CC BY
7УДК 541.12.0122: 539.213.3 Valeriy A. Sirenek
PROBABILISTIC MODELS OF RELAXATION PROCESSES OF CONVECTIVE MASS TRANSFER
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia e-mail: [email protected]
The relationship between the general linear hyperbolic equations (relaxation models) of mass transfer processes and occasional imitation of"walk of a particle", i.e., the processes underlying the derivation of these equations is studied. This provides the possibility not only to solve for-garden??? based on hyperbolic equations by the Monte Carlo method, but also to study the probabilistic nature of the simulated phenomena.
Keywords: hyperbolic equation of mass transport, relaxation models, stochastic processes, Monte Carlo method.
Введение
При математическом моделировании нестационарных процессов массопереноса с учетом релаксационных эффектов широко используются гиперболические дифференциальные уравнения - релаксационные (волновые) модели [1-3]. Весьма общим и показательным примером в этой связи может служить гиперболическая система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, представляющая собой модель конвективного массопереноса п-компонентной смеси с набором п скоростей и взаимным межфазным обменом, где в качестве набора п потенциалов физического поля рассматривается набор п концентраций. К частным случаям таких моделей при п = 2 могут быть отнесены - модель диффузии с учетом молекулярной скорости [4], двухконцентрационная модель перемешивания частиц в псевдокипящем слое с учетом их инерционности [5], волновая модель продольного перемешивания жидкости в трубчатом реакторе с учетом двух характерных областей в потоке [б]. В случае необходимости система двух дифференциальных уравнений первого порядка может быть сведена в одно общее гиперболическое уравнение второго порядка, простейшим частным случаем которого является уравнение типа телеграфного.
Нахождение приближенного решения гиперболических уравнений традиционным методом конечных разностей наталкивается на трудности, связанные с искажениями концентрационного фронта, возникающими при переходе от дифференциальных уравнений к разностным [7]. Принципиально иной подход к этой проблеме доставляют численно-вероятностные методы, успешное применение которых к эллиптическим и параболическим уравнениям хорошо известно [8]. Что касается вероятностного представления решения гиперболических уравнений, то отправной точкой исследований в этом направлении принято считать работу [9], где рассмотрена вероятностная модель ("случайное блуждание" фиктивной частицы на
В.А. Сиренек1
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
РЕЛАКСАЦИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ
КОНВЕКТИВНОГО
МАССОПЕРЕНОСА
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: [email protected]
Исследована связь общих линейных гиперболических уравнений (релаксационных моделей) массопереноса со случайными имитационными процессами типа "блуждания частицы", т.е. процессами, лежащими в основе вывода этих уравнений. Это предоставляет возможность не только решать задачи, основанные на гиперболических уравнениях, методом Монте-Карло, но и изучать вероятностную природу моделируемых явлений.
Ключевые слова: гиперболические уравнения массопереноса, релаксационные модели, случайный процесс, метод Монте-Карло.
координатной прямой), связанная с одномерным телеграфным уравнением, и получено решение одной частной задачи Коши для этого уравнения в виде математического ожидания "рандомизированной по времени" формулы Даламбера. В работе [10] этот результат обобщен на случай задачи Коши с начальными условиями общего вида. В работах [11-13] предложены способы численной реализации решения задачи Коши для трехмерного аналога телеграфного уравнения, представленного в виде математического ожидания "рандомизированной по времени" формулы Кирхгофа. Теоретически изученная связь гиперболических уравнений и их решений со случайными процессами [9, 10, 14] дает выход на практические задачи [15, 16]. На основе этой связи имеется возможность привлечь для решения этих уравнений сравнительно простой при его численной реализации метод Монте-Карло. Кроме того, вероятностный подход к исследованию процессов переноса является хорошим дополнением к другим методам исследования и особенно оправдан тогда, когда физическая природа моделируемых явлений сама подсказывает их стохастическую интерпретацию, т.е. когда вводимый случайный процесс (случайное блуждание) согласуется со статистикой элементарных актов взаимодействия переносимых частиц со средой [4-6, 17]. Благодаря вероятностному подходу появляется возможность вероятностной трактовки кинетических характеристик моделируемого процесса [3].
