Оптимальное распределение толщины крыла в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том /

1970

№ 4

УДК 533.6.011.5:629.7.025.1

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В работе предложен метод решения вариационной задачи для крыла произвольной формы в плане, установленного под нулевым углом атаки, обладающего минимальным волновым сопротивлением при заданном объеме. Приведено краткое описание программы, составленной для ЭЦВМ типа М-20 и результаты расчета крыльев треугольной формы в плане.

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком газа тонкого крыла, установленного под нулевым углом атаки. Будем считать, что поверхность крыла симметрична относительно плоскостей .у = 0 и 2 = 0, а его форма в плане задана (фиг. 1). Уравнение верхней

поверхности крыла запишем в виде у = Ъ(х, г). Согласно линейной теории [1] потенциал возмущенной скорости <р(х, z) в произвольной точке А (х, z) плоскости у = 0 равен

И. И. Бураков, Ю. J1. }Килин

Фиг. 1

- р2(2-^)2’

а (£, Yj) (1Ыг\

■с (х, г)

где $ = VmI — 1;

Ucc, Moo — скорость и число М набегающего потока; х(х, г) — часть крыла, ограниченная передним конусом Маха, проведенным из точки Л;

дЬ (х, z) „

а = —^—- — местный угол атаки поверхности крыла.

Это соотношение является решением задачи обтекания изолированного крыла в рассматриваемой постановке.

Коэффициент волнового сопротивления сх можно представить в виде

с‘'—О

D

где 5 — площадь крыла;

D — часть плоскости у = 0, ограниченная кромками крыла.

Полный объем крыла V равен

V = — 2 J J ха (х, z) dxdz. (2)

Предполагается, что толщина крыла обращается в нуль на

передней и задней кромках. Это условие для каждого сечения

2 = const записывается в виде

Ь (г)

[ adx = 0, (3)

а (г)

где х = a(z) и х = b(z) — уравнения соответственно передней и задней кромок крыла.

Уравнение (3) означает, что в каждом сечении z = const сумма источников и стоков равна нулю.

Сформулируем вариационную задачу. Требуется найти форму поверхности крыла, обладающего минимальным волновым сопротивлением при заданном объеме. Предполагается, что задано число М и форма крыла в плане, толщина крыла обращается в нуль на передней и задней кромках.

Эта вариационная задача сводится к нахождению минимального значения функционала Ф, равного '

Ф — | а + ^1 ха + ^2 (г)а

dxdz,

где Х1 и Х2 (г) — постоянный и переменный множители Лагранжа.

Можно показать, что первая вариация функционала Ф обращается в нуль при выполнении в области О условия (см. работу [2])

а (5, 'f¡)dЫ^r^ , д СС а(£, ■ц)dЫ^f\

д гг о.{1, 7j)dldf\________d_ гг ______

дх JJ У0^-1)2-В3(2-# дх JJ V(x

У(*—&)*-£»(г—Ч)* °х Л У(х — £]2-р2(2 — т])2

т (х, г) . -Со (х. г)

+ х + Ц(2) — 0, (4)

в котором второй член пропорционален давлению в обратном потоке [область х0(л:, г) показана на фиг. 1]. Физический смысл

этого условия заключается в том, что для крыла, обладающего минимальным сопротивлением, разность давлений в прямом и обратном потоках в каждом сечении z = const является линейной функцией от л с постоянным вдоль размаха градиентом Xt. Соотношение (4) при заданных Xt и Х2 нужно рассматривать как интегральное уравнение для местного утла атаки поверхности крыла минимального сопротивления.

Сформулированная вариационная задача имеет простое решение при глубоко сверхзвуковых кромках крыла, когда взаимодействие отдельных его сечений пренебрежимо мало. В этом случае сопротивление крыла не зависит от формы в плане и при заданном профиле определяется законом распределения по размаху его относительной толщины и местной хорды. При этом минимальным сопротивлением обладает крыло с параболическим профилем, относительная толщина которого изменяется вдоль размаха пропорционально местной хорде. Можно также показать, что при любом профиле изменение относительной толщины крыла по этому правилу позволяет уменьшить волновое сопротивление по сравнению с сопротивлением крыла, имеющего постоянную относительную толщину.

