CC BY
31
УДК 621.983:939.974
В.Н. Чудин, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Москва, МИИТ),
А.А. Пасынков, асп., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ВАРИАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ РЕЖИМОВ ГОРЯЧЕЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ И ПЛОСКОЙ ВЫСАДКИ
На основе вариационного метода расчета применительно к разрывным полям скоростей перемещений получены соотношения для расчета силовых и деформационных параметров высадки в условиях осесимметричной и плоской схем деформаций. Деформируемый материал принят вязко-пластичным, повреждаемым.
Ключевые слова: горячая высадка; напряжения, деформации, вязко-
пластичность.
Горячую высадку применяют при обработке высокопрочных материалов для изготовления осесимметричных деталей типа патрубков, переходников и др. В этих операциях материал заготовок упрочняется в связи с накапливаемой деформацией и, с другой стороны, разупрочняется при релаксации напряжений. Последний фактор зависит от длительности процесса деформирования, что оказывает влияние на силовые и деформированные параметры штамповки.
Рассмотрим процесс горячей высадки. Расчетная схема операции и поле скоростей перемещений приведены на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема операции и поле скоростей перемещений
Поле состоит из блока деформаций «1» и жестких блоков «2» и «3». Блоки разделены поверхностями «12» и «13» разрыва скорости. При осесимметричной схеме деформаций эти поверхности образованы вращением
линий у = у^(х) и У 2 = У\з(х) относительно оси х .Уравнения этих линий
подлежат определению в ходе решения задачи. Запишем уравнение равновесия деформируемого объекта в энергетической форме для осесимметричной схемы:
где q - внешнее давление; Vо - скорость перемещения инструмента оснастки; Гу , г - размеры изделия.
В соответствии с неравенством (1) необходимо рассчитать мощно-
верхностях разрыва скорости Ир и мощность трения Итр Рассмотрим
блок деформаций «1». Выразим распределение скорости перемещения материала в этом блоке, используя план скоростей перемещений на рис. 2.
Учтём в дальнейшем, что положения образующих У1 и У2 относительно осей координат определяются углами
Щ(г3 - Г12Жо - ИД + Ир + Итр,
(1)
сти внутренних сил: мощность в объеме деформаций Ид ; мощность на по-
(2)
п
Рис. 2. План скоростей на поверхностях разрыва скорости
Используем также граничные условия:
VI
cos а
V = —— = Vq д/1 + (>1 )2 - полная скорость на поверхности «12» с
образующей « У1 », т.е. на входе в объем деформаций;
V = РзБт а = У - полная скорость на поверхности «13» с
а/1 + (У )2
образующей «У2», т.е. на выходе из объема деформаций
(к = (Г? -Г!2)/2ЙГ3).
Получим следующее распределение скорости:
V 1 /„/ , /,/ \2
v- Vq
і+(уі )2
і ( ; \2 1 - +(У; )' х ч
1 + (У; ) +------------------1-1--(У - У1)
(3)
Е,ф = —— cos а-^— sin а,
>1 - >2
где у - ордината точки в области деформации; у| - производная по x от
уравнения линии yi = yi2( х),
Уравнение (2) позволяет записать компоненты скорости деформации в виде
е dV е dV . с х =— cos а, с > =— sin а. х дх у ду
dV dV .
—cos а-------
дх ду
dV . дV
Y=— sin а + — cos а, ху дх ду
где а, в - в соответствии с выражением (2).
Отметим, что производная по х вычисляется при постоянном у,а
производная по у - при постоянных у1, у2, у1 .
Эквивалентные скорость деформации и деформацию представим как
(Сэ)д ^"М2 + с2у + Сф) + Y2У, (сэ)д = — (Сэ)д, (4)
vq
где Ah - величина осадки заготовки (рабочий ход пресса).
Состояние материала при горячем деформировании будем выражать функцией
аэ = Лет СП, (5)
где аэ, еэ, Сэ - эквивалентные деформация, скорость деформации и напряжение; A,m,n - константы.
