CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м I 1970
№ 5
УДК 533.6.011.5:629.7.025.1
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРЫЛА, ОБЛАДАЮЩЕГО МИНИМАЛЬНЫМ ВОЛНОВЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ ЗАДАННОМ ОБЪЕМЕ
И. И. Бураков
Рассматривается вариационная задача определения оптимального распределения толщины крыла заданного объема, имеющего минимальное волновое сопротивление.
Формула для давления, действующего на крыло, представлена в виде двух слагаемых, учитывающих плоский и пространственный характер течения. Это позволило выделить определенный класс крыльев и получить простые суммарные характеристики в случае, когда поверхность крыла задается в виде двойного полинома. Вариационная задача решается методом Ритца. Пример расчета дан для треугольного крыла.
В линейной постановке рассмотрена вариационная задача по определению оптимального распределения толщины крыла симметричного профиля, установленного под нулевым углом атаки и имеющего заданный объем. Задача решается методом Ритца путем выбора координатных функций.
Подобная задача рассматривалась, например, в работе [1], однако численное трехкратное интегрирование и плохая устойчивость процесса Ритца [2] сильно ограничивают возможности этого метода. В работе [3] поставленная задача рассматривается в классе обобщенных конических течений. Если же крыло со сверхзвуковыми кромками имеет прямую заднюю кромку и распределение толщин задано двойным полиномом, то волновое сопротивление такого крыла может быть достаточно просто выражено через уравнение передней кромки. Тем самым имеется возможность существенно повысить эффективность метода Ритца.
Расчеты проведены для треугольного крыла со звуковой и сверхзвуковой кромками.
1. Рассмотрим обтекание установившимся сверхзвуковым потоком идеального газа произвольного крыла, установленного под нулевым углом атаки а и имеющего симметричный профиль (фиг. 1). Распределение толщины крыла при г>0 и г<0 зададим соответственно в виде г = С(л:, у) и г —— С (л:, у). Известно, что коэффи-
циент волнового сопротивления такого крыла может быть представлен следующей формулой:
* =-*—.ап'.(х,У)4- -
-■> ] _1 "х Л I « - ■)'- - - ■',{
О
PcofS
у (x-W-F{y
ГДЄ poo, И уз
-dxdy, (1.1)
соответственно плотность и скорость невозмущенного потока;
X— волновое сопротивление крыла;
5 — площадь крыла;
D — область плоскости х, у, ограниченная крылом;
р = 1/М^-1 (Моо — число М набегающего потока); т —область крыла, ограниченная обратным конусом Маха, проведенным из точки (х, у) (см. фиг. 1, а);
^ дх ’
Далее нетрудно непосредственной проверкой убедиться в справедливости следующего тождества:
д ff a (S, ■ y\)dUt\________^
JJ.Vi.x-W - й2'"
га (х, у)
дх
д
ду
ТСу-ч)2 «(?, •ч) У
d%df[.
(1.2)
Второе слагаемое в правой части формулы (1.2) учитывает пространственный характер течения. Соотношение для коэффициента волнового сопротивления можно теперь переписать в виде
4
-р- [J (х, У) dxdy
і jja t Jj Vі
_«(6. yi) —У------4 dldridxdy. (1.3)
(X — 6)* - Р2(^ —-Ч)2 6
О -с
Наложим на форму крыла в плане некоторые ограничения: передняя кромка должна быть сверхзвуковой, а задняя—прямой, перпендикулярной набегающему потоку. При этих предположениях формулу (1.3) можно преобразовать, если поменять местами интегрирование по переменной у и по области т. Получаем:
°х=||а2(х' у^Лхйу +
В +1
+ ^-jdx^*(t, ■Ц)^x-ЦdЫrij (1.4)
0 т> (лг) —1
где т(х) — часть крыла, расположенная впереди прямой х = const (см. фиг. 1, б); х0 — корневая хорда; £== ¿^—.
X s
Некоторые частные случаи формулы (1.4) можно найти в работах [4] и [5].
2. Представим функцию местных углов атаки а(х, у) в следующем виде:
м
“(*> У)= сТгМ*!. (2Л)
т=О
здесь 2 — объем крыла; х{ — —; уг = — ; у0 — полуразмах крыла.
хо Уо
С учетом (2.1) формулу для коэффициента волнового сопротивления (1.4) можно преобразовать в двукратный интеграл по переменным хи S,:
cx$S2x о 8 ^ Г ^ 1 (2 k — 1)!! elm w
~~ Z-t ^ (') Ь\\\ tO т 9 / ObJ.ll ^
у2 sx nCT^V¡sp?* VW (2tn + 2j 2k-\r\)
l
(2.2)
Здесь = —— ; ^ == ; У! = р (*1) — уравнение передней
х0у 0 л:0
кромки крыла при у^О.
