Треугольное крыло оптимальной формы в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м IX

У Ч ЕН ЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

197 8

№ 6

УДК 536.6.011.3/55.529.7.024.36

ТРЕУГОЛЬНОЕ КРЫЛО ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. С. Николаев

Рассмотрено невязкое сверхзвуковое обтекание тонкого треугольного крыла под малым углом атаки в рамках теории полос в линейном и во втором приближениях. Положение центра масс крыла считалось совпадающим с геометрическим центром инерции объема. Решались вариационные задачи о минимуме сопротивления при заданной подъемной силе и о максимуме аэродинамического качества, при этом фиксировались удлинение, объем крыла, запас статической устойчивости. В линейной постановке оптимальные формы получены в аналитическом виде, при решении задач во втором приближении использовался метод Ритца.

1. Основные предположения, аэродинамические характеристики. Рассмотрим обтекание тонкого треугольного крыла под малым угом атаки сверхзвуковым невязким потоком. Обозначим Ьх, Ьу, 1г, Ь, I соответственно координату по потоку, вертикальную координату, координату по размаху крыла, длину центральной хорды, половину размаха крыла. Начало координат поместим в вершине крыла. Считаем, что крыло симметрично относительно плоскости хОу, а его передние и задняя кромки острые. Предполагаем, что выполнены условия

77=Т-«1. М2«1, М|/|<1: (1.1)

здесь М — число М набегающего потока, у—у (х, г) — уравнение поверхности крыла, штрих означает дифференцирование по х.

Условия (1.1) позволяют применить для расчета задачи обтекания теорию полос [1], а для определения давления на теле в каждом его сечении плоскостями, параллельными плоскости хОу, использовать линейную теорию либо теорию второго приближения

Буземана. Выражение для коэффициента давления в теории второго порядка имеет вид (линейной постановке соответствует значение 7 = 0):

г _ I 2/ . 2-у (у')? . (х+1)М«-4(М«-1) 9,

СР УШ~[ ' 7 4 (Ма — I)3'2 ' К '

Здесь *— отношение удельных теплоемкостей, верхний (нижний) знак относится к верхней (нижней) стороне поверхности. В случае М>1 формула (1.2) упрощается:

Р — М ^ м ' ' 4

Теорию второго порядка практически можно использовать в гораздо большем диапазоне местных углов атаки, чем линейную теорию. Так, при больших числах М при допустимой ошибке 5% в величине ср линейная постановка пригодна до значений М|У| = = 1/12, а теория Буземана —до М|_у'| = 1/2 (при ошибке 20% соответственно до 1/3 и 1).

Обозначим Ь21У, bVt, ЬУчх) соответственно объем, половину местной толщины крыла, координату срединной поверхности. Безразмерная величина объема V является малым параметром, пропорциональным средней относительной толщине крыла. Координаты поверхности крыла определяются формулами [верхний (нижний) знак относится к йерхней (нижней) поверхности]

у = У{т±£). (1.3)

Ввиду симметрии крыла относительно плоскости хОу ограничимся рассмотрением одной его половины. В координатах х, г уравнения передней и задней кромок имеют вид: х = г и х=1. На функцию £ (х, г) наложим следующие условия (острые кромки крыла, положительность толщины в промежуточных точках):

t(z, г) = 1{\, г)=±0,

Ь {х, г) > 0 при г<х< 1.

(1.4)

В отличие от t х) функция та {х, г) входит во все используемые далее формулы только в виде производной по х, и краевое условие на т (х, г) может быть задано достаточно произвольно. Из соображений некоторого удобства выкладок примем

ад (г, г) = 0. (1.5)

Вместо нуля в правой части (1.5) можно взять также некоторую функцию от г, если, например, учитывать требования, налагаемые конструкцией крыла. ^

По формулам (1.2), (1.3) нетрудно получить выражения для коэффициентов напряжения по у и по х и соответствующего момента относительно оси Ог (коэффициенты суммарные, с учетом обеих сторон поверхности):

___4Уге>' (1+2?УГ)

Ру

_ 4V*

(1+2?УГ) Л:

(1 + т У*') + (1 +3т ^01;

Рш- Ру*-- ут=Г1

(1.6)

Отметим, что в силу предположения о тонкости тела рт не зависит от рх. Обозначим

р = (1-7)

Безразмерная величина (5 — малый параметр, значение р = 0 соответствует формально линейной теории.

