q+(z0)

(т-2\и\2 + IVи\2) ¿г < 1,

(28)

— {-и-фг + А(г^и ■ Vф + МТ(г)[иХп -фХт — иХт ■фХп]} ¿г < 6 вир IV ф\

Qt(z0)

q+(z0)

(29)

для всех ф € С^^+(г0)), тогда существует такая (А(Ь),МТ(Ь))-калорическая

функция Н € V^+/2(г0)), что имеют место неравенства

— (т-2\н\2 + IV Н\2) ¿г < 2п+5, —

Q +/ 2 ( z 0 )

\Н — и\2 ¿г < £Т2.

г/2 (

Доказательство. Доказательство этой леммы похоже на доказательство леммы 4.2 работы авторов [1]. Поэтому мы отметим только основные новые его этапы. Достаточно доказать лемму для т = 1,г0 = 0, так как общий случай нетрудно получить, применяя преобразование подобия.

Итак, пусть условия (28), (29) выполнены в Q+. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда существуют такое £ > 0, последовательности матриц Ак (Ь), МТ (Ь), удовлетворяющих условиям леммы, и последовательность функций ик € Vдля которых

— (\ик\2 + V ик\2) ¿г < 1,

Q+

(30)

— {—ик ■ фг + Ак(^ ик ■ V ф + М1 (Ь)[(ик)хп ■ фхт — (ик)хт ■ фхп]} ¿г

QÍ

<

<18ир|У</>| (31)

к QÍ~

но в то же время

— \ик — Н\ 2 ¿г > £

QÍ/2

для всех (А(г), МТ(г))-калорических функций Н € V(^+/2), принадлежащих классу

Н+ = {V € V№+/2): — (\у\2 + VУ\2) ¿г < 2п+5}. (32)

^/2

Из условия (30) следует, что существует такая подпоследовательность последовательности ик (здесь и далее при выборе подпоследовательностей мы будем сохранять обозначения исходных последовательностей), что ик -и, V ик — Vu, к ^ то, в пространстве Ь2^+), и

— (\и\2 + V и\2) ¿г < 1. (33)

QÍ

Из условий \\Ак< \\МТ< /1 следует, что существуют такие

подпоследовательности, что Ак А, МТ МТ в пространстве Ь(Х'^+). Отметим, что условие эллиптичности предельной матрицы А с постоянными V, / и условие симметричности матриц МТ сохраняются.

Следующий шаг — показать, что для некоторой последовательности значений к

\\ик — и\\Ь2^+) ^ 0, \\ик — и\Ь2(п) ^ 0, к ^то. (34)

Мы опускаем обоснование этих предельных переходов, так как они фактически совпадают с тем, как это сделано в [1] при рассмотрении задачи Неймана.

Наличие соотношений (34) позволяет сделать предельный переход в неравенстве (31) по к ^ то.

Покажем, например, что при ф € С

QÍ

У МТ (г) (ик )хп ■ фхт ¿г ^ У МТ(г) ихп ■ фхт ¿г, к ^то. (35)

QÍ QÍ

Действительно,

У МТ (г) (ик )хп ■фхт ¿г =

= — У МТ (г) ик ■ фхт хп ¿г + ! МТ (г)ик ■ ( — 1)фхт ¿Г =: л + Sk. QÍ г

Рассмотрим отдельно предельный переход для Л к и Б к. Имеем

,7к ^ — ! МТ(г)и ■ фхт хп ¿г = ! МТ(г)ихп ■ фхт ¿г — [ МТ(г)и ■ (—1)фхт ¿Г,

QÍ QÍ г

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64). Вып. 1 15

так как из сходимости последовательности ик в Ь2^+) и ^-слабой сходимости в последовательности матриц М]Т следует, что

Л + I МТ(Ь)и • фхт хп dz = Я+

= — I МТ(г)(ик — и) • фхт Хп dz — I (МТ(г) — МТ(г)) и • фхт Хп dz — 0, к — то.

