CC BY
15Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2022. Том 29, № 2
УДК 517.957
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ М. Г. Гадоев, Т. П. Константинова
Аннотация. Изучается разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области с суммируемыми младшими коэффициентами в случае, когда соответствующие полуторалинейные формы могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Выделен случай, когда неоднородные граничные условия задаются в явном виде и их количество зависит от степени вырождения старших коэффициентов исследуемого оператора. Доказано неравенство, в котором норма решения неоднородной вариационной задачи Дирихле сверху оценивается через нормы граничных функций и правой части уравнения.
Б01: 10.25587/SVFU.2022.50.14.001
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, ограниченная область, степенное вырождение, некоэрцитивная полуторалинейная форма.
1. Введение
В работе исследована разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов высшего порядка, заданных в ограниченной области О п-мерного евклидова пространства Кп с замкнутой (п — 1)-мерной границей дО. Исследуемые операторы порождаются с помощью полуторалинейных ин-тегродифференциальных форм, коэффициенты которых имеют степенное вырождение на границе области и в общем случае могут не удовлетворять условию коэрцитивности. Здесь коэрцитивность формы понимается в следующем смысле определения 2.0.1 работы [1]: если Н0 — гильбертово пространство со скалярным произведением (■, -)0 и нормой У ■ ||о, Н+ — другое гильбертово пространство с нормой || ■ || + , плотно вложенное в Н0, то определенная в Н+ по-луторалинейная форма Р[и, V] называется Н+-коэрцитивной относительно Н0, если найдутся числа ц0 € К, 60 > 0 такие, что
ИеР[и, и] + М0||и||2 > ¿0||и|| +
для всех и € Н+.
© 2022 Гадоев М. Г., Константинова Т. П.
Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является одной из бурно развивающихся областей теории дифференциальных уравнений. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют многообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.
Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т. д.). Систематическое изучение весовых пространств с весом, равным расстоянию до границы области в положительной степени, а также их приложения к решению краевых задач для вырождающихся на границе ограниченной области эллиптических дифференциальных уравнений впервые было проведено в монографии Л. Д. Кудрявцева [2] в 1959 г. Достаточно полный обзор результатов по функциональным пространствам со степенным весом и их приложения в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, опубликованных до 1988 г., приведен в работе С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, Н. В. Мирошина [1]. Среди работ, опубликованных позже и содержащих обзор результатов по этому направлению, отметим работы Н. В. Мирошина [3], К. Х. Бойматова и С. А. Исхокова [4], С. А. Исхокова и Б. А. Рахмонова [5] С. А. Исхокова [6,7].
Обзор результатов по этому направлению свидетельствует о том, что основная часть работ, в которых рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения в ограниченной области п-мерного евклидова пространства, относится к случаю, когда коэффициенты дифференциальных операторов имели вид произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы области. В отличие от этого только в [7-9] предполагалось, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым ¿^-пространствам.
Случай, когда исследуемые дифференциальные операторы порождаются с помощью некоэрцитивных полуторалинейних форм, сопряжен с техническими трудностями и впервые рассматривался в работе К. Х. Бойматова [10]. Позже этот случай исследовался в работах К. Х. Бойматова [11-13], К. Х. Бойматова и С. А. Исхокова [4], С. А. Исхокова [14,15], С. А. Исхокова и А. Г. Каримова [16,17].
В настоящей работе разрешимость вариационной задачи Дирихле исследуется в случае, когда вырождающиеся эллиптические операторы порождаются некоэрцитивными полуторалинейными формами и их младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым ¿^-пространствам. Предварительно доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства, в которых оцениваются нормы произведения производных функций из весовых функциональных пространств.
Разрешимость задачи Дирихле для различных классов вырождающихся эллиптических уравнений исследовалась в [18-25]. В этих работах также при-
меняется метод, основанный на предварительном изучении свойств соответствующих весовых пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных.
Относительно работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям, в которых применяются методы, отличные от метода настоящей работы, отметим монографии [26-29].
2. Функциональные пространства.