Интегрируя по площади выражения (1.6), получим для коэффициентов сил и моментов следующие соотношения:

НК л с

= - Ут=Т \dz\w' (1+2РО йх-

' 0 г

С* = уЦ=7 5 & I С2 (1 + Ю + О +Щ')\ ¿х-

б г

8И Г с

С* = УШТГ ] <*« ) *«' (1 +2^0 ¿х-

(1.8)

В формулах (1.8) все коэффициенты отнесены к площади крыла в плане, а Ст еще и к длине центральной хорды; положительным считается момент на кабрирование.

Для соблюдения условий балансировки необходимо сделать предположение о расположении центра масс летательного аппарата (в данном случае крыла). Одним из возможных предположений является свободное задание координат центра масс, без связи с формой поверхности крыла. Можно считать, что расположение центра масс в этом случае регулируется размещением грузов внутри крыла. Другим возможным предположением, принятым в данной работе, является предположение о постоянстве средней плотности конструкции крыла и размещенной в нем полезной нагрузки. Таким образом устанавливается довольно естественная зависимость между формой крыла и положением центра масс, совпадающим с геометрическим центром инерции. В силу тонкости тела и его симметрии относительно плоскости хОу необходимо определять лишь координату х1 центра инерции. Приведем интегральные выражения для объема V и статического момента объема относительно плоскости уОг\

1 1 У= 41/1 йг | гйх-,

\ \ (1-9)

А = АУ^йг ^ х1йх.

0 0 )

По формулам (1.8), (1.9) можно определить аэродинамическое качество, положение центра давления хр и центра инерции х1

К = СУ1СХ, хр=-Ст1Су, Х1 = А1У. (1.10)

Отметим, что в силу тонкости тела оправдано введение понятий центра давления хр и фокуса х}, как точек пересечения с плоскостью хОг соответственно равнодействующей аэродинамических сил и приращения равнодействующей при малом изменении угла атаки (в обоих случаях достаточно учитывать лишь соответствующие составляющие сил по оси у). Положение фокуса можно найти,

давая постоянное (не зависящее от л; и г) малое приращение величине чю', пропорциональной местному углу атаки, в формулах (1.8)

А Ст Д С

(1+2 Ю^х

о г_

1 1

(1+200 их

(1.11)

Как следует из формулы (1.11), положение фокуса не зависит от формы срединной поверхности и определяется лишь распределением местных толщин Ь (х, г).

2. Вариационные задачи. Подынтегральные функции в формулах (1.8), (1.9), (1.11) зависят от объема только через параметр р. Следовательно, и решения вариационных задач, в которых используются данные функционалы, будут зависеть лишь от параметра р. Различным значениям объема V при постоянной величине р будут соответствовать афинно-подобные формы оптимальной поверхности крыла.

Введем обозначения для подынтегральных функций и функционалов, входящих в соотношения (1.8), (1.9), (1.11):

- да' (1 + 2РО. р, = ¿'2 (1 + РО + (1 + зро.

^--*И'( 1+2Ю, FA=xt,

^=1 + 2^, 1 + 2рО;

11 11 11

'у =° § аг $ 1х = /т =§йг)Рт(1х,

О г 1 1

О г 1 1

О г

1 1

/к= /иг $Руйх, 1А =/¿2$Ра йх, 1/у = /

'/т-

¡йг^^йх.

(2.1)

(2.2)

Приведем следующие из формул (1.8) — (1.11) зависимости аэродинамических и геометрических характеристик от функционалов (2.2):

81

8 УЧХ

1=4 /к, Л = 41//л, К--

VI,

_ 8У/„

л т

хг=-^- = 4 ¡а, X/ —

'/т

(2.3)

Основными вариационными задачами для несущих тел являются задачи о минимуме коэффициента сопротивления

и о максимуме аэродинамического качества. При этом вторую задачу можно решать как непосредственно, так и путем минимизации по параметру (величине 1У) решения первой задачи, если оно известно. Изопериметрические ограничения могут накладываться в различных сочетаниях: условия на коэффициент подъемной силы и коэффициент момента тангажа, на величину объема и положение центра инерции, на положения центра давления и фокуса, на запас статической устойчивости. Математически задачи сводятся к определению минимума функционала 1Х или минимума отношения функционалов 1х\1у при различных заданных функционалах из (2.2), отношениях этих функционалов (/у, 1т, 1У, 1а11у, 1т/1у, //т///у), а также при выполнении некоторых линейных связей между функционалами или их отношениями. В общем случае, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, все задачи указанного класса можно поставить единообразно, как задачи о минимуме линейной комбинации всех функционалов (2.2):