Я++ Я++

Если принять во внимание сходимость последовательности и к в Ь2(Г\), то аналогично доказывается, что

Бк — — МТ (Ь)и-фХт сГ, к —то.

Г1

Из сказанного следует справедливость предельного перехода (35). Слабой сходимости последовательности и к в Ь2^+) достаточно, чтобы обосновать предельный переход

J и к • фь dz — J и • фь dz, к — то.

Я+ Я+

Таким образом, в результате предельного перехода в (31), получаем интегральное тождество (23), т.е. и является (А(Ь),МТ(Ь))-калорической функцией в Q+.

Далее мы рассмотрим следующие вспомогательные задачи при каждом к из выбранной последовательности:

(V к )ь — А к (г)У2 V к = (А(г) — А к (г))У2 и, z е Q+/2,

о о

-^+ММ)МХт = 7Г?- + ММ)иХт, г'еГ1/2; (36)

дплк дплк 1

Vк =0, z' е дQ+/2 \ Г1/2.

При каждом к существует единственное обобщенное решение Vк е У2^+/2) задачи (36) (см. замечание 3.1), функции Vк удовлетворяют тождеству

У [—V к • фь + А к (Ь)У V к • Уф] dz — I МТ (ф к^фХТ (Г =

Я+/2 Г1/2

= У (Ак(г) — А(г))У и • У фdz — I (МТ(г) — МТ(г))и ^ф^ (Г (37)

Я+/2 г1/2

при всех ф е ).

Представляя поверхностные интегралы в (37) как объемные, получаем тождество

У {—Vк ■фг + Ак(г^ Vk ■ V ф + МТ(г)[^к)хп ■фхт — (Vк)хт ■фхп]} ¿г =

QÍ/2

= У (Ак (г) — А(г)^ и ■ V ф¿z + у (МкТ(г) — МТ (г))[и,хп фхт — иХт ■фхЛ ¿г. (38)

0+/2 0+/2

Учитывая симметричность матриц МТ, из тождества (38) нетрудно вывести равенство

1

i У \vk(x, s)\2 dx + у Ak(t)Vvk-Vvkdz = У (Ak(t) - A(t))Vu-Vvkdz+

В+2 Ql/2 Ql/2

+ У (Ml(t) - MT(t))[uxn -(vk)xt - Uxt -(vk)xn] dz, (39) Ql/2

где s G Лх/2, Q\j2 = Q+/2 ^{t < s}. (Подробный вывод при MT = 0 приведен в доказательстве леммы 4.2 из [1].)

Из тождества (39) следует оценка

sup ||vk( ■ ,s)\\lB+ + W Vk\\lQ+ < c HV п\\2 + < c(v(40)

«ел !/2 2'B1 /2 2'Q 1 /2 2> Q 1 /2 (33)

Кроме того, из равенства (39) имеем

Vk(■ ,В +/2 < c j \Vu\2 dz ^ 0, s ^ 0.

/2

Q 1 /2

Таким образом, получаем, что предельная функция V € У2 2), и V = 0 на множестве д^+/2 \ Г1/2.

Из оценки (40) следует слабая сходимость некоторой подпоследовательности функций гик в Ь2^+/2), но как и в случае с последовательностьюик, можно показать, что

\К — -о\\2_Q+ ^ 0, Ьк — ^о\\2,Г !/2 ^ o, к ^ то. (41)

/2

Соотношения (41) позволяют сделать предельный переход в тождестве (38):

У [^■фг + А(г)Ч V ■ Vф + МТ (г)^хп ■фхт — Vxт ■фхп }] ¿г = 0. (42)

^/2

Формально подставляя V в тождество (42) (мы опускаем процедуру сглаживания функции V по переменной г), получаем, что V = 0 в Q+/2, т.е.

Ьк\\2_^ ^ 0, к ^ то. (43)

/2

Вычитая теперь из тождества (23), которому удовлетворяет функция и в тождество (38), получаем, что ии = и — Уи удовлетворяет соотношению

У [—ии • фг ¿г + Ли (Ь)У ии • Уф] ¿г + ^ МI (Щии )Хп • фХт — (ии )Хт • фХп ] ¿г = 0

я + /2 ц + /2

при таких же функциях ф, что и в тождестве (37).

