Об обобщенных решениях дифференциальных уравнении в банаховом пространстве i Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

V/

ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ I

г

Т. Сабиров

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Жумыста банах кещстшндеа Коши есебтщ, Ляпунов операторы термит бойынша жалпылама шеиимнщ бар жене оныц 6ip гана болуыныц жеткшкт! шарты nenmipmn, дэлелденген

В работе доказана существование и единственности обобщенного решения задачи Коши в банаховом пространстве, в терминах оператора Ляпунова.

The theorem of existence and uniqeness of general solution of Caushy's problem in the Lyapunov's operating terms in Banach space were proved in work.

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в банаховом пространстве охватывает многие важные проблемы математики и она находит широкое применения в различных областях естествознания. Известно [1, С. 179], что при надлежащей интерпретации понятия производной и выбора функциональных пространств, многие краевые и начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) могут быть рассмотрены как операторные или операторно-дифференциальные уравнения эво-

люционного типа в гильбертовом или банаховом пространствах. Это вселяет надежду в том, что мы можем перенести наиболее важные факты из теории ОДУ в ДУЧП, такие, как метод вариации постоянных, разбиение пространства состояний на подпространства, инвариантные относительно линеаризованного уравнения, и экспоненциальные оценки решений линеаризованного уравнения в этих подпространствах.

Так, например, рассмотрим уравнение Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости

—+ (уУ)у-уДу = Ур + 1\ V = — д1 Н Ие

СЙУУ = 0

на компактном римановом многообразии М, граничным условием V = 0 на гладкой границе <ЭМ • Здесь у(хД) - поле скоростей жидкости; Г(хД) -действующая на нее внешняя потенциальная сила; р - давление.

Если ввести функциональные пространства векторнозначных функции

Wk'p([0,T]xM) = Wk'p(Q),

W^P(Q) = {V е \¥к,р((2): СНУ(У) = 0,у|ам = 0}

то, после применения теоремы разложения Ходжа, уравнение Навье-Стокса может быть представлено в виде эволюционного уравнения (см. например [2, С.23]).

^--УР(ДУ(1)) + Р((У(ОУ)У(1)) = 0, си

где

Р: \\/к'р((}) -» \У0к'р(С2); кр > п, у(1)=у(1,0:(0Д)^ок+1'р(М).

При всей заманчивости этой идеи, ее осуществление сопряжено с рядом трудностей. Каких именно - об этом мы и говорим в данной работе. В банаховом пространстве Е рассмотрим задачу Коши

— +%и) = 0 (1)

СИ

и(10)=и0 (2)

где и(0 - искомая функция вещественного аргумента I со значениями в банаховом пространстве Е, т.е. и : ] -> ЕДоД е ] а Я, а СО, и) - заданный, вообще говоря, нелинейный, и, возможно, с выделенной главной линейной и неограниченной частью А(0и, оператор.

Среди многочисленных актуальных проблем теории ДУ особое место занимают вопросы о разреши-мости и единственности задачи Коши (1), (2), а также его глобальное существование.

Суть вопроса заключается в том, что в 1950 г. Ж.Дьедонне

[3, С. 337] показал, что на дифференциальные уравнения с непрерывной правой частью, в банаховом пространстве Е = со не переносится теорема Пеано о существовании решения. Спустя 20 лет, сначала Дж.Йорке, а затем А.Н.Годунов независимо доказали, что теорема Пеано неверна и в случае гильбертовых пространств. А.Сел-лин установил этот факт для нерефлексивных банаховых про-

странств, и, наконец, А.Н.Годунов [4] доказал, что все банаховы пространства, в которых верна теорема Пеано, - конечномерно. Кроме того, имеются многочисленные примеры неединственности и неглобальности решения ДУ.

Вопросы несуществования, неединственности и неглобальности решения являются типичными и для ДУЧП. Приведем пример принадлежащий Левину [5].

