CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.918
С.А.Исхоков, А.Г.Каримов ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРЕДЕЛЬНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ, ПОРОЖДЕННАЯ НЕКОЭРЦИТИВНОЙ ФОРМОЙ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 30.10.2006 г.)
Работа посвящена исследованию однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрической области (определение см. ниже), ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. Здесь также изучаются дифференциальные свойства решения этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничных функций. Подобные вопросы в случае ограниченной области ранее изучались в работах [1-7].
Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрической области, билинейные формы которых удовлетворяют условию коэр-цитивности, изучалась в работе [8].
Применяемый нами метод основан на элементах теории вложения функциональных пространств. Поэтому мы предварительно подробно изучаем свойства соответствующих пространств функций с весом.
Пусть й>2 и С - ограниченная область в ^ — 1 -мерном евклидовом пространстве
Яп 1, граница которой удовлетворяет условию конуса (определение см., например, в [9]) и не является линией уровня многочлена степени <Г — 1 ПО переменным Ху , . . ., ХП-\ . Пусть СО ( /) (—оо < / < оо) -ограниченная сверху положительная непрерывная функция. Обозначим через О следующую предельно-цилиндрическую область в п-мерном евклидовом пространстве
Яп:
О = {д- = (х\хп е Яп; х' / со {хп) е О),
где X'= (Ху,...,Хп_х)е11п~Х.
Далее предполагается, что
с1'\\1 (х,ТХп )<М сЛх((х,аО.) (1)
для всех х = (х', хп) еО, где Гд. ={(л:,л:й); х'/ со(хп) е 80}.
Пусть У(т) - положительная дифференцируемая в интервале (0, ф функция, которая удовлетворяет условиям
У'(т)т
Нш —= 05 Г(2т)~Г(т).
т—>о У(т)
(2)
Здесь и далее символ означает наличие двухсторонней оценки с положительными константами.
Пусть р(х) - регуляризованное расстояние от точки х еО до границы дО. и функция ср(х) такая, что ср(х) ~ У(р(х)). Пусть г - натуральное, ОС, р - вещественные числа и
1 < р< ОО .
Обозначим через ЬГр а ^ (□) класс функций и(х) (х е О), имеющих обобщенные в смысле Соболева производные 11^ (х) порядка Г (|&| = г) с конечной полунормой
1/р
р,а,ср
(П)
X $(?а(х)Ф)
\k\-r О
и(к ) (х)
>
с1х
Тг
^р,сс,ср
Символом £^£,^(0) обозначим весовое пространство функций ^ из класса (О) конечной нормой
(П)
и-Та
и^р,а,(р
(П)
+ §\и(х)\Р (Зх
1/р
Если В - нормированное пространство с нормой Ц/-; 5||, которое содержит С^° (Г2),
О
то символом В обозначим замыкание класса С(Г2) в пространстве В. Если пространство В вложено в пространстве Х2(П), то символом В’ обозначим пополнение Ь2(С$) по норме ||/; В’^ = SU.pl у/]^, где (.,.) - скалярное произведение пространства Е2(С1) и супремум
берется по всем у/ е В таким, что = 1. Далее, мы отождествляем элементы /* Е В' с
соответствующими антилинейными функционалами над В.
Пусть ОС^^х) (|&|,|/| </% хеП) - измеримые в О комплекснозначные ограничен-
а-г+\к\
ные функции и рк (х) = ср(х)р ' ^(.х), где а - некоторое вещественное число (на ко-
торое далее будут наложены дополнительные ограничения). Рассмотрим билинейную форму
в[и,у]= X \Рк(х)Р1(х)ак1(Ф{ )(х)у^)(ху!х,
Ш|<гО
первоначально определенную на всех и, V е (О) . Число всевозможных п - мерных мультииндексов, длиной не больше г, обозначим через к = к ^ . На множестве Ох СК введем функцию
А(*,0= X ак,(хХк^п х
\к\\1\<г 11
и предположим, что для всех X £ О, ^еС она удовлетворяет условиям
|аг§ А(х, £)\ <7г - б, (4)
Е|а|2£М Ъе%х)А(х,С)1 (5)
\k\-f
■к 2
-Г
где 8 - некоторое число из интервала (0,тс) и комплекснозначная функция у(х) непрерывна и отличная от нуля в О . Здесь и далее предполагается, что функция aгgz принимает значения на отрезке (—Ж,Л~].