Таким образом, функция ии является (Ли(1), (1))-калорической функцией в Q+

1/2>

и — и\\1я+/2 = К\\2^+/2 ^ 0 к

Принимая во внимание оценку (33) для функции и и соотношение (43), заключаем, что при некотором ко € N справедлива оценка

\\ии\\?(я+/2) < \\и\^(я+/2) + К\\?и+/2) < 2 (шп)1/2 М > ко. (44)

Из неравенства (44) следует оценка

—1 (

ии\2 + \У ии |2) ¿г < 2п+5,

и, кроме того,

\\ии — ии\\2,ц+ < \\ии — и\\2и+/2 + \\и — ии\\2и+/2 ^ 0, к ^ж.

Два последних соотношения означают, что существует (Ли(1), МТ(1))-калорическая функция ии, аппроксимирующая функцию ии, причем функция ии принадлежит классу Н+, определенному равенством (32). Таким образом, мы получили противоречие со сделанным предположением. Следовательно, верно утверждение леммы. □

В следующем параграфе нам потребуется следствие к лемме 4.2, которое мы сформулируем также в виде леммы.

Лемма 4.3. Пусть выполнены предположения леммы 4.2. Тогда для любого е > 0 существует такая постоянная Се = С(е,и, /л, /л1,п, М) > 0, что верно следующее утверждение: для любой функции и € V^+(г0)) существуют (Л(1), МТ(I))-калорическая функция Н € V^+/2(г0)) и функция ф € (г0)),

вирц+^^о) \У ф\ <1 такие, что

— (\Н — К/%Х0 + т2\У Н\2) ¿г < 2п+5 — (\и — иг^0\2 + т2\Уи\2) ¿г,

я+/2(*0) я+(*0)

— \и — Н\2 ¿г < е — (\и — иг г0\2 + т2\У и\2) ¿г+

) ц+(г0)

+ С Т

2

•2 1 {—и • фг + Л(г)У и •Уф + Мт (г)[иХп • фХт — иХт • фХп ]}аг .

и+(г0)

Так как доказательство этого утверждения почти не отличается от доказательства леммы 4.3 из [20], мы его опускаем.

Замечание 4.3. Утверждения лемм 4.2 и 4.3 остаются справедливыми для любого цилиндра (г0), (г0) П (дQ+ \ Гх) = 0. Так как нас интересует поведение решения вблизи поверхности Гх, то можно рассматривать только цилиндры, для которых ^^х0< г/2. В противном случае Qr/2(z0) П Гх = 0, и все результаты этого параграфа справедливы в цилиндрах Qr/2(z0) согласно утверждениям, доказанным в работе [15].

5. Доказательства теорем 2.1 и 2.2.

0

¡2П

Доказательство теоремы 2.1. Зафиксируем точку г0 е Гх и Q+R(z0) с Q+.

Пусть и е У№^(г0)) —обобщенное решение задачи (1):

У [-и ■ фг + а(г, и)Уи ■ Уф + (СТп ■ фХт - С^ ■ фХп)] dz+

1+ (?.0\

(*0)

+ Мт (иХ ■ фХ — иХ ■ фХ ) dz =

' I \ ^п ' ^т ^т I ^п /

= I g■фdz + у ф■фdГ Уф е СТ^^0)). (45)

Я+а(г°) г2К(г0)

Покажем, что по данным задачи можно выбрать такие параметры 00, Ц0, Г0, что при выполнении условий (8) и (9) справедливо неравенство

1 Пи-ипхо\2 + р2Р\и\2)аг<с1(^) Ф(г, г°) + М2р2а

(46)

где показатель а е (0,1) —из условия (Н8), и число в е (а, 1) фиксировано произвольно,