Связь гиперболических уравнений с моделями «случайного блуждания»
Рассмотрим марковский случайный процесс ("блуждание фиктивной частицы"), приводящий сначала к гиперболической системе двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а затем к общему гиперболическому уравнению второго порядка. За фазовое пространство этого случайного процесса □ = (-<ж,+<ж)-{|Ж1, W2} примем объединение двух парал-
1 Сиренек Валерий Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, каф. системного анализа, e-mail: [email protected] Valeriy A. Sirenek, PhD (Eng.), Associate Professor, Department of systems analysis
Дата поступления - 2 февраля 2015 года
лельных прямых на плоскости (ху) с заданными на этих прямых скоростями и ^2. Переключение скорости Wi на скорость Wj происходит с интенсивностью (частотой) о$, а "гибель частицы" - с интенсивностью к. Состояние процесса в момент времени t обозначим через z(t) = (х®,у(°) е О. Подобные случайные процессы "на координатной прямой" впервые теоретически были исследованы А.Н. Колмогоровым [18], существование и единственность доказаны В. Феллером [19]. Напомним некоторые сведения из современной теории случайных процессов [20]. С использованием переходной вероятности случайного процесса Р(^,В), где В е О, для всякой ограниченной и измеримой F(z) на О можно поставить в соответствие функцию Н^Д):
Я(г,0 = ¡Г(у)Р((,г,с1у), t > 0, zе О; Н^,0) = F(z) (1)
Отсюда находим:
а также функцию:
к г)=!1т ш*<ьт
40 г
(2)
если этот предел существует. Говорят, что F принадлежит области определения инфинитезимального оператора случайного процесса А и записывают это как F е DA, если предел (2) существует равномерно по z е О. В операторной форме соотношение (2) можно записать как
L=AF
(3)
Если F е DA, то функция Н(г) удовлетворяет, так называемому, обратному уравнению Колмогорова:
—Н (2, г) = АН (2, г) дг
(4)
Для случайного процесса, заданного на двух параллельных прямых, имеем:
Н (2, г) = [Нг (х, г)}2, Н(2,0) = ^(2) = ^(х, Ц )}2 = (х)}2
(5)
С учетом (5) соотношение (3) выражается в векторной форме:
I. (б)
где Ц и К2 можно найти по определению (2). Пользуясь определением математического ожидания, можно получить соответствующие нашему процессу выражения Н(х^) для времени dt. Рассмотрим для определенности точку на первой прямой такую, что х(0) = х , w(0) = Wl и потребуем, чтобы случайный процесс из состояния (х^) за бесконечно малый промежуток времени (0^) с вероятностью равной 1-о^+0Щ переходил в состояние (x+Wldt,Wl), а с вероятностью а^+0Щ совершал скачок в область (х+0(1), W2) на второй прямой. (Здесь 0Щ№ ^ 0, 0(1) ^ 0 при dt ^ 0). Допустим, кроме того, что вероятность "выживания частицы" за время dt равна 1-kdt+0(dt). Выражение Н1( х, &) будет иметь вид:
Нх (х, Жг) = [(1 - а12 Жг + 0(&г)) ^ (х + ц&г) + +(а12 &г + 0(&г)) (х + 0(1))](1 - к&г) + 0(&г) = = [Ех (х) + (Е{(х)ц - а12F\ (х + ) +
+а12 ^2 (х + 0(1)))&г ](1 - кск) + 0(&г)
Ых) = Нш Н1(х, &) - х) =
&г ¿0
&г
= Н(х)- а12(х) - Щ (х) + а12 ¥2 (х)
Если рассмотреть в качестве исходной точки процесса некоторую точку на второй прямой: x(0) = х w(0) = W2, то, действуя аналогичным образом, получим выражение для L2(x):