В этом случае при учете выражений (4) эквивалентное напряжение получит вид
Оэ )д = А
АН
V. у
т+п
(6)
Выражения (4) и (6) позволяют записать мощность внутренних сил в объеме деформаций, т.е.
Мд =! (а э )д )д^ = 2пА
Ж
АН
V. у
Н
Уц.т. |
.
У2
\ У1
аХ,
(7)
где Уцт - ордината центра тяжести площади блока «1» в плоскости ху (см. рис. 1), а интегрирование ведется по у при постоянном х, и далее -по х .
Рассчитаем мощности на поверхностях разрыва скорости. Используя план скоростей, запишем
(^)т = VI = ^1 + (УІ )2 , (^2)п = 0, (8)
соответственно касательная и нормальная скорости на поверхности «12». Следовательно, компоненты скорости деформаций на этой поверхности:
д(^12)т _ 1 д(^12)т _ ^ У1 У1
(^ї )12 =
д1
Л дх
рыва скорости; (£,п )12
1 + (у; )2 дх 1 + (у; )
(дї'п )т
вдоль поверхности раз-
дп
0 - по нормали к этой поверхности;
(^Ф)12 = -(^р )12 - окружная компонента скорости.
Для определенности положим, что скорость деформации сдвига
У12 = (^/ )12 •
При известных компонентах эквивалентные скорости деформации и деформацию выразим как
(£ э )
э> 12
13 (^ї )12’(єэ)12 = г/ (^э)12.
^0
(9)
Касательное напряжение будет определено уравнением состояния (5) при подстановке выражений (9), т.е.
12
1( ) = А 2 э );2 “ 2
АН
V.
V о у
\т
&Э )12+ п •
(10)
Мощность на этой поверхности разрыва скорости запишем, учитывая выражения (10) и (8), в виде
И
N12 =^2(^2)^ = П4(ЛЙ)"%1-Ш|^(1 + (У )2)(?э)£+"& (11)
5 0
2
Составляющие скорости на поверхности разрыва «13» получим также, используя план скоростей. Таким образом,
(^із)х = VT + (V3 ) т = V3(sin а sin(p-a) + cos в) =
kV
- y; (і+y; у2)+у2 (і+(уі )2)
(12)
(1 + ( у І )2)д/(1 + ( у2 )2)
(V13)n = V3 sin Р
kV
o
((1+( у2)2)
где к определено в соответствии с функцией (3).
Исходя из выражений (12) и (13) для скоростей получим следующие компоненты скорости деформаций вдоль поверхности разрыва, по нормали к ней и окружную:
а(к13)х 1 д<713)т
(13)
Gl)
13
д\.
(£>n )13 =
(1 + ( у2 )2)
дx
д (Vi3)n
дш
= o
(^Ф)13 = (^/ )13.
Скорость сдвига для определения её величины примем как
Э(^13)й 1 Э(^13)й
Y13
д\.
■2 д/(1+( у2)2)
Эквивалентные скорости деформации и деформация с учетом этих компонентов и в соответствии с выражением (4) будут
({э),,^^(5Й^А,«.э),, = |(5.),,. <».
Напряжение сдвига на этой поверхности следует из уравнения (5) при постановке выражений (14), т.е.
dx
т13 =
A
2
'Ah^m Vo у
+n
(15)
Соотношения (12) и (15) позволяют выразить мощность в виде
N13 = і т13 (V13 \ds =
= nAk (Ah)mVo1-mh У2 o
У2
y; (1 + уі у2 )
1 + (уі )2
(£з )Пз+ indx . (16)
Мощность трения на контактной поверхности “01” представим выражением
Nтр =п(3 — Г1 )гтрУ('^01 )Т=п(г3 — Г1 '\^о'Ттр У11х=о, (17)
где
(у01 )Т = аг^у1 = Уо У1! х=0.