2 2 2

М0 = \\(А\Ь2,п-2 + 2а^+) + 1\У\\ Ь2,п-1 + 2а(Г+у

Прежде всего отметим, что из неравенств Качопполи и Пуанкаре, после применения условия (Н8), для функции и можно получить неравенства

К-п У |У и\2 dz < с - (\и - u2R, 2с |2 + К2 \и\2) dz + сМ02Я2а, (47)

- \и - и^2012 dz < сК2 - (|У и\2 + \и\2) dz + М%К2а. Определим матрицы

Л(*):= ^'Х0 '20 )= / ^^ '20Ь

) dx,

Б + (Х0)

Мт (г):= МТх Х0 (г,иа< ,0 )= — Мт (х,г,иа< ,0)

Мт (х,1,ир г0 ) ¿х, т =1,...,п— 1.

В+(Х0)

Заметим, что Л, Мт € Ьж(Аи(г0)), причем Л(г) удовлетворяет условию эллиптичности с постоянными V < / из условия (Н1), а Мт(г) —симметричные матрицы.

Так как функция и € V^+(г0)), то согласно лемме 4.3 существует такая (Л(г),Мт(г))-калорическая функция Н € V(г0)), что

— (\Н — Нн/2,,0\2 + Я2\У Н\2) ¿г < 2п+5 — (\и — иЕ, ,0\2 + Я2\У и\2) ¿г; (48) — \и — Н\2 ¿г < е — (\и — ии , ,0\2 + Я2\У и\2) ¿г + Се Я2 С\ (и,ф), (49)

и+/2(,0) и+(,0)

где

Сн(и,ф) = — (—и • фг + Л(г)У и • Уф + Мт (г)^ •фХт — иХт •фХп ]) ¿г

Я+п(г0)

для некоторой ф € С*°^~и(г0)), \У ф\ < 1 в Q+(г0). Для оценки выражения Си (и,ф) обратимся к интегральному тождеству (45) с функцией и и заметим, что вирц+(20) \ф(г)\ < сЯ, так как ф = 0 на множестве дВ+(х0) \ ^н(х°) при г € Аи(г0). В результате получим

Ся(и, ф) <

< — (\АЛ\ + \АМт\) \У и\¿г + 2/1 — \и\¿г + сЯ — \д\ ¿г + —

Я+(г0) Я+ (г0) д+(г0) Гя(*0)

где

\АЛ\ = \а(г,и) — Л(г)\ < \а(г,и) — а(г,ип, ,0)\ + \а(г,ип,,0) — Л(г)\,

аналогично оценивается выражение \АМТ\ = \МТ(г,и) — Мт(г)\. Из условий (Н2), (Н3), (Н6)-(Н8) следует, что

¡¿Г,

Я2С\(и, г0) < с — \и — ииг0\2 ¿г^ + д* (Я) Я2 — \У и\2 ¿г+ я+(г0) )

+ сМо2Я2а + сЯ2 — \и\2 ¿г. (50)

я+п(г0)

При выводе неравенства (50) мы воспользовались выпуклостью и ограниченностью функции ш(). Оценивая правую часть соотношения (50) с помощью неравенств (47) и определения функции Ф(т, г0), получаем, что

Я2С%( и, г0) < с НФ(Я,г°))+ д *(Я)]Ф(2Я, г0) + сМ2Я2а + с Я2(1-в)Ф(Я , г0). (51)

Из неравенств (47) и (49) следует, что

- \и - Ъ\2 dz < cеФ(2К,z0) + СеК2С211 (и,ф) + сМ^К2а. (52)

^ + /2(2°)

Оценивая правую часть неравенства (52) с помощью оценки (51), приходим к соотношению

- \и - Н\2 dz < с {(£ + Се НФ(К, z0)) + д, (К) + К2(1-в)]}Ф(2К, z0)+

+ с(1 + Се )М2(2К)2а. (53) При р < К/4 справедлива следующая цепочка неравенств:

Ф(р,г0) < 4 - \u - h\2 dz + 2 - \h - hpzo\2 dz + 2p2ß - \h\2 dz <

Q+(z0) Q+(z0) Q+Z)

+ j \n-h\2dz+^yß j (\h-hR/2,zo\2+R2P\h\2)dz |

(26),(27) \P J J J (*)

Q + /2(Z0) Q + /2(Z0)

< с У + Ф^г°)+сМ^2а. (54)

Я + /2(20)

В переходе (*) мы воспользовались оценками (47), (48) и неравенством \Н\ < \и -

Ь\ + н.

