CC BY
24
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(19)
УДК 519.21
М.А. Леонова, Л.А. Нежельская
ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОГО АСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ
Рассматривается обобщенный асинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок (событий), функционирующих в современных цифровых сетях интегрального обслуживания. Приводятся аналитические результаты по нахождению условной и безусловной вероятности ошибочного решения при оптимальном оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий.
Ключевые слова: обобщенный асинхронный поток событий, состояние потока, апостериорная вероятность состояния, оценка состояния, вероятность ошибки вынесения решения.
Настоящая статья является непосредственным продолжением работы [1], в которой рассматривается задача оценки состояний обобщенного асинхронного потока событий. Последний является достаточно адекватной математической моделью информационных потоков заявок (событий), функционирующих в современных цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО) [2], и относится к классу так называемых дважды стохастических потоков событий с интенсивностью, являющейся кусочно-постоянным случайным процессом. Достаточно обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных) приведена в [1, 3, 4]. Вследствие этого в настоящей статье не акцентируется внимание на классификации дважды стохастических потоков событий и задачах, возникающих при их исследовании.
В [1] решена задача оптимальной оценки состояний (задача фильтрации интенсивности потока) обобщенного асинхронного потока событий по наблюдениям за потоком в течение конечного интервала времени. В качестве решающего правила в [1] используется критерий максимума апостериорной вероятности, обеспечивающий минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения о том или ином состоянии обобщенного асинхронного потока [5]. Путем имитационного моделирования в [1] найдены (для определенного набора параметров) оценки безусловной вероятности ошибки вынесения решения. В связи с этим представляет интерес получить аналитические результаты, связанные с нахождением условной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения. Этому вопросу и посвящена настоящая статья.
1. Постановка задачи
Рассматривается асинхронный дважды стохастический поток с инициированием дополнительных событий (далее обобщенный асинхронный поток или просто поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс ^(г) с двумя состояниями ^ и ^2 (^1> ^г). В течение временного ин-
тервала, когда ^(г) = Хг , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xj , г = 1,2. Переход из первого состояния процесса Щ) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса ^(г) в г-м состоянии распределена по экспонен-цильному закону с параметром aj , г = 1,2. При переходе процесса ^(г) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью р (0 < р < 1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наоборот, при переходе процесса ^(г) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью д (0 < д < 1) дополнительное событие в первом состоянии. Очевидно, что в сделанных предпосылках ^(г) - марковский процесс. Вариант возникающей ситуации показан на рис. 1, где
1, 2 - состояния случайного процесса ^(г); гь г2,... - моменты наступления событий; г2, г6,... - моменты инициирования дополнительных событий; г2 - момент инициирования с вероятностью р дополнительного события во втором состоянии; г6 - момент инициирования с вероятностью д дополнительного события в первом состоянии.
аі
І і
а2 аі а2 аі
V 1 1 > 1
і і •
І I
-и*
Процесс
I
I
-о-
*3 *4 *5 *6 *7
Обобщенный асинхронный поток
Рис. 1. Формирование обобщенного асинхронного потока
г
(, Г,
Г
Если_р=д=0, то имеет место обычный асинхронный поток событий [6]. Так как процесс ^(г) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий гь г2,..., то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса ^(г) (потока) в момент окончания наблюдений и определить возникающую при этом безусловную (или условную) вероятность ошибки вынесения решения.
Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (г0, г), где г0 - начало наблюдений, г - окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить г0=0. Пусть ю(^;| ¿1,..., гт,г) - апостериорная вероятность того, что в момент времени г значение процесса Х,(г)= ^г, г=1,2 (т - количество наблюденных событий за время г), при 2
этом |л1, , гт, г) = 1. Вынесение решения о состоянии ненаблюдаемого
/=1
процесса ^(г) (или потока) производится по критерию максимума апостериорной вероятности: если ю(^1| г1,., гт,г) > ю(^2| А,..., гт,г) (ю(^| г1,., гт,г) >1/2), то оценка состояния процесса Щ) есть Цг) = , в противном случае Х(г) = X2 .
2. Вероятность ошибочного решения о состоянии обобщенного асинхронного потока в общем случае
Пусть полуинтервал наблюдения за обобщенным асинхронным потоком событий есть (г0 , г]. Момент времени г зафиксирован, то есть длина полуинтервала наблюдения есть г-г0. В силу того, что моменты наступления событий г1 ,..., г, (г1 < г2 <.< г, < г), попавшие в полуинтервал наблюдения (г0 , г], случайны, то случайна и разность г-гг. Момент вынесения решения г, таким образом, лежит между моментами времени гг и гг+1 (гг<г<гг+1), при этом момент времени гг+1 может быть сколь угодно большим (разность гг+1- г также случайна). Итак, вынесение решения о состоянии процесса Х(г) привязано к интервалу между двумя соседними временными моментами наступления событий (гг ,г,+1). Сам момент вынесения решения г можно трактовать как некоторую точку, случайным образом «падающую» на ось времени Ог, никак не связанную с потоком событий. Вследствие этого точка г может попасть в любой интервал между соседними событиями обобщенного асинхронного потока. При этом начало наблюдений, т.е. точка г0, однозначно определяется на оси времени Ог. Момент начала наблюдений г0 можно положить равным нулю (г0=0).
