CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIII
19 8 2
№ з
УДК 629.735.33.015.3.025.1:533.6.12/13
ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА СО СВЕРХЗВУКОВОЙ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКОЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩАЯ МИНИМУМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ЗАДАННЫХ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ И ПРОДОЛЬНОМ МОМЕНТЕ
В рамках линейной теории сверхзвуковых течений рассмотрена вариационная задача об отыскании формы срединной поверхности крыла, обеспечивающей минимальное сопротивление при заданных подъемной силе и продольном моменте (обобщение задачи [1]). Приближенное аналитическое решение задачи получено методом Ритца. Приведены примеры расчета для крыла, передняя кромка которого представляет собой кусочно-линейную функцию.
Расчету оптимальных иеплоских крыльев, позволяющих обеспечить продольную балансировку самолета с минимальными потерями аэродинамического качества, посвящено много работ, например [2 — 4]. Но для систематических расчетов эти методы, разработанные для достаточно общего случая обтекания крыла произвольной формы в плане, не всегда удобны. Для крыла со сверхзвуковой передней кромкой И. И. Бураковым были получены конечные соотношения, позволившие упростить расчет суммарных характеристик таких крыльев и решить вариационную задачу об отыскании формы срединной поверхности крыла, обеспечивающей минимальное сопротивление при заданной подъемной силе.
В настоящей работе проведено обобщение решения, полученного И. И. Бураковым, для вариационной задачи отыскания срединной поверхности крыла, обеспечивающего минимальное сопротивление при заданных подъемной силе Су и продольпом моменте крыла (тг). Отметим, что указанная вариационная задача равносильна следующей, более интересной в практическом смысле, задаче обеспечения минимума сопротивления при заданных коэффициенте подъемной силы Су и коэффициенте нулевого продольного момента, т. е. величине продольного момента при нулевой подъемной силе.
Постановка задачи и ее решение. Рассмотрим класс крыльев со сверхзвуковой передней кромкой, прямой задней кромкой и нулевой концевой хордой. Выражения для Сх, Су,т2 указанных крыльев имеют следующий вид (см. [1, 5, 6]):
А. Б. Бондаренко
. *) ^
•51
0 Р (.г)
-1
СУ - Js [J a(x> z)dxdz> (2)
s
■II ха (л:, г) dxdz, (3)
где x, г — ортогональные координаты, направленные вдоль оси симметрии и по размаху крыла соответственно (рис. 1); ^=|/м^а—1; — число М набе-
гающего на крыло потока; а(х, z) — функция, описывающая распределение местных углов атаки на крыле; Ь0— корневая хорда крыла; t — £ (г — £)/(х — с); s — площадь крыла; Р(х) — часть крыла впереди сечения х = const.
Рис. 1
Поставим в рамках линейной теории крыла вариационную задачу об определении оптимальной формы срединной поверхности крыла, обеспечивающей минимум сопротивления, обусловленного подъемной силой, прн заданных коэффициентах подъемной силы (Су — const) и продольпого момента (тг — const).
Для приблнжепного решения вариационной задачи используем метод Ритца [7]. Приняв в качестве координатпых функций целые степени х и z, представим искомую функцию а(х, г) в виде:
.И, N
з (а-, г) *= $Су ^ атп (х/Ь0)п (г/го)2"1, (4)
т, п-0
где г0 = i/2 — полуразмах крыла, 0 < /и <; .М, 0л<;/V.
Подставив выражение (4) в формулы для Сх (1), Су (2), тг (3), получим следующие соотношения:
а) нз условия (2) на подъемную силу
.и. V
атп Стп — Ь (5)
т. л=О
где
Стп = j* j* jrj* z\m dxx dz1;
s.
б) из условия (3) на продольный момент
М, N
V п тг _ тгЬ , Г /С,
атп&тп "С С )
т, л=0 У У
где
4
°тп- -І- )) х??1 *\т
•Уі
в) из (1) выражение для минимизируемого функционала — сопротивления крыла
ли N
атп а}1 ^тп}і> (7)
где
Су Р т, п, ], *=0
Лтп}1 = ^ Д х\^ г\т+2} йх1 +
С1*+2 (2*+1)11 Г? £‘1(^~ь'1)26+!/(^)2'П+2/-{гЛ+1) э
+ 2-( в2*+2 (2Л)Н И 2« + 2/— (2А + 1)
*=° 0 0
и ^ «/(л:^ — уравнение передней кромки крыла. Здесь всюду *,=*/*<,, = г/*0, ^ = 5/^20, ^1 = Рг0/60.
