CC BY
9УДК 541.12.0122: 539.213.3
В.А. Сиренек1
Введение
При моделировании диффузионных процессов с релаксационным характером массопереноса широко используются гиперболические уравнения - волновые (релаксационные) модели [1-3]. Наиболее известное из них имеет вид:
" ' Г) * " (1)
Т^и "I" ^ = и схх
где с(х,0 - концентрация, D* - коэффициент диф-фузии,т - время релаксации.
Верхние штрихи у с(х,0 означают дифференцирование по нижнему индексу.
Гиперболические уравнения, в отличие от параболических с постоянными коэффициентами (в том числе от классического уравнения диффузии Фика), учитывают конечность скорости распространения возмущений концентрации. Их решения позволяют адекватно описывать дифференциальные характеристики массопереноса, т.е. профили концентрации целевого компонента с резко очерченным фронтом, проявляющим себя на начальной (релаксационной) стадии процесса. (Решения уравнения Фика адекватно описывают стадию развитой диффузии с «размытым» фронтом профиля).
Отдельные краевые задачи для линейного уравнения (1) имеют аналитическое решение. Однако при численном решении общих гиперболических уравнений универсальным методом конечных разностей сталкиваются с определенными трудностями, связанными с существенными искажениями крутых линий раздела фаз - эффекты диссипации (изменение наклона фронта профиля) и дисперсии («выбросы» концентрации на фронте), возникающими при переходе от дифференциальных уравнений к разностным [4]. Эффективным средством избежать подобных проблем служат основанные на методе Монте-Карло численно-вероятностные способы решения дифференциальных уравнений, не обладающие по-
СВЯЗЬ РЕЛАКСАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МАССОПЕРЕНОСА С МОДЕЛЯМИ «СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ» И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ НА ИХ ОСНОВЕ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Московский пр., д. 26
Рассмотрена связь общих линейных гиперболических уравнений с порождающими их случайными (имитационными) процессами типа «блуждания частицы». Решения диффузионных задач, основанных на гиперболических уравнениях массопереноса (релаксационных моделях), выражены через математические ожидания «рандомизированных» (согласно случайному имитационному процессу) решений волнового уравнения и численно реализованы методом Монте-Карло.
Ключевые слова: диффузионные процессы, гиперболические уравнения массопереноса, релаксационные модели, случайный процесс, метод Монте-Карло.
грешностью, обусловленной дискретизацией задачи. Решение в этом случае сводится к осреднению некоторого функционала от реализаций моделируемого случайного процесса - имитационного или фиктивного (специально построенного) [5]. Представляющие собой модели «случайного блуждания» и лежащие в основе вывода дифференциальных уравнений массопереноса, имитационные процессы позволяют не только решать эти уравнения методом Монте-Карло, но и изучать вероятностную природу характеристик массопереноса. Вероятностный подход к исследованию процессов переноса является хорошим дополнением к другим методам исследования и особенно оправдан тогда, когда физическая природа моделируемых явлений сама подсказывает их вероятностную интерпретацию [6-9]. Так, на основе связи уравнения (1) и его решений со случайным процессом автором получены вероятностные представления для кинетических характеристик диффузии в твёрдой фазе - профиля остаточной концентрации выходящего из образца целевого компонента, средней эффективной ширины диффузионной зоны, «диффузионного пути», намечены соотношения, связывающие микро- и макропараметры вероятностных схем массопереноса в рамках волновой и классической моделей диффузии [3,10].
Выигрышным в вычислительном отношении при решении какой-либо задачи математической физики является известный приём, основанный на использовании решений более простых задач [11]. Применительно к гиперболическим уравнениям - это использование точных решений простейшего гиперболического (волнового) уравнения. Приложение данного приема к решению нелинейных уравнений развито автором в [12]. В настоящей работе решения типовых диффузионных задач на основе линейных гиперболических уравнений массопереноса представлены в виде математического ожидания от "рандомизированных" точных решений волнового уровнения.
