Крыло минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке с распределенной полезной нагрузкой переменной плотности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1 М2

УДК 536.6.011.3/55.629.7.024.36

КРЫЛО МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОЛЕЗНОЙ НАГРУЗКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ

В. С. Николаев

Рассмотрена вариационная задача о форме тонкого крыла, обладающего минимальным сопротивлением в сверхзвуковом потоке при заданных подъемной силе, запасе устойчивости и распределении плотности материала крыла. Предполагалось выполненным условие равенства веса каждого малого элемента крыла и подъемной силы этого элемента. Распределение давления по поверхности крыла определялось по теории полос и теории второго порядка Буземана. Получена оптимальная форма поверхности крыла при наличии в нем областей повышенной и пониженной плотности материала.

1. Постановка задачи. В самолете с распределенной по крылу полезной нагрузкой благодаря взаимной частичной или полной компенсации аэродинамических сил и сил тяжести напряжения в конструкции снижаются, что позволяет уменьшить вес конструкции и самолета в целом и улучшить его аэродинамические характеристики. Представляет интерес предельный случай данной схемы, а именно, летающее крыло, для которого подъемная сила каждого малого элемента равна его весу. Задача об оптимальной форме аэродинамически разгруженного крыла в сверхзвуковом потоке впервые была поставлена в работе [1], где в предположениях линейной теории решена вариационная задача о профиле минимального сопротивления. В работе [2] задачи о разгруженных крыльях минимального сопротивления прямоугольной и треугольной форм в плане были решены в рамках теории второго приближения Буземана при задании дополнительного условия на запас статической устойчивости. В обеих упомянутых статьях использовалось предположение о постоянстве объемной плотности материала крыла. В отличие от работ [1, 2] в настоящей статье объемная плотность крыла считается заданной функцией координат в плане, что может имитировать качественное различие характера материала крыла в разных отсеках.

Рассмотрим тонкое крыло с острыми сверхзвуковыми кромками' симметричное относительно плоскости центрального сечения, обтекаемое без угла скольжения невязким сверхзвуковым

потоком с числом М и скоростным напором q под малым углом атаки а. Используем поточную систему координат с началом в носке центральной хорды. За угол атаки крыла (сечения крыла) принимаем угол а(аг) между хордой центрального сечения (местного сечения) и вектором скорости набегающего потока. Центральную хорду и передние кромки считаем расположенными в одной ПЛОСКОСТИ.

Пусть Ь, 21, bx, by, lz — соответственно длина центральной хорды, размах крыла, координаты по вектору скорости набегающего потока, по нормали к нему в плоскости симметрии, перпендикулярно плоскости симметрии. Форму передней (задней) кромки задаем безразмерной четной функцией xl=fl(z), xt — f„{z), при этом нормальная координата передней кромки ух= у [fi (z), z] зависит от значения у при х — \, z=0 по формуле Уі — хху {\, 0). Значение координаты задней кромки в центральном сечении у (1, 0) заранее неизвестно, но эта неопределенность не влияет на решение задачи, так как во все функционалы входит только производная координаты срединной поверхности, а не сама координата.

Обозначим b{yl-\- Vw), 2bVt, *р, b2lV~[ соответственно координату срединной поверхности, местную толщину крыла, удельный вес материала крыла, вес крыла. При этом *f = const — характерное значение удельного веса, а V = const определяет среднюю относительную толщину крыла. Безразмерное распределение объемной плотности материала крыла а считаем заданной функцией координат в плане о — j (х, z). В отличие от работы [2], где задание веса было равносильно заданию объема, в настоящей работе объем не фиксирован и может варьироваться. Как и в работе [2], принимаем

Здесь и далее штрих означает производную по л. Условия (1.1) совместно с предположением о сверхзвуковом характере кромок обосновывают применение теории полос, а для расчета распределения коэффициента давления ср в каждом сечении позволяют использовать теорию второго порядка Буземана. Решение задачи зависит от безразмерных параметров р и а, характеризующих влияние нелинейных членов в соотношении для определения ср и удельного веса материала

где — отношение удельных теплоемкостей.

