Расчет поверхности крыла минимального сопротивления с безударной передней кромкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III

197 2

№ 6

УДК 534.33:629.735.33 629.735.33.015.3.025

РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ С БЕЗУДАРНОЙ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКОЙ

Т. Д. Прошина

Рассмотрена задача о расчете формы поверхности бесконечно тонкого несущего крыла с безударными передними кромками в сверхзвуковом потоке по заданному распределению потенциала. Потенциал берется в виде некоторого полинома, обеспечивающего безударное обтекание передней кромки, а коэффициенты полинома определяются из условий минимума сопротивления крыла при заданной подъемной силе. Расчеты; могут быть проведены для крыльев со стреловидной передней кромкой, имеющей изломы, и сверхзвуковой задней кромкой. В качестве примера приведены расчеты для треугольного крыла с дозвуковой передней кромкой при различном числе членов полинома.

I. Выведем основные соотношения, позволяющие по заданному распределению давления (потенциала) отыскать форму поверхности крыла.

Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком газа бесконечно крыла. Согласно линейной теории [ ' скорости в плоскости г = 0 и углом мулой

тонкого:], связь между потенциалом возмущенной скоса потока определяется известной фор-

> (*, у, 0>

=--я

а (5, А)

(1>

ИЛИ

¥ <•*!> Уь 0)

-~2”Р Л

^(■«1-61) (Л-1Ц)

(1'>

где р = У М2 — 1 ; х1, у1 или х, у— характеристические или соответственно декартовы координаты точки, в которой определяется возмущенный потенциал; “(*> У) = дг1дх — местный угол скоса потока; 5 — область интегрирования, ограниченная обратным конусом Маха, проведенным из точки (х, у)-, для сверхзвуковых кромок — передней кромкой крыла, а для дозвуковых — конусом Маха, проведенным вниз по потоку из носика крыла. Потенциал отнесен к скорости невозмущенного потока.

Декартовы и характеристические координаты связаны простыми формулами

Уравнение (Г) весьма сходно с известным уравнением Абеля, так что, разрешая его относительно а [2], будем иметь

или

Поскольку у всюду вне поверхности крыла и вихревой пелены удовлетворяет условию у(х, у, 0) = 0, то уравнение (2') можно записать иначе:

„(у ,л__ ±.^2-^---^-^ ГГ у (£’ ^аЫг>

( > У) тс ^ дхг дуг) JJ |А(лг_5)2_р2(_)

= • (3)

2(3'-!)2 1 ;

-<*. у)

Здесь интегрирование ведется не по всей области 5, как в случае дозвуковых кромок, а лишь по участку крыла (см. заштрихованною область фиг. 1).

Выполнив операцию дифференцирования по параметрам в уравнении (3), будем иметь

Г [Р2 —/'* (’!)] [/(,). г1] ^ ГГ (?2 - ?гП ) ЛЫ-Ц

!— Т.а (х, у) = 1 • ■■ ■■: — + I I —у.: : =.- : ----- . (4)

• J ^1*-/(,,]*-Р* (.У-Ч)> JJ У{Х-*)*-$Чу-Т1)* ’

' (X, у)

В первом члене интегрирование ведется по участку контура крыла, вырезаемому обратным конусом Маха, проведенным из точки с координатами х, у, а £=/(т]) — уравнение передней кромки.

Наличие однократного интеграла в уравнении (4) приводит к логарифмической особенности на передней кромке, а следовательно, к сильному росту величины а при приближении к кромке изнутри, что противоречит предположениям линейной теории. Поэтому потребуем, чтобы ^ всюду на передней кромке обращалось в нуль. Тогда уравнение (4) будет выглядеть так:

я

Г (*-?>*- РЧу-ч)2

т (•*> у)

Однако даже при конечных а кривизна поверхности на передней кромке обращается в бесконечность, если р*^—УщФ® всюду на передней кромке. Уравнение поверхности крыла определяется интегрированием угла наклона:

* (х, у) — | я ($, у) + й (у), (6)

где й(у) — постоянная интегрирования, которая может быть определена каким-либо условием (обычно условием г —0 на задней кромке).

8—Ученые записки ЦАГИ № 6

113

Фиг. 1

Фиг. 2

Для коэффициентов сх и су будут справедливы соответственно следующие выражения:

где «кр — площадь крыла.

В дальнейшем будем рассматривать величины X и ¥, пропорциональные соответственно сх и су:

2. Сформулируем вариационную задачу. Пусть заданы форма крыла в плане и число Мэд. Требуется отыскать такое распределение потенциала по крылу, при котором сопротивление, испытываемое крылом, достигает минимального значения при заданной подъемной силе, а затем определить форму поверхности такого крыла. Предполагается, что крыло симметрично в плане относительно оси X, имеет сверхзвуковую заднюю кромку; передняя кромка может быть стреловидной и может иметь изломы.

Рассмотрим случай, когда передняя кромка имеет изломы. Крыло в плане разобьем на соответствующее число областей (фиг. 2), в каждой из которых оптимальное распределение потенциала будем искать в следующем виде:

где й—порядковый номер области; хк, ук— координаты точек излома; у = ук + + <ік(х — хк)— уравнение участка передней кромки правого полукрыла, у ]> 0.