Для решения вариационной задачи при других числах М в настоящей работе используется метод Ритца, который сводит ее к более простой задаче об отыскании условного минимума.

Введем новые безразмерные координаты

где I и Ь0 — соответственно размах и корневая хорда крыла.

В новых переменных соотношения (1) и (2) записываются в виде

Для решения вариационной задачи представим уравнение верхней поверхности крыла в виде

- 2 г

г = -г-

I ’

(6)

(5)

D,

где Dx их, — области D и х в новых координатах; k = —ут---------параметр подобия.

'о

8(*. z) = -~[b(z)-a{z)\b(x, z),

NM

l(x, z)= X а„тх(1 -xn)\z\m~\

(7)

П = 1

т= 1

где

b(z)~a(z) ’

jc — a(z)

апт — некоторые постоянные коэффициенты.

2— Ученые записки № 4

17

При таком задании поверхности условие обращения в нуль толщины крыла на передней и задней кромках выполняется автоматически; форма поверхности крыла определяется заданием ЫМ постоянных коэффициентов. Местный угол атаки крыла равен

_ - V им - -

“(*. г) = -о7Г Х(а«т[1 — (« + !)■*"] I 21'”-1 ■ (8)

п = 1 т = 1

Подставив значение а из уравнения (8) в соотношения (5) и (6), получим

4 ИМ ЛГЛ

сх — ~УП Сх = ^ ^ Апт, р<7 ; (9)

п=1р =1

/П = 1 ? = 1

ЫМ

«=1 т = 1

Здесь

рд = ^5-1 [ [1 — (я + 1) хп] I'21®-‘ <1X1 ¿г

2 Г- I I — . - -и

- „Л1Х X ГГ [1 -(/Н-ОИЬ^-1 .

^(^1 — £])2 — К2 (г — т])2

(И)

Я»» Я п - (* +1) *"] 121т-1 аг> (12>

О,

-г % — а(т])

где £ —

Ь (•»)) — а(у]) '

Сформулированная вариационная задача сводится к отысканию условного минимума функции сх(апт), аргументы которой удовлетворяют условию (10). Метод множителей Лагранжа приводит к решению следующей линейной системы уравнений:

лш

апт (Апт, РЧ + АрЧ' пт ) ХВр<1 —- 0, (13)

п = 1 т~ 1

1</><ЛГ, 1

Здесь X — неопределенный множитель Лагранжа. Коэффициент минимального сопротивления определяется по формуле сх = -^-'к.

Для решения вариационной задачи была составлена программа для ЭВМ типа М-20. Эта программа позволяет также решать прямую задачу для крыльев, поверхность которых можно описать выражением (7). В программе предполагается, что форма крыла в плане представляет собой многоугольник. Кромки крыла могут быть как чисто дозвуковыми или сверхзвуковыми, так и смешанного типа. Поэтому предлагаемый метод применим к более широкому классу крыльев, чем метод, данный в работах [3] и [4].

При вычислении коэффициентов Апт, рд в формуле (11) удобно избавиться от производной по хх путем интегрирования по частям, т. е. в исходном соотношении (1) перейти от давления к потенциалу. В работе [5] сопротивление крыла вычисляется по распределению давления; при этом используются аналитические решения, справедливые при некоторых дополнительных предположениях. Коэффициенты Апт, рч и Впт определяются численно путем последовательного применения формулы Симпсона. Для уточнения расчета по этой формуле предварительно выделяется особенность в производной от потенциала, возникающая на передней кромке крыла.

После решения линейной системы и нахождения коэффициентов апт проводится расчет распределения давления и толщины крыла минимального сопротивления в заданных сечениях.

По предлагаемому методу были проведены расчеты крыльев треугольной формы в плане. В этих расчетах параметр подобия к изменялся в диапазоне от 0,2 до 2. Для каждого значения параметра & при заданных значениях М и N определялся коэффициент сх крыла минимального сопротивления, находилось распределение относительной толщины крыла 8(х, г) и безразмерного коэффициента давления ср(х, г), равного

- Ьр

Ср V д ’

где Л/? и <7 — приращение давления и скоростной напор.