Согласно теории второго порядка Буземана и с учетом (1.2) коэффициент давления на поверхности крыла имеет вид

Верхний (нижний) знак соответствует верхней (нижней) стороне поверхности крыла. В соответствии с принятыми обозначениями координаты верхней (нижней) сторон поверхности крыла определяются формулами

(1.1)

_ (х-|- 1) М4 — 4(М2— 1) т/ „ _ 2q

..... ................-q/o * і М _ /-•=-=-

4 (М2 — 1 )3/2 ’ b'i VМ2— 1

(1.2)

(1-3)

у = Vj -f V(w + t).

(1.4)

В результате интегрирования по поверхности крыла с учетом

(1.3) и (1.4) получим выражения для коэффициентов подъемной силы Су, сопротивления Сх и момента тангажа Ст (все коэффициенты отнесены к скоростному напору и площади крыла в плане, а Ст еще и к длине центральной хорды; момент вычисляется относительно ОСИ 02)

1 Л )

=------------------------ | Лг ] а,' (1 + <1х,

VМ2— 1 j (/2 -/0 dz 0

о

/,

1 Л

Сх = ----------------------------------------- / dz / К2 (1 + 3,3f) + t'2 (1 + р*')]

j (/2 — Л) dz

о /,

1 Л

Ст =----------^------------fdzfW’( 1 -f- 2р*') xrfx.

/М5=П j(/2-/1)1J- ° Л

(1.5)

Считаем, что вес каждого малого элемента крыла равен подъемной силе этого элемента, j. е. выполняется локальное условие аэродинамической разгрузки крыла

о*= -aw'(l +2рО- (i.6)

При этом автоматически удовлетворяется условие балансировки: подъемная сила равна весу крыла, а суммарный момент аэродинамических сил и сил тяжести относительно любой точки равен нулю.

Используя формулы для Су, Ст, можно получить выражение

d.Cm I dCv

для положения фокуса —------------как точки приложения

приращения подъемной силы при малом изменении угла атаки

1 1 1 Л

— ] (/1 — f\) dz — 23 j* dz | tdx

xf=-------0-----T------------*-----• (1.7)

j (Л — /i) dz

о

В отличие от случая а = const [2] положение фокуса зависит от распределения толщин, правда, лишь во втором приближении [член с р в (1-7)]; в линейном приближении положение фокуса зависит лишь от формы в плане. Как следует из (1.7), с увеличением параметра нелинейности (3 фокус сдвигается вперед.

Одной из определяющих характеристик летательного аппарата является запас статической устойчивости. Приведем выражения для положения центра масс хт и для запаса статической устойчивости Д

1 Л

хт — 4 | dz j atxdx, Д = xf — хт. (1.8)

о л

С учетом связи (1,6) сопротивление крыла Сх (1.5) можно представить через функционал 1Х, который зависит лишь от одной функции формы t(x, г):

^ 41/2/,

ил- — 1

ут- 1 | (/2-Л)^

О

1 Л

* Г „2 /2 /1 _!_ “1

ах. (1.9)

В выражение для 1Х входят два постоянных параметра а и (5 и функция распределения объемной плотности материала крыла а(х, г).

2. Крыло минимального сопротивления. Рассмотрим задачу о форме аэродинамически разгруженного крыла минимального сопротивления заданной формы в плане и с заданным распределением объемной плотности о (х, г). Зададим величину подъемной силы (что эквивалентно заданию веса крыла) и величину запаса статической устойчивости. В результате придем к вариационной задаче о минимуме функционала (1.9) с двумя изопериметричес-кими условиями. Записывая вес крыла, как интеграл от удельного веса по объему в безразмерных переменных, получим:

1 Л

| йг | оЫх = ~ ■ (2.1)

/,

Второе изопериметрическое условие, связанное с заданием запаса статической устойчивости (1.8), можно представить в виде

1

|* с1г | IX + ®----- (2-2)

о /.

Безразмерные параметры Ф и 5, входящие в соотношение (2.2), зависят лишь от формы в плане

1

г2

1

5 = 2 £(/2 — /0 <1г, Ф = -

(1г

Задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид

0^(1 + Щ')

д2(1 + щу 1 1 ‘ 7 1 " \ " ‘ 5

Здесь Хр, Хд — постоянные множители Лагранжа.