Пусть передняя кромка — кусочно-лннейная:
/(*) =
ДЛГХ При 0< А')<.ї0
(Хх + 6) г/ при д:0^ лС| ^ 1
где *0 — координата излома передней кромки крыла; а, ^ —некоторые константы, определяющие его форму в плане (рис. 1).
Тогда интегралы в выражениях для Стп (5), Отп (б) и АтП}і (7) вычисляются в конечном виде:
8 1 [ ^+1^+»+2 ^ы.1с*т+10т+1-,(,_лл+»+1,
[д2«+1 .*г2т+л+2 2,71 + 1
-■■2И+:+2 + ^ е
5=0
О,
$! 2т -і- 1 I 2т + п + 2 ^ ^ п + 5 + 1
5=0
о і Г „2т+1 „2т + я-НЗ 2т + 1^ .2/В + 1-.У/< „я + .?+2ч
_ 8 1 \ а *0 1 И<1т+ і У Чд+гО____________________________(I— *0 )
1 2т + 1 2т + п 4- 3 ^ п + я -Н 2
Л 8 ( а“-'д:Г“+1 |. Л""' V С^-г6^1 ~'»Г,"И~<,>
СТП;г 5і [(И — /) (Я + « + 1) М — І и + П + 1 — Є
е-0
^.2*42 /пи і >4)) 2* + 1
V* С2т ( )" V іиг?
+ Ъ ,2*+а(2«м о ^ “ + ‘
А=0 151 V 5=0
, -И+.Г—(2Й+1)
ас ( -*о
и -\- з — (26 1) у 2к -{- 2 — 5 -р ^
, Д.М+Л+ 1 | 1 _______________]____________\ + (р У ___________________СУ Ь*___________________ у
^ / І и 4- я 4- 1 9.к 4-9 — .<г 4- л / и 4- я — (9.к 4- П — е
+
X
и + п+ 1 26+2 — 5 + п I и + в — (2 А +1) — е
і „л+в+1— е і „Я+2Й + 2—^
1 "-^0_______ „ х«+^-(2*+1)~г 1 ~-*0_________
п+и + 1— е 0 я + 2А-г2--5
где и = 2т -г 2/ -МЧ 1 и V ==• 2«г + 2/ — (26 + 1). 120
В результате рассматриваемая вариационная задача свелась к конечномерной задаче на условный экстремум: необходимо найти величины атп, 0<т-</И, О-<«<//, удовлетворяющие соотношениям (5), (6) и доставляющие минимум функции (7). Для решения задачи используем метод неопределенных множителей Лаграннса [7]. Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи имеет вид:
м, к
ф= х «
т, п. /. 1=0
тп а)і
к
/М, .V
і 2 ' \яг, гг—С
™г
тп ^тп £
о,
т, п=О
где л1? Х2 —множители Лагранжа.
Величины атп, А}, а2 определяются из решеиня симметричной и линейной относительно искомых величин системы (М -(- 1) (/V 1) + 2 уравнений, получен-
ной нз условия стационарности Ф по атп, Аь
М, X
а
тп Втп}і
~'Г Си + ^2 Оц е= О,
т, п-О
И, Л7 £ ‘
т, п=о М, N £ т, п-О
& т п —
С„
(8)
)
где Втпд — Атпц ■+• А і
■*}шп» ^ ^ г 0 <у < М.
Для определения величин минимального сопротивления крыла просуммируем первые (М -\- 1)(Л^+1) уравнений системы (8), умножая каждую строку системы на столбец решения. В результате получим
М, N М, N М, Л- М, N
, итп аа Втп/і + а)і С}і + ^2 а]і В}і — 0.
