CC BY
9
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.957
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.А.Исхоков, И.А.Якушев
О РАЗРЕШИМОСТИ И ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан, Политехнический институт (филиал) СВФУ им. М.К.Аммосова в г. Мирном
В работе изучается разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области п-мерного евклидова пространства, вырождающихся вдоль всей границы области. Интегро-дифференциальные полуторалинейные формы, с помощью которых задаются дифференциальные уравнения, могут не удовлетворять условию коэрцитивности. При выполнении некоторых дополнительных условий на гладкость коэффициентов и правой части уравнения изучаются дифференциальные свойства решения.
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, степенное вырождение, ограниченная область, некоэрцитивная форма, гладкость решения.
1. Пусть Rn - п -мерное евклидово пространство точек X = (х^ х2, . . ., хп ) и О - ограниченная область в К"1 с замкнутой (п — 1) -мерной границей дО, удовлетворяющая условию конуса. Пусть k = (к1, к2, . . ., kn ) - мультииндекс, |к| = к1 + к2 + . . . +кп - длина мультииндекса к и пусть
и^к^ (X) - обобщенная в смысле С.Л.Соболева производная функции и(х) мультииндекса к . Тогда
(см., например, [4, стр. 203]) существует бесконечно-дифференцируемая положительная функция р(х), х еО, такая, что
р (х ) < 1 ^ (х, дО) < Мр (х), | р(к) (х)| < Мк р1—1к (х)
для всех х еО и любого мультииндекса к .
Пусть г - натуральное, а,р - вещественные числа и 1 < р < да . Символом V'pa (О) обозначим пространство функций и(х), имеющих в области О все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные порядка г , с конечной нормой
у
Ни; V;,« (О)|| = ] £ р (х)|и<к> (х)|р dx + {рр(«+г) (х)|и (х)|р dx ! Р
\к\=г О О
Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru
В случае р > 1 символом Ус—Га(О), где q = р/(р — 1), обозначим пространство антилиней-
ных непрерывных функционалов F над пространством Угр а (О) с нормой
1< F, V >1
к V——Д°)|
= sup
урдо)|Г
., г
где символ < F, V > обозначает действие функционала F е У^^ (О) на функцию и(х) .
Пространство УГа (О) хорошо изучено во многих работах (см. [1] и имеющуюся в ней библиографию). Это пространство определено также и для нецелых значений параметра г (см., например, [1, определение 1.2.3]).
2. Пусть г - натуральное число и пусть в О заданы ограниченные измеримые комплексно-
значные функции ак1 (х), | к|, |/| < г . Рассмотрим дифференциальный оператор
L [и] = Е (—1)И [р2а—2г+к1+И (х)ак1 (х)ик> (х)/) , (1)
к ,|/| <г
понимаемый в смысле теории распределений на О. Постановка вариационной задачи Дирихле для оператора (1) связана со следующей полуторалинейной интегро-дифференциальной формой
В [и, V] = Е \р2а+2г—т (х) ак1 (х) и{к) (х) ^) (х)с1х. (2)
к , 1 <г О
В силу ограниченности коэффициентов аи (х), | к|, 11\ < г и свойств пространства Ур а (О) форма (2) определена для всех и,V е У2Га (О).
Для всех хеП и любого набора комплексных чисел С, = } к г а С вводим функцию
А(х,^)= Е ак!(х)СкС!
|к|,|/| <г
и предположим, что для всех х е , С, = ^ С1 С выполнены условия
|агвА(х,£)\ <р,
Е^кГ <^е{Г(х)А(х,0],
|к|=г
где р - некоторое число из интервала (0,^) и отличная от нуля комплекснозначная функция /(х) непрерывна в замкнутой области О . Здесь и далее считается, что функция аг^ принимает значения на отрезке (—я,я\
Сформулируем задачу Дирихле с неотрицательным параметром Л в вариационной постановке, связанную с оператором (1).
Задача DЛ . Для заданного функционала F е V)-« (□) требуется найти решение и(х) уравнения
В [и^] + Л|р2(а~т>(х) и (х) V (х)аХ =< F, V >Vv е С0°° (□), (3)
□
принадлежащее пространству У2Га (□) .
Теорема 1. Пусть а - произвольное вещественное число и пусть выполнены все сформулированные выше условия. Тогда существует число Л0 > 0 такое, что если Л > Л0, то для любого заданного функционала F е ИТ-« (□) задача Оя имеет единственное решение и при этом справедлива оценка
и;К2а(О)||< М^ У2:а(П)\\,
где число М > 0 не зависит от Л е [Л0, +го) и функционала F .
Доказательство этой теоремы при
ае(тю, г) ,а + 1/2 £{1, 2, . . ., г}
проводится методом работ [2, 3], который существенно опирается на конечность используемого разбиения единицы области □ и компактность вложения пространства К> а (□) в ^(О) . Для доказательства теоремы 1 в общем случае, усовершенствуя метод упомянутых выше работ, используется бесконечное разбиение единицы области О конечной кратности, сформулированное в следующей лемме
Лемма 1. Существуют неотрицательные функции (т (х) е С0° (□), (х) е С0° (О), т = 1, 2, . . . , такие, что:
а) система функций \(т(.х)} 1 образует разбиение единицы области □ с конечной кратностью, то есть
т
,2
Т/т (х) = 1, х еО.