Обозначим т, = г - и , где г - произвольное неотрицательное целое число. Следующее событие потока наступает в момент времени гг+1 (г,+1> гг). Тогда т, ограничено снизу нулем, сверху т, может быть в принципе неограниченным, т.е. т, > 0. Обозначим ю(Х1|г) - апостериорная вероятность того, что в момент вынесения решения г процесс Х(г) принял значение Х1 (Х(г) = Х1), т.е. обобщенный асинхронный поток в момент времени г находится в первом состоянии (ю(Х2|г) = 1 - ю(Х1|г)), при этом г,< г< гг+1. С учетом введенного обозначения ю(Х1|г) = ю(Х1| гг+ т,) , т, >0. В момент имеем ю(Х1|г=г;) = ю(Х1| г,+0). Так как т, привязано к моменту времени г, наступления г-го события, то для простоты обозначим ю(Х1| г,+ т,) = ю(Х1|т;) , т,> 0.
Остановимся на алгоритме принятия решения. Процесс Х(т,), т,>0, является ненаблюдаемым. На интервале (0, т,) он может переходить из состояния в состояние в случайные моменты варемени. Вследствие этого в момент т, вынесения решения процесс Х(т,) может принять либо значение Х1 (Х(т,) = Х1), либо значение Х2 (Х(т;) = Х2). Тогда оценка Ц т;) значения процесса Х(т;) в момент времени т, (получаемая по критерию максимума апостериорной вероятности) также может принимать либо значение Х1 (Цтг-) = Х1), либо значение Х2 (Х(тг-) = Х2). При этом возможны следующие варианты: 1) если в момент времени т, значение процесса Х(т;) = Хь то правильное решение (Цтг-) =Х1) будет приниматься, если ю(^1| т,)> ю(Х2| т); если же ю(^1| т,)<ю(Х2| т,), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): Цтг-) = Х2; 2) если в момент времени т, значение процесса Х(т;)= Х2 , то правильное решение (Цтг-) = Х2) будет приниматься, если ю(Х1|т;)<ю(Х2|т;); если же ю(Х1|т;)>ю(Х2|т;), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): ЦТ; ) = ^1.
Обозначим ю(Х(т,), т,) - распределение вероятностей значений двумерной смешанной случайной величины (Х(т,), т,) , здесь Х(т,) - значение дискретной случайной величины (Х(т,)= Ху, 7=1,2), т, - значение непрерывной случайной величины
(Т > 0). Тогда уравнение ю(Х(тг) = Хь т;) = ю(Х(тг) = Х2, т;) определяет границу хг° критической области, в которой отклоняется гипотеза Х(хг-) = Х2, а принимается
гипотеза Х(хг-) = Х1 (либо, наоборот, отклоняется гипотеза Х(хг-) = Хь а принимается гипотеза Х(хг-) = Х2). Сам корень данного уравнения (если он существует и единственен) может быть меньше нуля (Х;С<0), равен нулю (хг°=0) и может быть больше нуля (Х;С > 0). Кроме того, возможны ситуации, когда данное уравнение определяет некоторое множество корней либо корней не имеет (корни не существуют). Расписывая в данном уравнении ю(Х(х;) = Ху, х;), j = 1,2, через безусловную плотность ю(х;) и апостериорную вероятность ю(Х(х;) = Xj|x;) = ю(Ху|х;), приходим к следующему виду уравнения для границы хгС критической области:
ю(Х1|хг) = ю(Х2|хг) (ю(Х1|Х;)=1/2), г=1,2,_ . (1)
Тогда, если ю(Х1|Х;)>ю(Х2|х;), то апостериорную вероятность ю(Х1|х;) можно трактовать как условную вероятность вынесения правильного решения: Х(хг-) = Х1 при условии, что вынесение решения произведено в момент времени X; (х; >0). Апостериорную же вероятность ю(Х2| х;) при этом можно трактовать как условную вероятность вынесения ошибочного решения (трактовать как условную вероятность ошибки): решение выносится в пользу Х(хг-) = Х1, хотя на самом деле имеет место Х(хг) = Х2.
В [1] сформулирован алгоритм расчета апостериорной вероятности ю(Х1|х;).