1 Сиренек Валерий Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, каф. системного анализа, e-mail: [email protected] Дата поступления - 16 декабря 2013 года
Численная реализация таких вероятностных представлений осуществлена методом Монте-Карло.
Вероятностный способ решения телеграфного уравнения (задача Коши)
Вероятностным аналогом уравнения (1) можно считать уравнение:
си + 2ас1 = ю*схх (2)
известное в литературе как телеграфное [13]. Этому уравнению соответствует случайное блуждание (имитационный случайный процесс), в котором фиктивная частица движется по прямой с постоянной скоростью w, изменяя направление движения с некоторой интенсивностью а. Исходя из принципов «случайного блуждания», уравнение (2) было получено при моделировании различных физических процессов [6-9]. Подобные случайные процессы изучались также и теоретически [14, 15]. Решение уравнения (2) с начальными условиями:
с|с=о = Ф(*х оП*), * е [-00,+оо] (3)
было получено в виде математического ожидания Е от «рандомизированной» формулы Даламбера, доказаны единственность и существование [16]:
г = /оС-!)""00^ (4)
где N,¡(3) - число перемен скорости «частицы» за время s [процесс Пуассона с параметром а (точечный процесс)], значения (_1)^,00 чередуются (+ или -), £ - «рандомизированное время» (случайная величина). Вычисление с(хД) осуществляется методом Монте-Карло, т.е. осреднением выражения в фигурных скобках при достаточно большом числе М реализаций И (? е (—{,{]). При этом т-ая реализация 1 (т = 1,2.....М) есть
Ьт = 2у=1 С—1)-' + 1А£у, где А^ = § - (Л ^ - моменты перемен скорости «частицы»;]- номер скачка; к = 0; От - число
перемен скорости за время ! в т-ой реализации t (определяется условием ^"^Д = А!] - показательно распределенная величина с плотностью вероятности а-ехр(-а!) и рассчитывается как А^ = -1пг / а, где г - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1). В дальнейшем в целях повышения эффективности метода Монте-Карло вероятностные представления решений выражены в виде суммы двух слагаемых, соответствующих двум противоположным случайным событиям L = {N,(0 =
0} и 1 = {Ыа(Ъ) > 1}; при этом Р^} = ехр(- а() и Р{Ь} =
1 — ехр(- а!) - вероятности этих событий. Первая ситуация детерминирована (х^ + вторая обеспечивается условием < где = А?1 = - (1 / а)1п(1 - г(1 - ехр(-а!))) - время до первого изменения скорости.
Модель случайного блуждания, соответствующая уравнению (2), исследовалась в обобщенном виде как теоретически [17], так и при описании различных процессов тепломассопереноса [18-21]. В общем случае за фазовое пространство имитационного случайного процесса можно принять объединение двух параллельных прямых на плоскости (х,у) с заданными на этих прямых скоростями Wl и W2. Переключение w, происходит с интенсивностью (ча-
стотой) а, а «гибель частицы» - с интенсивностью к. В уравнение переноса, кроме членов из (2), будут входить добавочные члены с'х, с с соответствующими коэффициентами. Решение такого обобщенного уравнения с помощью детерминированной замены переменных может быть сведено к решению уравнения (2) [21].
Точные решения волнового уравнения
На основе интегрального уравнения колебаний
[22]
/й + + /(*,Ых&г,
где область G ограничена кусочно-гладкой кривой Я, получены аналитические решения различных краевых задач для неоднородного волнового уравнения. Для примера рассмотрим задачу на отрезке [0, X]:
£'и=™Ч'хх+Кх,1У, (6)
£|<г=о = ¥>0). = ?(*),* 6 (ОД);
«11=0 = П (О, £ 1*=* = У г (О, 1>0. (7)
(5)
Выражения с(хД) для t > Т, где Т = X (с многократными отражениями характеристик уравнения (6), выходящих из точки (х, 0, от границ отрезка [0, X]), выводятся через выражения для t < Т в области №{0 < z < Т; 0 < х < X}, z = t - s, s = 0 (рисунок а, б). Область □, не допускающая более одного отражения характеристик, по типу формул для её точек диагоналями х - 1« = 0, х + 1« = X разбивается на четыре зоны I, II, Ш, IV. Использованы обозначения к рисунку: В(х1, s), В'(-х1, s), С(х2, s), С'(х3, s), D(0, 11), D'(X, 12), Е(0, s), Е'(Ж, s); х1 - wz, х2 = х + wz, х3 = 2X - х - wz, 11 = z - х / «, 12 = z - (X-x) / «. Для задачи (6), (7) получены решения для всех зон □. с(А|) при ^х, 1) = 0 -формула Даламбера.
