Вероятность ошибочных решений при оценивании состояний обобщенного полусинхронного потока событий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(18)

УДК 519.21

А.М. Горцев, А. А. Калягин

ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЙ ОБОБЩЕННОГО ПОЛУСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ

Рассматривается обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок (событий), функционирующих в современных цифровых сетях интегрального обслуживания. Приводятся аналитические результаты по нахождению условной и безусловной вероятности ошибочного решения при решении задачи оптимальной оценки состояний обобщенного полусинхронно-го потока событий.

Ключевые слова: обобщенный полусинхронный поток событий, состояние потока, апостериорная вероятность состояния, оценка состояния, вероятность ошибки вынесения решения.

Настоящая статья является непосредственным продолжением работы [1], в которой рассматривается задача оценки состояний обобщенного полусинхронного потока событий. Последний является одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок (событий), функционирующих в современных цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО) [2], и относится к классу дважды стохастических потоков событий с интенсивностью, являющейся кусочно-постоянным случайным процессом. Обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных МС-потоков событий) приведена в [1, 3, 4]. Вследствие этого оставляем за рамками данной статьи вопросы, связанные с классификацией дважды стохастических потоков событий и задачами, возникающими при их исследовании.

В [1] решена задача оптимальной оценки состояний (задача фильтрации интенсивности потока) обобщенного полусинхронного потока событий по наблюдениям за потоком в течение конечного интервала времени. В качестве критерия оптимальности в [1] используется критерий максимума апостериорной вероятности, обеспечивающий минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения о том или ином состоянии обобщенного полусинхронного потока событий [5]. Путем имитационного моделирования в [1] найдены (для определенного набора параметров) оценки безусловной вероятности ошибки вынесения решения. В связи с этим представляет интерес получить аналитические результаты, связанные с нахождением условной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения, чему и посвящена настоящая статья.

1. Постановка задачи

Рассматривается полусинхронный дважды стохастический поток с инициированием дополнительных событий (далее обобщенный полусинхронный поток или просто поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс Х(/) с двумя состояниями Х1 и Х2 (Х1 > Х2). В течение временного интервала, когда Х(/) = Х,- , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Ху ,

] = 1,2. Переход из первого состояния процесса Х(/) во второе возможен только в момент наступления события, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < р < 1); с вероятностью 1 - р процесс Х(/) остается в первом состоянии. Тогда длительность пребывания процесса Х(/) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения ^1(х) = 1 - е~рХ1Т. Переход из

второго состояния процесса Х(/) в первое состояние может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса Х(/) во

втором состоянии распределена по экспоненциальному закону: -Р2(т) = 1 -е~ат. При переходе процесса Х(/) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие в первом состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Очевидно, что в сделанных предпосылках Х(/) - марковский процесс. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса Х(/); и , /2 ,... - моменты наступления событий; t4 ,... - моменты инициирования дополнительных событий с вероятностью 5.

1 - Р

V

1 - р

/\

V

1 - р

Л

--------6—*—6--------6--й>—6-----------6-------О------>

Ь t2 tз t4 t5 tб Ь t8 tg tlo t

Рис. 1. Формирование обобщенного полусинхронного потока

1

а

а

2

t

Если 5 = 0, то имеет место обычный полусинхронный поток событий [6]. Так как процесс Х(/) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий и , /2,... , то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса (потока) Х(/) в момент окончания наблюдений и определить возникающую при этом безусловную (или условную) вероятность ошибки вынесения решения.

Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (/0 , /], где /0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Пусть V (Х7-|/1 ,..., /т) - апостериорная вероятность того, что в момент времени / значение процесса Х(/) = Ху , ] = 1,2, т - количество наблюденных событий за время (, при этом V (Х1|/1 ,., /т) + V (Х2|^ ,., т) = 1. Вынесение решения о состоянии ненаблюдаемого процесса Х(/) (или потока) в момент времени / производится по критерию максимума апостериорной вероятности: если ^(Х1|/1 ,., /т) > ^(Х2|^ ,., т (^(Х1|/1 ,., т > 1/2), то оценка состояния процесса Х(/) есть Х (/) = Х1, в противном случае Х (/) = Х2.