В соответствии с уровнением (1) при учете соотношений (7), (11), (16) и (17) давление операции будем определять зависимостью
А
Г - г1)
тИ
I Р (Уl, У2, У1, y2, Уъ у2 )йх + т тр У 1 х=0, (18)
где
Р =
л
Р + У1(1 + (У1)2 ^>э )12+П +кУ2
У У (1 + У1 У2 )У1)(е )П+т
У2 - У1~—7ТТ2 )(^э )13
1 + (У У
2 2 о У2
к=^ Р = У0 Уцт^ э )Д+ т+>•
3 0 У1
Для расчета давления необходимо определить функции У1 и У2 , что связано с нахождением экстремума функционала, входящего в зависимость (18), т.е. с решением вариационной задачи. Из условия непрерывности нормальной скорости на поверхности разрыва “13” получим
У у2 = -1,
т.е. искомые линии ортогональны. Это позволяет подынтегральную функцию (18) записать через одну искомую функцию, обозначив У1 = У. При этом искомая функция удовлетворяет уравнению
дР й дР й2 дР Л
-----------+ —о-----= 0,
дУ йх дУ йх2 дУ"
что следует из вариационного уравнения для рассматриваемого функционала. Проведя необходимые действия, данное уравнение можно записать так:
I (У, У', У1, У , У11) = 0,
что является нелинейным уравнением четвертого порядка. Оно может быть решено, как это показано в работе [2], методом коллокации при заданных граничных условиях
Ух=0 = 1 Ух=И = г2.
Для напряжения трения примем, что
Ттр = М*.
Решение в аналитических функциях можно получить приближенно методом коллокации. Для этого задается функция У( х) второго порядка,
135
константы которой удовлетворяют граничным условиям и уравнениям Эйлера [2]. Общий порядок расчета состоит из определения функций У(х) = У1(х), У2(х), нахождения касательного трения и расчета давления (18).
Критические условия штамповки по скоростным и деформационным параметрам, что связано с развитием повреждаемости деформируемого материала, могут быть рассчитаны, исходя из теорий прочности и ползучести [1].
Сделаем оценку повреждаемости на поверхностях разрыва скорости. На поверхности с образующей «12» эквивалентные скорость деформации, деформация и напряжение выражены соотношениями (9),(10). В соответствии с энергетической теорией прочности имеем
-|1+т+п
®12 =-Т" |(а э )12 Й э )12 Ж = А(АН)
1+ттГп 1/0
У5уіуі „
где 0 - ю -1 - повреждаемость при 0 - ЛИ - (ЛИ)Кр; (ЛИ)Кр - критический
Апр х (1 + т)Апр
ю
рабочий ход пресса; Апр - предельная удельная работа разрушения. По кинетической теории
(19)
ю = (в э )12 = V5 'ЛИ У1У1 (20)
ю12 = / \ = ^/ \ ,?, (20)
(в э )пр ^3 ' (в э )пр 1 + (У1)
где (в э ) - предельная эквивалентная деформация.
На поверхности разрыва скорости с образующей «13» получим, используя выражения (14) и (15), что
ю а(ли ) (с )1+т+п (21)
Ю13 = лл (^э )13 - (21)
(1 + т) Апр
по энергетической теории прочности и
ЛИ
Й X у0
®;з - тг^;—— (5э)і3 - (22)
этр
по кинетической теории.
Критические значения скорости или рабочего хода пресса следуют из зависимостей (20) - (22) при ю = 1.
Для тонкостенных заготовок из труб данная задача может быть решена при условии плоской деформации. Рассмотрим этот вариант расчета. Скорость в области деформаций и составляющие скорости по осям координат определяются выражениями
—г = ^л/1 +(у1)2
У1 = -
cosargtgy1 ~" I (23)
У1)х = Vо, У1)у = Vо' у1 ,
что следует из годографа скоростей (рис. 3). С помощью выражений (23) определим компоненты скорости деформации в блоке «1»:
£ x -
д(/;) у - 0, £ у - у - 0,
д(У;)x - 0
дx ’ ^у ду
У xy -
д(у1) У д(/;)
дx
+ ■
ду
- V) У1.
Рис. 3. Годограф плоского поля скоростей
x
Учитывая это, эквивалентные скорости деформации и деформацию запишем в виде
5э = у|У1, вэ =Л3 У1, (24)
а эквивалентное напряжение следует из уравнения состояния (5) при постановке выражений (24), т.е.
