Оптимальные профили в сверхзвуковом потоке с заданными площадью и запасом устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8

№ 1

УДК 536.6.011.3/55.629.7.024.36

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ С ЗАДАННЫМИ ПЛОЩАДЬЮ И ЗАПАСОМ

УСТОЙЧИВОСТИ

В. С. Николаев

Рассмотрен ряд вариационных задач об оптимальной форме тонкого профиля в линеаризованном сверхзвуковом потоке. Длина хорды и площадь профиля принималась заданными. Положение центра масс профиля считалось совпадающим с его геометрическим центром инерции, а из условия балансировки — и с положением центра давления. Задавался также запас статической устойчивости. Определялись формы нижней и верхней поверхностей профиля с острыми передней и задней кромками, соответствующие минимальному волновому сопротивлению при заданной подъемной силе, либо максимальному значению аэродинамического качества.

Среди работ, посвященных оптимальным формам сверхзвукового профиля, значительное место занимают исследования несущих оптимальных тел, отличающиеся большим многообразием аэродинамических и геометрических условий и различием постановок задач обтекания [1 —4]. Характерной особенностью настоящей работы является предположение о зависимости положения центра масс от формы профиля, что позволяет получить самобалансирующиеся профили, устойчивость и балансировка которых определяется аэродинамическими и геометрическими характеристиками лишь самих профилей.

Рассмотрим обтекание тонкого профиля под малым углом атаки невязким линеаризованным сверхзвуковым потоком. В липейной постановке коэффициент давления определяется формулой (точка сверху означает дифференцирование по х)

здесь Моо—число М набегающего потока, координаты х, у направлены по потоку и перпендикулярно ему, местный угол наклона поверхности у положителен для наветренных участков поверхности. Примем для простоты длину хорды равной единице, что впол-

не оправдано при отсутствии трения. Переднюю и заднюю кромки считаем острыми. Это позволит избежать учета донного давления, что необходимо в случае тупой задней кромки при умеренных сверхзвуковых скоростях.

Существенным геометрическим и конструктивным параметром является площадь профиля, определяющая прочностные качества последнего. Чем больше площадь профиля, тем больше полезной нагрузки можно разместить внутри него. Будем считать эту площадь фиксированной и равной 5. Пусть масса равномерно распределена по площади (плотность постоянна). Тогда положение центра масс совпадает с геометрическим центром инерции сечения. В

силу предположения о тонкости тела и малости углов атаки име-

ет смысл лишь значение продольной координаты центра инерции х{. По той же причине можно говорить о положении центра давления хр и фокуса лу (начало отсчета — передняя кромка).

Пусть у1 и у2— координаты нижней и верхней сторон профиля соответственно, положительным направлением для ух считаем направление вниз, а для у2 — вверх. Обозначим

^1 = 5(2 + ®); у2 = 8(г — 1шу, (2)

здесь Бю — координата средней линии, положительные значения откладываются вниз. Толщина профиля равна В силу сделанных предположений

г(0) = 2(1) = ®(0) = 0. (3)

Приведем выражения для коэффициентов сопротивления СХУ подъемной силы Су и момента тангажа относительно носка профиля ст (положительным считаем момент на кабрирование):

1

с—г | (¿2 + т2) йх\

2

УМ;

су = -—~=-Ыйх- ст = — 1 чюхйх.

УЛ&-1 гг V — 1 ^

Для координат центра инерции х„ центра давления хр, фокуса х/ и значения площади профиля 5 получим

. -г

с‘ = гхсіх^ гйх^ ; ХР — и/хсіх^ іюіх хі = І І хйх 11 І йх І =0,5; 5 = 25 | гйх.

(5)

Положение фокуса в линейной постановке не зависит от формы поверхности. Далее считаем выполненным условие балансировки Хр—Х^ т. е. момент относительно центра инерции равен нулю. Интегральное условие, накладываемое на координату г, не зависит от площади профиля 5. Вообще значение 5 не входит ни в одну подынтегральную функцию формул (4) и (5), и в результате решения вариационных задач должны получиться универсальные функции г(х) и т(х). Конечно, оптимальные формы при различных значениях 5 будут аффинно-подобны, если при этом и изо-периметрическое условие на подъемную силу задавать пропорциональным 5.