Задача

ди д2и dt

—=—r+f(x,u(-,t),

а2

u(0,t) = u(7C,t) = 0

где

f(х,ф) = sin х • g(cp,,ф2) + sin2x • Ь(фх,ф2)

я

Фк = (2/я) |ф(х)-sin kxdx^ (к =1,2)

о

имеет решение вида

u(x, t) = a(t)-sinx + b(t) sin2x,

если

^ = -а + g(a, b), ^ = -b + h(a, b). dt dt

При подходящем выборе g и И можем дублировать все вышеуказанные феномены присущие ОДУ, включая такие качественные поведения динамических систем на плоскости, как наличие циклов и предель-

ных циклов, фокусов и сепаратрис-ных линий и т.д.

В связи с этим возникают вопросы о нахождении дополнительных условий, налагаемые оператором ф, и), гарантирующих в сочетании с не-

№2, 2002г.

101

прерывностью существование решения задачи Коши. Следует отметить, что некоторые операторы, встречающиеся в приложениях (см. например [1], [6]), обладают свойством непрерывности в более слабом смысле, чем в ее обычном, сильном смысле. Далее, хорошо известное условие Липшица неполностью решает вопрос, так как это условие, во-первых, трудно проверяемо, а во-вторых, многие опера-

торы не обладает этим свойством. Нам кажется, что, расширив понятие решения задачи Коши (1), (2) можно найти некоторые, менее жесткие, достаточные условия существования и единственности решений этой задачи. Поясним сказанное на примере (более подробно об этом см. [7]).

Наиболее распространенной задачей для уравнения параболического типа

п п

--II

81 1=1 >-| Эх,

5 (аи(х,1)|Н-) = Г(х>1)

(3)

является начально-краевая задача, состоящая в нахождении в цилиндре (2 = О х(0,Т) функцию и(х, I) удовлетворяющей при I > 0 уравнение (3), а при I = 0 начальному условию (здесь х = (х1,х2>...,хп) е Еп, О -открытая область п-мерного евклидового пространства Еп ).

и

,-О^оМ

(4)

и каким-либо граничным условиям, на боковой поверхности цилиндра <3, например

и

= Ч>(М)

(5).

Мы будем предполагать, что выполнены условия равномерной па-раболичности

^¿¿а^хД)^^2, (хд)еО ¡=13=1

. .о п 2

где и >>0, Щ ;

¡=1

Если известные функций, образующие уравнения, обладают некоторой гладкостью, то эта начально-краевая задача (3) имеет

и(х'1)еС((2)ПСи(С>)'

классическое решение, которое удовлетворяет условиям (4), (5). В этом случае решение ДУЧП и соответствующее ему решение эволюционного уравнения совпадают. Ситуация изменится в корне, если известные функции этой начально-краевой задачи не обладают свойствами гладкости [1, С. 188]. Так, например, если ар — недифференцируемые функции, a f(x, t)eL2(Q) и I}/0(х) Е то возникает необходимость видоизменения

самого уравнения (3). Для этого умножим (3) на произвольную гладкую функцию v(x, t) и интегрируем полученное выражение по Q. Тогда задачи (3), (4), (5) перефразируются, как задача о нахождении функции u(x,t), удовлетворяющей условиям (4), (5) и тождеству (5): п п Л]

/(u,v + ZSa,uXjvXi)dxdt- J — vdSdt = Jf-vdxdt (5)

i=ij=! " J ' sT3N

при любой гладкой функции \(х, 0.

Если решение искать в \У, "(()), то в (5) поверхностный интеграл не имеет смысла. Поэтому полагая

vl =0

1st '

из (5) получим

п п

КиЛ' + Цауи ух.)с!хЛ= \f-vdxdt (6)

который имеет смысл для любого элемента и(х, I) е \У,и(<3). Это позволяет ставить задачу следующим образом: найти и е \У2 ' '(О) удовлетворяющей (4), (5) и тождеству (6). при любой гладкой v, равной нулю на 5Т.