С у„ \т+п
аэ = А(ЛИ)туП(Д 1 . (25)
Мощность в блоке “1”, учитывая соотношения (24) и (25),
А(ЛИ) my 1+пИ 1+m+п
= ^1+т+п 1 (у2 - у1)(у1) *. (26)
На линии У12 разрыва скорости касательная и нормальная составляющие соответственно
У’12 )т = У1, (У12 )п = 0, (27)
что позволяет записать компоненты скорости деформации как
(с ) = (с ) = дУ1 = 1 дУ1 = У0у1 у1
\ЫЬ2~ \^пП2~ ы ~ I------------------о ~ 1 ^ ,ч2 '
д/12 д/1 + (у )2 дх 1 + (У1)
Примем, что скорость сдвига
.. = ду1 + д(У12)п =(с )
У12 = д----+ —^--------= (с/ )12.
дп12 д/12 12
Эквивалентные скорость деформации, деформацию и касательное напряжение на этой линии разрыва выразим, используя компоненты скорости деформаций, соотношениями
42
(£э)і2 -^(іу)22 + 3у,22 -^|(5ї);2, (8ї );2- /0(£э );2 -Ту (£ї)і2,
А
Т12 - у(АН)ту0п
ґ \т+п
45 у,-у!
V3; + (у;)
2
(28)
Мощность на данной линии разрыва представим, учитывая выражения (27) и (28) в виде
^ !Т\т+п И Л/ п\т+п
А
М;2 - — 12 2
(АН)т /'0+п /
1+пН (у; - У1 Г
/ +п-1
0 (1 + (У1)2 )
Аналогично на линии У13 разрыва скорости имеем:
(У13 )т = -Уол/1 + (У2 )2, (У13 )п = - Уо(Г3 - Г1)
dx.
(29)
1 + (у2)2
(30)
(£э);з --4(£,);з -^ у0у2У2
-Д
+ (У;)'
(£э)13 - ^ (£ї)13,
А
тіз - у(АН)т/0п
'75
\т+п
У2 У2
N
13
A
~2
f i—\m+n
45
43
(AhfV01+n j
h
(У2 У2 Г
+n
i +n-i
0 (i + (у2)2)
dx.
(32)
На контактной границе трения касательное напряжение выражено зависимостью
ттр = №.
Скорость перемещения материала
Ук = (У01)т = У0 ' ^ агс^ У1 = У0 У1. (33)
Используя выражения (33) и (34), получим
^тр = М(г3 - Г1)У0У1|х=0 . (34)
Удельное давление высадки, учитывая соотношения для мощностей (26), (29,) (32) и (34), представим зависимостью
q <
A(Ah )mF(
n
0
h
(r3 - ri)(1 -M-y1 \x=0) 0
jF (yi, У2. у1> у2> уъ у2 )dx
(35)
где
F = (У2 - У1)
Л
1+m+n
.43.
1
+ — 2
45
43
m+n
( у1 yDm+n
+
(у2y2)m+n
(1 + (y1)2)m+n-1 (1 + (y2)2)m+n-1
Минимизация функционала давления (35) приводит к уравнению (19) при указанных граничных условиях. Решение здесь аналогично вышеизложенному.
Повреждаемость материала заготовки при плоской деформации рассчитывается также, как и при осесимметричной, что приводит к зависимостям (19) - (21).
Список литературы
1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.П. Яковлев [и др.]. М.-Тула: Машиностроение-1; Изд-во ТулГУ, 2003. 427с.
2. Чудин В.Н., Поликарпов Е.Ю. Выдавливание с осадкой фланцевых утолщений при вязкопластичности // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. 2008. Вып. 2. С. 99-106.
V. Chudin, A. Pasynkov
Variational estimation of the hot axisymmetrical and plain upsetting process parameters
On the base of variational method in conformity to discrete velocity diagrams of the motions equations for estimation of the power and deformation parameters of upsetting process in case of axisymmetrical and plain deforming schemes are brought. The deformed material is recognized as viscoplastial and damageable.
Получено 07.04.09
1