т
т=1
И если Хт (х) - характеристическая функция множества яирр(т, то существует конечное число Лп, зависящее только от п, такое, что
т
1 <Тхт (х)<Лп длявсех х еО;
т
б) функция rm (х) обращается в единице в некоторой окрестности множества supp (рт и 0 <Гт (х) < 1 для всех х eQ;
в) производные функции (рт (х) , rjm (х), т = 1, 2, . . . , удовлетворяют следующим неравен-
ствам
£) (х) < Ср-W (х), Г) (х) < С2рН 1 (х), |k\ < r,
,(*)
положительные числа С1,С2 не зависят от т и r .
г) |/(х) — /(у)| < V для всех х,у е £ирр^т (т = 1, 2, . . . ) ; V - достаточно малое положительное число.
Применение следующего неравенства с малым параметром е >0 (см. [5, лемма 2.2])
Р
^; L2 (Q) \u;V;a{Q)\ + c^\pa-ru; L2 (Q)||,
где к < г и р= к / (г — к), позволяет получить оценки, нужные для доказательства теоремы 1 в
общем случае, без использования компактности вложения пространства У2Га (О) в Ь2 (О) .
3. При некоторых дополнительных ограничениях на гладкость коэффициентов ак1 (х), |к|, 11 < г в правой части F уравнения (3) можно изучить свойства гладкости решения задачи DЛ . Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Пусть также существует натуральное число т0 такое, что
a,
( s) (
(х) < MрЛs (х), х eQ,
для любого мультииндекса £ : |5 < т0.
Тогда существует число Я0 > 0 такое, что при Л> Л0 для любого заданного элемента F е У,/;тт (О), где 0 < т < т0, существует единственное решение и(х) е У2Г.а (О) задачи DЛ . Это решение принадлежит пространству УГ™+т (О) и справедлива следующая оценка
L . 1/r+т U; V2,a+m
(Q)||
< M
F • V ~r+m
' 2,-a+m
(Q),
где число М > 0 не зависит от Л е [Л0, и функционала F .
Разрешимость вариационной задачи Дирихле для различных классов эллиптических операторов высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы, в основном, хорошо изучена в случае, когда соответствующие интегро-дифференциальные полутора-линейные формы удовлетворяют условию коэрцитивности в смысле определения 2.0.1 работы [1]
(см. [1,6-8,12] и имеющуюся там библиографию). Случай некоэрцитивных полуторалинейных форм рассматривался в работах [2,3,9-12]. Как уже было отмечено ранее, сформулированные выше результаты, в некотором смысле, являются обобщениями результатов работ [2,3] на новый класс эллиптических операторов.
Поступило 12.02.2018 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М., Лирозкин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. - Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.
2. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле, порожденная некоэрцитивной формой. - Доклады Академии наук России, 1993, т. 330, №3, с. 285-290.
3. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН, 1997, т. 214, с. 107-134.
4. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Наука, 1973, 342 с.
5. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. - Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.
6. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. - Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, №4, с. 641-653.
7. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов. - Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2, с. 165-168.
8. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. - Доклады АН Республики Таджикистан, 2013, т. 56, №5, с. 352-358.
9. Бойматов К.Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными билинейными формами. - Доклады Академии наук России, 1994, т. 339, №1, с. 5-10.
10. Исхоков С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами. - Доклады Академии наук России, 1995, т. 342, №1, с. 20-22.
11. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. - Математические заметки ЯГУ, 2005, т. 12, №1, с. 74-86.
12. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Константинова Т.П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными билинейними формами. -Доклады Академии наук России, 2015, т. 462, №1, с. 7-10.
С.А.Исхо^ов, И.А.Якушев*
ОИДИ ХДЛШАВАНДАГЙ ВА СУФТАГИИ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОР^ОИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДАИ ЭЛЛИПТИКЙ ДАР СО^АИ МАВДУД
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Чум^урии Тоцикистон, *Институти политехникии (филиали) Донишго^и федералии Шимолу-Шарции ба номи М.К.Аммосов дар ш. Мирный
Дар макола масъалаи вариатсионии Дирихле барои як синфи операторной эллиптикии тартиби олй дар сохаи махдуди фазои n-ченакаи евклидй, ки дар тамоми сархади сода таназзул меёбад, омухта шудааст. Шаклхои якунимхаттие, ки бо ёрии онхо муодилахои дифференсиалй дода мешаванд, метавонанд шарти коэрситивиро каноат накунонанд. Хднгоми ичро шудани баъзе шартдои иловагй оиди суфтагии коэффициентхо ва кисми рости муодила хосиятхои диф-ференсиалии хал омухта мешаванд.
Калима^ои калиди: масъалаи вариатсионии Дирихле, оператори эллиптикй, соуаи маудуд, таназ-зулёбии дарацагй, шакли гайрикоэрситиви, суфтагии уал.
S.A.Iskhokov, I.A.Yakushev* ON SOLVABILITY AND SMOOTHNESS OF A SOLUTION OF VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS
IN A BOUNDED DOMAIN
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Polytechnic Institute (branch) of North-Eastern Federal university named after M.K.Ammosov in Mirny
We study Solvability of the variational Dirichlet problem for a class of higher-order degenerate elliptic operators in a bounded domain of the «-dimension euclidian space with degeneracy along the entire boundary of the domain. Integro-differential forms associated with differential equations under consideration may not satisfy the condition of coercivity. Under some additional conditions on smoothness of coefficients and the right-hand side of the equation, differential properties of the solution are studied. Key words: variational Dirichlet problem, elliptic operator, power degeneration, bounded domain, noncoercive form, smoothness of solution.