При этом поведение апостериорной вероятности ю(Х1|х;) на полуинтервале [t; , t;+1)
между соседними наблюдавшимися событиями обобщенного асинхронного потока определяется выражением
~ |Ti)= «>1 [ -ю(Х! \tt + 0)]-ю2[ -ю(Х! |tt + 0)]е-а(Ю2-Ю1 >
1 1 ю2-ю(Х1 11; + 0) - [-ю(Х1 11; + 0)]e-a(“2 -е>1 )Ti
1 ^ -Х2 +at + (1-2 q) a 2 -yj (Xt -X2 +at -a2)2 + 4 ata 2 (1 - p( 1 - q)
ю, =—
1 2a
1
w2 =—
2 2 a
Xi -X2 +ai +(1-2 q) a2 +д/(Xi -X2 +ai -a2)2 + 4 ata2 (1 - p)( 1 -q)
(2)
где X; =t-t; > 0, i=0,1, ; a =Х1- Х2+ра^а2 Ф 0, при этом 0< ю1 <1, ю2 > 1 для a >0;
0< ю1 <1, ю2 < 0 для a <0.
В момент времени X; =t-t; =0 (т.е. тогда, когда момент вынесения решения t совпадает с моментом t; наступления события) апостериорная вероятность (2) претерпевает разрыв 1-го рода (г=1,2,_), поэтому в момент времени х; = 0 имеет место формула пересчета
0) = qa2 +(Х ~ qa2)"(x-|t- ~ 0) , = 1,2,..., (3)
Х2 + qa2 + a ю(Х1 |t; - 0)
где выражение для a определено в (2); ш(Х1 |t; - 0) вычисляется по формуле (2), в которой, во-первых, вместо X; нужно подставить Х;_1 и, во-вторых, вычисления производить для х;-1 = t; - t;— 1, i=1,2,_ . Последнее реализует вычисление предела слева апостериорной вероятности ю(Х1|х;_1) в момент времени t; (в момент наступ-
ления события). В качестве начального значения ю(Х1|г0+0) = ю(Х1|г0=0) в (2) выбирается априорная финальная вероятность первого состояния процесса Х(г): п = = а2 /(а!+а2) , которая находится из уравнений а^ - а2п2 = 0, п + п2 = 1 [7].
Изучим поведение апостериорной вероятности ю(Х1|Х;) как функции тг-(Т ^ 0). Производная фнкции (2) по тг- примет вид
|тг) а(о2 -о )2 [О! -ю(А,! | г; + 0)][ю2 -ю(^ | г; + 0)]е-а(“2-Й1 )т
d X,
[ш2 -ю(^ | t; + 0) -( -ю(^ | t; + 0))e a(“2 J
(4)
где X; >0, апостериорная вероятность ra(Xj|t+0) определена в (3), г=1,2,... . Рассмотрим поведение производной (4) в зависимости от тг- (тг- >0). Из (2) вытекает: lim ra^x,) = ra1 при хг ^го. При этом знак производной (4) (для a>0 либо для a<0) определяется знаком raj - ro(X1|t/+0): 1) если 0< ra(X1|ti+0)<ra1, то dra(Xj| т;) / dx;- > 0 и апостериорная вероятность (2) является возрастающей функцией переменной тг, стремящейся к <»! снизу при X; 2) если 1> ra(X1|t;+0)>ra1, то dra(Xj| т;) / dx;- < 0 и
апостериорная вероятность (2) является убывающей функцией переменной т;, стремящейся к ra1 сверху при X; ^^; 3) если co(X1|ti+0) = гаь то га(^| т;) = ra1 для X; > 0. Тогда уравнение (1) имеет либо единственный корень т;0 (х;°<0 или х;°>0), либо корень Х;° не существует. Подставляя (2) в (1) и решая полученное уравнение относительно X;, находим
т 0 1 ln К -(V2)][та1 -ю(^ | tt + 0)] ,=0 1 (5)
1 а(ю2-ю1) [ -(1/2)][-ю(Х1 11; + 0)] , ,
Выражение (5) определяет границу критической области х;°, и в зависимости от соотношения величин ro1 и ra(X1|?;+0) возможны различные варианты положения х;° на временной оси:
1) если 1/2 < ra1< ra(X1|?;+0) либо 1/2 <ra1< ra(X1|ti+0), то корень х;° не существует; при этом условная вероятность ошибки, обозначим ее здесь и далее P0(ra(X1|t;+0), X; ), определится в виде
Po(ra(^1|t,+0), X;- ) =1 - га(^1|Т;), тг>0; (6)
2) если 1/2 < ra(X1|t;+0) < ra1, то т;0 < 0 и P0(ra(X1|t;+0), т; ) определится выражени-
ем (6);
3) если ra(X1|t;+0) < 1/2 < ra1, то х;° > 0; при этом
Wli,,+0),,,)=H|;')'“s;,'<f; (7)
[1 -ra(li|T,), т, >т,”;
4) если ra1=1/2, ra1> ro(X1|t;+0), то т;0 не существует; при этом
P0(ra(^1 |t;+0), X;- ) = ra(^1 |Т;), т >0; (8)
5) если 1/2 > ra1> ra(X1|t;+0) либо 1/2 > ro1 > ra(X1|t;+0), то корень х;° не существу-
ет и P0(ra(X1|t;+0), X;) определяется выражением (8);
6) если 1/2 > ra(X1|t;+0) > ra1, то т;0 < 0 и P0(ra(X1|t;+0), т; ) определяется выражением (8);
7) если ra(X1|t;+0) > 1/2 > ra1, то т;0 > 0; при этом
Wl|,, + 0),,,) = (9)
[1 -ю(^1 I т), х;>х; ;
8) если Ю1= ш(Хх|/г+0) = 1/2, то т,0 не существует и Р0(ю(Х1|гг+0), т, ) = 1/2; для данного варианта Р0(ю(Х1|г,-+0), т,) является безусловной вероятностью ошибки.