2. Вероятности ошибочного решения о состоянии обобщенного полусинхронного потока в общем случае

Рассмотрим полуинтервал (А0 , А] наблюдения за обобщенным полусинхронным потоком, его длительность есть А - и0. Зафиксируем момент времени А. Так как моменты наступления событий ^ ,., и (и1 < и2< ... < ^< А), попавшие в интервал (и0, А], случайны, то случайна и разность t - 4 Таким образом, момент вынесения решения t лежит между моментами времени и и /;+1 (^ < А < А^), при этом разность /;+1 - t также случайна (момент времени ti+1 может быть, в принципе, сколь угодно большим). Итак, вынесение решения о состоянии процесса Х(А) привязано к интервалу между двумя соседними временными моментами наступления событий: (и , ti+1). Сам момент вынесения решения t можно трактовать как некоторую точку, случайным образом «падающую» на ось времени 0А, никак не связанную с потоком событий. Вследствие этого точка t может попасть в любой интервал между соседними событиями обобщенного полусинхронного потока. При этом начало наблюдений, т. е. точка однозначно определяется на оси времени 0А. Момент начала наблюдений и0 можно положить равным нулю (и0 = 0).

Обозначим т = t - 4 Следующее событие потока наступит в момент времени А+ (А+ > А). Тогда т ограничено снизу нулем, сверху т может быть, в принципе, неограниченным, т. е. Т > 0. Обозначим ^(Х1|А) - апостериорную вероятность того, что в момент вынесения решения а процесс Х(А) принял значение Х1 (Х(А) = Х1), т.е. обобщенный полусинхронный поток в момент А находится в первом состоянии, при этом 4 < А < А-+1 (^(Х2|А) = 1 - ^(Х1|А)). С учетом введенного обозначения ^(Х1|А) = ^(Х1|А- + т), т > 0. В момент А = и имеем ^(Х1|А = и) = ^(Х1|А- + 0). Так как т привязано к моменту времени и наступления --го события, то для простоты обозначим ^(Х^ + т) = ^(Х1|т-), т > 0.

Остановимся на алгоритме принятия решения. Процесс Х(т-), т > 0, является ненаблюдаемым. В момент 4 наступления события значение процесса Х(т = 0) может быть равным либо Х1, либо Х2. Вследствие этого в момент т вынесения решения процесс Х(т) может также принимать либо значение Х1 (Х(т-) = Х1), либо

значение Х2 (Х(т) = Х2). Тогда оценка к(т-) значения процесса Х(т-) в момент времени т- (получаемая по критерию максимума апостериорной вероятности) также может принимать либо значение Х1 (к (хг )= Х1), либо значение Х2 (к (тг- )= Х2). При этом возможны следующие варианты: 1) если в момент времени т- значение процесса Х(т) = Х1 , то правильное решение (к (хг- )= Х1) будет приниматься, если ^(Х1|т-) > ^(Х2|т-); если же ^(Х1|т-) < ^(Х2|т-), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): к(хг- )= Х2; 2) если в момент времени т значение

процесса Х(т) = Х2, то правильное решение (к(хг) = Х2) будет приниматься, если ^(Х1|т-) < ^(Х2|т-); если же ^(Х1|т-) > ^(Х2|т-), то будет приниматься ошибочное решение (совершаться ошибка): к (хг-) = Х1.

Обозначим ^(Х(т), т) - распределение вероятностей значений двумерной смешанной случайной величины (Х(т), т), здесь Х(т-) - значение дискретной случайной величины (Х(т) = Ху, ] = 1,2), т - значение непрерывной случайной величины (т > 0). Тогда уравнение ^(Х(т) = Х1, т) = ^(Х(т) = Х2, т) определяет границу х°

критической области, в которой отклоняется гипотеза к(т-) = Х2 , а принимается

гипотеза к (тг) = Х1 (либо, наоборот, отклоняется гипотеза к (тг) = Х1 , а принимается гипотеза к(тг )= Х2). Сам корень данного уравнения (если он существует и единственен) может быть меньше нуля (т° < 0), равен нулю (т° = 0) и может быть больше нуля (т° > 0). Кроме того, возможны ситуации, когда данное уравнение определяет некоторое множество корней. Расписывая в данном уравнении ^(Х(тг) = Ху , т), / = 1,2, через безусловную плотность ^(тг) и апостериорную вероятность ^(Х(тг) = Х/|т) = ^(Х/|т), приходим к следующему виду уравнения для границы т° критической области:

^(Х1|т) = ^(Х2|т) (^(Х1|т-) = 1/2), г = 1,2. . (1)

Тогда, если ^(Х1|т-) > ^(Х2|тг), то апостериорную вероятность ^(Х1|т-) можно трактовать как условную вероятность вынесения правильного решения: к (тг) = Х1 при условии, что вынесение решения произведено в момент времени тг (тг > 0). Апостериорную же вероятность ^(Х2|тг) при этом можно трактовать как условную вероятность вынесения ошибочного решения (трактовать как условную вероятность ошибки): решение выносится в пользу к (тг) = Х1 , хотя на самом деле имеет место Х(тг) = Х2. Аналогичная трактовка имеет место, если ^(Х1|т-) < ^(Х2|тг).