С(А!) = © • МВ) + <рСО] + • + (¿) • ИА,всПх- (8) КА") = • [-«.(в1) + ,(01 + • /в, + п № +
+Ф-Я(9) £(А">) = • Мв) + <р(с')] + (¿) • £ $(у)йу + ■ 1*(Шу +
ъШУ + (£) (© ИЛШВС<В' + )Пх,ЫхЛ; (10)
е(л-) = $ • [„(С) - <р(в') ] + (¿) • и (Шу + £) • +
+Ут+*У2шу+(£)((¿)иА,увв-в-+(п> При решении уравнения (6) с условиями
с|»=о = , £\х=х = УзСО
НА'") = (!) • МВ) - <р(С')] + ф ■ ¡Ц ?(у)йу+ (12)
+ г3(0') + ф ■!!„,„ дсЪ.Г(х,тмх
ес^'") = мв') + <р(с')] + (¿) ■ £ + /1(0) +Гз(0) +
При решении (6) с граничными условиями
£(А») = (1) • МВ') + ср(С)] + • + • (Шу -
~"1°У*ШУ + 0;)(£)ИА„ВВ'С + ПВЕВ' )ах.Ых<11; (14)
НА") = @ • МВ) + <о(С')] + (¿) ■ í(y)dy + (1) • £ {(у)ёу + (1) • •/г + Г2(у)йу - № Га(У)С1У+
+ ® (© Я+ Вм* + и)/^' №. (15)
Рисунок а
ления вещества, поступающего в образец через границу х = 0 и не достигающего второй границы. Погрешность решения по формуле (18) (методом Монте-Карло, M =104) относительно расчёта по детерминированной (известной) формуле [3] при t < 5т менее 1%.
Задача о переносе вещества в ограниченный образец:
и I п '
т си + сг = £> сг
"XX > clt=0 — 0> ctlt=0 — О» X б (О,Г); с\х=0 = 1, с'х\х=х = 0,t>0
Коши
Задача (19) сведена к задаче X £ (+оо, — оо) с начальными условиями:
c|t=o = 1 - Signix - 4пХ), (4п-2)Х<х<(4п+2)Х, п = 0,±1±2...; c'tk=0 = О
(19) для
(20)
Рисунок б
Эти формулы, полученные для различных краевых задач и всех зон области □, проверены на функциях, удовлетворяющих уравнению (6). Заметим, что аналитические выражения с(х, г) вместе с выражениями с{(х, Г)и £х(х,Ь) использованы автором при построении эволюционного оператора для волнового уравнения в методе решения квазилинейных гиперболических уравнений на основе обращения дифференциального оператора [12].
Способы решения релаксационного уравнения (краевые задачи)
Реализованы два способа решения диффузионных задач на основе релаксационного уравнения 1 в его взаимосвязи с моделью «случайного блуждания»:
1) сведение исходных краевых задач к задаче Коши с последующим осреднением «рандомизированной» (по времени) формулы Даламбера;
2) непосредственное осреднение «рандомизированных» точных решений волнового уравнения, соответствующих исходным краевым условиям.
Две краевые задачи методом «продолжения начальных условий на всю ось х» сведены к задаче Коши и решены первым способом (подробнее см. в [23]).