Ц (х) = F2 (х) ц - а21^2 (х) - к^2 (х) + а21^1 (х)
Инфинитезимальный оператор нашего случайного процесса А имеет вид матричного дифференциального оператора:
А =
ц -д/дх - к - а12 а21
а12
ц - д/дх - к - а21
(7)
Таким образом, установлена связь между введённым случайным процессом и гиперболической системой (4). Относительно g = H1 + Н с учётом ц = (ц + ц2)/2, ц = (ц - ц2)/2 уравнения системы (4) могут быть сведены в одно общее гиперболическое уравнение 2-го порядка:
- 2 - (Ц2 - Ц^х + (а12 + а21 + 2 к№ - (8)
-[^(а21 - а12)+Ц(а12 + а21+2к)]#'х + (а12 + а21+к)к8 = 0 ,
где верхние штрихи у функции g(x,t) означают дифференцирование по нижнему индексу (переменной). В частном случае Wl = w, W2 = -w смешанная производная в (8) исчезает. Однако, при 012 * О21 существует преимущественное движение случайного процесса в одном направлении, что соответствует наличию конвективного члена. Для "сохраняющихся частиц" (при k = 0) имеет место уравнение:
ё"г + (а12 + а21)ё'г + ц(а12 - а21)ё'х
-- ц2§"хх
(9)
Если 012 = О21 = о, то получаем телеграфное уравнение:
8п + 2а2'г = Ц2 № £ г
(10)
Релаксационные модели массопереноса
Траектория введённого выше случайного процесса отражает физический механизм реального явления (двухфазного конвективного массопереноса с межфазным обменом). Однако полученное нами обратное уравнение Колмогорова (4) не имеет непосредственной физической интерпретации, т. к. H(z,t) в нём всего лишь некое математическое ожидание, а t - время до конца процесса. Иное дело - прямое уравнение Колмогорова, имеющее вид:
—я (2, г) = А*я (2, г), я (2, г) = (яг (х, г )}2 дг
А
-ц - д/дх - к - а12 а12
а21
■ц2 -д/дх - к - а21
(11)
, (12)
где искомой функцией R(z,t) является плотность вероятности случайного процесса, пропорциональная потенциалу переносимого физического поля (концентрации, температуре), а значение t - текущее время от начала процесса. Л* - оператор, сопряженный оператору A из
уравнения (4). Связь между обратным и прямым уравнениями Колмогорова исследована в [15]. Операторы A и A*, кроме знаков при скоростях wi и W2, различаются выражениями, характеризующими межкомпонентный стохастический обмен. Выражение A* получено на основе определения сопряженного оператора через скалярное произведение (Af,g) = (f, A*gJ.
Гиперболическая система (11) выступает в качестве моделей широкого круга релаксационных процессов, причем не только массопереноса, но и теплопере-носа. Например, она использовалась в качестве модели нестационарного режима работы теплообменника и модели теплообмена между лентой стекла и воздухом при отжиге стекла, в этом случае Ri(x,t) - температуры [21]. Система (11) использовалась также в качестве модели газообмена во взвешенном слое твердых частиц [5], в этом случае R¡(x,t) и R2(x,t) - концентрации газа в плотной фазе и фазе пузырей; при этом k = 0; W1 = М1(Мпл,Ф,Впл), W2 = W2(Wр,Wпл,Ф,Sп), Ü1 = 01(Р,ф,8пл), 02 = 02(Р,Вп); в - коэффициент межфазного обмена; ф - газонаполнение; Wр,Wпл - скорости газа (рабочая и в плотной фазе); Впл, Вп - пороз-ности в обеих фазах.