1 = + (2.4)

Общий вид функции Лагранжа, соответствующей /, дается формулой ■ ■

Г = РХ + Ху Ру + Хи Рт + \у /V + \АРА + Х/у ^ 4- \/т (2.5)

В формулах (2.4), (2.5) Ху, кт, ХА, — неизвестные

заранее множители Лагранжа. В зависимости от вида вариационной задачи к двум дифференциальным уравнениям Эйлера добавляются различные условия на функционалы (2.2): условия постоянства функционалов и их отношений, линейные связи между ними. Если тот или иной функционал не входит в дополнительные условия, то соответствующий ему множитель Лагранжа полагается равным нулю. Различные вариационные задачи отличаются между собой способом подбора множителей Лагранжа. В тех случаях, когда не удается получить аналитическое решение, задача сводится к численному подбору множителей Лагранжа.

Для решения вариационных задач рассмотренного типа могут быть использованы также прямые методы, в частности, метод Ритца, основанный на построении минимизирующей последовательности координатных функций и сводящий задачу к определению условного-экстремума функции многих переменных.. При наличии нескольких изопериметричедких условий последовательное использование как метода Лагранжа, так и метода Ритца часто сталкивается со значительными техническими трудностями. В этом случае может оказаться перспективным сочетание обоих методов: на первом этапе с помощью метода Лагранжа осуществляется рациональный выбор вида координатных функций, частично выполняются изопериметрические условия, что существенно упрощает дальнейшее решение методом Ритца. В данной работе указанный прием использован при решении вариационных задач в приближении Буземана.

Функция Лагранжа Р, как следует из формул (2.1) и (2.5), не зависит явно от г, но и частных производных функций Ь и но по г. В уравнения Эйлера — Остроградского г входит только как параметр, и в результате интегрирования этих уравнений по х получим

+ Р*') + Зрю» - 2(Ху + Хтх)+ 2(Х/У +^■*>

— XV,л: -Хл ^- + С2(г) = 0; 2то' (1 + ЗрО - (X, + Хт х) (1 + 2Ю - С, (г) = 0.

(2.6)

В формулах (2,6) С} (г) и С2 (г) —неизвестные до решения задачи функции от г. Если задать зависимости Сг (г), С2(г) и значения Ху, Х/у, Х/от, Ху, \А, то из системы (2.6) можно найти да' в каждой точке х, г методом итераций. Вычислив интегралы (2.2), по невязкам в изопериметрических и граничном условиях можно определить следующее приближение для множителей Лагранжа и функций Сх (г) и С2 (г). Процесс поиска экстремума очень трудоемок в связи с многомерностью задачи и сопряжен с большими техническими трудностями.

3. Линейная теория. В частном случае Р=0, соответствующем линейной теории, система уравнений (2.6) упрощается, и решение вариационной задачи можно найти в аналитическом виде (в аналогичной постановке задача для профиля решена ранее в работе [2|)

2Г — Ху л; — + С2 (г) = 0,

2и>' — -ку — \ях — С1(г) = 0. Интегрируя по х и учитывая условия (1.4), (1.5), получим .* = (*-г)(1— *)[СЬ.+ (* + «)С,];

(3.1)

м = -(х-г)\С1(г) + (х + г)С8\. \ (3'2>

В" формулах (3.2) для удобства записи введень! новые константы С5, С6) С8 и функция С7(г). Подставляя (3.2) в подынтегральные выражения (2.1) функционалов 1у, 1т, 1Х (2.2), получим:

С*. 2

/,={;(!-*)<:,<*) <** + -§-С,, +

о о

' 2 1 ' + "Й- + ^Г1 + С« + |(1-2)ОД[ОД + 2(1+2)С8]^.

/ = — * 12

6

(3.3)

Для остальных функционалов (2.2) можно провести двукратное интегрирование.