В [1] сформулирован алгоритм расчета апостериорной вероятности ^(Х1|т-). При этом поведение апостериорной вероятности ^(Х1|т-) на полуинтервале [^ , Аг+1) между соседними наблюдавшимися событиями обобщенного полусинхронного потока определяется выражением

...(к | т ч = V [1 - ^1 | А- + 0)] - [V - ^ | иг + 0)]е~Ь%‘

^(к1 | тг) = -ьт , (2)

1 - w(к1 | + 0) - [V - w(к1 | + 0)]е ‘

где тг = А - и > 0, г = 0,1,.; Ь = Х1 - Х2- а Ф 0, V = (1 - 5)/(Х1 - Х2 - а5), Х1 - Х2 - а5 Ф 0.

В момент времени тг = А - и = 0 апостериорная вероятность (2) претерпевает разрыв 1-го рода (г = 1,2,.), поэтому в момент времени тг = 0 имеет место формула пересчета

а5 + [(1 - р)к1 - а5] ^(к1 | Аг - 0)

^(к1 11 + 0) =----—Ни---------- 1 1 г--, г = 1,2. , (3)

к2 +а5 + (к1 -к2 - а5)^(к1 | - 0)

где w(к1 | ti - 0) вычисляется по формуле (2), в которой, во-первых, вместо тг

нужно подставить тг-1 и, во-вторых, вычисления производить для тг-1 = ^ - иг-1 ,

г = 1,2,. . Последнее реализует вычисление предела слева апостериорной вероятности ^(Х1|тг) в момент времени тг = 0 (в момент Аг наступления события). В качестве начального значения w(к1 | А0 + 0) = w(к1 | А0 = 0) в (2) выбирается априорная

финальная вероятность первого состояния процесса Х(А): п1 = а/(а+рХ1), которая находится из уравнений рХ1п1-ап2 = 0, п1+п2 = 1 [7].

Изучим поведение апостериорной вероятности ^(Х1|тг) как функции тг (тг > 0). Производная функции (2) по тг примет вид

^(^ | тг) Ь2 [1 - м>(\ | + 0)] - ^(к1 | + 0)] е-Ьт‘

(к1 - к2 - а5) |^1 - w(к1 | + 0) - [V - w(к1 | + 0)]е Ьх‘ ^

(4)

где Ь определена в (2), w(к1 | + 0)- в (3), г = 0,1,. . Рассмотрим поведение производной (4) в зависимости от тг (тг > 0). Из (2) вытекает: 1) если Ь > 0, то

т” = !|П *(к1|,г +0)-* , г = 0,1. . (5)

Иш^(к1 | тг) = V при тг ^да; 2) если Ь < 0, то Иш^(к1 | тг) = 1 при тг ^-да. При этом знак производной (4) определяется знаком величин а1 = Х1 - Х2 - а5 и а2 = V - ^(к1 | ti + 0): 1) если а1 > 0, а2 > 0, то dw(Х1|тi)/dтi > 0, и апостериорная вероятность ^(Х1|тг) - возрастающая функция переменной тг, стремящаяся к м> снизу при тг ^да; 2) если а1 < 0, а2 < 0, то |тг)/ётг > 0, и ^(Х1 |тг) - возрастающая функ-

ция переменной т,, стремящаяся к единице снизу при тг ^да; 3) если а1 > 0, а2 < 0, то ^(Х^т^/ёт- < 0, и w(Х1|тi) - убывающая функция переменной тг, стремящаяся к

V сверху при тг ^-да. Случай а1 < 0, а2 > 0 невозможен.

Таким образом, апостериорная вероятность w(Х1|тi) - монотонная функция переменной тг и уравнение (1) имеет либо единственный корень т 0 (т° < 0, т0 > 0), либо корень т0 не существует. Подставляя (2) в (1) и решая полученное уравнении относительно тг, находим

1

Ь (1 - 2w)[1 - ™(к1 | ^ + 0)]

Выражение (5) определяет границу критической области т° и в зависимости от значений величин Ь, а1, 5, V, w(Х1|ti + 0) возможны различные варианты положения т° на временной оси.

Случай 1. Ь > 0, а1 > 0, 0 < 5 < 1. Тогда 0 < V < 1, Ишw(k1 | тг) = V при т, ^да.

1.1. 0 < w(Х1|ti + 0) < V < 1/2. Тогда корень т° не существует, при этом условная вероятность ошибки, обозначим ее (здесь и далее) Po(w(k1|ti + 0), т,), определится в виде

Ро^^ и + 0), тг) = w(Хl |т,), тг > 0. (6)

1.2. 0 < V < w(Х1|ti + 0) < 1/2. Тогда т0 < 0 и условная вероятность ошибки определится формулой (6).