Наиболее полным вариантом системы (11) является волновая модель продольного перемешивания жидкости в проточном трубчатом реакторе [6]. Модель описывает конвективный массоперенос с модельными скоростями W1 и W2 в неподвижной системе координат: w1 = U + U1, W1 = и - U2, где U1 и U2 - скорости течения в двух областях трубы, формирующихся в движущейся со средней скоростью потока и системе координат. Между обеими областями происходит непрерывный стохастический обмен. Среднее время задержки частицы примеси в /-ой области: t ~S/D1, (i = 1,2); Si - площадь сечения /-ой области; S= (S1 + S2) - площадь сечения трубы; D± - коэффициент радиальной диффузии; Ü12 = Ш; Ü21 = Ш; 1/t = 1/Г1 + 1/fe; t = 1/( ü 12 + Ü21) - время релаксации (выравнивания) концентрации примеси по сечению трубы; k - константа скорости химической реакции 1-го порядка; Ri = (S/S)c;; c¡ - локальная концентрация примеси. С учётом условия U1S1 = U2S2 и обозначений w = (w1 + w2)/2 = (2U + и - и2) и w = (w1 - w2)/2 = (и + и2)/2 относительно средней концентрации примеси c = R1 + R2 и потока переноса q = w(R1 -r2) из системы (11) получены соотношения:
q = — (w2c'x + q't + wq'x )/(a12 + a21 + k) , (13)
c't + wcx +q'x+kc = 0, (14)
сводящиеся в дисперсионное уравнение, приведенное в [6]:
0% + (2U + Uj - U2)®c"xt +
+[U2 + Ü(ui - U2) - U1U2 ]0cXx +
+(1 + 2 k 0) c' + [(1 + 2 k 0) U +
+(U1 - U2) k 0] cX + k (1 + k 0) c = 0
Здесь 0 = т = SiS2 / [(Si + S2)D], Коэффициент при c"xx называется коэффициентом продольной дисперсии. Значения параметров иъ и2, 0 уравнения (15) могут быть рассчитаны при известном профиле скорости и механизме радиального переноса вещества [22]. Уравнение (15) и сопряженное ему (8) различаются знаками коэффициентов при производных д/дх и д2 /dxdt. При Ü12 = Ü21 = 0, W1 = w, W2 = -w, k = 0 соотношения (13) и (14) принимают вид:
q = -D*c'x-Tq', c't + qX = 0
(16), (17)
где D* = 12х - эффективный коэффициент мас-сопереноса, х = 1/2а - время релаксации среды, I - конечная скорость распространения возмущений концен-
трации (в частном случае - скорость резко очерченного фронта профиля). Уравнение (17) является уравнением неразрывности, а уравнение (16) - обобщение классического градиентного закона Фика (релаксационный закон Максвелла-Каттанео). Смысл этого обобщения можно получить рассмотрев уравнение (16) как обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение относительно потока q:
qt +(1/T) q = - w cX
(18)
В этом уравнении правая часть играет роль внешнего воздействия, а левая - реакции на это воздействие. Решение уравнения (18) имеет вид:
q(t, х) = -J0 w2 exp(-s / t) dc(t^ X)
ds
(19)
Как видно из (19), значение потока в некоторой точке х определяется значениями градиента концентрации во все предшествующие моменты времени в этой точке. При этом, так называемая, функция релаксации ех-р(-Б/х) показывает, что "память" среды (вклад градиента концентрации за всю предысторию процесса) со временем экспоненциально затухает. Выражение (19) часто использовалось при исследовании массопереноса в материалах с "памятью" [1,2]. Закон Максвелла-Каттанео (16) можно трактовать как следствие закона dq/dt = - ^ - qo)/х - (для скорости возвращения (релаксации) некоторой характеристики q системы, выведенной из состояния равновесия, к исходному значению qo, если в качестве q рассмотреть поток вещества, а в качестве qo - его стационарное значение в виде 1-го закона Фика. При этом параметр х определяет время релаксации потока q - время, за которое отклонение q от qo уменьшается в е раз. При х^0 закон Максвелла-Каттанео (16) переходит в 1-й закон Фика. При "относительно больших" скоростях изменения q величина щх становится сравнимой с В*ех и ею не следует пренебрегать. Соотношения (16),(17) сводятся в одно уравнение:
Tc" + c' = De"
(20)
известное как релаксационная (волновая) модель массо-энергопереноса [1], и которое по форме совпадает со своим сопряжённым вероятностным аналогом - телеграфным уравнением (10).
Прямые уравнения Колмогорова в качестве средства описания физических процессов имеют несомненные преимущества перед обратными уравнениями. Однако в современной теории случайных процессов более широко используются обратные уравнения. Они имеют предпочтение в ряде теоретических аспектов (предъявляют меньшие требования к гладкости функций, кроме того допускают введение аддитивных и мультипликативных функционалов от случайного процесса; введение таких функционалов в прямых уравнениях проблематично) [20].