С6 , 1 24 30 ' "" 40 ' 45

Обозначим ю разность между положением центра инерции треугольной пластины постоянной толщины и центром инерции крыла

<о = -|—(3-5)

Как следует из последних двух выражений (3.4), положение фокуса треугольного крыла, определенное по линейной теории,

43

вообще не зависит от формы поверхности (л^ = 2/3), и величина а> совпадает с запасом статической устойчивости

Лу — х( = 1о. (3.6)

Если по условию задачи запас статической устойчивости считается заданным, то коэффициенты С5 и С6 определяются однозначно [напомним, что согласно (2.3) значение /к=1/4]:

С5 = 90а), С6 = (1 - 15«,). (3.7)

Таким образом, распределение толщин зависит лишь от запаса устойчивости и не зависит от подъемной силы

Ь = (х — г) (1 — х) [12<о + (1 — 15ш) (х + г)]. (3.8)

Условие положительности толщины при г<д:<1 накладывает •ограничение на возможные значения параметра со

0<(В<-1_. (3.9)

Оптимальная форма, как это следует из (3.9), статически устойчива. При этом запас устойчивости ограничен весьма узкими рамками.

Условие балансировки (хр = х?) позволяет исключить константу С8

1

С* = 1 +312о, | (1 -- г) (1 - 6ш - Зг) С7 (г) йг. (3.10)

С учетом (3.10) и (3.7) выражения (3.3) для /у и 1Х преобразуются к виду, содержащему лишь одну неизвестную функцию С, (г)

з с

*У = -ГП^Г ](1 - 2) (1 - 2 г) С, (?) <*г; 1Х = 15(1-6<°4+45м3) + + (3.11)

1 Г 1 1

+1(1 -г)С7(г) С,(г) + |(1-2)(1-6ш-32)С7(* йг.

о Ь о

Внеинтегральный член в последней формуле соответствует случаю •симметричного обтекания [С7(г) = 0, ^(л:, г) = 0].

Вид функции С, (г) можно определить путем варьирования выражения 1х-\-\1у. После того как выполнены условия на объем, балансировку и запас устойчивости, остается лишь один неизвестный множитель Лагранжа как в задаче о минимуме так и в задаче о минимуме 1Х при заданном /у. Условие стационарности позволяет определить вид функции С7(г). Приравнивая нулю вариацию от 1Х -¡- Х/у, в результате преобразований получим

Ст(г) = Са + С10 г. (3.12)

Подставляя (3.12) в (3.11), имеем

С„

/„ =

У ~~ 2(1 + 12о>)

г _ 15(1 -6а> + 45(QÜ) (1 18Q>2) С\ Cj0 х 4 + 2(1+ 12м)2 48

(3.13)

В случае задачи о минимуме 1Х при фиксированном 1у константа С9 выражается через значение 1у, и очевидно, что С10 = 0. Получим

' ■ _ I5 С — 6о> + 2 (1 + 18<в2) /у. (3.14)

(3.17)

4

При этом форма срединной поверхности дается формулой

w=-2(x-z)[l + 12ш — 9« (л; + z)]/j,. (3.15)

При различных 1у и одинаковых <о формы срединных поверхностей афинно-подобны между собой.

Если не ставить условия на запас устойчивости, то оптимальное значение « (при фиксированной величине 1у) дается формулой

(о=-(3.16)

75 + 16/^ '

Это значение находится внутри диапазона (3.9).

Задачу о минимуме ljly можно решать как непосредственно, так и пользуясь решением задачи о минимуме 1Х при заданном 1У. Получим

— V" 30(1 — 6ш + 45i»3)(l + I8102);

^ 1У /min

. _ -1 / 15(1 — 6м + 45мг) j _ 15(1 — 6ш + 45ш2)

У V 8(1 + 18<о2) > 1х — 2

Форма срединной поверхности крыла максимального качества определяется соотношением

« = - (х - z) [1 + 12* - 9«> (х + г)] . (3.18)

Если снять ограничение на величину м, то абсолютно максимальное качество достигается при значении <о, определяемом кубическим уравнением.

540Ü)3_54(U2 +21ш—1 = 0. (3.19)

Так как производная по « от левой части (3.19) при всех значениях ш положительна, то уравнение (3.19) имеет лишь один действительный корень. Решая уравнение численно, получим

ш = 0,0509. (3.20)

Таким образом, в линейной постановке вариационные задачи рассмотренного типа решаются в аналитическом виде, а оптимальные формы поверхности крыла описываются весьма простыми функциями— полиномами третьей степени от двух переменных.