1.3. 0 < V < 1/2 < w(Х1|ti + 0) < 1. Тогда т° > 0 и условная вероятность ошибки определится в виде

[1 - w(k1 | т,), 0 < т, < т0;

Ро+ 0),т,) = ]/кУ гЛ 0 г (7)

Ик1 | тг ), тг >тг.

1.4. 0 < V < 1/2 < w(Х1|ti + 0) = 1. Тогда корень т° не существует и Pо(w(Х1|ti + 0), т,) = 0, т- > 0.

1.5. 0 < V ошибки определится в виде

1.5. 0 < w(Х1|ti + 0) < 1/2 < V < 1. Тогда корень т° > 0 и условная вероятность

(^(к, |т-) 0 < т <т°'

Ро + 0),т,) = |,( 1(кг Г )< г> 0г; (8)

I1 - ^к1 | тг X тг >тг.

1.6. 1/2 < w(Х1|ti + 0) < V < 1. Тогда корень т0 < 0 и условная вероятность

ошибки определится в виде

Ро ^(Х1 и + 0), т,) = 1 - w(Хl |т,), т, > 0. (9)

1.7. 1/2 < V < w(Х1|ti + 0) < 1. Тогда корень т° не существует и условная вероят-

ность ошибки определится формулой (9).

Случай 2. Ь < 0, а1 > 0, 0 < 5 < 5* (5* = (Х1 - Х2)/а < 1). Тогда V > 1, Иш w(k1 | т,) = 1 при т, ^да.

2.1. 0 < w(Х1|tI■ + 0) < 1/2. Тогда корень т0 > 0 и условная вероятность ошибки определится (8).

2.2. 1/2 < w()lti + 0) < 1. Тогда корень т° < 0 и условная вероятность ошибки определится (9).

2.3. w(Х1 А + 0) = 1. Тогда корень т0 не существует и Po(w(Х1 А + 0), т,) = 0, т, > 0.

Случай 3. Ь < 0, а1 < 0, 5 < 5 < 1. Тогда V < 0, Ишw(k1 | т,) = 1 при тг ^да.

3.1. 0 < w(Х1|ti + 0) < 1/2. Тогда корень т° > 0 и условная вероятность ошибки определяется (8).

3.2. 1/2 < w(Х1|ti + 0) < 1. Тогда корень т° < 0 и условная вероятность ошибки определится (9).

3.3. w(Х1|ti + 0) = 1. Тогда корень т0 не существует и РОХХ^,- + 0), т,) = 0, тг > 0.

Формулы (2), (3), (5) - (9) позволяют сформулировать алгоритм расчета условной вероятности вынесения ошибочного решения Po(w(Х1|ti + 0), т,) в любой момент времени т, > 0, г = 0,1. :

1) в момент времени А0 = 0 задается w(Х1 |А0 + 0) = w(Х1 |А0 = 0) = п1;

2) по формуле (5) для г = 0 рассчитывается т0, тем самым устанавливается положение границы критической области на временной оси;

3) находится один из 13 вышеизложенных возможных вариантов: 1.1 - 1.7, 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.3;

4) для найденного варианта рассчитывается (с использованием формулы (2))

вероятность Po(w(Х1|ti + 0), т,) в любой момент времени тг (0 < тг < Аг+1 - А,); при этом для вариантов 1.3, 1.5, 2.1, 3.1 может выполняться либо 0 <т0 < - иг, либо

т/ > иг+1 4

5) по формуле (2) рассчитывается вероятность w(Х1|тi) в момент времени тг = Аг+1 - и, т.е. w(Х1|ti+1 - 0); затем по формуле (3) производится пересчет апостериорной вероятности в момент времени Аг+1, т.е. находится w(Х1|tI■ + 0); г увеличивается на единицу и алгоритм переходит на шаг 2) и т. д.

Здесь подчеркнем, что в силу формулы пересчета (3) значение w(Х1|tI■ + 0) зависит от всех моментов А1 ,., и наступления событий в потоке, т.е. вся предыдущая информация сосредоточена в вероятности w(Х1|ti + 0). Вследствие этого для нахождения безусловной вероятности ошибки необходимо усреднить условную вероятность ошибки Po(w(Х1|ti + 0), т,) по моментам наступления событий А1 ,., 4 Однако найти в явном виде функцию распределения вероятностей моментов А1 ,., Аг наступления событий в обобщенном полусинхронном потоке представляется затруднительным или вообще невозможным. Как будет видно ниже, определить безусловную вероятность ошибки возможно только для некоторых частных и особых случаев.

3. Частные случаи

Представляет интерес рассмотреть частные случаи соотношения параметров

Х,, г = 1,2, а, 5.