Задача о переносе вещества в полуограниченный образец:
тС; +с; = 0'схх, ^0 = 0,4^=0 = 0, х>0; (16)
с\х=0 = 1 ¿>0
Задача (16) сведена к задаче Коши с начальным условием вида «ступеньки»:
с|(=о = ФМ = 1 - «0пМ, <4=0 = 0, (17)
х е (-оо, +оо)
Для начального условия такого вида математическое ожидание в выражении (4) переходит в вероятность.
Вероятностный вид решения задачи (1), (20) обобщает формулу (18):
c(x,t) = е~м ■ S2 + (1 + е~м) ■ [р{*<° Е V\Na(t) > l} + + Р{*1'> G V\Na(t) > l}],
где 52={1, если х — wt Е V; 0, если х — wt $ V}-, V=U П[(4п-2)*,4п*]. (21)
Последующие краевые задачи решены вторым способом. Решение представлено в виде математического ожидания от «рандомизированных» точных решений волнового уравнения, соответствующих исходным начальным и граничным условиям. Тем самым численно проверяется возможность обобщения вероятностной формулы (4) на случай решения краевых задач без предварительного сведения их к задаче Коши. Для уравнения (1) рассмотрены три краевые задачи с начальными условиями общего вида (22) и различными комбинациями граничных условий 1-го и 2-го рода (23)-(25):
c|t=0 = c*|t=0 = <р(х), ct|t=0 = (c*)'tIt=o = fW.x e [0,*]; (22)
а) c\x=a = c'|x-o = c'x\x=x = (c')'x\x=x = y2(t); (23)
б) c\x=0 = c'\x=o = n(t), c'x\x=x = (c')'x\x=x = КзМ; (24)
в) c\x=0 = c*U=0 = nit), c'x\x=x = (,c%\x=x = y2(t); (25)
где c* (x,t) - контрольное решение уравнения (1), в соответствии с которым задавались условия (22)-(25). Решение задач (1),(22), (23)-(25) имеет вид:
ф, t) О. e~at ■ Их, 0 + (1 - e_at) • ф • Е*=1 CirfJ, (26) где c(x,t) - аналитическое решение задач для однородного волнового уравнения (6), (22)-(25) - формулы (8)-(15) при f(pc,t) = 0. Одним из решений уравнения (1) является с'(х, t) = cosх • expft(Va2 - w2 - a)], Результаты расчета по формуле (26) методом Монте-Карло (M = 104) - в таблице, где №z - номер зоны области □, о - выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины c(x,t), ЪоуГм - определяет доверительный интервал. Относительная погрешность расчета (А) при t < т - менее 1,5%, при t < 7т - менее 4%.
С учетом a = 1/2т, w = JD*/т, с помощью функции 5i={1, если x - wt < 0; 0, если x - wt > 0} и случайных событий L и , решение задачи (1), (17) может быть выражено через условные вероятности:
с(х, t) = е~м ■ + (1 - е~м) ■ [р{4° < 0|i} + Р[х& < 0|Е}], (18)
ДО _
= х +1,
[>] о
(18) характеризует начальную стадию распреде-
Таблица. Решение-уравнения (1) по формуле (26) методом Монте-Карло при сравнении с точнымрешением с*(х, t) = cos х - exp[t(л/а2 —w2 — а)] при а — 3,
w = 1, X = ж/2.