Формулы (2), (3), (5) - (9) позволяют сформировать алгоритм расчета условной вероятности вынесения ошибочного решения Р°(ю(Х1|гг+0), т,) в любой момент времени т,0 > 0, г = 0, 1,... :
1) в момент времени г0=0 задается ю(Х1|г0+0)=ю(Х1|г0=0)=я1;
2) по формуле (5) для г=0 рассчитывается т,0, тем самым устанавливается положение границы критической области на временной оси;
3) находится один из восьми возможных вариантов соотношения величин ю1 и ю(Х1|г,+0);
4) для найденного варианта рассчитывается (с использованием формулы (2)) вероятность Р0(ю(Х1|г,+0), т0) в любой момент времени т, (0< т,0 < ¿/+1 - г,); при этом для третьего варианта (формула (7)) и седьмого варианта (формула (9)) может выполняться либо 0< т,0 < г;+1 - г, , либо т,0 > г;+1 - г, ;
5) по формуле (2) рассчитывается вероятность ю(Х1|т,) в момент времени т = гм - г, , т.е. ю(Х1|гг+1-0); затем по формуле (3) производится пересчет апостериорной вероятности в момент времени г,+1, т.е. находится ю(Х1|гг+1+0); г увеличивается на единицу и алгоритм переходит на шаг 2) и т.д.
Сделаем важное замечание. В силу формулы пересчета (3) значение ю(Х1|г,+0) зависит от всех моментов /ь..., г, наступления событий в потоке, т.е. вся предыдущая информация сосредоточена в вероятности ю(Х1|г,+0). Вследствие этого для определения безусловной вероятности ошибки необходимо усреднить условную вероятность ошибки Р0(ю(Х1|г,+0), т,) по моментам наступления событий гь..., г,. Однако найти функцию распределения вероятностей моментов г1,., г,- наступления событий в обобщенном асинхронном потоке в явном виде представляется затруднительным или, вообще, невозможным. Как будет видно ниже, определить безусловную вероятность ошибки возможно только для некоторых частных и особых случаев.
3. Частные случаи
Представляет интерес рассмотреть частные случаи соотношения параметров X, а, , г=1,2, р д.
1. Х1+да1 = Х2+ра2 , р Ф д. Тогда ю1 = п1 = а2/(а1+а2), ю2 = (1 - д)/(р - д), а = = (а^а2)(р - д) Ф 0. Так как ю(Х1|г0+0) = п1, то из (2) следует, что ю(Х1| т0) = п1 для
0 < т0 < г1 - г0, т.е. ю(Х1|г1 -0) = п1. Тогда из (3) вытекает, что ю(Х1|г1+0) = п1 и т.д. Таким образом, имеем ю(Х1|т,)=л1, т, >0, г=0,1,... . Последнее говорит о том, что при таком соотношении параметров информация о моментах наступления событий г1,., гт не оказывает влияния на апостериорную вероятность ю(Х1|т,), т.е. в конечном итоге не влияет на качество оценивания состояний процесса Х(г). Решение о том или ином состоянии обобщенного асихронного потока выносится на основании априорных данных. При этом вероятность Р0(ю(Х1|г,+0), т,) = п2 , если п1 > п2 , либо Р0(ю(Х1|г,+0), т,) = п1 , если п1 < п2, г = 0,1,. , т.е. в данном частном случае Р0(ю(Х1|г,+0), т,) является безусловной вероятностью ошибочного решения.
2. Подкоренное выражение в (2) равно нулю:
(Х1 - Х2 + а1 - а2)2 + 4а1а2 (1 - р)(1 - д) = 0.
Данная ситуация возможна в двух случаях:
2.1. _р=1, 0< д <1, Х1- Х2=а2-а1. Тогда а = (1-д) а2 > 0, ю1=ю2=1. При этом [1]
»№,|т,) = Ц(М>, + 0) + (1- 9)а 2 [1 -<»»|К + 0)]т,, ,
1 +(1 - 9)а2 [1 -ю(Х| I г, + 0)]т;
»(!,!,, + 0)= № --0) , = 1>2............................... (10)
Х2 + да2 + (1 - q)а2ю(Х11г, - 0)
Подставляя (10) в (1), находим границу критической области т 0 2[(1/2)- ш(^! | ?г. + 0)] . = 01
г' (1 - д)а2 [1 -ю(\ | ц + 0)]
Тогда, если ю(Х1|г,+0) > 1/2, то т,0<0 и Р0(ю(Х1|г,+0), т,) определяется формулой (6); если ю(Х1|г,+0) < 1/2, то т,0 > 0 и Р0(ю(Х1|г,+0), т,) определяется формулой (7).