Вспомогательные интегральные неравенства
Пусть О — ограниченная область в евклидовом пространстве Кп с достаточно гладкой (п — 1)-мерной границей дО. Пусть г — натуральное, а, р — вещественные числа и 1 < р < го. Символом ЭД^^О) обозначим пространство функций и(х), определенных на О и имеющих все обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные и(к)(х) до порядка г включительно, с конечной нормой
1 /р
и; %г.а(О)|| = { ^У рра(х)|и(к) (х)|р ¿х + 1 |и(х)|р ¿Л , (1)
\к\=тп п
где р(х) — регуляризованное расстояние от точки х € О до границы дО области О, т. е. бесконечно дифференцируемая положительная функция, удовлетворяющая неравенствам
р(х) < &81;{х,дО} < Мр(х), |р(к)(х)| < Мкр1-|к|(х)
для любого х € О и любого мультииндекса к; М, Мк — некоторые положительные постоянные.
Функциональные пространства ^рГа(О) являются банаховыми пространствами с нормой (1) и при а = 0 совпадают с классическими пространствами Жр"(О). Пространства ^рГ а(О) при р = 2 гильбертовы и скалярное произведение в них определяется равенством
I к
=т ,
Первый результат типа теорем вложения для пространств WpT.a(О) был получен В. И. Кондрашовым [30]. Систематическое исследование пространств Wpт;a(О) принадлежит Л. Д. Кудрявцеву [2]. Оно развивалось и дополнялось в работах многих математиков, среди которых отметим работы С. М. Никольского [31], О. В. Бесова, Я. Кадлеца, А. Куфнера [32], О. В. Бесова [33], Х. Трибеля [34] и др. Более подробную библиографию работ по исследованиям весовых пространств Wpт а(О), опубликованных до 1988 г., можно найти в обзорной работе С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, Н. В. Мирошина [1].
Вложение В1 ^ В2 для нормированных пространств В1, В2 соответственно с нормами ||-; ВЦ, ||-; В2|| означает, что все элементы пространства В1 можно
рассматривать как элементы пространства В2 и, кроме того, ||и; В1Ц < М||и; В2|| для всех и € В1 с положительной константой М, не зависящей от и.
Ниже сформулируем несколько теорем о свойствах пространств Жр".а(О) без указания литературных источников. Соответствующие ссылки можно найти в обзорной работе [1]. Сначала сформулируем прямую и обратную теоремы о следах для этих пространств. Так же, как в случае классических пространств Соболева, следы функций и € Жр".а(О) на границе дО принадлежат некоторым пространства О. В. Бесова Вр(дО) (определение пространств О. В. Бесова см., например, в [35] или [34] ).
Далее символом Св+е, где в — натуральное число и е € (0,1), обозначим класс поверхностей, которые локально описываются с помощью функций, производные в-го порядка которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем е.
Теорема 1. Пусть
11
— < а < г--, (2)
р р
в0 — целое число, удовлетворяющее неравенствам
г — а--< во < г — а + 1--, (3)
рр
граница дО принадлежит классу С8»+1+е, где е € (0,1). Тогда справедливо вложение
Ира (О) ^ Вр-а-1/р(дО). (4)
Вложение (4) означает, что любая функция и € Ир. а(О) имеет на границе дО следы
дви дпв
= <Рв ^-р дО
€ в-а-1/р-8(дО), в = 0,1,...,в0 — 1,
и при этом выполняются неравенства
; вр-а-1/р-*(дО)|| < С||и; Ир.а(О)|
в = 0,1,..., в0 — 1. Здесь д/дп — производная по внутренней нормали к поверхности дО, константа С > 0 не зависит от функции и.
Справедлива также следующая обратная теорема о следах.
Теорема 2. Пусть выполняется условие (2), целое число в0 определено неравенствами (3), дО € СВ0 + 1+е, е € (0,1). Тогда если заданы функции
С € Вр-а-1/р-8(дО), в = 0,1,...,Я0 — 1, (5)
то существует функция и € ИГ. а(О), для которой выполнены равенства
дви дпв
= сра, в = 0,1,..., в0 — 1,
до
и справедливы оценки
«0-1 з=0
где число С > 0 не зависит от набора функций (5).
Обозначим через СО" (О) множество всех бесконечно дифференцируемых в О функций с компактными носителями. Замыкание множества СО" (О) по норме
о
(1) обозначим через Wр;а(О).
Теорема 3. 1. Пусть граница дО области О принадлежит классу С1. Тогда множество СО" (О) плотно в пространстве Wp.a(О) в том и только в том случае, если а < — 1/р или а > г — 1/р.
2. Пусть — 1/р < а < г — 1/р и граница дО удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда выполняется равенство
о Г д «и
= 0, в = 0,1, 2, ...,я0 — 1
дО
где д/дп — производная по внутренней нормали, а целое число в0 определено неравенствами (3).