дt (X <2’")

Поскольку функция Лагранжа не зависит от -- д’г—- , уравнение Эйлера является обыкновенным дифференциальным уравнением, в которое вторая независимая переменная г входит лишь как параметр

2зЧ(1 + 6Гл(' + 12р*'*)

t" -

2(1 + т +-■****ь' -. 1 1 ’ а2(1+2^')4 ] «Ч1+2^')3

— 2Р88,<*(1 + 6Ю ,_Х а-Х, (ох-\- —) — 0. (2.3)

а2(1+2^')3 р \ 5/

Функция t{x, г) по своему смыслу (толщина крыла) должна быть положительной во внутренних точках проекции крыла на плоскость Охг и удовлетворять краевому условию на кромках (острые кромки):

НА, 2) = * (/а, г) = 0, 1 (94)

Их, 2)>0 при /!<х</2. I

Необходимое условие Лежандра достижения минимума на

экстремали имеет вид

д2 р = 2 (1 + ЗРО+ 24 —- - > 0- 1

<^'2 а2(1+2^')4 1 (9 5)

(при /!<^</2). I

Левая часть условия (2.5) совпадает с коэффициентом при старшей производной в (2.3). При изменении знака выражения (2.5) нарушается условие Лежандра, одновременно в уравнении

(2.3) возникает особенность, и численное интегрирование становится невозможным. С этим связаны также определенные трудности при практической реализации подбора множителей Лагранжа (появление особенности в процессе подбора \р, ад, даже если при подобранных значениях \р, Ад упомянутой особенности не должно быть). После определения оптимального распределения толщины t (х, z) форма срединной поверхности w(x, z) находится в результате интегрирования соотношения (1.6). В итоге форма верхней (нижней) поверхности определяется [с учетом найденной зависимости ух{г)\ по формуле (1.4).

Как и в случае о = const [2], решение задачи не зависит явно от веса крыла, и одной и той же безразмерной оптимальной форме может соответствовать различный вес, лишь бы параметры а, р и А сохранились неизменными.

Решение вариационной задачи будем искать в виде разложения по малому параметру р. При этом ограничимся двумя первыми членами разложения, так как иначе для коэффициента давления надо было бы использовать не приближение Буземана, а более точную теорию. Представим функции и параметры задачи в виде суммы двух членов

t=to-\-$tu w = w0 + pw„ /, = /,0 + Р/,1.

>-р = 0 + j, Ад — /.до 4- рАд!, F = F0 -f $FV

2—„Ученые записки* № 2.

Исходная вариационная задача разобьется на две последовательно решаемые задачи. Сначала решается задача при Р = 0, т. е. для линейного приближения в формуле для ср (1.3). Уравнение Эйлера и граничные условия для него имеют вид

й) tй■— -у (Хр о + Ад0 х), ;

(2.6) ^о(/1.2) = ^0(/2, г) = 0.

Изопериметрические условия на вес (2.1) и запас статической устойчивости (2.2) задаются соотношениями

1 Л 1 Л

| йг [ а£0 йх = | | 3^о х^х — ф — • (2-7)

о '/, о /,

После нахождения £<,(-*» г) форма срединной поверхности тг/0 и значение функционала /г0 находятся по формулам

Х 1 ^ / 2 2 \

-7-*0 4о = |^] ^Х'

Полученное решение должно удовлетворять условию положительности толщины и условию Лежандра (последнее выполняется всегда)

*„(*, г)>0 при /\<х </2,

-12 ^ — 2 > 0. I (2-8)

После решения задачи в линейном приближении для ср решается задача во втором приближении при р>0. Функции ^ (х, г) и т1(х, г) определяют влияние нелинейности в соотношении для ср (1.3) на форму оптимального крыла, а значение 1х1 определяет поправку для коэффициента сопротивления этого крыла. Уравнение Эйлера и граничные условия запишутся в виде

^ —+ х)-^о^о + —^ + -Ц-» | (2.9)

и (Л. г) = ^ (/2, г) = 0. ]

Здесь в правую часть уравнения Эйлера входят функция Ь0(х, г) и параметр Хд0> полученные на первом этапе. Изопериметрические условия для второй задачи имеют вид

1 д 1 и 1 /2

\йг^аЬххйх=^-------| йг [ 10с1х. (2.10)

йг

б >1 о л 0 Л

После определения ^ (х, г), X ! и Хд] функция иол (х, г) и значение 1х1 находятся в результате интегрирования

Для второй вариационной задачи нельзя накладывать на U условия, аналогичные (2.8). Можно лишь требовать выполнения условий положительности (2.4) и условия Лежандра (2.5) для суммарного решения t = Таким образом, выполнение или

нарушение упомянутых условий зависит как от функции tu так и от параметра нелинейности (3:

*o+P*i>0 при /iO</2,

^ = 2(1 + 3^о)>0.