Применяя к правой части неравенства (54) оценку (53) получаем, что

< с{ (|)2/? + + С^ИВД + Я-ЛЯ) + R2^})}ф(2R,

/ К ч п+2

+ с(-) (1 + Се)М2(2Д)2а. (55)

Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующими этапами доказательства теоремы 2.1 работы авторов [1]. Мы приводим их для полноты изложения.

Обозначив г = 2К, р = тг, где т < 1/8 будет фиксировано далее, мы получим из неравенства (55) соотношение

Ф(т Г, z0) < с0{т2в + т-(п+2) (е + Се[и(Ф(г, z0)) + д,(г) + г2(1-в)])Ф(г, z0) +

+ КеМ20 г2а, КЕ = ст-(п+2)(1 + СЕ). (56)

м

Напомним, что мы фиксировали ß > а. Далее полагаем 7 = G (а, ß) и выбирае: т так, чтобы выполнялось неравенство

cor2'3 < (57)

При фиксированном т выбираем е из соотношения

есот-(™+2) < (58)

8

Функция ш(з) ^ 0 при в ^ 0 в условиях (Н2) и (Н6), что позволяет фиксировать параметр в0 так, чтобы

со Сет-^+2^(во) < (59)

Теперь мы можем выбрать радиус Т0 настолько малым, чтобы выполнялись соотношения

21 й с0С£Т-^ЫГО)+Г20^)<^ КМ2г2"<^, К = Ке. (60)

Предположим, что для некоторого т < Т0 функция Ф(т,г0) достаточно мала, точнее,

Ф(т,г0) <Й0. (61)

При выполнении условий (57)-(61) из неравенства (56) следует, что

Т 27

Ф(тг,г°) < — Ф(г,г°) +КМ$г2а. (62)

В частности,

Т 27 й

Ф(тг,г°) < —в0 + ^<е0. (63)

(60),(61) 2 2

Неравенство (63) означает, что условие (61) выполнено при замене т на тт. Заметим, что все остальные условия на выбор т, е, Т0 также выполняются при замене т на т т. Следовательно, верно неравенство (62), если заменить т на тт, т.е.

т 2^

Ф(т2г,г°) < — Ф(тг,г°) + КМ$(тг)2а, 7 > а. (64)

Повторяя далее рассуждения для последовательности радиусов т3 = т3 т, ] € n1, и проводя итерации в полученных соотношениях, получим (как и в работе [1]) оценку

т 213 3

Ф{т>г,г°) < —-Ф{г,г°) +К М02г2а^ т2^-а)яг2а, (65)

2 8=0

откуда следует, что

Ф(т3т, г0) < т2а3 {Ф(т, г0) + Кх М$ т2а}. Полученные неравенства гарантируют, что при всех р < т справедлива оценка

Ф(р, г0) < с

^Уаф(г,г°) + р2«м2

(66)

Неравенство (66) совпадает с неравенством (46), и из него следует, что

2 \ \\и\\Ь(о+) /

2 ^ „ ) _к > | Л/Г 2

^да У р<г, (67)

Я+(г0)

где постоянная с определяется параметрами задачи и не зависит от г° и г. Заметим, что при фиксированном г < го неравенство (61) остается справедливым в некоторой окрестности точки z0, т.е. существует такая окрестность Я+г(г°), что для всех £ € Я+г (г°) выполняется неравенство

ф(г,е) <во. (68)

Из неравенства (68) следует оценка (67) для всех £ € Я+г (г°), а не только для точки z0, т. е.