/, і=0 т, п=0 /, {=0 ], і—0
(9)
Замечая, что первое слагаемое выражения (9) равно удвоенной правой части выражения (7), получаем величину минимального сопротивления двухпараметрического ^зависящего от Су и семейства поляр оптимальных крыльев:
РС2у
*» +
Для сравнения оптимального иеплоского крыла с плоским крылом той же формы в плане удобно использовать известное выражение для максимального относительного аэродинамического качества:
^Сгпах
Кпл
(•*['
X,-}- -т*±-
с
т,у
-0,5
где /Стах. /Спл —соответственно максимальное аэродинамическое качество оптимального и плоского крыльев, Ап][ — отвал поляры плоского крыла, А0рх — отвал поляры огибающей двухпараметрического семейства поляр оптимальных крыльев.
Для ординат у = у(х, г) срединной поверхности оптимального крыла на основании (4) получаем:
М, N
у(х, г) = — $Су Ьа £
0 / ‘ п -(- 1
т, п-0
,я +1 -1т
1
Результаты расчета. На рис. 2 — 5 приведены результаты расчетов на ЭВМ БЭСМ-6 для крыльев, форма в плане которых показана на рис. 1. На рисунках приняты следующие обозначения (см. рис. 1): — относительная
mzo/^у 0,10-
0,05-
0-
}
-0.05-
Рис. З
Kmoz4,0; Ъ= 0,2.5
M^rl Krnax =1,0; b=0,25
h=0,25; i~60'
высота наплыва, гл=^гн1га — относительная ширина наплыва, хо— стреловидность базового треугольного крыла, у — yjb^ — относительная величина ординат сече-
/7^7 Q
ний крыла 2 = const, <р—крутка крыла. На рис. 2 и 3 приведены значения — ,
'-'у
которые можно получить для оптимального крыла при величинах аэродинамического качества не меньших, чем у плоского крыла, при различных величинах Хо н гн- На рис. 4 показана зависимость величины выигрыша в /Стах в за_ тг О с
висимости от —^— . ца рис. 5 приведены форма срединном поверхности и у
крутки крыла для двух вариантов решения вариационной задачи: с учетом условия на продольный момент и при произвольном продольном моменте крыла.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы, которые могут быть применены ко всем крыльям такого класса:
— оптимизация формы срединной поверхности крыла при заданных значениях коэффициентов нодъемной силы и продольного момента или, что то же самое, нулевого продольного момента позволяет нолучить выигрыш в величинах максимального аэродинамического качества /Стах Д° 496 по сравнению с исходным плоским крылом в достаточно широком диапазоне тг0зиаче-
max ^
ний коэффициента нулевого продольного момента при условии /Стах> 1 (см. рис. 4);
— увеличение высоты наплыва h при фиксированных стреловидности
базового крыла Хо и относительной ширине наплыва ги, увеличение угла стреловидности базового крыла при постоянных h и гН1 а также уменьшение величины относительной ширины наплыва гн при заданных h и хо приводят к расширению указанного дпаназона , и увеличению выигрыша в вели-
max
чине /Стах'»
— увеличение числа Маха приводит к сужению указанного диапазона значений т20\к
max ^ ’
— срединные поверхности оптимальных крыльев со сверхзвуковыми передними кромками при заданных значениях Су — 0,1 и тг0в пределах тг0
являются слабо изогнутыми. Максимальные прогибы срединной поверхности не превосходят 1,5% местной хорды, а максимальные углы крутки С не превосходят 4—6°.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б у р а к о в И. И. К задаче о крыле минимального сопротивления при заданной подъемной„силе. Труды ЦАГИ, вып. 1235, 1971.
2. Гладков А. А. Расчет аэродинамических характеристик крыльев в сверхзвуковом потоке. Труды ЦАГИ, вып. 1235, 1971.
3. Тимонин А. С. Метод расчета аэродинамических характеристик крыльев сложной формы в плане в сверхзвуковом потоке газа. Труды ЦАГИ, вып. 1743, 1976.
4. Николаев В. С. Треугольное крыло оптимальной формы в сверхзвуковом потоке. .Ученые записки ЦАГИ*, т. IX, № 6, 1978.
5. Коган М. Н. Некоторые интегральные свойства сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 687, 1955.
6. Жилин Ю. Ц. Крылья минимального сопротивления. ПММ. т. 5, вып. 2, 1957.
7. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М., .Наука*, 1980.
Рукопись поступила 27\Х1 1980 г.