Помимо требований балансировки, которые надлежит всегда выполнять, часто представляется необходимым задавать запас статической устойчивости ш = лу — ^==0,5 — х1 (значение <о>0, если

профиль статически устойчив). Приведем все изопериметриче-

ские условия, которые в дальнейшем потребуются (величина N пропорциональна су).

гхйх^ гйх^ ^ | ивхйх^ иис1х| ; (6)

1

| гйх = 0,5; (7)

0

1

1 Ых = УУ; (8)

О

1

^ =0,5’—(О. (9)

Нетрудно убедиться, что структура функции Лагранжа одинакова для задачи о минимуме волнового сопротивления при заданной подъемной силе и для задачи о максимуме аэродинамического качества:

Т7 = г2 + ®2 + да + Х2 гцих + Х3 г + Х4 гх. (10)

В формуле (10) X,, Х2, Х3, Х4— неопределенные множители Лагранжа,

определяемые в процессе решения вариационной задачи. Уравне-

ния Эйлера имеют вид

2г = Х3 + Х4 х; 2чю-\- Х2 = 0. (11)

Решением системы (И) с учетом краевых условий (3) являются полиномы вида

г = Ах + Вхг — (А + В) х3; 'ы> = Вх + Ех2. (12)

Коэффициенты А, В, Д Е определяются в процессе решения при

учете изопериметрических условий и условий оптимальности.

В данной работе минимизируется либо функционал X, либо отношение функционалов ХУ-1

1

X = | (г2 ®2) (1х\ (13)

х_ у

Необходимое условие минимума Лежандра в рассматриваемых задачах выполняется:

2 (8г )2 —2 (8й>)2 > 0. (15)

Приведем перечень решаемых ниже вариационных задач. Во всех случаях задается длина хорды, ненулевая площадь профиля, предполагается выполненным условие балансировки, а положение центра масс считается совпадающим с геометрическим центром инерции сечения.

Задача 1. Минимум сопротивления при заданных подъемной силе и запасе устойчивости — минимум функционала (13) при условиях (6)—(9).

Задача 2. Минимум сопротивления при заданной подъемной силе — минимум функционала (13) при условиях (6) — (8).

Задача 3. Максимум качества при заданном запасе устойчивости— минимум отношения функционалов (14) при условиях (6), (7), (9).

Задача 4. Максимум качества — минимум отношения функционалов (14) при условиях (6), (7).

Решение задачи, 1. Условия (6) — (9) однозначно определяют коэффициенты полиномов (12).

2: = 3х[1 + 10(о —(1+30(о)х + 20о)х2]; I

но = Ых (1 + б(о — бсол:). )

Оптимальная форма профиля определяется двумя параметрами N и а). Средние линии да(л:) аффинно-подобны при различных N

и выпуклы вниз в случае статически устойчивого профиля ((о_>0).

Оптимальное распределение толщины г(х) оказывается независимым от величины подъемной силы и определяется лишь запасом статической устойчивости со. Однако не при всяких значениях ш

решение вида (16) имеет смысл. Помимо условий (3), следует на-

ложить естественное ограничение положительности толщины.

2>0 при 0<л<1. (17)

Анализ поведения функции г(х) в окрестности х = 0 и х=1 приводит к следующим неравенствам:

1+10<о>0; 1-10ш>0.

Получим необходимые условия положительности г(х):

-0,1 <со<0,1. (18)

Нетрудно показать, что условия (18) будут и достаточными. Действительно, при ш = —0,1

г = 6х2(1 — х). (19)

Соответственно при (о = 0,1

2 = 6л(1—л:)2. (20)

При О^л:^! значения г, определяемые формулами (19), (20), больше нуля. В то же время г(х, ш) при фиксированных значениях х является линейной функцией от (о, и, следовательно, г при —0,1<(о<<0,1 принимает промежуточные значения между вычисленными по формулам (19), (20).