2.2. д=1, 0<р <1, Х1- Х2=а2-а1. Тогда а = - (1-р) а1 < 0, ю1=ю2=0. При этом [1]
ю(Х1!т,) =-------Ю(^1! ?г + 0)--------, т, > 0, г = 0,1,...;
1 + (1 - ^)а1ю(Х1! г, + 0)т,
»(!, к, + 0). а2 +(Х -а2-0) , ,■ = 1,2,.... (11)
X2 + а2 - (1 - р)а1ю(X1г; - 0)
Подставляя (11) в (1), находим границу критической области
_ 0 2 [ю^ + 0) - (1/2)] . 01
Т. —---------------------------, г — 0,1,—
(1 - р) а1ю( Х1 | г; + 0)
Тогда, если ю(Х1|г,+0) < 1/2, то т,0<0 и Р0(ю(Х1|г,+0), т,) определяется формулой (8); если ю(Х1|г,+0) > 1/2, то т,0 > 0 и Р0(ю(Х1|г,+0), т,) определяется формулой (9).
3. Х1+рт1 = Х2+да2, 0<р <1, 0< д < 1,_рФд. Тогда а=0 и в (2) имеет место деление на ноль (вариант 0< р <1, д=0 не реализуем, так как в этой ситуации имеем Х2 > Х1, что противоречит постановке задачи). При этом [1]
ю(Х1!т,) = ю + [ю(Х11г, + 0)-ю]е-вт, т, >0,г = 0,1,...; (12)
+ 0). № + (\ - да 2 - О, = 12_^ (13)
+ да2
где в = (1 - _р)а1 + (1 - д)а2, ю = (1 - д)а2/р. Подставляя (12) в (1), находим границу критической области
,, _(]/ р)|„
ю-1/2
В данном случае условная вероятность ошибки Р0(ю(Х1|г,+0), т,) по-прежнему зависит от соотношения величин ю и ю(Х1|г,+0) и полностью совпадает с вариантами 1) - 8) для общего случая (в выражениях (6) - (9) вероятность ю(Х1|т,) определяется формулой (12)).
4. Х1+ра1 = Х2+да2, _р=д, 0< д < 1. Тогда а=0 и формула (12) примет вид
ю(^1 |Т/) — п + [ю(^1 | г1 + 0)-П1 ]е-(1-?)(“1+“2)т, Т. > 0, г — 0,1,.... (14)
Формула пересчета сохранится в виде (13). Так как ю(Х1|г0+0)=п1, то из (14) следу-
ет, что ю(Х1 т0)=п для 0< т0 < ^-4, т.е. ю(Х1|/1 - 0)=ль Тогда из (13) вытекает, что ю(Х1|Т;)=Л1, г, > 0, /=0,1,... . Получили результат, идентичный результату частного случая 1.
Алгоритмы расчета условной вероятности ошибки аналогичны алгоритму расчета вероятности Р0(ю(Х1|?г+0), X;) для общего случая.
4. Особые случаи
Рассмотрим особые случаи соотношения параметров X, , а; , /=1,2, р, д, для которых возможно вычисление безусловной вероятности ошибки.
1. Х1Х2=рда1а2 , 0< р <1, 0< д <1, Х2^0, Х1^да1. Последнее ограничение вытекает из того, что отмеченная связь параметров (здесь и далее Х2=рда1а2/Х1) влечет за собой равенство а=(1/Х1)(Х1-да2)( Х1+ра1). Тогда а^0, если Х1^да2. Для расчета апостериорной вероятности ю(Х1|хг) справедлива формула (2). Формула пересчета (3) при этом приобретает вид
ю(Х, \/; + 0) = п! = (X, + ра), г = 1,2,.... (15)
В (15) тс, - апостериорная вероятность того, что процесс Х(г) в момент времени
/;+0 находится в первом состоянии при условии, что в момент времени , /=1,2,.,
наступило событие обобщенного асинхронного потока [1]. Из (15) вытекает, что апостериорная вероятность ю(Х1|х;) не зависит от предыстории, т.е. обобщенный асинхронный поток событий в данном случае является рекуррентным потоком. Формула (2) при этом выписывается в виде
„ |Ч ю, (ю2-я, )-ю2К-й, )е-а(и2-“1)т ю(^1 \т) = 1 ( 2 -1 ’ т—, 0. (16)
ю2 -п, - (ю, -71, )е ( 2 1'
Здесь величины ю1 и ю2 определены в (2). Подставляя (16) в (1), находим границу критической области т0 для любого интервала (/; , /;+1), /=0,1,. , в виде
т" =!:„ ¡“2-12)< О—п 1), (17)
С ¡СО! - I/2)(ю2 — 7! 1 )
где с = ^(^ -Х2 +«1 -а2)2 + 4а^2(1 -р)( 1 -д). Из (17) следует идентичность вариантов положения т0 на временной оси с вариантами 1) - 8) для общего случая, в которых ю(Х1|/г+0) нужно заменить на п,. При этом в формулах (6) - (9) условная вероятность ошибки Р0(ю(Х1|/г+0), т;) заменяется на условную вероятность ошибки Р0(т), а апостериорная вероятность ю(Х1|т;) - на апостериорную вероятность ю(Х1|т).