Для исследования разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями нам понадобится следующая теорема вложения разных метрик для пространств Wp.a(О), доказанная в работе С. А. Исхо-кова [36].
Теорема 4. Пусть граница дО области О принадлежит классу С1, и пусть выполнены условия
1 1 1
О < то < г, 1 < р < д < +оо, агп > —, а — то < агп Н----.
д д р
Тогда справедливо вложение
ир;а(О) ^ wq:-m(0).
Введем также весовое лебегово пространство Ьр;<5(О) с конечной нормой ||и; ЬР;4(О)|| = Ц /г(ж)|и(ж)|р /Р.
О
С помощью теоремы 4 доказывается весовое интегральное неравенство, в котором оценивается норма произведения производных функций и € Wp.a(О), V € Wp;a(О). Это неравенство опубликовано в работе С. А. Исхокова, О. А. Не-матуллоева [37].
Лемма 1. Пусть p > 1 и числа Xki, определенные для мультииндексов k, I, удовлетворяющих условиям |k|, |1| < r, |k| + |1| < 2r — 1, такие, что Aki > 1, 1/Akl < 2/p. Тогда для всех u(x), v(x) G Wp*;Q:(0) имеет место неравенство
IIÄ«;ьХы,аы(0)|| < m||u; w;.*(0)||||v;w;.*(0)||
где
<лы = — т--hei + ( а-г+|k| + - ) +(a-r+|Z| + -
Aki V pj + V Р/ +
£i — достаточно малое положительное число; константа M > 0 не зависит от u, v.
Здесь и далее (/«)+ = если ^ > 0, и (^)+ = 0 в противном случае.
3. Однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями
Пусть 0 — ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве Rn, граница которой является (n — 1)-мерным замкнутым многообразием.
Пусть r — некоторое фиксированное натуральное число. Рассмотрим следующую полуторалинейную интегродифференциальную форму:
„]= £ (6)
'\u,v\= I Ьы\х)и('к) (x)v^ (ж)
|k|,|l|<rh
и предположим, что ее комплекснозначные коэффициенты bki (x), x G 0, |k|, |1| < r, удовлетворяют следующим условиям:
(I) старшие коэффициенты bkl(x), |k| = |1| = r, формы (6) имеют вид
bki (x) = p2a(x)aki (x),
где функции aki(x) непрерывны в замкнутой области О;
(II) коэффициенты bkl(x) при |k|, |1| < r и |k| + |1| < 2r — 1 принадлежат пространству Lßkl.¿k1 (0), где ^ki > 1 и
= l--L-e2-^a-r + |k| + 0 + 0 ,
здесь е2 — достаточно малое положительное число.
(III) существуют числа со > 0, <р G (0,7г) и непрерывная в О функция Y(x) = 0 такие, что
arg £ aki(x)CkCl| <<Л Re{Y(x) £ aki(x)CkCl} > co|C|2r.
|k| = |l|=r |k| = |l|=r
для всех x G 0, £ G Rn \ 0.
о !
Далее обозначим через (W2.a(0)) пространство всех антилинейных непре-
о
рывных функционалов, определенных на W2-а(0), наделенное нормой сопряженного пространства, и рассмотрим следующую вариационную задачу Дирихле, связанную с формой (6).
о !
Задача О. Для заданного функционала Р € (W2.а(О)) и заданной функции Ф(ж) € Ж2-а(О) требуется найти решение и (ж) € Ж2-а(О) уравнения
®[и, V] = (Р» (Vv € Со°°(О)), (7)
удовлетворяющее условию
и (ж) — Ф(ж) € Т^2;а(О). (8)
о
Замечание 1. Если Ф(ж) € W2•Q,(О), то условие (8) означает, что решение и (ж) задачи О и заданная функция Ф(ж) имеют одни и те же ненулевые следы на границе дО области О. Согласно теореме 3 если граница дО области О
о
принадлежит классу С1 и а < —1/2 или а > г — 1/2, то WJ.а(О) = W2.а(О). Поэтому граничные условия в задаче О будут неоднородными только в случае
11 --<а<г--. (9)
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что при выполнении условий (I)—(III) коэффициенты полуторалинейной формы (6) удовлетворяют условиям работы [38]. Поэтому при условии
а+^{1,2 ,...,г}, (10)
применяя результаты работ [38,39] к полуторалинейной форме (6), получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть выполнены условия (!)—(Ш). Тогда найдется Л1 > 0 такое, что при Л > Л1 вариационная задача: для заданного функционала Р €
о /
(W2•a.(О)) найти решение V(ж) уравнения
в[у, -у] + л J р2а-2г(ж)У(жЯХЫж= (Р, у) (У« € С0°°(О)), (И)
О
о
принадлежащее пространству W2.а(О), имеет единственное решение и при этом имеет место следующее неравенство:
о !
||V; W2;a(О)| < М||-; ^(О)) ||, (12)
где положительная постоянная М не зависит от выбора функционала Р.