1. Х1 - Х2 - а = 0, 0 < 5 < 1. Тогда а1 = а(1 - 5) > 0, V = 1. При этом [1]

V ) = ^ + 0) + а(1 - 5)[1 - ^ + 0)]т- , тг > 0, - = 0,1,. ; (10)

1 1 + а(1 - 5)[1 - w(Х1| + 0)]тг

V +0) = а5+[(1 -р)Х1 -а5]''-'(Х1| и -°), , = 1 ... а1)

11 г Х - а(1 - 5)[1 - - 0)] ' '

Подставляя (10) в (1), находим границу критической области

= 2[1/2 - .(к1| ^ +0)] , г = 0 . . (12)

г а(1 -5)[1 - ™(к1 | ^ + 0)]

Тогда, если w(Х1|tI■ + 0) > 1/2, то т0 < 0 и Po(w(Х1|ti + 0), т,) определяется формулой (9); если w(Х1|tI■ + 0) < 1/2, то т0 > 0 и Po(w(Х1|ti + 0), т,) определяется формулой (8).

2. Х1 - Х2 - а5 = 0. Отсюда следует, что равенство нулю достигается для 5* = (Х1 - Х2)/а, при этом Х1 - Х2 - а < 0. Тогда [1]

w(Хl|Тi) = 1 - [1 - w(Хl|tI+0)] е(Х1 -Х2-а)т-, т, > 0, г = 0,1,. ;

w(Х11 иг + 0) = (1/х,)[Х, - х2 + (Х2 - р^мх,1 иг - 0)], г = 1,2,. . (13)

Подставляя (13) в (1), находим границу критической области

=- 1

к2

т, = —

ln{2[1 -w(\ | tx + 0)]}, i = 0,1. .

Тогда, если w(X1|tI- + 0) > 1/2, то т0 < 0 и P0(w(X1|tI- + 0), т,) определяется формулой (9); если w(X1|tI- + 0) < 1/2, то т0 > 0 и Po(w(X1|t, + 0), т,) определяется формулой

(8).

4. Особые случаи

Рассмотрим особые случаи соотношения параметров X,, i = 1,2, p, a, 5, для которых возможно вычисление безусловной вероятности ошибки.

1. X - Х2 - а = (1-5) pl1 , 0 < 5 < 1. Тогда a1 = (1-5)(a+pX1), w = п = a/(a+pXi). При этом [1]

w(X1|Ti) = »1[1 -wЬ\Ь + 0)]-К -wft|t, + °>K'‘-*’rv' , Ti > 0, i = 0,1......... (14)

1 - w(X1 111 + 0) - [n - w(X1 111 + 0)]e~( )

Так как w(X1|t0 + 0) = п1 , то из (14) следует, что w(X1|t0) = п1 для 0 < т0 < t1 - t0, т.е. w(X1|t1 - 0) = п1. Тогда из (3) вытекает, что w(X1|t1 + 0) = п1 и т.д. Таким образом, имеем w(X1|t,) = п1, т, > 0, i = 0,1,. . Последнее говорит о том, что при таком соотношении параметров информация о моментах наступления событий t1,., tm не оказывает влияния на апостериорную вероятность w(X1|Ti), т.е. в конечном итоге не влияет на качество оценивания состояний процесса X(t). Решение о том или ином состоянии обобщенного полусинхронного потока выносится на основании априорных данных. При этом вероятность Po(w(X1|ti + 0), т,) = п2, если п1 > п2, либо Po^^^ti + 0), т,) = п1, если п1 < п2, i = 0,1,. , так что в данном особом случае Po(w(X1|t, + 0), т,) является безусловной вероятностью ошибочного решения.

2. X1 - X2 - a = 0, 5 = 1. Тогда [1] w(X1|t,) = const,, т > 0, i = 0,1,. . Формула пересчета (3) при этом примет вид

w(X 111 + 0) = (1/X1){a+[(1 - p)X1 - a] w(X1 111 - 0)}, i=1,2,. . (15)

Так как w(X1|t0 + 0) = п1, то w(X1 |t) = п1 для t0 < t < t1 . Таким образом, и для t = t1 получаем w(X1|t1-0) = п1. Подставляя п1 = a/(a+pX1) в (15), находим w(X1|t1+0) = п1 и т.д. Таким образом, имеем w(X1 |т,) = п1, т, > 0, i = 0,1,. . Здесь так же, как и в особом случае 1, отсутствует зависимость апостериорной вероятности от моментов наступления событий t1,., tm и решение о том или ином состоянии потока выносится на основании априорных данных аналогично особому случаю 1.

3. р = 1, 5 = 0. Тогда а1 = Х, - Х2 > 0, V = а/(Х1 - Х2). При этом формула пересчета (3) приобретает вид

w(Х1|ti+0) = 0, г = 1,2,. . (16)

Подставляя (16) в (2), находим (для любых г = 1,2,.)