Для нахождения безусловной вероятности ошибки Р0 необходимо знать плотность вероятностей длительности интервала (/; , /;+1), /=0,1,. , которому принадлежит момент вынесения решения /. В силу того, что момент вынесения решения есть некоторая точка, случайным образом падающая на ось времени, то тогда плотность вероятностей ю(т) длительности интервала (/, , /;+1), / = 0,1,. , в который попала точка /, для рекуррентных потоков определяется в виде [8]
ГО
ю(х) = т р(т)/Е (т), Е (т) = | т ^(т)^ т, (18)
0
где р(т) - плотность вероятностей длительности интервала между соседними со-
бытиями рекуррентного обобщенного асинхронного потока событий. Можно показать, что
^(т) = у^е-21 т + (1 - у)г2е-221, т > 0,
1
А + А2 +а! +а2 +^1 (А -А2 + а]^ -а2)^ + 4а^2(1 -р(1 -д)
у — (г2 X 2 )(г2 г-1) .
Тогда, подставляя (19) в (18), находим
ю(т) = А1 те-21 т + А2те-221 , т > 0,
(19)
а _ 21 22 (г2 ^1 ^2) А _ 2122 (^1 + ^2 21)
А1 _ „ ч , а2 _
с(а1 +а 2)
(20)
с(а1 +а 2)
где ъх, 72 определены в (19); с - в (17).
Учитывая (2) и (20), получаем выражения безусловных вероятностей ошибок Р0 для различных вариантов соотношения величин величин ю1 и зг 1:
1) если 1/2 < Ю1< П1 либо 1/2 < Ю1< п 1, то т0 не существует и
Р = 1 -1 ю(х)ю(Х1 | т)dт =
о
ГО - 2,Т ГО - 27т ГО
= 1 - Д Г —--------dт-ДГ —-------------dт + Ьіл2 Г—
^ 1 и „-ст 2Л 1 и „-ст 1 2 Л 1
~(о+22 ) Т
о 1 - Ь2е-СТ
о 1 - Ь2е-
0 1 - Ь2е"
-d т,
где Б1 = ю1 А1, Д2 = ю1 А2 - Ль
= ю2(ю1 - зЛ 1) / (ю2 - зЛ 1), Ь2 = (ю1 - зг 1) / (ю2 - зг 1);
2) если 1/2 < зг 1 < ю1, то т0 < 0 и Р0 определяется выражением (21);
3) если зг 1 < 1/2 < ю1, то т0 > 0; при этом
(21)
Р0 = | ю(х)ю(Х1 | т)^т+ | ю(т) [1 -ю(Х1 | т)]]
т =
= Ві|- + т0 I е-2^ + В2 | - + т0 I е-2^ + X Д.
Г те ' (Іт-Г
; і і -ст J
0 1 — Ь2е 0
^ -г; т
те 1
0 1 - Ь2е
т
Ъ1А2
т -(с+)т
<• те к 2 7
Г—--------а т-Г
■> 1 _ и „-ст ■>
те
-(с+^2 )т
0 1 - Ъ2е
0 1 - Ъ7е
-а т
(22)
где В1 = А1 / гъ В2 = Л2 / г2; т0 определяется формулой (17);
4) если ю1=1/2, ю1> зЛ 1, то т0 не существует; при этом
^ ^ тр~21Х ^ тР~22Х ^ _ _—(с+^2 )Т
р0 = | ®(тМ^1 I т)^т = А1 ■ _■ -ст ^т + °21 ■ _ _СТ ^т - Ь1А21 ■ -ст ^Т ; (23)
А А 1 ьОЄ А 1 ьО Є А 1 ьО Є
0 1 _ Ь2 е_
5) если 1/2 > Ю!> ЗЇ1 либо 1/2 > Ю! > п 1, то т0 не существует и Р0 определяется выражением (23);
0
0
т
0
6) если 1/2 > п 1 > Юь то т0 < 0 и Р0 определяется выражением (23);
7) если п 1 > 1/2 > Юі, то т0 > 0; при этом
т' ГО
Р0 = | ю(т) [1 -ю(Х1 | т)]]т+ | ю(х)ю(Х1 | т)ат =
Т0 -—;Т
а т-[-
¿1 - Ь2е-сТ і 1
= 1 -*11 ± + т0]е-—Т' -* [-!- + т0]е---.’' -±В,
0 1 - ь2е Т' 1 - Ь2е
- —і’ те 1
а т
■ Ь1А2
Т° те-(с+22 )т Г Те-(с+22)Т
’ —а т
0 1 - Ь2е т0 1 - V
(24)
где т0 определяется формулой (17);
8) если Ю!= тс 1 = 1/2, то т0 не существует и Р0 = 1/2.