О численно-вероятностных способах решения релаксационных уравнений
Величина Н(хД) из (4) может быть истолкована как математическое ожидание (Е) функции F от z(í) при условии, что процесс начал движение из точки х со скоростью Вычисление Н/(х^) может быть осуществлено методом Монте-Карло, т.е. осреднением функции F для "выживших" за время í "частиц" при достаточно большом числе М реализаций процесса:
Н (х,г) = ЕДГ;(0{Р(2(г))}*(1/М) - ХМ=1 Р(х(Ц, (21)
х$ = х + Дх,« (г), Дх« (г) = ]/(№ = V)Дг, ,
Дг, = г, - г, -1, Дг, = г, ^ = ц, ^ = V«),
где ^ - моменты скачков (перемен скорости) случайного процесса; \ - номер скачка; Ь = 0; От - число скачков процесса за время t в т-ой реализации случайной величины Ах/(0 (От определяется при моделировании процесса ). Значения V, чередуются ^ или W2). Интервал времени А^ и "время жизни частицы" - показательно распределенные случайные величины. Решение задачи Коши для уравнения (8) с начальными условиями:
(22)
получено в виде математического ожидания:
Доказательство конечности дисперсии а2{Ах/(0} при численной реализации выражения (23) методом Монте-Карло обеспечивается приведённым в [12] соответствующим доказательством при решении трёхмерного гиперболического уравнения диффузии. Из формулы (23) следует решение задачи Коши (9),(22) в виде математического ожидания от "рандомизированной по времени" формулы Даламбера:
хР =х ±мй.
2м?
(24)
где а (у) - число скачков исходного случайного про-
а12а21
цесса за время б (неоднородный процесс Пуассона с параметром а12(а21) после чётного (нечётного) числа скачков), г - "рандомизированное время" (случайная величина), 1т =Е -1) ^+1 Дг, - т-ая численная реализация /. Если О12 = О21 = о, то неоднородный процесс Na12a21(s) переходит в однородный ^(б). Формула (24) обобщает известное представление решения задачи Коши (10),(22), существование и единственность которого доказаны в [10].
При относительно малых значениях большинство реализаций моделируемого процесса Пуассона будут нулевыми, в связи с чем предложены способы повышения эффективности метода Монте-Карло. В основе двух из этих способов лежит переход к однородному процессу Пуассона большей интенсивности. Первый способ основан на том, что с помощью детерминированной замены переменных решение д(х,() уравнения (8) может быть сведено к решению 8(х, г) уравнения (10) с коэффициентами а = ^а12 а21 и Ц = (цц - ц1)/2 :
8 (х, г) = х+цг)-(^+к) г - 8( х + цг, г), - а12а21
х = -
I- а21 ц= а12 + а21 2Ц 2
при этом о > min(0l, 02) как среднее геометрическое. Однако это лишь частично решает проблему. Кроме того, при переходе от (8) к (10) требуется преобразование, как правило, усложнение, начальных и граничных условий. Второй способ основан на переходе от Ыа12 а21(у) к Ма (У) с помощью "случайной замены времени" б на у ; при этом на 0 не накладывается ограничений [23]. В этом случае переход к однородному процессу Ыа (У) осуществляется в
процессе моделирования исходного неоднородного процесса Na\2а (у). в третьем способе решение представлено в виде суммы двух слагаемых для случайных событий L = {а21 (0 = °} и Ь ={Ма12а21(г) > 1} с соответствующими, вероятностями. Первая ситуация детерминирована (х±г) = х± цг); вторая - обеспечивается условием г1 < t, где ^ = А^ = - (1/0,)1п(1 - г(1-ехр(-0$0)) -время до первого скачка процесса; г - случайная величина, равномерно распределённая на (0,1).
Практическую ценность представляют собой краевые задачи. Численно реализованы два способа решения краевых диффузионных задач на основе уравнения (20), фактически (10), в его взаимосвязи с моделью "случайного блуждания": 1) посредством сведения исходных краевых задач к задаче Коши с последующим осреднением "рандомизированной по времени" формулы Даламбера; 2) непосредственным осреднением "рандомизированных по времени" точных решений волнового уравнения, соответствующих исходным краевым условиям. Первым способом с использованием приема "продолжения начальных условий на всю ось х" решены две задачи о переносе вещества в полуограниченный и ограниченный образцы [24]. При этом рассматривались граничные условия частного вида, обуславливающие при переходе к задаче Коши начальные условия типа "ступенек", в результате чего искомые математические ожидания переходили в вероятность. Вторым способом решались краевые задачи с начальными условиями общего вида и различными комбинациями граничных условий 1-го и 2-го рода на обеих границах отрезка [16]. Для осуществления этого способа решения необходимо было получить аналитические решения волнового уравнения для различных краевых задач, что было сделано на основе интегрального уравнения колебаний [25]. Результаты расчётов с(хД) методом Монте-Карло (М = 104) сравнивались с аналитическим решением с*(хд) уравнения (20), в соответствии с которым ставились начальные и граничные условия исходной задачи. Вычислялось выборочное среднеква-дратичесое отклонение а, при этом значение заУМ определяет доверительный интервал. Относительное отклонение с(хД) от с*(хД) при t < 5т - менее 4 %, при t < т - менее 2 %.