-Ьт

V - we

w(Хl|т) =-------------------------------------— , т > 0. (17)

1 - we

В (17) имеют место следующие ситуации:

1) если Х, - Х2- а > 0, то 0 < V < 1 и Иш w(Х1|т) = V при т^-да;

2) если Х, - Х2- а < 0, то V > 1 и Иш w(Х1|т) = 1 при т^-да.

Для начального полуинтервала изменения А: А0 < А < А,, справедлива формула (2), в которой г = 0 и w(Х1|t0+0) = п, = а/(а+Х1).

Из (16), (17) вытекает, что апостериорная вероятность w(Х1|т) не зависит от предыстории, т.е. полусинхронный (5 = 0) поток событий в данном случае является рекуррентным потоком.

Подставляя (17) в (1) находим границу критической области т0 для любого полуинтервала [4 А+1) ,=1,2,. , в виде

т0 = (1/Ь)1п[V /(2V -1)]. (18)

Для начального полуинтервала [А0, А,) граница критической области т0 определяется в (5), где г = 0 и вместо w(Х1|t0 + 0) нужно подставить п,.

Из (18) следует: 1) если 0 < V < 1/2, то корень т0 не существует и условная вероятность ошибки, обозначим ее Р(0Г>(т), определится в виде

Р0(1)(т) = w(Хl|т), т > 0; (19)

2) если V > 1/2, то т0 >0 и

р( 2) (т)=^’"<к'|г)- (20)

[1 - w(k1 | т), т > т .

1

Для начального полуинтервала [А0, А,) условная вероятность ошибки РДп,, т0) в зависимости от значений величин п,, V, Ь, а,, 5 определится одной из формул (6) -

(9).

Для нахождения безусловной вероятности ошибки Po необходимо знать плотность вероятностей длительности интервала (4 А+1), г = 0,1,. , которому принадлежит момент вынесения решения А. В силу того, что момент вынесения решения есть некоторая точка, случайным образом падающая на ось времени, то тогда плотность вероятностей w(т) длительности интервала (4 4+,), г = 0,1,. , в который попала точка А, для рекуррентных потоков определится в виде [8]

ад

w(т) = тр(т)/ Е (т), Е (т) = |тр(т)^ т, (21)

0

где р(т) - плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями рекуррентного полусинхронного потока событий. Можно показать [6], что

р(т) = ук,е-к1т + (1 -у)(а + к2)е-(а+к2)т, у =-а/(к, -к2 -а), т> 0. (22)

Тогда, подставляя (22) в (21), находим

^(т) = А1те-Х1Т + А2те~(а+Х2)т, т > 0,

А = X,2а(а + Х2) А = ХДХ, -Х2)(а + Х2)2 (23)

1 (а+Х1)(Х1 -Х2 -а), 2 (а + Х1)(Х1 -Х2 -а)

Учитывая (17), (19), (23), получаем выражение для безусловной вероятности ошибки Р0(1) (для ситуации 0 < w < 1/2) в виде

ад ад

Р® = | w(т)w(X1 | т)ёт = | /(т)ёт,

0 0

/(т) = w[(A1 - А2)е~Х1% - А1е~(Х1 +Ь)т + А2еЧа+Х2)т]----, (24)

1 - wе Ь

где А1, А2 определены в (23), w определена в (17), Ь - в (2).

Для ситуации w > 1/2 с учетом формул (17), (20), (23) находим

т0 ад

Ро2) = 1 w(т)w(X1 | т)ёт+ | w(т)[1 - w(X1 | т)^т =

0 т0

= ^ +,^)е-Х1т0 +—V(т0 +—^—)е-(а+Х2)т0 + ) /(тут - ад /т, (25) Х1 Х1 а + Х 2 а + Х 2

где т0 определена в (18), А1, А2 - в (23), /(т) - в (24). Интегралы, входящие в (24) и (25), могут быть вычислены только численно.

Для начального полуинтервала [о, Ь) безусловная вероятность ошибки Ро(0) находится аналогично нахождению безусловных вероятностей ошибок Р0(Г) и Р0(2), при этом та или иная формула для Ро(0) выписывается в зависимости от значений величин п1, w, Ь, а1, 5. Например, если реализуется подслучай 1.6 раздела 2, то

ад

Ро° = Iw(т)[1 - w(X1 | т)]^т,

0

где w(X1|г) = w(X1|г0), последняя определена формулой (2), в которой w(X1|t0+0) = = п1 = а/(а + Х1).

4. Х1 - Х2 - а = 0, р = 1, 5 = 0. Тогда а1 = Х1 - Х2 > 0, w = 1. В этом случае для апостериорной вероятности w(X1|тI■) реализуются формулы (10), (11). Подставляя в них р = 1, 5 = 0, находим (11) в виде (16), а (10) (для любых /', /' =1,2,.) в виде

w(X1|т) = ат/(1 + ат), т > 0. (26)

Для начального полуинтервала изменения Р. р < / < 4 справедлива формула

(10), в которой 1 = 0, w(X1|^o + 0) = п1 = а/(а + Х1), 5 = 0.