Для оценки уменьшения волнового сопротивления в качестве исходного было взято крыло с параболическим профилем, у которого относительная толщина постоянна вдоль размаха (УИ=1, Л/=1). Коэффициент волнового сопротивления этого крыла обозначен через сх0.

На фиг. 2 представлена зависимость от параметра подобия & минимального значения коэффициента волнового сопротивления схшш, достигнутого в этих расчетах, и коэффициента волнового сопротивления исходного крыла. Там же приведено значение коэффициента волнового сопротивления сх,>0 тела вращения, обладающего минимальным сопротивлением при заданной длине Ь0 и объеме V.

V - 128

Как известно, сх00 =-----.

Фиг. 2

Из фиг. 2 видно, что крылья минимального сопротивления обладают существенно меньшим сопротивлением по сравнению с исходным крылом, относительный выигрыш в сопротивлении уменьшается при сверхзвуковых кромках крыла и при & -»• оо ста-

новится равным

' X о

На фиг. 3 для значения параметра подобия £ = 0,8 показано распределение разности коэффициентов давления Дср в прямом

и обратном потоках для исходного крыла и крыла минимального сопротивления при М — 3, N=3. Видно, что для крыльев минимального сопротивления кривые распределения Дср близки к параллельным прямым. Аналогичная картина наблюдается и при других значениях параметра &. Таким образом, предлагаемый метод позволяет получить приближенные решения уравнения (4) как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых кромках крыла.

I! II М=}^2

М = /

М-! 2

л 2

3

3

А

10

« /

* /

4 Я

Фиг. 4

На фиг. 4 для различных значений параметра подобия показана

с

зависимость от М и N величины Д = -=^, характеризующей умень-

^х О

шение волнового сопротивления. Видно, что при околозвуковых и сверхзвуковых кромках (&>0,8) сопротивление, близкое к минимальному, достигается на крыльях с параболическим профилем (Д/’= 1), относительная толщина которых уменьшается к концу крыла. При глубоко дозвуковых кромках (&<;0,6) сопротивление, близкое к минимальному, можно получить на крыльях с постоянной относительной толщиной (М=1) путем оптимизации профиля (N=4). На этих режимах существенное уменьшение сопротивления достигается также на крыльях с более простым профилем (N= 1, 2 и 3) и с переменной вдоль размаха относительной толщиной.

Это положение справедливо и для крыльев^более сложной формы в плане.

На фиг. 5 показана форма профилей крыльев минимального волнового сопротивления с глубоко дозвуковыми передними кромками при М— 1 и N=4, т. е. при постоянной относительной толщине вдоль размаха (на фиг. 5, а форма профилей сравнивается при одинаковой площади, на фиг. 5, б — при одинаковой максимальной толщине). Для этих профилей характерно смещение положения

м = 7; #=4

г

/

Û

максимальной толщины вперед. С увеличением параметра подобия уменьшается максимальная толщина профиля (см. фиг. 5, а), при этом конфузорная часть профиля (см. фиг. 5, б) остается почти неизменной, а диффузорная становится более выпуклой. Совокупность этих факторов позволяет существенно уменьшить волновое сопротивление крыла с глубоко дозвуковыми кромками, имеющего заданный объем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красилыцикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке. М., Гостехтеориздат, 1952.

2. J о п е s R. T. The minimum drag of thin wings in frictionless flow.

JAS, v. 18, № 2, 1951.

3. Булыгина E. В. Крыло переменной стреловидности с за-

данным объемом и минимальным волновым сопротивлением. Госкомитет СМ СССР по авиационной технике, 1960. -

4. Fenain М., Valleè D. Application de la théorie des écoulements homogènes a la recherche de lâdoptation de certaines ailes en régime supersonige. ONERA, Mémo Technigue, 1959, № 14.

5. Kawasaki T. On favorable thickness distributions for wings in supersonic flow. A1AA Paper, № 65—716, 1965.

a)

Фиг. 5

Рукопись поступила 30/IX 1969 г.