Рассмотрим следующую вариационную задачу Дирихле с однородными граничными условиями.
Задача ОлН. Для заданного функционала Р шение и^ уравнения
требуется найти ре-
В[и, V] + Л(и, V) =< і7, V >, V V є С0°° (О), (6)
о
г
принадлежащее пространству ^ 2 « •
Заметим, что решение уравнения (6) называется обобщенным решением дифференци-
ального уравнения
ХН)^ кк1(х)Рк(х)Р1(х)и^(х)^ +Яи(х) = Р.
|&|,|/|<г Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть г - натуральное, а - вещественное числа такие, что
а + ^ £ {1,2,..., г}, г-а> 0,
и выполнены условия (1), (2), (4), (5). Пусть функция со{хп) в определении области О та
кая, что Нш СО(хп ) = 0, а функция у(х) в условии (5) ограничена в О. и для любого
числа
Хп^СС
V > 0 существует число > О такое, что \/(х) — /(у )\ < V для всех
В( О, Лу ), где В(0, /^,) тар радиуса 1{у с центром в начале системы коорди-
нат.
Тогда существует число А0 > 0 такое, что если А>А^, то для любого заданного
функционала Ь < справедлива оценка
задача I)- П имеет единственное решение и при этом
Ґ о
и'Ка^а) <М Ж
V
2
где числоМ>О не зависит от А £ [/^,+со) и от функционала К
Далее сформулируем результат о гладкости решения вариационной задачи О л н в
зависимости от гладкости коэффициентов (х) и правой части уравнения ¥. Пусть суще-
ствует натуральное число т такое, что
аы)(х)
<М „р ^(х) (х є \д\ < т).
,дН (7)
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и число А0 такое же, как в этой теореме. Пусть 5 - любое целое число из отрезка [0,т]. Тогда при А > А0 для любого эле-
мента
о
существует единственное решение задачи О л н, оно при-
надлежит пространству Ж 2^+^
и справедлива оценка
О Г + 'ї о г-*
и;Ж2,а+*,<р(П) <М F; (Ж 2,«-,,„(□))'
где число М > 0 не
зависит
от А Є[Я() ,+оо) и от функционала і7.
о
о
Теперь переходим к рассмотрению вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями. Обозначим через g — \ - мерный открытый шар, который содержится в области О и удовлетворяет условию
сИз1(х\ дО) > с > О V х' е g.
Определим весовое пространство Т^а(СТ) функций и(х) (.X е О) с конечной нормой
и>Тр,а(Р)
\к\=гО.
и(к ) ( х)
СІХ + Г(хп)\и(х)\^ (ІХ
0.(\
1/р
где СІ0 = < X = (х',хп) Е Яп ,
Х
0){хп)
ё\-
Пространство Жр а ^ (□) при <р(х) = 1 обозначим через Жр а (О) . При
р,с
1
ОС Л--£ {1,2,..., г}, с точностью до эквивалентности норм, выполняется равенство
Р
о
Т гРгСе(П) = Ж
Пусть и 4* ^ - произвольный элемент пространства Т Гр а(0.) . Фиксируя хп, рассмотрим функцию £(х') — и(х\Хп), которая определена на множестве С(/л) = /Лт, где
/Л — СО(хп ) . Из ограниченности нормы
тр,а(&)
следует ограниченность выражения
X іі(а(х')^\/л-х'),сіх'+ ||^// • х')\Рс1х\ \к'\=гО
&
где у(х') = сИз^х', да). Поэтому, согласно известных теорем о следах функций из весо-
1 1
вых пространств на границе области (см., например, [10 ]), при-----КОС <Г-----, функция
Р Р
Щх’') и ее производные до порядка 50 —1, где целое число 5'0 такое, что
Г — а-----<^0 ~ ОС-----1-1, имеют следы на дО(р). Если же эти следы не нулевые,
Р Р
о
о
то и £Т р а(££). Поэтому для заданной функции Ф £Тра(0.) условие о
и — Ф ^ Т р а (Г2) означает, что и е Тр а (О) и на границе принимает те же значения, что и функция Ф(х).
