CC BY
485
УДК 528.482 А.А. Басаргин СГГА, Новосибирск
ВАРИОГРАММНЫЙ И КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ОСАДКОЙ ФУНДАМЕНТОВ ИНЖЕНЕРНОГО СООРУЖЕНИЯ
В статье анализируются основные параметры вариограммного и ковариационного анализа для интерполяции геодезических данных. Вариограммный и ковариационный анализ позволяет выявить более полную информацию о техническом состоянии фундаментов и здания в целом, а также определить области неравномерных осадок, построить цифровые модели осадки сооружения, кроме того, используя различные методы интерполяции, смоделировать ошибки модели.
An.A. Basargin
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)
10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation
VARIOGRAM AND COVARIANCE ANALYSIS OF ENGINEERING STRUCTURE FOUNDATION SETTLEMENT OBSERVATION
The author analyses basic parameters of variogram and covariance parameters for interpolating geodetic data. Variogram and covariance analysis allows for acquiring complete information on the technical state of the foundation and the building as a whole, detecting relative settlement areas, developing digital models of the structure settlement as well as simulating model errors by different interpolation methods.
Одним из важных моментов при моделировании и пространственновременном анализе деформаций является вариограммный и ковариационный анализ. Пространственно-временной анализ позволяет выявить территориальное распределение объектов пространства, их устойчивые сочетания, строить и прогнозировать оптимальную модель территориальной организации. Система методов пространственно-временного анализа обеспечивает комплексную оценку статики, динамики и прогноза развития в виде его пространственно-временных моделей, отображаемых в цифровом виде
[3].
Функции вариограмм и ковариации помогают определить степень статистической корреляции в зависимости от расстояния. Геостатистические методы предоставляют средства предварительного просмотра вариограммы и ковариационной зависимости. Это облегчает и повышает эффективность
процедуры подбора параметров модели, включая анизотропию и моделирование ошибок измерений [1].
Вариограмма и функции ковариации определяют количественно предположение, что осадочные марки, расположенные поблизости, имеют большую связь, чем те, которые расположены дальше. Функции вариограмм измеряют силу статистической корреляции от расстояния.
При росте расстояния вероятность взаимосвязи между значениями в точках измерений уменьшается. Вариограмма определяется как [2]:
(1)
где var - разница между значениями осадки в местоположении I и у.
Если две марки 8 и Бу находятся близко друг к другу, меры расстояния sJ), как ожидается, имеют большую связь, т. е. различие в их значениях Z(si) -Z(sj) будет небольшим. А если 8 и Бу находятся на значительном расстоянии, они будут иметь меньшую связь, и различие в их значениях - Z(sJ■)) станет большим.
При увеличении различия с расстоянием вариограмму можно представить как функцию несходства. Высоту, которую вариограмма достигает, когда выравнивается, в терминах геостатистики, называют «пластом». Он часто состоит из двух частей: 1) неоднородность в происхождении, которую называют остаточной дисперсией (ОД), и 2) частичный пласт (ЧП). Остаточная дисперсия может быть разделена на ошибку измерения и изменение микромасштаба и так как компонент может быть нулевой, остаточная дисперсия может быть включена полностью. Расстояние, на котором вариограмма выравнивается, называется диапазоном. Принцип вариограммы изображен на (рис. 1).
Как только создана эмпирическая вариограмма, можно приспосабливать
линию к пунктам,
формирующим модель
вариограммы. Моделирование вариограммы подобно
приспособлению линии
наименьших квадратов в регрессионном анализе.
Основная цель состоит в том, чтобы вычислить
параметры кривой и минимизировать отклонения от пунктов согласно некоторому критерию.
Существуют следующие модели вариограммы [1]:
Остат. дисперсия
Рис. 1. Принцип вариограммного анализа
20, "и 1- fd 1
ж \_вЛ 1 J
1. Круговая
тв)=-
в„
где 0Г > 0 - параметр диапазона; й - расстояние между пунктами.
2. Сферическая
arcsm
для 0 < \\d\\ < 0 ; для 0Г <
y{d-e) =
0, < "з|И 2 26» 3 і ПИП Ая)
Л
, для 0 < < 0Г; для 0r < \d , (2)
где й - расстояние между пунктами. 3. Тетрасферическая
Y(h;0) =
20.
arcsin
'ihr
V0r У
llhll
з Л
для 0 < ||й?|| < 0Г; для 0Г <
V0r У
(3)
2 П
н--------
3 0„
где й - расстояние между пунктами.