о /
Далее предположим, что для любого заданного функционала Р € (W2.а(О))
о
уравнение (11) при Л = 0 имеет единственное решение V(ж) € W2•a(О) и для него выполняется неравенство (12). Тогда справедлива
Теорема 6. Пусть выполнены условия (I)—(III), (9), (10). Тогда для любо-
О J
го заданного функционала F е (W2;Q,(fi)) и заданной функции Ф(ж) е WJa(0) существует единственное решение U(ж) е WJа(О) задачи D и при этом выполняется оценка
О /
||U; W2r; a(fi)|| < M{||F; (W2;*(fi)) || + ||Ф; W2r; a(fi)||}, (13)
где число M > 0 не зависит от выбора F и Ф.
Доказательство. Сначала сформулируем и докажем одну вспомогательную лемму.
Лемма 2. В условиях теоремы 6 любая функция Ф(ж) е WJ а(О) по формуле
(G,v) = -В[Ф,и] (14)
О /
порождает функционал G, который принадлежит пространству (W2., и найдется положительная постоянная M такая, что
О t
||G; (W2;*(fi))'|| < M||Ф(ж); W2; а(П)|| (15)
для всех Ф(ж) е WJ(О).
Доказательство. Функционал G, определенный равенством (14), представим в виде
(G,v) = -В*[Ф,и]+ B*^,v], (16)
где
В*[Ф,и] = Y1 [ Ьы(х)Ф{к) (x)v(l) (х) dx,
|k| = |l|=r 1
В*[Ф, v\ = Y^ [ hi(x) Ф{к\хУиЩх)йх.
|fc| + |i|<2r-1 Q
Согласно условию (I) (ж) = p2a(x)akl(ж) при |k| = |1| = r и akl(ж) — ограниченные в О функции (ввиду их непрерывности в замкнутой области Поэтому, применяя неравенство Коши — Буняковского, имеем
|®*М< ^ I |p2aafe,(ж)Ф^)(x)||v(l)(ж)| dx
|fc| = |i|=r Q
« £ ; L2(fi)yypav('); ¿2(П)У « ||Ф; ¿2;а(О) ||||v; L2;*(fi)||.
|k| = |l|=r
Так как ||u; L2;a(0)| < ||u; W2!a(fi)||, отсюда следует, что
|В*[Ф, v]| « ||Ф; W2r;a(fi)||||v; W2r;a(0)| (17)
О
для всех v е W2;а(О).
Теперь переходим к оценке слагаемых полуторалинейной формы B*^,v]. Заметим, что числа Akl = ми/(№ — 1), где числа ми такие же, как в условии (II),
удовлетворяют условиям леммы 1. Поэтому, применяя неравенство Гельдера и лемму 1, получим
|®*[Ф,и]|< ^ /" |Ьк!(х)Ф(к)(х)||«(г)(х)| ¿х
\к\+\г\<2т-1 п
< Е ||Ьк£; ь (О)||-||Ф(кУг); ЬА ы.аы (О)||
\к\ + \г\<2т—1
< М||Ф; W2T;a(О)||v; W2:a(О)|.
Следовательно,
|®*М < М ||Ф; W2T;a(О)||v; а (О) 11 (18)
о
для всех V € W2.а(О). Здесь М — положительная постоянная, не зависящая от выбора функции v(x).
Объединяя оценки (17), (18) и равенства (14), (16), получим
|(ад| < М|ф; W2T;а(О)||v; W2T;а(О)|
о
для всех V € W2 а(О). Это неравенство означает, что функционал С, опреде-
о /
ленный равенством (14), принадлежит пространству (W2.а(О)) и имеет место неравенство (15).
Лемма 2 доказана.
Теперь с помощью леммы 2 можно свести задачу Дирихле О с неоднородными граничными условиями к некоторой задаче с однородными граничными
условиями, для решения которой можно применить теорему 5 при Л = А1 =0.