Отсюда можно получить критическое значение параметра р (необходимо, чтобы P<CPi):

—= sup max I —3*o,---------—1. (2.11)

Pi (x, г) I to )

Обычно нарушение требования P<Pi наступает прежде всего на задней кромке, и условие (2.11) может быть заменено более простым

1 ( t\ (/3, г))

-5-= sup max| — 3/о(/2, z), ----—— •

Pl <г> I 4 (/2, z))

3. Результаты расчетов. Как в линейном ф = 0), так и во втором (Р>0) приближении решение задачи связано с громоздким двухступенчатым подбором начальной производной [*o(/i, z) или M/i> z)\ ПРИ решении краевой задачи для уравнений (2.6) или (2.9) с целью выполнения условия на задней кромке [МЛ> z) — 0 или tx (/2, z) = 0] и множителей Лагранжа (кр0, ХА0 или Хр1, Хд1) с целью удовлетворения изопериметрическим условиям (2.7) или (2.10). На машине БЭСМ-6 были получены оптимальные формы аэродинамически разгруженных крыльев для разных значений параметров и функций р, а, Д, /, (z), /2(z), а (х, z) как в случае монотонного, так и в случае немонотонного распределения плотностей при сильных местных неоднородностях. Характерное время расчета одного варианта составляло от 1 до 5 часов. Отметим, что составленная на языке АЛГОЛ программа стандартизована и пригодна для расчета оптимальных аэродинамически разгруженных крыльев произвольной формы в плане при произвольном законе распределения плотностей и различных параметрах а, Д, р.

На рис. 1—3 представлены результаты расчетов стреловидных

крыльев — /з=1+ ПРИ Д = 0,03, а = 0,5, р = 0,06

и немонотонном распределении плотностей

О = 1 + (вА- 1) [е-2(.<—0,875Г-50(И—0,5)’ _ 0 5е_2(дг-0,5)“-502^ (ЗЛ)

где оу = const.

Согласно соотношению (3.1) при 0/> 1 в крыле имеются зоны повышенной (в окрестностях х = 0,875, |z| = 0,5) и пониженной (в окрестности л: = 0,5, 2 = 0) плотности его материала. Для схемы самолета типа летающее крыло подобное распределение плотности материала может качественно моделировать различие отдельных частей крыла (кабина экипажа, двигатели, топливо, полезная нагрузка и т. п.).

На рис. 1 приведены формы сечений крыла по потоку (z=const) при Оу = 2. Для этого значения cf максимальный удельный вес примерно вдвое больше, а минимальный примерно вдвое меньше характерного. Для сравнения приведены формы сечений оптимальных крЫЛЬеВ При ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ 0=1 (Оу=1).

6f = f, р" 0,05

\ / —

\ J \ / Ла/ИДуХ / / '-О Л ?=о

О 0,5 г 1,0

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 2 представлены зависимости от г углов атаки сечений аг. Видно, что при немонотонном распределении плотностей крутка крыла также немонотонна. Для сравнения на рис. 2 нанесены аналогичные зависимости при р = 0 (линейная теория), качественно не отличающиеся от зависимостей при р = 0,06.

На рис. 3 приведены зависимости от г относительной толщины сечений хг = 2^шах ^/(/г—/1) и положений максимальной толщины | = (;ешах—/^/(/г — /1)- Видно, что при а^ = 2 зависимость тг(г) носит немонотонный характер. Положение максимальной толщины сечений от г зависит слабо. Интересно отметить, что значение функционала 1Х при одинаковых характерных плотностях материала у

(а следовательно, при одинаковых а) в случае немонотонного распределения плотностей (0^ = 2) оказалось меньше, чем в случае постоянной плотности (а/=1), примерно на 8% (/^ = 1,79 и 1,95 соответственно); расчеты проводились при значении [3 = 0,06.

ЛИТЕРАТУРА

1. К о г а н М. Н., Перми нов В. Д. Об одной постановке задачи о крыле минимального сопротивления. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VII, № 2, 1976.

2. Николаев В. С. Оптимальное аэродинамически разгруженное крыло в сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 5, 1980.

Рукопись поступила 261XII 1979 г.