1

SUP „.+ 9+9ГУ / 1М -UP,z°\2dz < CllMli>(Q+) +С2М02. C€QU*°)P QJp{i)

Таким образом, мы оценили полунорму (следовательно, и норму) функции u в пространстве С2'n+2+2a(Q+r (z0); S). В силу изоморфизма этого пространства пространству Гельдера Ca(Q+r(z0); S) заключаем, что решение u непрерывно по Гельдеру с показателем а в окрестности точки z0, и справедлива оценка (10). □

Следствие 5.1. (Оценка сингулярного множества). Пусть

T,u = l z0 е Q+ U Г1 : liminf J p-n(\Vu\2 + \u\2) dz > 0 l .

Тогда И(и) = иГ1)\Ти —открытое относительно иГ .множество регулярных точек функции и. Замкнутое сингулярное множество Ти допускает оценку 5) < п.

Для доказательства следствия зафиксируем в € (а, 1), где а — показатель из условия (Н8). Пусть

Тр(и) = \ ^ € и Г1 : \iminf р-(п+2(1-в)^ (|у и\2 + \и\2) dz > о1 . Предположим, что z0 € Ир (и)

= (Я+ и г 1) \ Тр(и). Тогда

ИтМр-(п+2(1-в)) I (\у и\2 + \и\2) dz = 0.

Я'Р(*°)

Из этого соотношения и неравенства Пуанкаре следует, что Ф(р, z0) ^ 0 для некоторой последовательности р ^ 0. Это означает, что в точке z0 выполнено условие (61) при некотором г < го, т.е. z0 —регулярная точка. Таким образом, множество Ир (и) открыто относительно и Г1, а множество Тр (и) замкнуто, и Нп+2(1-в)(Тв(и); 5) = 0. Заметим, что замкнутое множество Т(и) = П Тр(и)

ве(а, 1)

допускает оценку ё1т^(Ти; 5) < п, где размерность Хаусдорфа множества В С К"+1 в параболической метрике 5 определяется как

<Итп(В; 5) = Ы{к > 0 : НК(В; 5) = 0}. □

Доказательство теоремы 2.2. Схема доказательства та же, что использовалась для доказательства теоремы 2.1. В этом случае для функции 0) мы получаем оценку вида (55), в которой отсутствует слагаемое, содержащее функцию ш(-). Точнее, справедливо неравенство

2в / R \ п+2

Ф(р,г°)<с(£) Ф(2 R,z°) + c(-) {£ + Ceq42R) + R^1-^}<i>(2R,z0).

Анализируя далее доказательство теоремы 2.1, заключаем, что в данном случае можно так выбрать параметры г, е, го, что в любой точке z° будут выполняться неравенства (64), (66). Из сказанного следует, что все точки множества Q+, s < 1, будут регулярными, и оценка (11) справедлива на всем множестве Q+. □

Литература

1. Архипова А. А., Гришина Г. В. Регулярность решений квазилинейных параболических систем с негладкой по времени главной матрицей при краевом условии Неймана //В сб. Проблемы математ. анализа. 2018. Вып. 92. С. 27—44.

2. Giaquinta M., Giusti E. Partial regularity for solutions to nonlinear parabolic systems // Ann. Mat. Pura Applic. 1973. Vol.97. P. 253-261.

3. Архипова А. А. О регулярности решения задачи Неймана для квазилинейных параболических систем // Известия Росс. Акад. Наук, сер. матем. 1994. Т. 58. Вып. 5. С. 3-25.

4. Архипова А. А. О регулярности решений задачи с косой производной для квазилинейных эллиптических систем // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1994. Т. 213. С. 5-13.

5. Архипова А. А. О регулярности решений модельных нелинейных эллиптических систем при краевом условии типа заданной косой производной // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1995. Т. 221. С. 30-57.

6. Stara J., John O. Some (new) counterexamples of parabolic systems // Comment. Math. Univ. Carolin. 1995. Vol.36. P. 503-510.