4. Пентасферическая
<9
в.
15
5
f\\ jII Л
8 <9 4
\вг у
3
Н— 8
/II л11Л
V у
, для 0 < < 0Г; для 0r < , (4)
5. Экспоненциальная
ЗУ II
у{с1\в) = 6>Д1 -ехр(——)] 5 для всех
6^
(5)
Отметим что, ковариация - это вычисленная версия корреляции. Когда два пункта расположены ближе друг к другу, следует ожидать их большего сходства, поэтому их ковариация (соизмеримость) возрастает. При увеличении расстояния между пунктами сходство между ними уменьшается, вследствие чего их ковариация стремится к нулю.
Функция ковариации определяется как [98]:
С(5|.,5у) = соЧ^(5|.)-2(57.)), (6)
где cov - ковариация.
Принцип ковариации изображен на (рис. 2).
2
1
s
Ковариация функционирует, уменьшаясь с расстоянием, так что о ней можно судить как о функции подобия.
Ковариация представляет статистическую тенденцию (тренд) переменных разного типа изменяться в зависимости от взаимосвязей друг с другом. Положительная ковариация
возникает, когда обе переменные имеют общую тенденцию быть больше их среднего значения, а отрицательная ковариация - в случае, когда одна из переменных стремится быть больше своего среднего, а другие - меньше их среднего значения [3].
В данной работе выбор модели осуществлялся на основе наблюдений за осадками фундамента строящегося административного здания. Мониторинг осадок выполнялся каждый месяц в течение 2007 г. и один раз в два месяца в течение 2008 г. В результате получены значения осадок контрольных марок по каждому циклу наблюдений.
Для вариограммного и ковариационного анализа использовались лабораторные исследования физико-механических свойств грунтов на площадке строительства. На основании этих данных было выполнено исследование корреляционной зависимости между значениями осадки и плотностью грунтов; осадками и коэффициентами водонасыщения.
На (рис. 3) приведена графическая интерпретация корреляционной зависимости.
Теоретическая линия вариограммы
Рис. 3. Графическая интерпретация корреляционной зависимости между
осадками и плотностью грунтов
На (рис. 3) по оси Х откладывают расстояния между марками (в метрах), а по оси Y находятся вычисленные значения вариограммы, соответствующие каждой марке. Чтобы ускорить вычисление значений вариограммы расстояния между всеми парами марок группируются в интервальные группы. Весь диапазон расстояний разбивается на ряд равных интервалов до максимального
0(8^)
Расстояние
Рис. 2. Принцип ковариации
значения расстояния между марками. Для каждой пары контрольных марок вычисляется расстояние и квадрат разности функции вариограммы. Эта пара точек включается в соответствующий интервал расстояний и для каждого из них накапливается общая дисперсия. После обработки всех пар марок фундамента для каждого интервала расстояний подсчитывается средняя дисперсия, представляющая среднее различие между осадками в двух любых марках, находящихся на расстоянии г друг от друга.
Моделирование на основе ковариации используется для определения локальных характеристик пространственной корреляции между двумя наборами данных и для поиска локальных сдвигов во взаимной корреляции.
Наличие и учет корреляционной зависимости между исследуемыми данными позволяет выбрать более точную и адекватную модель осадки. Чем плотнее массив точек к теоретической линии вариограммы, тем больше корреляция между осадками, плотностью грунтов и коэффициентами водонасыщения.
Для данного сооружения получена цифровая модель осадок на основе экспоненциальной модели вариограммы с учетом параметров грунтов, карты распределения ошибок интерполяции и взаимной и перекрестной проверки, со средней квадратической ошибкой 0,7 мм. Установленная модель вариограммы и ковариации, применительно к анализу осадок фундаментов реального инженерного сооружения, может быть использована и при анализе деформаций промышленных объектов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ArcGIS™ 3D Analyst™: Three-Dimensional Visualization, Topographic Analysis, and Surface Creation ESRI 380 New York St. - Badlands, 2002. - 20 с.
2. Гитис, В.Г. Основы пространственно временного прогнозирования в геоинформатике / В.Г. Гитис, Б.В. Ермаков. - М.: Физматлит, 2004.
3. ArcGIS™ 3D Analyst™: Using_Geostatistical_Analyst ESRI 380 New York St. [Текст]. - Badlands, 2002, 307 с.
© А.А. Басаргин, 2011