Вероятностные аналоги характеристик массопереноса
На основе релаксационной модели (20) изучена кинетика развития диффузионной зоны в твёрдых телах. Задача о начальной стадии диффузионного извлечения целевого компонента из образца и её решение имеют вид:
2ТТ + 2'т = 2Xх ; 2(X,0) = 1, 2'Т (X,0) = 0 , X > 0 ;
2(0, Т) = 0, Т > 0 , (25)
2 (Х,Т) = <¡1 - ^ \
X < Т; 1, X > Т
Т е X
-и/2 -^(Уи2 - X2 / 2)
у/и 2 - X2
(26)
&и - е-2,
Z = (с - Сгр)/(Сн - Сгр); Си, Сгр, с(х,0 - концентрации извлекаемого компонента: начальная (в толще образца), на границе с реагентом, текущая; с„ > сф; X= х н в *т; т = ^т. Профиль концентрации Z(X,T) отражает существование в момент Т невозмущённой области (X > Т) и диффузионной зоны (X < Т) (рисунок). Скачок концентрации на фронте профиля уменьшается во времени по закону ехр(-Т/2). Практически при Т >10 профиль Z(X,T) с "размытым" фронтом может быть адекватно аппроксимирован решением уравнения Фика. Для задачи (25) рассмотрена эффективная ширина диффузионной зоны Н(Т):
=Гв-г/2(/0(г/2)+/1(Г/2)), (27)
/оЛ - модиф. функции Бесселя. Первое из выражений (27) удобно при анализе мгновенной Ммгн, а второе - средней WCр скорости роста Н.
Т=2
Т=0.5 , У / / ^ _ — ^ |
_I_I_и_
о 0.5 1 Нр 2 х
Рисунок. Профиль концентрации I(X, Т) (график решения (26) задачи (25))
Проведено вероятностное исследование кинетических характеристик процесса на основе модели (20). Получен вероятностный аналог формулы (26):
Z(X,T) = Р{| (Т) |<Х}= ^ (т )|(Х) ,
% а (Т) = \Т (') Ж, ^ = 1/2, (28)
где случайная величина ^а(Т) - смещение "блуждающей" со скоростью w = 1 "частицы" за время Т ; (Т)| (X) -функция распределения | %а (Т) |. Скачок концентрации ех-р(-Т/2). на фронте профиля Z(X,T) - вероятность события L = ^а(Г) = 0}. Ширину диффузионной зоны обычно субъективно "привязывают" к различным уровням приведённой концентрации Zu = 0.4 + 0.8. С учётом (28) такой величиной для Zu = в будет в -квантиль Нр функции F: (Т)| (Нр)= р. На основе теоремы о том, что случайная величина и её р -квантиль совпадают по распределению вероятностей, если р - случайная величина, равномерно распределенная на (0,1), исследованы два вида средних значений Нр, не зависящих от выбора р [26]. Величина Е{ Нр} определяет среднюю эффективную ширину диффузионной зоны Н, а (Е{Яр})1/2- среднеквадратическое смещение "частицы" ("диффузионный путь" Ндиф):
= у/ 2(Т -1 + ехр(-Г)) а (30)
Расчёты по формулам (28) и (29) выполнены методом Монте-Карло при 105 реализациях ^а(Т). Расхождение результатов расчёта по (26) и (28), а также по (27) и (29) для Т < 5 и X < 5 - менее 1 % (таблицы 1 и 2). Заметим, что при t >> т из формулы (30) вытекает классическое соотношение для "диффузионного пути", соответствующее уравнению Фика.