Анализ формул (16), (19), (20) показывает, что в случае статически устойчивого профиля (ю>0) максимум толщины расположен ближе к передней кромке профиля, в случае статически неустойчивого профиля (ш<0) максимум толщины х( ближе к задней кромке профиля, причем

(21)

В случае нейтральной устойчивости профиль симметричен относительно середины, а средняя линия прямая

2 = 3я(1—х)\ ге> = Л0с. (22)

Подставляя выражения (16) в формулу (13), получим зависимость минимального сопротивления от подъемной силы и запаса устойчивости

= 3(1+ 60(о2) + Л* (1 + 12с«2). (23)

Решение задачи 2. Условия (6) — (8) позволяют выразить три коэффициента полиномов (12) через четвертый коэффициент и параметр N. Минимизируя выражение для сопротивления по этому коэффициенту, найдем значение Хт1а и форму оптимального профиля:

*ш.п = 3 + ЛР. (24)

Устойчивость такого профиля нейтральная, а оптимальная форма описывается функциями (22). Отметим, что к аналогичным результатам можно прийти быстрее, если использовать результаты решения задачи 1, минимизируя по ш правую часть формулы (23).

Решение задачи 3 С помощью соотношений (6), (7), (9) три коэффициента формул (12) выражаются через четвертый и параметр св. Далее, минимизируя по этому коэффициенту отношение функционалов (14), получим значение этого коэффициента. Для формы профиля максимального качества с заданным запасом устойчивости получим

2 = 3х[1 + 10ш — (1 4-30ш)х ^-20(ол:2];

1 Г 3(1 + 60»2)

10= I/ ■ . х (1 -4- бсо — 6мл:).

Оптимальные зависимости ХУ \ X и У от запаса устойчивости ш даются формулами

(*К-1)т1п = 21/3(1 + 60ш2) (1 + 12(о2) ; |

* = 6(1 + 60«)2); |

Ограничения на параметр (о, когда задача имеет решение, остаются теми же, что и в задаче 1 [неравенства (18)].

Решение задачи 4. Условия (6), (7) позволяют выразить два коэффициента полиномов (12) через два оставшихся коэффициента. По этим последним минимизируется отношение функционалов (14). В результате для формы профиля получим

г = Ъх(\—х)\ т = УЗх. (27)

Запас устойчивости у данного профиля оказывается нулевым. Оптимальные значения ХУ-1, X и У

(ХУ-%,а = 2УЗ; Х = 6: Г = 1/3. (28)

К аналогичным результатам можно прийти быстрее, используя решение задачи (3), путем минимизации по ш правой части первой из формул (26).

(25)

На фиг. 1 — 3 приведены некоторые результаты решения задачи о форме профиля максимального качества К = сусх1 с заданным запасом устойчивости. Расчеты приведены для значения площади 5 = 0,1- На фиг. 1 приведена оптимальная форма статически неустойчивого профиля (а>= — 0,05), а на фиг. 2 — статически устойчивого профиля (ш = 0,05). Пунктиром показана средняя линия.

ш~-0,05'> 4=0,1

0,6 0,8 х 1,0

Фиг. 1

(0=0,05'; 3=0,1 0,4 0,6 0,8 х 1,0

Фиг. 2

1

-0,1 -0,05 0 0,05 (О 0,1

Фиг. 3

На фиг. 3 приведена зависимость максимального качества К от запаса устойчивости ш во всем возможном диапазоне изменения со. Потеря качества на балансировку при со = + 0,05 достигает 8%, а при «> = + 0,1 достигает 25%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булыгина Е. В., Юдинцев Ю. Н. Гиперзвуковой профиль, имеющий заданную прочность на изгиб и минимальное сопротивление. ИВУЗ, „Авиационная техника', 1966, № 2.

2. М i ё 1 е A., D а ш о u 1 a k i s J. N. Maximum lift-to-drag ratio airfoils at moderate supersonic speeds. AIAA J., vol. 7, N 3, 1969.

3. Николаев В. С. Оптимальная форма профиля при заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке. .Ученые запеки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.

4. Коган М. Н., Пер ми нов В. Д. Об одной постановке задачи о крыле минимального сопротивления. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 2, 1976.

Рукопись поступила 61XII 1976 г.