7. Giaquinta M. A counterexample to the boundary regularity of solutions to elliptic systems // Manuscripta Math. 1978. Vol. 26. P. 217-220.

8. Krylov N. V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces. In Ser.: Graduate Studies in Math. Vol.96. Amer. Math. Soc., 2008.

9. Dong H., Kim D. L-p solvability of divergence type parabolic and elliptic systems with partially BVO coefficients // Calc. Var. 2011. Vol.40. P. 357-389.

10. Dong H., Zhang H. Conormal problem of higher-order parabolic systems // Transactions of AMS. 2016. Vol. 368, no. 1. P. 7413-7460.

11. Duzaar F., Mingione G. Second order parabolic systems, optimal regularity and singular sets of solutions // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Nonlinear. 2005. Vol.22. P. 705-751.

12. Bogelein V., Duzaar F., Mingione G. The boundary regularity for nonlinear parabolic systems. I // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Nonlinear. 2010. Vol.27. P. 201-255.

13. Boogelein V., Duzaar F., Mingione G. The boundary regularity for nonlinear parabolic systems. II // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Nonlinear. 2010. Vol.27. P. 145-200.

14. Duzaar F., Mingione G., Steffen K. Parabolic systems with polynomial growth and regularity // Mem. Amer. Math. Soc. 2011. Vol.214, no. 1005. P. 128.

15. Arkhipova A., John O., Stara J. Partial regularity for solutions of quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix // Nonlinear Analysis. Ser. A. 2014. Vol. 95. P. 421-435.

16. Arkhipova A., Stara J. Boundary partial regularity for solutions of quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix // Nonlinear Analysis, Ser. A. 2015. Vol. 120. P. 236-261.

17. Arkhipova A., Stara J. Regularity of weak solutions to linear and quasilinear parabolic systems of non divergence type with non smooth in time principal matrix: A(i)-caloric method // Forum Mathematicum. 2017. Vol.29, N5. P. 1039-1064.

18. Arkhipova A., Stara J. Regularity problem for 2m-order quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2018. Vol. 52, no. 1. P. 111-146. https://doi.org/10.12775/TMNA.2018.006

19. Arkhipova A. Regularity of weak solutions to the model Venttsel problem for linear parabolic systems with non smooth in time principal matrix. A(i)-caloric approximation method // Manuscripta Math. 2016. Vol.151, no. 3. P. 519-548.

20. Arkhipova A. Regularity of solutions of the model Venttsel's problem for quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix // Computational Mathematics and Math. Physics. 2017. Vol.3. P.476-496; in Russian: Ж. Вычислит. Матем. и Математ. Физики. 2017. Т. 57, №3. С. 470-490.

21. Ладыжеская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Изд-во Наука, 1967. 736 с.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2018 г.;

после доработки 3 августа 2018 г.; рекомендована в печать 27 сентября 2018 г.

Контактная информация:

Архипова Арина Алексеевна — д-р физ.-мат. наук, проф.; arinaark@gmail.com, arina@AA1101.spb.edu

Гришина Галина Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доц.; galinavg@yandex.ru

Regularity of solutions to a model oblique derivative problem for quasilinear parabolic systems with nondiagonal principal matrices

A.A. Arkhipova1, G. V. Grishina2

1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

2 Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul., 5, Moscow, 105005, Russian Federation

For citation: Arkhipova A. A., Grishina G. V. Regularity of solutions to a model oblique derivative problem for quasilinear parabolic systems with nondiagonal principal matrices. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 1, pp. 3-26. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.101 (In Russian)

We consider quasilinear parabolic systems of equations with nondiagonal principal matrices. The oblique derivative of a solution is defined on the flat part of the lateral surface of a parabolic cylinder. We do not assume smoothness of the principal matrix and the boundary functions in the time variable and prove partial Holder continuity of a weak solution near the flat part of the lateral surface of the cylinder. Holder continuity of weak solutions to the correspondent linear problem is stated. A modification of the A(i)-caloric approximation method is applied to study regularity of weak solutions. Keywords: parabolic systems, nonlinearity, regularity, oblique derivative.