Объем крыла представим следующим образом:
2 = — 2 || а(х, у) хйх<1у. (2.3)
о
С учетом (2.1) получаем:
м 1
~ 11 а, XI ах1йу1 = дг- Хп~2 ~п+ 1Х1 /«(^1 )Р2 т+1 (*1) Лх\ = — 1 • (2-4)
£> ~ О
В формулах (2.3) и (2.4) предполагается, что толщина крыла на кромках обращается в нуль. Соотношения (2.2) и (2.4) позволяют решить поставленную вариационную задачу методом Ритца. Оптимальную поверхность крыла, обеспечивающую минимум волнового сопротивления при заданном объеме, будем искать в классе функций, заданных в виде
2 = *1 С*. у) = \р2 (*1) —у\\ (1 — *1) X
мы
X X атпх"у21т (0<т<Ж, 0<ге<Л/). (2.5)
• т, п=О
Функцию а (х, у) получаем из (2.5) путем дифференцирования по л:
Q M+1N
а
= 5^ X 2{я«Яд^[Р*(*1)(1 -*!)■*"] +вт-1,н^-[(Л1 - 1)*?]J. (2.6)
Коэффициент волнового сопротивления сх с учетом (2.6) может быть записан так:
. О 9 МН
сх№2хо_ V 4 -а а
----02-------— ¿и ^Л.тп, ^тп
(2.7)
где
т9 у, п, / =0 1
*тл. /I
У 16 (2^1)П Г А[/?2(л:1)(1-а:1)лП^1-7]Г
¿>51 р’* (2 £)!! J ¿*1 1 ' 1
X
X
(*. - £,)2* ^ [р’"+я'-**+' (Е,)(1 -
(2/я + 2у-2Л+ 1) (2 т -г 2у — 2 & + 3)
о
т+1
, V4 ^6 Счт+2 (2& 1)!! Г (I .. Лг'Чг/г х/
+ £-о5Гй*—
о
X
(*1-Е1)2* -¿¡Ч/>2т+2'-2*+1(^)(1 -?!)£'] (2 т + 2 / — 2/г + 3) (2 яг + 2/— 2 А + 5)
(2.8)
где
Соответствующим образом преобразуется и формула (2.4):
£атл 2т„ = -1, . (2-9)
1
“■» ” 5,(2«+1) 1х‘рг*+‘<*■>¿7 ^<х‘>-Х')Х']йх' +
. О
1
+ 5, (2т + 3) I^ т+3 ^ ¿7 [(** - 1>х"] йХх'
Таким образом, поставленная вариационная задача свелась к определению минимума выражения (2.7) при изопериметрическом условии (2.9). Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов атп и неизвестного множителя
Воо, оо #оо "Н ^оо, 01 #01 4" • • • “Ь ^оо, мы (1мм + ^2о0—0; Вт. оо #оо “Ь -®01,01 #о1 + • ■ • ~Ь Вй\, мы #млг Ч~ = 0;
В мы, оо #оо 4~ В мы, и #01 + • • • В мы, мы а мы + = 0;
^оо аоо + 201 а01 + • • ■ -{-^мывмы— 1>
(2.10)
ЗДеСЬ Вщп, /» ■— Атп, ¡1 ~Ъ
При этом коэффициент волнового сопротивления определяется по формуле
cx$s2xi
Q2
1
А.
(2.11)
3. Приведенный метод расчета оптимальных крыльев проиллюстрируем на примере треугольного крыла, при этом распределение толщины представим в относительных координатах хг, определяемых следующим образом:
- л —ФОР. Г *0
Ь{у) ' z b(y)
«1 (хи Ух),
где 6 (_у) — уравнение передней кромки при j/>0; b [у) — местная хорда крыла в сечении у = const.
Для треугольного крыла р (хг) = хии вычисление интеграла ¡(2.8) проводится особенно просто. Однако следует обратить внимание на то, что при нашем выборе координатных функций процесс Ритца является в общем неустойчивым, следовательно, нужна особая точность при вычислении коэффициентов Amnji.
Для случаев, показанных на фиг. 2 и 3, коэффициенты Атп, /г были вычислены на ЭЦВМ М-20 с двойной точностью. Видно, что в центральных сечениях относительная толщина крыла г имеет значительно ббльшую величину, чем в концевых сечениях, и в случае звуковой передней кромки на концах крыла появляются области с отрицательной толщиной. Эти области физически нереальны, однако вследствие их малости можно практически считать, что толщина там равна нулю.
Изменение коэффициента минимального волнового сопротивления в зависимости от чисел М и N приведено в таблице.
M — N сх
Q2 г
Pl = 1 Pi = 2
0 35,0 31,25
1 29,0216 27,1388
2 27,8023 26,3305
3 27,1635 26,0234
4 26,8020 25,8916
Таким образом, за счет оптимального перераспределения толщины крыла можно существенно уменьшить его волновое сопротивление.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кавасаки Т. В сб. „Ракетная техника и космонавтика“, т. 5, № 3, 1967, стр. 68—74.
2. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М., „Наука“, 1966. ,
3. F е nain М., Valleé D. Application de la théorie des écoulements homogènes a la recherche de làdaptation de certaines ailes en régime supersonige. ONERA, Mémo Technique № 14, 1959.
4. Булыгина E. В. Крыло переменной стреловидности с заданным объемом и минимальным волновым сопротивлением. М., ГКАТ,
1960.
5. Коган М. Н. Некоторые интегральные свойства сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 687, 1955.
Рукопись поступила 29/XII 1969 г.