о /
Пусть заданы элементы ^ € (W2.а(О)) , Ф(х) € W2'.а(О), и пусть и(х) — какое-нибудь решение задачи О. Рассмотрим функцию и*(х) = и(х) — Ф(х). Так как
В[и, V] = (^, V) (Vv € С0°°(О)),
и
и(х) — Ф(х) € W2;а(О),
о
то и*(х) принадлежит пространству W2^ (О) и удовлетворяет уравнению
В[и*, V] = V) + (С, V) (Vv € С°°(О)), (19)
где функционал Сд определяется равенством (14).
Таким образом, вспомогательная функция и*(х) является решением следующей задачи.
о /
Задача О*. Для заданного функционала ^ € (W2;а(О)) и заданной функции Ф(х) € W2rа(О) требуется найти решение и*(х) уравнения (19), принадле-
о
жащее пространству W2^ (О).
Обратно, легко проверить, что если и*(х) является решением задачи О*, то функция
и (х) = и *(х) + Ф(х) (20)
будет решением задачи О.
о !
Согласно лемме 2 функционал С принадлежит пространству (Т. Поэтому по теореме 5 ввиду сделанного выше предположения задача О* имеет единственное решение и для нее выполняется следующая оценка:
о / о ,
||и*;Т^ц « ; (^(О)) || + ||С; (^(О)) ||.
Отсюда и из оценки (15) леммы 2 следует, что
о Г
||и*;ту^ц « ; (Ш2;а(п)) || + ||Ф;Ту^ц.
Стало быть, для решения и(х) задачи О (см. (20)) имеет место неравенство
о Г
||и;Ту^ц « ; (^(О)) || + ||ф;ту^ц,
т. е. выполняется оценка (13) теоремы 6.
Из единственности решения задачи О* и равенства (20) следует единственность решения задачи О. Теорема 6 доказана.
Покажем, что при некоторых дополнительных ограничениях на параметр а можно задавать неоднородные граничные условия в задаче О в явном виде. Пусть число а такое, что
11 --<а<г--.
Определим целое число в0 неравенством
11
г-а--<в0<г-а + -.
Тогда согласно теореме 2 при условии дО € св0+1+е, е € (0,1), для заданных граничных функций
€ В -а-1/2-з(до), в = о, 1,..., ^о -1,
найдется функция Ф € ШГ.а(О) такая, что дзФ
дп
= , в = 0,1,..., в0 — 1,
дО
где д/дп — производная по направлению внутренней нормали, и имеет место следующее неравенство:
во- 1
|ф;ш2г;а(0)| « £ |к;вГа-1/2-8(дП)||.
в=0
В этом случае условие (см. (8))
и(х) — Ф(х) € Т2;а(О), которое имеется в задаче О, принимает следующий вид (см. [38]): дзи{х) дпв
Поэтому в сделанных выше предположениях задачу О можно сформулировать следующим образом.
= ^, в = 0,1,...,во — 1. (21)
дО
Задача @. Для заданного функционала Р € (Ш2.а(О))' и заданного набора граничных функций
€ В2"а_1/2_я(дП), 5 = 0,1,...,ао - 1, (22)
требуется найти решение и (ж) уравнения (7) из пространства Ш2а(О), удовлетворяющее граничным условиям (21).
Применяя теорему 6, получаем следующий результат о разрешимости задачи @.
Теорема 7. Пусть 0 < а < г — 1/2, граница дО области О принадлежит классу С®» + 1+е, 0 < е < 1, и выполнены все условия теоремы 6.
о ^
Тогда для любого заданного функционала Р € {Ш2. а(О)) и заданного набора граничных функций (22) существует единственное решение и (ж) задачи @ и при этом справедливо неравенство
о в0-1
|и; Ш2-.а(П)| < М{||-; (Ш2;а(П))'I + ^ ||<^; В2г-а-1/2-8(дО)||},
в=0
где число М > 0 не зависит от выбора функционала Р и граничных функций (22).
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1988. № 8. С. 4—30.
2. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1959. Т. 55. С. 1-182.
3. Мирошин Н. В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1992. Т. 194. С. 179-195.
4. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107-134.
5. Исхоков С. А., Рахмонов Б. А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле во всем пространстве, связанной с некоэрцитивной формой // Уфим. мат. журн. 2020. Т. 12, № 1. С. 13-29.
6. Исхоков С. А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 4. С. 641-653.