4. Теория второго порядка. Вариационные задачи о минимуме сопротивления и о максимуме качества треугольного крыла во втором приближении при аналогичных рассмотренным выше дополнительных условиях не решаются в аналитическом виде, а процедура их численного решения довольно громоздка. Ниже решим

эти задачи в упрощенной постановке, а именно, при заданном распределении толщины. Функцию t(x, г) выберем равной функции, описывающей оптимальное распределение толщин в линейной теории (3.8). При этом автоматически будут выполнены условия на объем и положение центра инерции. Однако в отличие от линейного приближения значение <о не будет равно запасу статической устойчивости, так как положение фокуса зависит от параметра р. Подставляя (3.8) в (1.11), после преобразований получим

(4Л>

Интересно отметить, что и во втором приближении положение фокуса не зависит от формы поверхности треугольного крыла. Для запаса статической устойчивости имеем

0, —р. (4.2)

Можно ожидать, что выбранное, распределение Ь{х, г), не являясь строго оптимальным при ¡3=^=0, тем не менее достаточно близко к нему при малых значениях р. -.,,.".

Оптимальную форму срединной поверхности но (х, г) будем искать прямым методом Ритца с координатными функциями в виде произведений степеней х1 и г1. Такой выбор координатных функций связан с тем, что в линейной постановке аналитическое решение вариационной задачи дается полиномом от двух переменных (3.15). Запишем и){х, г) в ¡виде, учитывающем граничное условие (1.5) „

п п—1

®ЯС*. г) = — (х — г)£2а««*<г/- (4.3)

1=0у=0

Подставляя (4.3) и (3.8) в подынтегральные выражения (2.1) функционалов /у, 1Х, 1т (2.2) и интегрируя, получим явные зависи-

мости последних от -—1—^—1—- неизвестных коэффициентов а1)п. При этом /у и 1т являются линейными функциями от а,)п, /г — квадратичной функцией. В результате исходная задача сводится к задаче на условный экстремум квадратичной функции 1Х при двух связях, наложенных на линейные функции / и 1т:

Л=/у ... ш)Уг (4-4)

Здесь первое условие соответствует заданию коэффициента подъемной силы (1у1 — фиксированное значение функционала 1у), второе условие является условием балансировки при заданном запасе статической устойчивости (4.2).

Увеличивая степень полинома (4.3), получим оптимальную форму срединной поверхности как предел функциональной последовательности

п)(х, г) = Ит«>„(*, г). (4.5)

и-нэо

Из структуры изопериметрических ограничений следует, что оптимальные формы ни (х, г) при различных /у , афинно-подобны между собой (величина да пропорциональна 1уХ). Используя решение задачи о минимуме сопротивления и варьируя /}1, можно решить и задачу о максимуме качества» при аналогичных ограничениях.

5. Результаты расчетов. Численные расчеты были проведены при различных условиях на запас устойчивости (о>— р) и при различных значениях параметра р, характеризующего нелинейность. В выбранной постановке р в силу (3.9) и (4.2) не может превосходить 1/9, так как в противном случае оптимальное крыло статически неустойчиво. Последовательность тп(х, г) весьма быстро сходится к предельной функции (4.5). В рассматриваемых примерах достаточно близки уже г) и ги2(х, г).

К функции 12>(х, г), полученной в результате решения вариационной задачи, можно из соображений, обусловленных конструкцией крыла, добавить некоторую функцию от г, что не изменяет аэродинамических характеристик. В качестве такой функции выберем !

п ,

(5-1)

/=о

В результате такого смещения сечений крыла передние кромки и центральная хорда будут расположены в одной плоскости.

Р-О fi-0,06

На фигуре дриведены оптимальные формы треугольного крыла при запасе устойчивости 3% и значении /у = 1 в случае р = 0 (линейная теория) и р = 0,06 (теория второго приближения). Представлены сечения крыла плоскостями z = const и х — const. Нелинейность оказывает дестабилизирующее влияние на моментные характеристики. Поэтому с увеличением параметра р происходит перераспределение толщин: максимумы толщин сечений (г = const) смещаются вперед, увеличиваются площади сечений, близких к центральному, за счет сечений около концов крыла. С ростом нелинейности возрастает закрученность крыла, углы атаки концевых сечений становятся существенно меньше, чем у корневых.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хейз У. Д., Пробстий Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.( Изд. иностр. лит-ры, 1962.

2. Николаев В. С. Оптимальные профили в сверхзвуковом потоке с заданными площадью и запасом устойчивости. »Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 1, 1978.

Рукопись• поступала 6¡I 1978 г.