Типы краевых задач (граничных условий)
X t № z Точное решение с* (х, t) с(0, t) = Yi(t) с'х а, 0 = y2(t) с(0, t) = 7i(t) с(Х, t) = уз(0 с'х (0, t) = 74(t) с'х а, 0 = y2(t)
с(х, t) 3 WM А, % с(х, t) 3 G4M А, % с(х, t) 3 g4M А, %
0.6 0.1 I 0.811 0.808 0.003 0.4 0.806 0.003 0.6 0.813 0.003 0.2
0.6 0.7 II 0.732 0.712 0.02 2.7 0.722 0.02 1.4 0.702 0.02 4.0
0.6 1 IV 0.695 0.684 0.02 1.6 0.682 0.02 1.9 0.686 0.02 1.3
0.9 0.1 I 0.611 0.609 0.02 0.3 0.605 0.02 1.0 0.609 0.02 0.3
0.9 0.7 III 0.551 0.549 0.02 0.4 0.565 0.02 2.5 0.535 0.02 2.9
0.9 1 IV 0.524 0.516 0.02 1.5 0.512 0.02 2.3 0.530 0.02 1.1
Выводы
На основе связи линейных гиперболических уравнений с моделью "случайного блуждания" разработаны численно-вероятностные способы решения практических диффузионных задач с учетом релаксационного характера массопереноса. Известный приём использования точного решения волнового уравнения при решении телеграфного (релаксационного) уравнения (задача Коши) распространён на случай краевых задач. Полученные в виде математического ожидания от рандомизированных (по времени) точных решений волнового уравнения вероятностные представления решений, численно реализованы методом Монте-Карло с достаточной для практики точностью.
Литература
1. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия, 1972. 560 с.
2. Таганов И.Н. Моделирование процессов мас-со- и энергопереноса. Нелинейные системы. Л.: Химия, 1979. 204 с.
3. Таганов И.Н., Сиренек В.А. Волновая диффузия. СПб.: НИИХ СПбГУБ, 2000. 209 с.
4. Абиев Р.Ш. Вычислительная гидродинамика и тепломассообмен. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2002. 576 с.
5. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984. 205 с.
6. Фок В.А. Решение одной задачи теории диффузии по методу конечных разностей и приложение его к диффузии света // Труды ГОИ. 1926. Т. 4. Вып. 34. С. 1-32.
7. Давыдов Б.И. Уравнение диффузии с учетом молекулярной скорости // Докл. АН СССР. 1935. Т. 2. № 7. С. 74-475.
8. Ляпин Е.С. О турбулентном перемешивании воздуха в атмосфере // Метеорология и гидрология. 1948. № 5. С. 13-24.
9. МонинА.С. О диффузии с конечной скоростью // Изв. АН СССР сер. геогр. 1955. № 3. С. 234-248.
10. Сиренек В.А. Моделирование диффузионных процессов в стеклах с релаксационным характером массопе-реноса // Известия СПбГТИ(ТУ). 2013. № 22(48). С. 113-120.
11. Hersh R. The method of transmutations // Lect. Notes Math. 1975. V. 446. P. 264-282.
12. Сиренек В.А. Вероятностное решение квазилинейных гиперболических уравнений на основе обращении дифференциального оператора // Журн. вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 3. С. 417-427.
13. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967. 176 с.
14. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. 1938. Вып. 5. С. 5-41.
15. Феллер В. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. 1938. Вып. 5. С. 57-96.
16. Kisynski J. On M.Kac's probabilistic formula for the solution of the telegraphist's equations // Annales polonici mathematici. 1974. V. 29. P. 259-271.
17. Hersh R. Stochastic solution of hyperbolic equations // Lect. Notes Math. 1975. V. 446. P. 283-300.
18. Бородуля В.А., Теплицкий Ю.С., [и др.]. К вопросу о математическом моделировании процессов переноса тепла и твердых частиц в псевдоожиженном слое // Инженерно-физический журн. 1982. Т. 42. № 2. С. 251-259.
19. Протодиаконов И.А. Динамика процессов химических технологий. Л.: Химия, 1984. 304с.
20. Вестертерп К.Р., Дильман В.В. [и др.]. Волновая модель продольного перемешивания // Теор. основы хим. технологии. 1995. Т. 29. № 6. С. 580-586.
21. Сиренек В.А., Сидоров В.А. [и др.]. Вероятностный подход к исследованию волновой модели продольного перемешивания // Теор. основы хим. технологии. 1999. Т. 33. № 5. С. 539-546.
22. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
23. Сиренек В.А., Крючков А.Ф. Вероятностное решение начально-краевой задачи для гиперболического уравнения массопереноса // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 6. С. 107-117.