7. Исхоков С. А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 2. С. 201-216.
8. Исхоков С. А., Кужмуратов А. Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Докл. АН. 2005. Т. 403, № 2. С. 165-168.
9. Исхоков С. А., Куджмуродов А. Е. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в дивергентной форме // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2008. Т. 51, № 12. С. 802-809.
10. Бойматов К. Х. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1992. Т. 327, № 1. С. 9-15.
11. Бойматов К. Х. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой // Докл. АН. 1993. Т. 330, № 3. С. 285-290.
12. Бойматов К. Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными формами // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 1. С. 5-10.
13. Бойматов К. Х. О базисности по Абелю корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 46-57.
14. Исхоков С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН. 1995. Т. 342, № 1. С. 20-22.
15. Исхоков С. А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с нестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными формами // Докл. АН. 2003. Т. 392, № 5. С. 606-609.
16. Исхоков С. А., Каримов А. Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2004. Т. 47, № 4. С. 68-74.
17. Исхоков С. А., Каримов А. Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, № 1. С. 74-86.
18. Chabrowski J. H. On the Dirichlet problem for a linear elliptic equation with unbounded coefficients // Boll. Unione Mat. Ital. 1986. V. 85, N 1. P. 71-79.
19. Chabrowski J. H. On the Dirichlet problem for a degenerate elliptic equation // Commentat. Math. Univ. Carol. 1987. V. 28, N 1. P. 141-155.
20. Chabrowski J. H. On the Dirichlet problem for degenerate elliptic equations // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1987. V. 23, N 1. P. 1-16.
21. Kim D. Elliptic equations with nonzero boundary conditions in weighted Sobolev spaces // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 337. P. 1465-1479.
22. Lototsky S. V. Sobolev spaces with weights in domains and boundary value problems for degenerate elliptic equations // Methods Appl. Anal. 2000. V. 7, N 1. P. 195-204.
23. Cavalheiro A. C. Weighted Sobolev spaces and degenerate elliptic equations // Bol. Soc. Parana. Mat. (3). 2008. V. 26, N 1-2. P. 117-132.
24. Chen H., Luo P. Lower bounds of Dirichlet eigenvalues for some degenerate elliptic operators // Calc. Var. Partial Differ. Equ. 2015. V. 53, N 3-4. P. 2831-2852.
25. Chen H., Liu X. Dirichlet problem for semilinear edge-degenerate elliptic equations with singular potential term // J. Differ. Equ. 2012. V. 252. P. 4289-4314.
26. Levendorskii S. Degenerate elliptic equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. (Math. Appl., Dordr.; V. 258).
27. Stredulinsky E. W. Weighted inequalities and degenerate elliptic partial differential equations. Heidelberg: Springer, 1984. (Lect. Notes Math.; V. 1074).
28. Popivanov P. R., Palagachev D. K. The degenerate oblique derivative problem for elliptic and parabolic equations. Akad. Verl., 1997. (Math. Res.; V. 93).
29. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ, 1973.
30. Кондрашов В. И. Об одной оценке для семейств функций, удовлетворяющих некоторым интегральным неравенствам // Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 4-5. С. 253-254.
31. Никольский С. М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 5. С. 63-114.
32. Бесов О. В., Кадлец Я., Куфнер А. О некоторых свойствах весовых классов // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171, № 3. С. 514-516.
33. Бесов О. В. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 29-47.
34. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
35. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
36. Iskhokov S. A. Existence and uniqueness of solutions for variational Dirichlet problems of a nonlinear degenerate differential equation // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, № 1. С. 2138.
37. Исхоков С. А., Нематуллоев О. А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в
ограниченной области // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2013. Т. 56, № 5. С. 352-358.
38. Гадоев М. Г., Константинова Т. П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 8-21.
39. Константинова Т. П. Однородная вариационная задача Дирихле, связанная с некоэрцитивной формой, младшие коэффициенты которой принадлежат лебеговым пространствам // Изв. АН Респ. Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук. 2015. Т. 3, № 160. С. 15-23.
Поступила в редакцию 14 .марта 2022 г. После доработки 12 .мая 2022 г. Принята к публикации 31 мая 2022 г.