Очевидно, что при таком представлении потенциал и его первые производные на передней кромке обращаются в нуль, а угол атаки а остается конечным всюду на крыле. •

^Я?'(*,ЛЯ

У(де - Є)> — р* (у — Ч)* ЛхЛу;

—Чщ)ЛЫу[

(7)

¥*(•*. У)Лхйу.

•

(8)

<Р* (■*> у) = [(Ук + Лк {х — Хкр -у*]1+т 2а* „ (х — хк)ту* п,

(9)

1І4

В качестве примера в данной статье рассмотрим случай т=1. В дальнейшем будем предполагать, что имеем К областей. Потребуем, чтобы потенциал и его первые производные были непрерывны при переходе из одной области в другую. Такая непрерывность будет обеспечиваться следующими двумя системами алгебраических уравнений:

М

X а™’ (■** ~ **_i ) = а*п, (10)

т=0

здесь л < 0 < 2 < £ < /С;

м

X °kmn т (*k ~ ■**_!Г-1 “в*я + 4eJ„+iJf*(d*_1 - dk) + 4a*n+2(dk_1-dk)yl + т= О

+ в0я+34(^А-1 — ак)у\-\-- • • +û0JV 4(dé-l~ d*)-Vft(A,_")_1 . (П)

здесь — 1 <n<N; 2<А<К и члены, имеющие отрицательный индекс или отрицательную степень y/g, следует считать равными нулю.

Если обозначить {[yk -\-dk (х — хк)\* — _у2}2(* — xk)myi п через F^,n(x, у), то

M.N

¥*(•*. У)= X Fmn (х< У) атп< т, л=0

а выражения для X и Y будут выглядеть соответственно:

К. к М, N M.N

*= Е X 2 <*4«А%п.р9-> о’)

k, 1—1 т, п=0р, д=О * Л.ЛГ

7=Х 2 в^^-; <8'>

здесь

а«

ft=l т, п

д2 р1 Л2 F1 02 РЧ

д¥ дг?

4»= I

Величины АмП'Рд и следует считать известными. Таким образом, сформулированная вариационная задача сводится к простой задаче о нахождении минимума: нужно найти такие значения коэффициентов актп, при которых выражение (7') достигает минимального значения при выполнении условий (10), (11) и условия У =з 1.

Для решения этой задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа и с помощью параметров X и Х^ образуем функционал Ф:

К, А М,Ы М.Ы (К М,Ы \ (2ЛГ + 3) (/С-1)

ф= I Е I °тп арЧ Атп, р9 + Ч Ё 2 атп &тп ~ 1 ) + £

к, 1—1 т, л=0р, ?=0 \г=1 т, л=0 / 5 = 1

где X и Х5 —множители Лагранжа, а ^ — одно из уравнений систем (10), (11).

Искомые значения коэффициентов а^пп и параметров X, X!.........................Х(2Л?+3)(Л'—1>

определяем из системы уравнений

дФ

1 =0;

(12)

где а т <! М; 0<! п М; 1 К, I -< К', 1 5 <1 (2 N + 3) (К— 1).

Иначе говоря, совместно с системами (10), (11) и условием (12) надо решить следующую систему линейных алгебраических уравнений:

г-1 М, N М, N К М. N

У*. У! атп Атп, РЧ + Ё а">я РЧ + АРЧ> тп^ А‘

А = 1/л, я=0 т, п=0 4=/+1 т, п=0

(2ЛГ+3) (*—1)

+ “«+ 2

/4^ 4-

™рд,тп

Ху дд,5 ■ = о,

*•=1 ^ар<7

(13)

где о<р<;Л1; 0<;?<;Л^; 1<7<Ж.

Эта задача решается численно на машине БЭСМ-ЗМ.

После решения уравнений (10)—(13) рассчитываются местные углы атаки в интересующих нас сечениях, а величину сопротивления, испытываемого крылом, в силу однородности систем уравнений (10) и (11) можно определить следующим образом:

3 — 4?.

3. В качестве примера в статье приведены результаты расчета крыльев минимального сопротивления треугольной формы в плане. Для такого крыла коэффициенты сх/$Су и а/рСу являются функцией параметра подобия

На фиг. 3-6 представлены значения коэффициента ех1$Су в зависимости от чисел М и N для различных значений параметра подобия. Там же для сравнения приведены значения сх/$су для плоского крыла без учета подсасывающих

/ 2 N

Фиг. 6

сил и оптимального крыла с конической деформацией [3]. Как видно, увеличение М и N приводит к существенному уменьшению сопротивления, а сравнение с плоским крылом при различных значениях параметра подобия показывает, что при звуковых кромках крылья минимального сопротивления позволяют получить лишь незначительный выигрыш в сопротивлении. Однако при дозвуковых кромках Р с!£ у. <11 этот выигрыш становится значительным. Более того, при глубоко

дозвуковых передних кромках £ctgx<0,6 среди крыльев минимального сопротивления существуют такие, сопротивление которых становится меньше сопротивления крыла с оптимальной конической деформацией.

На фиг. 7 представлены деформации поверхности крыла z = г/рсу для случая М = 5, N = 2, р ctg у = 0,8.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красильщикова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке. М., Гостехиздат, 1952.

2. М их лин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959.

3. Tsien Н. S. The supersonic conicol wing of minimum drag.

IAS, v. 22, No 12, 1955.

Рукопись поступила 29/III 1971 г. Переработанный вариант поступил 19jV 1972 г.