Из (16), (26) вытекает, что (аналогично особому случаю 3) апостериорная вероятность w(X1|т) не зависит от предыстории, т.е. и здесь полусинхронный (5 = 0) поток событий является рекуррентным потоком.

Граница критической области (12) при этом (для любых /, / =1,2,.) примет вид

т0 = 1/а. (27)

Из (27) следует, что т0 > 0 и условная вероятность ошибки Р0(т) (так как w = 1) определяется формулой

т0

0

р м(«-а,1т>.0 ^<т0; (28)

[і - w(X1 | т>, т > т .

Для начального полуинтервала [/0, /1) из (10) и (12) вытекает, что

п, +а(1 -п,)т о 2(1/2-п,)

w(A1 | т) = —--------1—, т =-------------—. (29)

1 + а(1 -п,)т а(1 -п,)

Тогда: 1) если п1 > 1/2, то т0 < 0 и условная вероятность ошибки определится в виде

р0(1)(т) = 1 - w(^l|т), т > 0; (30)

2) если п1 < 1/2, то т0 > 0 и условная вероятность ошибки определится в виде (20).

Можно показать, что для рассматриваемого особого случая плотность вероятностей р(т), аналогичная (22), выпишется в виде

р (т) = (Х2 + аЯ,1т)е_я'1т, т> 0. (31)

Тогда, подставляя (31) в (21), находим

w(т) = Ат(Х2 +аХ1т)е~х'1т, А = Х2/(2а + Х2), т> 0. (32)

Учитывая (26), (28), (32), получаем выражение для безусловной вероятности ошибки:

т0 ад

Р0 = | w(т)w(X1 | т)ёт+| w(т>[1 - w(X1 | т)^т =

= Aa-тф<т^т + A - ф<т^т, ф<т) = т<12 +а!1т)<1 + ат) 1 e І1т, <33)

где т0 определяется в (27), А - в (32).

Для начального полуинтервала [/0, /1) аналогично находится безусловная вероятность ошибки Ро(0). Например, принимая во внимание (29), (30) и (32), получаем

ад і

P^0) = - ^<т)[1 - w<| I т)]d т =----------------------------1

a<2a + 12)

-a + 2<a+l1)ee f------dx

^ X

P x .

т0

0

т0

0

0

5. Результаты численных расчётов

Для получения численных результатов разработан алгоритм вычисления условной вероятности ошибки Po(w(k1\ti + 0), т,) для общего случая, а также для частных и особых случаев. Программа расчета реализована на языке программирования Borland C++, Builder 6. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование обобщенного полусинхронного потока событий. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей алгоритм не содержит. Второй этап расчета - непосредственное вычисление условной вероятности ошибки Po(w(k1\ti + 0), т,) по формулам (6) - (9). Расчеты произведены для общего случая и для следующих значений параметров: к = 0,8; к2 = 0,1; а = 0,2; 5 = 0,3; p = 0,2 и времени моделирования T = 20 ед. времени. В качестве иллюстрации на рис. 2 приведена траектория (верхняя часть рис. 2) случайного процесса k(t), полученная путем имитационного моделирования (истинное поведение ненаблюдаемого процесса k(t)), где 1, 2 - состояния процесса k(t), и траектория (нижняя часть рис. 2) оценки к(t), получен-

ной по критерию максимума апостериорной вероятности, где 1,2 - состояния оценки к(/). Вынесение решения о состоянии процесса к(/) производилось с шагом Л/ = 0,001. На рис. 2 штриховкой на оси времени обозначены временные промежутки, на которых оценка состояния не совпадает с истинным значением процесса к(/) (область ошибочных решений). На рис. 3 приведена траектория поведения апостериорной вероятности ^(к1|х,), , = 0,1,. , соответствующая полученной при имитационном моделировании последовательности моментов наступления событий /1, /2. . На рис. 4 приведена траектория условной вероятности ошибки Р0(^(к1|/1- + 0), т,), , =0,1,. , соответствующая той же последовательности моментов наступления событий.

Х(1)

к(/)

4 6 8 10 12 14 16 18 /

Рис 2. Траектория процесса к(Г) и оценки к(Г)

1

2

1

2

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 /

Рис 3. Траектория апостериорной вероятности Цк^т,)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 /

Рис 4. Траектория условной вероятности ошибки Р0(^(к!|Г,- + 0), т,)

Таким образом, предложенный алгоритм осуществляет оценку состояния процесса к(/) в любой момент времени / и одновременно с этим же моментом времени вычисляет условную вероятность сделанной при вынесении решения ошибки.