Гадоев Махмадрахим Гафурович, Константинова Туйаара Петровна Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Политехнический институт (филиал) в г. Мирном, ул. Тихонова, 5/1, Мирный 678170, Республика Саха (Якутия) gadoev@rambler.ru, копсС-ШаФтаИ .ги
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2022. Том 29, № 2
UDC 517.957
THE VARIATIONALL DIRICHLET PROBLEM WITH NONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS FOR DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS M. G. Gadoev and T. P. Konstantinova
Abstract: We study the variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions for degenerate elliptic operators in a bounded domain with summable lower coefficients in the case when the corresponding sesquilinear forms may not satisfy the coercivity condition. A case is singled out when nonhomogeneous boundary conditions are specified explicitly and their number depends on the degree of degeneration of the leading coefficients of the operator under study. An inequality is proved in which the norm of the solution of the nonhomogeneous variational Dirichlet problem is estimated from above by the norms of the boundary functions and the right-hand side of the equation.
DOI: 10.25587/SVFU.2022.50.14.001
Keywords: Dirichlet variational problem, elliptic operator, bounded domain, power-law degeneration, non-coercive sesquilinear form.
REFERENCES
1. Nikol'skij S. M., Lizorkin P. I., and Miroshin N. V., "Weight function spaces and their applications to the study of boundary value problems for degenerate elliptic equations [in Russian]," Izv. VUZov, Matematika, 8, 4-30 (1988).
2. Kudrjavcev L. D., "Direct and inverse embedding theorems. Applications to the solution of elliptic equations by the variational method [in Russian]," Tr. Mat. Inst. Steklova, 55, 1-182 (1959).
3. Miroshin N. V., "Outer variational Dirichlet problem for an elliptic operator with degeneration [in Russian]," Tr. Mat. Inst. Steklova, 194, 179-195 (1992).
4. Boimatov K. H. and Iskhokov S. A., "On the solvability and smoothness of the solution of the Dirichlet variational problem associated with a non-coercive bilinear form [in Russian]," Tr. Mat. Inst. Steklova, 214, 107-134 (1997).
5. Iskhokov S. A. and Rakhmonov B. A., "Solvability and smoothness of solution to variational Dirichlet problem in entire space associated with non-coercive form," Ufa Math. J., 12, No. 1, 13-29 (2020).
6. Iskhokov S. A., "On the smoothness of the solution of degenerate differential equations [in Russian]," Differ. Uravn., 31, No. 4, 641-653 (1995).
7. Iskhokov S. A., "Garding's inequality for elliptic operators with degeneracy," Math. Notes, 87, No. 1-2, 189-203 (2010).
8. Iskhokov S. A. and Kuzhmuratov A. Y., "On the variational Dirichlet problem for degenerate elliptic operators," Dokl. Math., 72, No. 1, 512-515 (2005).
9. Iskhokov S. A. and Kudzhmurodov A. Jo., "On smoothness of a generalized solution of the variational Dirichlet problem for degenerate elliptic equation in divirgence form [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzhikistan, 51, No. 12, 802-809 (2008).
© 2022 M. G. Gadoev and T. P. Konstantinova
10. Boimatov K. H., "Generalized Dirichlet problem for systems of second-order differential equations [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 327, No. 1, 9-15 (1992).
11. Boimatov K. H., "Generalized Dirichlet problem associated with a non-coercive bilinear form [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 330, No. 3, 285-290 (1993).
12. Boimatov K. H., "Matrix differential operators generated by non-coercive forms [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 339, No. 1, 5-10 (1994).
13. Boimatov K. K., "On the Abel basis property of the system of root vector-functions of degenerate elliptic differential operators with singular matrix coefficients," Sib. Math. J., 47, No. 1, 35-44 (2006).
14. Iskhokov S. A., "On the smoothness of solutions to the generalized Dirichlet problem and the eigenvalue problem for differential operators generated by non-coercive bilinear forms [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 342, No. 1, 20-22 (1995).
15. Iskhokov S. A., "The variational Dirichlet problem for elliptic operators with nonexponent degeneracy, generated by noncoercive bilinear forms," Dokl. Math., 68, No. 2, 261-265 (2003).
16. Iskhokov S. A. and Karimov A.G., "Smoothness of the solution of the Dirichlet variational problem for elliptic operators associated with non-coercive bilinear forms [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzhikistan, 47, No. 4, 68-74 (2004).
17. Iskhokov S. A. and Karimov A. G., "Smoothness of the solution of the Dirichlet variational problem for elliptic operators associated with non-coercive bilinear forms [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 12, No. 1, 74-86 (2005).