Если и класс \\г2и((3) не окажется недостаточно широким, то можно отказаться от существования производной и . Полагая при этом у(х, Т) = 0 из (6) получим

п п

}(-иу{ + Ё5>иих ух.)ёхЛ- |м^оус1х= ¡{'\dxdt (7)

С) ¡=и=1 О о

имеющий смысл для любой тождеству (7), при всех гладких у(х, функции ие№21,0((2)- I), равных нулю на 5Т и при Т = 0.

Обобщенное решение задачи Как видно из (7), это тождество воб-(7), (4), (5) из класса \У21,0((3) можно рало в себя и уравнение, и началь-теперь определить как элемент ное условие (4). Это обобщенное ре-из \¥21,0((3) ' Удовлетворяющий шение называется решением в смыс-

ле Соболева.

Оказывается что, можно получить аналогичные интегральные тождества и другими способами [6, С. 22]. Такие ситуации возникают в особенности, если рассмотреть ДУЧП гиперболического типа [8]. При этом получаются так называемые интегральные законы сохранения, которые подобны функционалам Ляпунова из ОДУ. Причем, эти интегральные законы сохранения изменяются в зависимости от опера-

а,и)е{|1-д<Т0,||и-и(

тора, вводимого нами ниже.

Переходим к рассмотрению задачи Коши (1),(2). Предположим сначала, что

1°. Оператор и) — как оператор, действующая из 1х Е в Е непрерывен по совокупности аргументов.

При этом условии, как известно, оператор Г будет локально ограниченным. Это означает, что найдутся такие числа То > 0, г > 0, К > 0, что для всех

< г} = .10х8(и0.г) с 1хЕ

имеет место локальная ограниченность

||f(t,u)L<K (8).

Причем, если положим

Т, = min{T0;rK-1} и I = [t0,t0 +T,] = [t0,T]c J0 с J, то K-(T-t0)<r.K(T-to)Jr.

Рассмотрим отображение F : C(I, Е) -> Lp(I, Е) вида

F(u)(t) = f(t, u(t)).

Очевидно, что если иО) £ С(1, Е), то Е : С(1, Е) ->• С(1, Е). С другой стороны, если и(0 е С(1, 8(ио, г)), то в силу (8) имеем включение Е(и)(0 е Ь (I, Е). Причем, в силу плотности С(1, Е) в Ьр(1, Е) указанное включение сохраняется для всех и € Ьр(1,8(ио,г) а Е).

Определение 1. Дифференцируемый по Фреше оператор V : Е —» Е* называется оператором Ляпунова или, короче, Д - оператором, если для всех иеЕ выполнены условия:

||V(u)L < М(1

+

и

р-1

Е

), V(0) = О, М = const > 0, р > 1,

(V(u),u) > m||u||, m = const > О, ||V'(u)h|L* < M,||u

h E, M, = const > 0, h e e.

Здесь E*— сопряженное к E пространство, (Ju*,u)— значение линейного функционала u*eE* на элементе ueE, a V'(li)— производная Фреше оператора V(u) на элементе ueE.

Определение 2. Элемент U G Lp(I,E) = Lp([t0,T],E) называется обобщенным решением задачи Коши (1), (2), если u = u(t) е C([t0,T],E), и если для всех v = v(t) е C1([t0,T],E), v(T) = 0 имеет место тождество

i(AV(v(t)),u(t))dt = -(V(v0,u0) + J(V(v(t)),f(t,u(t))dt. (9)

•о * ' l0

Лемма 1. При вышеуказанном предположении 1°относительно оператора f(t, и) интеграл

j(V(v(t),f(t,u(t)))dt

to

существует.