Для особых случаев рассчитаны безусловные вероятности ошибки по формулам (24), (25), (33), (34), приведенные в табл. 1 - 4.

Т аблица 1

Результаты расчета безусловной вероятности ошибки

к1 0,61 0,62 0,63 0,64 0,66 0,67 0,68 0,69 0,7

Р(1) о 0,209 0,174 0,149 0,13 0,115 0,104 0,094 0,086 0,079

Т аблица 2

Результаты расчета безусловной вероятности ошибки

к1 0,61 0,62 0,63 0,64 0,66 0,67 0,68 0,69 0,7

Р(2) о 0,145 0,142 0,139 0,136 0,131 0,129 0,126 0,124 0,122

Т аблица 3

Результаты расчета безусловной вероятности ошибки

к1 0,11 0,21 0,31 0,41 0,51 0,61 0,71 0,81 0,91

к2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Ро 0,155 0,087 0,061 0,047 0,038 0,032 0,027 0,024 0,022

Т аблица 4

Результаты расчета безусловной вероятности ошибки

к1 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13

к2 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12

Р(0) о 0,269 0,26 0,254 0,25 0,246 0,244 0,242 0,24 0,239

В первой строке табл. 1 - 4 указаны значения изменяемого параметра к1. Во второй строке табл. 3, 4 указаны значения изменяемых параметров к2, а соответственно. В последней строке всех таблиц указаны значения безусловной вероятности ошибки.

В табл. 1 вероятность Р(0Г) рассчитана по формуле (24) для к2 = 0,6; а = 0,04; в табл. 2 вероятность Р(02) - по формуле (25) для к2 = 0,6; а = 0,05; в табл. 3 вероятность Р0 - по формуле (33) для а = 0,01 и в табл. 4 вероятность Ро(0) - по формуле (34) для а = 0,01.

Поведение безусловных вероятностей ошибок в зависимости от изменяемых параметров согласуется с физическими представлениями.

Заключение

Предложенный алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного полусинхронного потока событий осуществляет оценку состояний по результатам текущих наблюдений за потоком. Параллельно с этим в момент оценки состояния потока вычисляется условная вероятность ошибки вынесения решения.

Для особых случаев, когда поток событий является рекуррентным, выражения безусловной вероятности ошибки выписаны в явном виде. Последнее позволяет до начала наблюдений определить, при заданном наборе параметров, значение безусловной вероятности ошибки, не привлекая методов имитационного моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66 - 81.

2. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 175 С.

3. Горцев А.М., Леонова М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. №1(10). С. 33 - 47.

4. Горцев А.М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. №2(11). С. 44 - 65.

5. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256с.

6. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №1. С. 31 - 41.

7. Нежельская Л.А. Алгоритм оценивания состояний полусинхронного потока событий с учетом мертвого времени // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы Четырнадцатой Белорусской зимней школы-семинара по теории массового обслуживания. Минск: Изд-во БГУ, 1998. С. 18 - 21.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383с.

Горцев Александр Михайлович Калягин Алексей Андреевич Томский государственный университет

E-mail: amg@fpmk.tsu.ru redall@inbox.ru Поступила в редакцию 31 октября 2011 г.

Gortsev Alexander M., Kalyagin Aleksey A. (Tomsk State University). The probability of wrong decisions in the estimation of states of a generalized semi-synchronous flow of events.

Keywords: generalized semi-synchronous flow of events, flow state, posterior probability of state, state estimation, the probability of wrong decision.

Generalized semi-synchronous flow of events which intensity is piecewise constant stochastic process k(t) with two states k and k2 (k > k2) is considered. During the time interval when k(t) = k, , Poisson flow of events takes place with the intensity k,, i = 1,2. Transition from the first state of the process k(t) into the second one is possible only at the moment of event occurrence, thus, the transition is carried out with probability p (0 < p < 1); with probability 1 - p process k(t) remains in the first state. In this case the duration of process stay k(t) in the first state is a random

variable with exponential distribution function F1(t) = 1 - e~pX'%. Transition from the second state

of process into the first state can be carried out at any moment of time. Thus, duration of process stay k(t) in the second condition is distributed in accordance with the exponential law: F2(t) = 1 - e-“x. The process of transition k(t) from the second state into the first initiates with

probability 5 (0 < 5 < 1) additional event in the first state.

We solve the problem of finding the unconditional (or conditional) probability of error decision. The algorithm for calculating the conditional probability of wrong decisions Po(w(k1\ti + 0), т,) at any time т, > 0, i = 0,1. (general case) is proposed. For the particular and special cases of relations between flow parameters the unconditional probability of wrong decision is found.