Интегралы, входящие в (21) - (24), могут быть вычислены только численно.
2. ^1+^1= Х2+да2 , ^1=да2, Х2=рть рфд, 0<р <1, 0< д <1. Тогда а=0 и в рамках третьего частного случая (раздел 3) и формулы пересчета (13) следует, что
ю(Х1 |г; + 0) = П = да2/(ра1 + да2), г = 1,2,.... (25)
Из (25) вытекает (аналогично первому особому случаю), что апостериорная веро-
ятность ю(Х1|т/) не зависит от предыстории и для данного соотношения параметров обобщенный асинхронный поток событий является рекуррентным потоком. Формула (12) при этом приобретает вид
ю(Х1 |т) = ю + (П -ю)е-вт, т> 0. (26)
Здесь величины ю, в определены в (12). Подставляя (26) в (1), находим границу
критической области т0 для любого интервала (г, , г,+1), г=0,1, в виде
т» =!,„ Гх» =!,П---------2а|а2 {„ - р---------------------. (27)
в ю-1/2 ^ в (ра1 + да2 )[(1 - р) а1 - (1 - д) а 2 ]
Из (27) следуют варианты положения т0 на временной оси, аналогичные вариантам 1) - 7) для первого особого случая. При этом можно показать, что плотность вероятностей ^(т) (аналогичная плотности, определяемой выражением (19)) выпишется в виде
^(х) = (а1 + да2)е-(аі +?“2)т, т> 0. (28)
Подставляя (28) в (18), находим
ю(х) = (ра1 + да2)2 те-(“1+?“2)т , т> 0. (29)
Учитывая (26), (29), получаем выражения безусловных вероятностей ошибок Р0 для различных вариантов соотношения величин ю и зЛ1:
1) если 1/2 < ю< тс 1, то т0 не существует и
Р = 1 (Зі,-»); (30)
а, +а2 )
2) если 1/2 < п 1 < ю, то т0 < 0 и Р0 определяется выражением (30);
3) если п j < 1/2 < ю, то т„ > 0; при этом
Р0 = — + (1 - 2 —) |~1 + (pax + qa 2 )т0 ^
L J ГЛ — тг
— -п
pai + qa 2 в
^ai + qa 2 ai +a 2
(ni -ю)
(31)
где т определяется формулой (27);
4) если ю=1/2, ю> тг 1, то т не существует; при этом
Р =Л (П-»); (32)
I а1 +а 2 )
5) если 1/2 > ю> п 1, то т0 не существует и Р0 определяется выражением (32);
6) если 1/2 > п 1 > ю, то т0 < 0 и Р0 определяется выражением (32);
7) если п 1 > 1/2 > ю, то т0 > 0; при этом
Р0 = 1 - —-(1 - 2—) |~1 + (рщ + qa2 )т01|——— |
L —-7t j J
ра^ +q a 2
pai + qa 21 a1 +a 2 )
(fii -ю)
aj+a
1 - 2 (1 + (ai +a 2 )T° ) 1П21 ^
v ^ Ю-Tti )
(33)
где т0 определяется формулой (27);
5. Результаты численных расчетов
Для получения численных результатов разработан алгоритм вычисления условной вероятности ошибки P„(ro(X1|t/+0), т) для общего случая, а также для частных и особых случаев. Программа расчета реализована на языке программирования C++ в среде Builder 6. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование обобщенного асинхронного потока событий. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей алгоритм не содержит. Второй этап расчета - непосредственное вычисление условной вероятности ошибки P0(ro(Xi|t;+0), т) по формулам (6) -(9). Расчеты произведены для общего случая и для следующих значений параметров : Xi=2, Х2=1, ai=0,01, a2=0,02, _p=0,1, q=0,9 и времени моделирования 7=100 ед. времени. В качестве иллюстрации на рис.2 приведена траектория (верхняя часть рис. 2) случайного процесса X(t), полученная путем имитационного моделирования (истинное поведение ненаблюдаемого процесса X(t)), где 1, 2 - состояния процесса X(t), и траектория (нижняя часть рис. 2) оценки ), полученной по критерию максимума апостериорной вероятности, где 1, 2 - состояния оценки X(t). Вынесение решения о состоянии процесса X(t) производилось с шагом Д?=0,05. На рис.2 штриховкой на оси времени обозначены временные промежутки, на которых оценка состояния не совпадает с истинным значением процесса
+
Х(г) (области ошибочных решений). На рис. 3 приведена траектория поведения
апостериорной вероятности ю(Х1|т,), /=0,1,_, соответствующая полученной при
имитационном моделировании последовательности моментов наступления событий г1, г2,_ . На рис. 4 приведена траектория условной вероятности ошибки Р0(ю(Х1|/;+0), т), /=0,1, _, соответствующая той же последовательности моментов наступления событий.