Задача Ол^у. Для заданного функционала Я
Т 2Л(П)
и заданной функции
Ф е (О) требуется найти решение и ^ уравнения (6), удовлетворяющее условию
о
"-феГ 2,«<П)
Для изучения разрешимости задачи Ол N на рост коэффициентов а^ (х) налагается более сильное ограничение, чем ограниченность, а именно, предполагается, что
(8)
|<2£/(х)| - М/9Г ^(х) (хєО) для всех мультииндексов к,1, по длине не превосходящих г.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (1), (4), (5), (8) и число Л0, функции Со{хп), у(х) такие же, как в теореме 1, а функция ср(х) , участвующая в определении би-
линейной формы (3), тождественно равна единице. Пусть
1 ^ Т 1 1
а + — € Ц2,..., г — <а<г~ —.
2
2
Тогда при Л> Л0 для любого заданного функционала Ь
и любой заданной
функции Ф <Е Т2а (О) существует единственное решение и ^ задачи Од дг и справедливо следующее неравенство
<м
о
Т 2,«(П)
+
ф;г{а(о)
где число м > 0 не зависит от Я, Р и Ф.
Если коэффициенты а^^х) #1. И — Г, х £ О дифференцируемы и функционал
/', функция Ф обладают более хорошими свойствами гладкости, чем в теореме 3, то можно
о
о
исследовать дифференциальные свойства решения задачи О л N. Полученный результат
сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3 и существует натуральное число т такое, что
а^Цх) <Мрг ^ (ієО)
для всех мулътииндексов к, I, с/ таких, что |&|, |/| < /% |^| < т. Пусть целое число 5 принад
лежит отрезку [0,т]. Тогда при Л>Л0, /'
о
т
2 ,а-я
, Ф(х) є 7 2 ^+у (О)решение
и4і задачи Од ^ принадлежит пространству (П) и справедлива следующая оцен
ка
<м
Ф;Г2.а«(П)
+
^ о ^
г-5
2,а-5
V у
т Г* (о)
где число М>0 не
зависит от Л, і7 и Ф.
Институт математики Поступило 30.10.2006 г.
АН Республики Таджикистан,
Н«
Кургантюбинский госуниверситет им. Носири Хисрава
ЛИТЕРАТУРА
1. Бойматов К.Х. - ДАН СССР, 1992, т. 327, № 1, с. 5-9.
2. Бойматов К.Х. - Докл. РАН, 1993, т.330, №3, с. 285-290.
3. Исхоков С.А. - Докл. РАН, 1995, т.342, №1, с. 20-22.
4. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. - Труды МИРАН им. В.А.Стеклова, 1997, т.214, с.107-134.
5. Исхоков С.А., Каримов А.Г. - ДАН РТ, 2004, т. 47, №4, с. 68-74.
6. Исхоков С.А., Каримов А.Г. -Математические заметки ЯГУ, 2005, том 12, вып. 1, с.74-86.
7. Исхоков С.А. - Докл. РАН, 2003, т. 392, №5, с. 606-609.
8. Исхоков С.А. - Математические заметки ЯГУ, 1999, т.6, №1, с.60-76.
9. Трибель Х. - Теория интерполяции, функциональные пространства и дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
10. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. - Известия вузов. Математика, 1998, №8, с.4-30.
С.А.Исхоков, А.Г.Каримов МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ ДАР СО^АИ ^УДУДАН СИЛИНДРИКИ, КИ БО ВОСИТАИ ФОРМАИ ГАЙРИКОЭРСИТИВЙ ГУЗОШТА ШУДААСТ
Дар мак;ола хдлшавандаги ва хосиятх,ои суфтагии хдлли масъалаи вариатсионии Дирихле дар сох,аи х,удудан силиндрики омухта шудааст. Муодилаи дифференсиали бо воситаи формаи гайрикоэрситивй муайян карда мешавад.
S.A.Iskhokov, A.G.Karimov VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM IN A LIMIT - CYLINDRICAL DOMAIN GENERATED BY A NONCOERCIVE FORM
In this paper we investigate solvability and differential properties of a solution to the Variational Dirichlet problem in a limit-cylindrical domain. The differential equation generated by non-coercive bilinear form.