Теорема 1. Пусть выполнено условие 1° и пусть имеет место условие

2°. существует оператор Ляпунова типа Д такой, что для каждого t е J и любого U, v G Е выполнено неравенство

(V(U - v)(f(t, u) - f(t, v),u - v) + (V(u - v. f(t, u) - f(t, V)) > -ср(ф -

где 9(t) > 0, ф G Lj(J0). Тогда существует обобщенное решение задачи Коши (1), (2) в смысле определения 2.

Доказательство. В условиях теоремы задача Коши (1), (2) имеет « в -приближенное» решение (см. например [9, С. 122]) определенное на I (в ДУЧП такие приближенные решения получаются при применении так называемых при ближений Галеркина, см., например, [6]). Зададимся последовательностью положительных чисел 8П - таких, что Еп —»со при П —> оо и, для каждого п построим «8П - приближенное» решение un(t) уравнения (1). Причем, как известно, [9, С. 125], U n (t) G S(u 0, г), Vt G I,

независимо от выбора 8П .

Лемма 2. Для всех ип(0, п = 1,2,... справедлива оценка

un ~um

<c-ô C(I,E) ~ nm>

где 5nm -> 0 при П,Ш -> oo.

Таким образом «8n - приближенные» решения un(t) образуют фундаментальную последовательность Коши в С(1, Е), и, в силу полноты последнего имеет предел u(t) Е С(1,Е). Ясно, что u(t) Е S(u0,r) для любого t Е I •

Теперь покажем, что найденное u(t) есть искомое обобщенное решение задачи Коши (1), (2).

Действительно, в силу плотности C(I, Е) в Lp(I. Е), последовательность un(t) имеет предел u*(t) в Lp(I, Е), и, если необходимо, изменяя значения u*(t) на множестве меры нуль, можем считать, что u*(t) = u(t). Поэтому u(to) = ио имеет смысл в Lp(I, Е). Теперь для всех v(t) Е C^IjE) , для которых v(T) = 0 имеем тождество:

J(V(v(t),u'n (t) + f (t, u n (t»)dt = ~(V(v(t0 )), u0 ) -

t0

- j/~V(v(t)),un(t)\dt + J(V(v(t)),f(t,un(t)))dt

t0 ^ ' lo

Отсюда, в силу условия теоремы и определения «8П - приближенного» решения получим

(V(v0),u0)- )^V(v(t)),un(t)J)dt+ J(V(v(t)),f(t,un(t))}dt

J( V(v(t)),u'n (t) + f (t, un (t)))dti

<

|M(l+||v(t)|r1)|u'n+f(t,un)||dt<

<8n-c(l+ №"■). (10)

Поскольку [to, T] компактен и u n (t) —> u(t) равномерно, в силу лем-

мы 2, то в силу непрерывности f(t, и) получим, что f(t,un(t))->f(t,u(t))

причем сходимость равномерно по t на Е. Поэтому из (10), на основании теоремы Лебега [3] при п —>• оо получим (10), т.е. u(t) есть обобщенное решение задачи Коши (1). (2). Теорема доказана. Легко доказывается единственность обобщенного решения этой задачи. В последующих работах мы обобщим полученные результаты на операторы f более общего вида.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гаевский Г., Грегер К., За-хариас К. Нелинейные операторные и операторно-дифференциальные уравнения. М.: «Мир», 1978, 327 с.

2. Странные аттракторы. Новое в зарубежной науке. Математика. 22. М.: «Мир», 1981,253 с.

3. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: «Мир», 1964.

4. Годунов А Н. О теореме Пе-ано в банаховом пространстве. Функциональный анализ и его приложения. Т. 9, вып. I, 1975, С.59-60.

5. H.Levine. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations.

Arch.Rat.Mech. Anal, v 5,1973, p.371 -386.

6. Лионе Ж..-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: «Мир», 1972, 587 с.

7. Ладыженская O.A., Солон-ников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М.: «Наука», 1967,736 с.

8. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами, М.: «Наука», 1990, 316 с.

9. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: «Мир», 1971.