References

1. Arkhipova A., Grishina G., "Regularity of Solutions to Quasilinear Parabolic Systems with Time-Nonsmooth Principal Matrix and the Neumann Boundary Condition", Journal of Mathematical Sciences 232(3), 232-253 (2018).

2. Giaquinta M., Giusti E., "Partial regularity for solutions to nonlinear parabolic systems", Ann. Mat. Pura Applic. 97, 253-261 (1973).

3. Arkhipova A., "On the regularity of the solution of the Neumann problem for quasilinear parabolic systems", Russian Academy Science, Izvestiya Math. 45(2), 231-253 (1995).

4. Arkhipova A., "On the regularity of solutions for oblique derivative problem to quasilinear elliptic systems", Journal of Math. Sci., N. Y. 84(1), 817-822 (1997).

5. Arkhipova A., "On the regularity of weak solutions of the model nonlinear elliptic systems under the oblique derivative type problem", Journal of Math. Sci., N. Y. 87(2), 3284-3303 (1997).

6. Stara J., John O., "Some (new) counterexamples of parabolic systems", Comment. Math. Univ. Carolin. 36, 503-510 (1995).

7. Giaquinta M., "A counterexample to the boundary regularity of solutions to elliptic systems", Manuscripta Math. 26, 217-220 (1978).

8. Krylov N. V., Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces. In Ser. Graduate Studies in Math. 96 (Amer. Math. Soc., 2008).

9. Dong H., Kim D., "L-p solvability of divergence type parabolic and elliptic systems with partially BVO coefficients", Calc. Var. 40, 357-389 (2011).

10. Dong H., Zhang H., "Conormal problem of higher-order parabolic systems", Transactions of AMS 368(1), 7413-7460 (2016).

11. Duzaar F., Mingione G., "Second order parabolic systems, optimal regularity and singular sets of solutions", Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéaire 22, 705-751 (2005).

12. Bogelein V., Duzaar F., Mingione G., "The boundary regularity for nonlinear parabolic systems. I", Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéaire 27, 201-255 (2010).

13. Boogelein V., Duzaar F., Mingione G., "The boundary regularity for nonlinear parabolic systems. II", Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéaire 27, 145-200 (2010).

14. Duzaar F., Mingione G., Steffen K., "Parabolic systems with polynomial growth and regularity", Mem. Amer. Math. Soc. 214(1005), 128 (2011).

15. Arkhipova A., John O., Stara J., "Partial regularity for solutions of quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix", Nonlinear Analysis. Ser. A 95, 421-435 (2014).

16. Arkhipova A., Stara J., "Boundary partial regularity for solutions of quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix", Nonlinear Analysis, Ser. A 120, 236-261 (2015).

17. Arkhipova A., Stara J., "Regularity of weak solutions to linear and quasilinear parabolic systems of non divergence type with non smooth in time principal matrix: A(i)-caloric method", Forum Mathematicum 29(5), 1039-1064 (2017).

18. Arkhipova A., Stara J., "Regularity problem for 2m-order quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix", Topological Methods in Nonlinear Analysis 52(1), 111-146 (2018) https://doi.org/10.12775/TMNA.2018.006

19. Arkhipova A., "Regularity of weak solutions to the model Venttsel problem for linear parabolic systems with non smooth in time principal matrix. A(i)-caloric approximation method", Manuscripta Math. 151(3), 519-548 (2016).

20. Arkhipova A., "Regularity of solutions of the model Venttsel's problem for quasilinear parabolic systems with nonsmooth in time principal matrix", Computational Mathematics and Math. Physics 3, 476-496 (2017).

21. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V. A., Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations (Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1968).

Received: June 13, 2018 Revised: August 3, 2018 Accepted: September 27, 2018

Author's information:

Arina A. Arkhipova — arinaark@gmail.com, arina@AA1101.spb.edu Galina V. Grishina — galinavg@yandex.ru