Таблица 1. Значения приведенной концентрации Z(X,T), рассчитанные двумя методами*)
Т \ X 0.01 0.1 0.5 1 3 10
0.01 0.050 1 1 1 1
0.0048
0.1 0.0049 0.0490 1 1 1
0.0046 0.0491
0.5 0.0044 0.0444 0.2212 1 1
0.0043 0.0452 0.2207
1 0.0040 0.0401 0.1995 0.3169 1
0.0042 0.0394 0.2005 0.3188
3 0.0029 0.0293 0.1461 0.2892 0.7767
0.0029 0.0300 0.1471 0.2901 0.7753
10 0.0018 0.0179 0.0896 0.1780 0.5010 0.9933
0.0016 0.0175 0.0861 0.1717 0.4883 0.9931
Примечание: *) верхние значения профиля концентрации Z(X,T), рассчитаны по детерминированной формуле (26), нижние - по вероятностной (28).
Таблица 2. Значения эффективной ширины диффузионной зоны Н (1), вычисленной двумя методами**
T 0.01 0.1 0.5 1 3 5 10
Н(Т)1 0.01 0.0976 0.4446 0.8015 1.7594 2.3832 3.4751
Н(Т)2 0.01 0.0975 0.4446 0.8021 1.7536 2.3825 3.4541
ст 0.0003 0.0126 0.1238 0.3052 1.0032 1.5262 2.4351
Примечание: ** Н (7) - вычислены по детерминированной формуле (27);
Н (X)2 - вычислены по вероятностной формуле (29);
о - выборочное средне-квадратическое отклонение.
Вероятностная интерпретация характеристик Z(X-и Н(Т'), согласие их теоретических и опытных значений (в наших расчётах диффузионных процессов в стёклах [27] средняя относительная ошибка § ^ 10 %) дают основание для использования уравнения (20) и его стохастического аналога (10) при описании процесса массопереноса на микроуровне. Элементарный цикл модели "случайного блуждания", порождающего (10), состоит из движения "частицы" по прямой со скоростью w от одного момента изменения направления движения до следующего. Продолжительность цикла tw и соответствующее ему перемещение Sw -одинаково показательно распределённые случайные величины, средние значения которых принимаем за микропараметры: ^>1/а, <Sw>= w/a. Макропараметрами служат коэффициенты т и О* из (20): т = ^>/2, О* = <Sw>2/2<tw>. В идеальных моделях перемещения кинетических единиц (атомов, групп атомов, ионов или молекул) в неупорядоченных структурах твёрдого вещества для ансамбля частиц за микропараметры принимаются - среднее время пребывания их в метастабильном состоянии (в химической связи со структурой вещества) <Г> и среднее расстояние между локализациями таких состояний <^>. Временем перескока пренебрегается. За макропараметр принимается коэффициент диффузии из уравнения Фика О = <Х>2/<?>. Полного соответствия между обеими схемами перемещения частиц на микроуровне нет. Введены соотношения пропорциональности между их микропараметрами: <?> = к ^>, <^> = k2<Sw>. Критерием соответствия схем на макроуровне будем считать сопоставимость макропараметров О и О* при условии, когда гиперболическое уравнение можно заменить параболическим, при этом кх = 2к2. По поводу соотношения т ~ <?> следует заметить, что отождествление времени релаксации процесса миграции частиц со средним временем их "оседлой жизни" проводилось давно [28]. Коэффициент О уравнения Фика связывает микропараметры и не позволяет иденти-
фицировать их по отдельности. Релаксационная модель диффузии устраняет этот недостаток.
Заключение
В настоящей работе проведен анализ основных научных результатов по исследованию связи общих линейных гиперболических уравнений (релаксационных моделей) массопереноса со случайными имитационными процессами, т.е. процессами, лежащими в основе вывода этих уравнений. Рассмотрены идеи численно-вероятностных способов решения гиперболических уравнений на основе этой связи. Наибольшее прикладное значение в развитии данного направления имеют общие гиперболические уравнения и краевые задачи. Численные эксперименты показывают, что вероятностные формулы (28), (29) с приемлемой для практики точностью можно применять для достаточно широкого диапазона времен. Вероятностное исследование одной частной задачи (25),(26) о диффузии в твердых телах, имеющее в настоящей работе чисто иллюстративный характер, позволяет сделать далеко идущие в практическом отношении выводы. Адекватность релаксационной модели конкретному диффузионному процессу (моделирование на макроуровне) и наличие вероятностной трактовки основных характеристик массопереноса дает предпосылку для моделирования этого процесса на микроуровне, т.е. использование "случайного блуждания", порождающего гиперболическое уравнение, в качестве модели миграции носителей в процессе диффузии.