Таким образом, предложенный алгоритм осуществляет оценку состояний процесса Х(г) в любой момент времени г и одновременно в этот же момент времени вычисляет условную вероятность сделанной при вынесении решения ошибки.
2
0
Щ
1
2
в 0,5 ¥
12 3 4
Рис. 2. Траектории процесса X(t) и оценки X(t)
Рис. 3. Траектория апостериорной вероятности ш^?)
ж
О
0,5--
Рис. 4. Траектория условной вероятности ошибки Р0(ш(А-1|?,+0), т,), /'=0,1,....
3
4
5
0
1
1
Для особых случаев (раздел 4) получены графики безусловной вероятности ошибки Р0. На рис. 5 приведены графики безусловной вероятности ошибки Р0 для первого особого случая. Алгоритм расчета выглядит следующим образом: 1) задается а1; 2) вычисляется ю1 и п 1; 3) определяется один из восьми возможных вари-
антов 1) - 8) и вычисляется Р0 для этого варианта; 4) а і заменяется на а і + Даь
5) алгоритм переходит на шаг 1 и т.д. Графики рассчитаны для следующих значений параметров: Х2 = 0,05, а2 = 0,5, р = 1, д = 0,5. Параметр а1 изменяется по оси абсцисс от 0,01 до 2 с шагом Да1=0,001 для различных значений Х1 = 0,5; 1; 1,5 (на рис. 5 каждому значению Х1 соответствует отдельная кривая).
На рис. 6 приведены графики безусловной вероятности ошибки Р0 для второго особого случая. Алгоритм расчета аналогичен алгоритму для первого особого случая. Графики рассчитаны для следующих значений параметров: А2=0,009, а2=0,1, ^=0,9, д=1. Параметр а1 изменяется по оси абсцисс от 0,01 до 2 с шагом Да1=0,001 для различных значений А1 = 0,1; 0,6; 1,1 (на рис. 6 каждому значению А1 соответствует отдельная кривая).
Рис. 6. Графики безусловной вероятности ошибки Р0 для второго особого случая
5. Заключение
Предложенный алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного асинхронного потока событий осуществляет оценку состояний по результатам текущих наблюдений за потоком. Параллельно с этим в момент оценки состояния потока вычисляется условная вероятность ошибки вынесения решения.
Для особых случаев, когда поток событий является рекуррентным, выражения безусловной вероятности ошибки выписаны в явном виде. Последнее позволяет до начала наблюдений определить, при заданном наборе параметров, значение безусловной вероятности ошибки, не привлекая методов имитационного моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горцев А.М., Леонова М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1(10). С. 33-47.
2. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 175 с.
3. Горцев А.М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 44-65.
4. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полу синхронного потока событий // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66 -81.
5. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256 с.
6. Васильева Л.А, Горцев А.М. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. 69-79.
7. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Сер.: Системы связи. 1989. Вып. 7. С. 46-54.
8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.
Леоноеа Мария Алексеевна Нежельская Людмила Алексеевна Томский государственный университет
E-mail: mleonova86@mail.ru; nla@fpmk.tsu.ru Поступила в редакцию 12 января 2012 г.
Leonova Maria A., Nezhelskaya Lyudmila A. (Tomsk State University). The probability of wrong decisions in the estimation of states of a generalized asynchronous flow of events.
Keywords: generalized asynchronous flow of events, flow state, posterior probability of state, state estimation, the probability of wrong decision.
Generalized asynchronous flow of events which intensity is piecewise constant stochastic process X(t) with two states X1 and X2 (^> Х2) is considered. During the time interval when X(t) = Х,-, Poisson flow of events takes place with the intensity Х,- , i=1,2. Transition from the first state of process X(t) into the second one (from the second state into the first one) is carried out at any moment of time. The sojourn time in the i-th state is exponentially distributed with parameter a,- , i= 1,2. The process of transition X(t) from the first state into the second one initiates with probability p (0< p <1) extra event in the second state. Also the process of transition X(t) from the second state into the first one initiates with probability вероятностью q (0< q <1) extra event in the second state.
We solve the problem of finding the unconditional (or conditional) probability of error decision. The algorithm for calculating the conditional probability of wrong decisions P0(ffl(A1|i,+0), t,) at any time т,- > 0, i=0,1,... (general case) is proposed. For the particular and special cases of relations between flow parameters the unconditional probability of wrong decision is found.