18. Chabrowski J. H., "On the Dirichlet problem for a linear elliptic equation with unbounded coefficients," Boll. Unione Mat. Ital., 85, No. 1, 71-79 (1986).
19. Chabrowski J. H., "On the Dirichlet problem for a degenerate elliptic equation," Commentat. Math. Univ. Carol., 28, No. 1, 141-155 (1987).
20. Chabrowski J. H., "On the Dirichlet problem for degenerate elliptic equations," Publ. Res. Inst. Math. Sci., 23, No. 1, 1-16 (1987).
21. Kim D., "Elliptic equations with nonzero boundary conditions in weighted Sobolev spaces," J. Math. Anal. Appl., 337, 1465-1479 (2008).
22. Lototsky S. V., "Sobolev spaces with weights in domains and boundary value problems for degenerate elliptic equations," Methods Appl. Anal., 7, No. 1, 195-204 (2000).
23. Cavalheiro A. C., "Weighted Sobolev spaces and degenerate elliptic equations," Bol. Soc. Parana. Mat. (3), 26, No. 1-2, 117-132 (2008).
24. Chen H. and Luo P., "Lower bounds of Dirichlet eigenvalues for some degenerate elliptic operators," Calc. Var. Partial Differ. Equ., 53, No. 3-4, 2831-2852 (2015).
25. Chen H. and Liu X., "Dirichlet problem for semilinear edge-degenerate elliptic equations with singular potential term," J. Differ. Equ., 252, 4289-4314 (2012).
26. Levendorskii S., Degenerate Elliptic Equations, Kluwer, Dordrecht (1993) (Math. Appl., Dordr.; vol. 258).
27. Stredulinsky E. W., Weighted Inequalities and Degenerate Elliptic Partial Differential Equations, Springer, Heidelberg (1984) (Lect. Notes Math.; vol. 1074).
28. Popivanov P. R. and Palagachev D. K., The Degenerate Oblique Derivative Problem for Elliptic and Parabolic Equations, Akad. Verl. (1997) (Math. Res.; vol. 93).
29. Tersenov S. A., Introduction to the Theory of Equations Ddegenerating at the Boundary [in Russian], Izdat. Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (1973).
30. Kondrashov V. I., "On one estimate for families of functions satisfying some integral inequalities [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 18, No. 4-5, 253-254 (1938).
31. Nikol'skij S. M., "On the embedding, continuation and approximation theorems of differential functions of many variables [in Russian]," Uspekhi Mat. Nauk, 16, No. 5, 63-114 (1961).
32. Besov O. V., Kadlec Ja., and Kufner A., "Some properties of weight classes [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 171, No. 3, 514-516 (1966).
33. Besov O. V., "On the density of finite functions in a weighted Sobolev space [in Russian]," Tr. Mat. Inst. Steklova, 161, 29-47 (1983).
34. Triebel H., Interpolation Theory, Functional Spaces, Differential Operators [in Russian], Mir, Moscow (1980).
35 Besov O. V., Il'in V. P., and Nikol'skij S. M., Integral Representations of Functions and Embedding Theorems [in Russian], Nauka, Moscow (1975).
36. Iskhokov S. A., "Existence and uniqueness of solutions for variational Dirichlet problems of a nonlinear degenerate differential equation," Mat. Zamet. YaGU, 15, No. 1, 21-38 (2008).
37. Iskhokov S. A. and Nematulloev O. A., "On solvability of the variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions for degenerate elliptic operators in a bounded domain [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzhikistan, 56, No. 5, 352-358 (2013).
38. Gadoev M. G. and Konstantinova T. P., "Solvability of the Dirichlet variational problem for a class of degenerate elliptic operators [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 2, 8-21 (2014).
39. Konstantinova T. P., "Homogeneous variational Dirichlet problem connected with a noncoercive form which lower cofficients belong to Lebesgue spaces [in Russian]," Izv. Akad. Nauk Resp. Tadzhikistan, Otd. Fiz.-Mat., Khim., Geol. i Tekhn. Nauk, 3, No. 160, 15-23 (2015).
Submitted March 14, 2022 Revised May 12, 2022 Accepted May 31, 2022
Mahmadrahim G. Gadoev Ammosov North-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch), 5/1 Tikhonov Street, Mirny 678174, Russia gadoev@rambler.ru
Tuyaara P. Konstantinova Ammosov North-Eastern Federal University, Mirny Polytechnic Institute (branch), 5/1 Tikhonov Street, Mirny 678174, Russia konct-tua@mail.ru