Литература
1. Лыков А.В. Тепломассообмен: справ. М.: Энергия, 1972. 500 с.
2. Таганов И.Н. Моделирование процессов мас-со- и энергопереноса. Нелинейные системы Л., Химия , 1979, 204 с.
3. Таганов И.Н., Сиренек В.А. Волновая диффузия. СПб.: НИИХ СПбГУБ, 2000. 209 с.
4. Давыдов Б.И. Уравнение диффузии с учетом молекулярной скорости // Докл. АН СССР. 1936. Т. 2. N 7. С. 474-475.
5. Бородуля В.А., Теплицкий Ю. С. и др.. К вопросу о математическом моделировании процессов переноса тепла и твердых частиц в псевдоожиженном слое // Ин-ж.-физ. журн. 1982. Т. 42. № 2. С. 251-259.
6. Вестертерп К.Р., Дильман В.В. [и др.]. Волновая модель продольного перемешивания // Теор. основы хим. технол. 1985. Т. 29. № 6. С. 580 -587.
7. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.
8. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984. 205 с.
9. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967. 176 с.
10. Kisynski J. On M. Kac"s probabilistic formula for the solution of the telegraphist's equation // Ann. Polonici Math. 1974. V. 29. P. 259-272.
11. Кабанихина И.И. Численная реализация вероятностного представления решения задачи Коши для телеграфного уравнения. Методы статистического моделирования: сб. науч. тр. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. С. 86-90.
12. Крючков А.Ф., Сиренек В.А. Численно-вероятностные методы решения трехмерного гиперболического уравнения диффузии // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38. № 1. С. 103-110.
13. Сиренек В.А. О решении многомерных релаксационных уравнений диффузии методом Монте-Карло // Известия СПбГТИ(ТУ). 2015. № 30(56). С. 81-85.
14. Hersh R. Stoshastic solutions of hyperbolic equations // Lect. Notes Math., 1975, V. 446. P. 283-300.
15. Сиренек В.А. [и др.]. Вероятностный подход к исследованию волновой модели продольного перемешивания // Теор. основы хим. технол. 1999. Т. 33. № 5. С. 539-546.
16. Сиренек В.А. Связь релаксационных уравнений массопереноса с моделями случайного блуждания и способы решения диффузионных задач на их основе // Известия СПбГТИ(ТУ). 2014. № 23(49). С. 93-96.
17. Фок В.А. Решение одной задачи теории диффузии по методу конечных разностей и применение его к диффузии света // Труды гос. оптич. ин-та. 1926. Т. 4. Вып. 34. С. 1- 32.
18. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. Вып. 5. С. 5-41.
19. Феллер В.К теории стохастических процессов (Теоремы существования и единственности.) // Успехи мат. наук. 1938. Вып. 5, С. 57-96.
20. Гихман И.И Скороход А.В. Теория случайных процессов, Т. 2 М.: Наука, 1973. 396 с .
21. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Мир, 1971. 496 с.
22. Westerterp K.P., Dilman V.V., Kronberg A.E. Wave model for longitudinal dispersion: development of the model // А1СНЕ J. 1995. V. 41. P. 350.
23. Сиренек В.А., Крючков А.Ф. Вероятностное представление решения гиперболического уравнения с конвективным членом // Изв. вузов. Математика. 2000. № 7. С. 77-80.
24. Сиренек В.А., Крючков А.Ф. Вероятностное решение одной краевой задачи для гиперболического уравнения массопереноса // Мат. моделирование. 1998. Т. 10. № 6. С. 107-117.
25. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Высшая школа,1964. 559 с.
26. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М: Наука, 1975, 472 с.
27. Сиренек В.А. Моделирование диффузионных процессов в стеклах с релаксационным характером массопереноса // Известия СПбГТИ(ТУ). 2013. № 22(48). С. 113-120.
28. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов. М.: Физматгиз, 1958. 368 с.
